BAB 2...RUANG VEKTOR

LOGO
BAB 2...RUANG VEKTOR
www.themegallery.com
www.themegallery.com
1. FIELD
Misal { K, + , * }, K adalah himpunan ,
didefinisikan 2 operasi + ( penjumlahan )
dan * ( perkalian ). Akan dikatakan Field jika
dipenuhi :
A1. untuk setiap ,  K maka  +  K dan  *   K,
dikatakan K tertutup terhadap operasi penjumlahan
dan perkalian.
A. untuk setiap ,,  K maka (+ ) +  =+ ( + )
A3 Terdapat 0  K disebut elemen nol, sedemikian
sehingga 0 +  =  + 0 =  , untuk setiap  K

Company Logo
www.themegallery.com
A4.Untuk masing-masing  K , terdapat - 
K disebut negatip dari  sedemikian
sehingga (- ) +  =  +(- )=0
A5. untuk setiap , K maka  +  =  + 
A6. untuk setiap ,,  K maka (*)* =* ( *
)
A7. untuk setiap ,,  K
*(  +  )=* + *
(  +  )*  = * + *
Company Logo
www.themegallery.com
A8. untuk setiap , K maka  *  =  * 
A9.Terdapat 1 K disebut elemen satuan ,
sedemikian sehingga 1*  =  *1 =  , untuk
setiap  K
A10. Untuk masing-masing 0 K , terdapat
-1 K disebut invers dari  sedemikian
sehingga -1 *  =  *-1=1
Elemen elemen field disebut skalar
Company Logo
www.themegallery.com
Contoh
Bilangan Kompleks
Bil.imaginer
bil. Riil
Bil. Rasional
Bil. Bulat
Bil.Irrasional
Bil Pecahan
Company Logo
www.themegallery.com
Dijelaskan 10 Syarat di atas
diterapkan pada Masing-masing
bilangan tersebut.
Sehingga dapat disimpulkan Contoh
Field adalah Bilangan Kompleks, Riil,
dan Rasional.
Company Logo
www.themegallery.com
RUANG VEKTOR DI ATAS FIELD
Misal { V , + , * } , V adalah
himpunan vektor dan didefinisikan
operasi + ( penjumlahan ) antar
elemen elemen V dan * (perkalian )
antara elemen V dengan K . Maka V
disebut Ruang Vektor di atas suatu
Field K jika dipenuhi syarat berikut :
B1. untuk setiap u,v  V dan   K maka
u + v  V,  u  V dikatakan Ktertutup
terhadap operasi penjumlahan dan
perkalian
Company Logo
www.themegallery.com
B2. untuk setiap u,v ,w  V maka (u +
v) + w = u + (v + w )
B3. untuk setiap u,v  V dan   K
maka  *(u + v)=*u + *v
B4. Terdapat 0  V disebut vektor nol,
sedemikian sehingga 0 + u = u +
0 = u , untuk setiap u  V
B5. Untuk masing-masing u V ,
terdapat - u V disebut sedemikian
sehingga (- u) + u = u +(- u) = 0
Company Logo
www.themegallery.com
B6. untuk setiap u,v  V maka u + v =
v+u
B7. untuk setiap u  V , , K berlaku
( +  ) *u =( * u) +(* u)
B8. dan (  ) *u =  (* u)
B9. untuk setiap u  V berlaku 1* u =
u , dimana 1 adalah elemen satuan
dari K
Anggota dari Ruang Vektor disebut
vektor
Company Logo
www.themegallery.com
CONTOH
V adalah himpunan vektor R2
Tunjukkan bahwa V bukan ruang
vektor terhadap operasi operasi :
1. [a,b] + [c,d] = [a+d, b+c]
[a,b] = [a, ab]
2. [a,b] + [c,d] = [a+c, b+d]
[a,b] = [a, b]
3. [a,b] + [c,d] = [0,0]
[a,b] = [ a,ab]
Company Logo
RUANG VEKTOR BAGIAN
(SUBSPCE)
www.themegallery.com
V adalah Ruang Vektor , W adalah
Subset dari V. Untuk menentukan
apakah W merupakan ruang bagian V,
cukup diperiksa berikut :
C1. W   ( W tidak hampa ) , untuk itu
perlu ditunjukkan bahwa vektor 0
W.
C2. Untuk setiap a, b W maka a + b
W
C3. Untuk setiap a  W ,   K maka  a
W
Company Logo
www.themegallery.com
Z
X0Z = ([x,0,Z]/ x  R, Z  R}
Y0Z = ([0,y,z]/ Y  R, y  R}
0
X
X0Y = ([x,y,0]/ x  R, y  R}
Y
Company Logo
www.themegallery.com
CONTOH
Tetapkan apakah W merupakan ruang
vektor bagian dari R3
1. W = ([a,b,c] / a = 2b)
2. W= ([a,b,c] / a ≤ b ≤ c)
3. W = ([a,b,c]/ a= c 2 )
Company Logo
www.themegallery.com
Vektor yang Bebas dan Bergantung
Linier
Definisi
Himpunan m buah vektor { u1, u2 , …..um}
disebut bergantung linier
( linearly
dependent, tidak bebas linier) bila terdapat
skalar-skalar 1, 2 , …..m yang tidak
semua nol sedemikian sehingga 1
u1 + 2 u2 +….. + um m = 0 ( 0 =
vektor nol ).
Company Logo
www.themegallery.com
Dalam hal lain himpunan { u1, u2 ,
…..um} disebut bebas Linier (linearly
independent ), dengan perkataan lain
apabila 1 u1 + 2 u2 +….. + um m = 0
hanya dipenuhi oleh 1= 2 =
….=m=0.
Jika m= 1 maka himpunan hanya
mempunyai satu anggota maka  u = 0
akan bergantung linier karena  0 =00
u  0 akan bergantung linier karena  u
=0=0
Company Logo
www.themegallery.com
 Jika dalam himpunan terdapat vektor 0,
misalnya { u1, u2 , …,0,..,um} maka
himpunan tersebut bergantung linier karena
1 u1 + 2 u2 +…..
+ i 0 +... + um m
= 0, i
0
 Bila u dan v dua vektor yang berkelipatan u
=
v maka kedua vektor tersebut
bergantung linier .
 Jika sebagian ( himpunan bagian ) dari m
vektor-vektor { u1, u2 , …..um} bergantung
linier maka keseluruhannya m vektor
tersebut bergantung linier .
Company Logo
www.themegallery.com
Contoh :
1). a = [ 1,2,3 ] , b = [ 2,4,6 ],
c = [1,3,4 ]
2). a = [ 1,2,3 ] , b = [ 0,0,0 ],
c = [ 1,3,4 ]
Jika himpunan m vektor-vektor { u1,
u2 , …..um} bebas linier maka
himpunan bagiannya juga bebas.
Tapi tidak berlaku sebaliknya.
Company Logo
www.themegallery.com
Company Logo