Metode Numerik SPL - Politeknik Elektronika Negeri Surabaya

Metode Numerik
Bab 3. Penyelesaian Sistem
Persamaan Linier (SPL)
Yuliana Setiowati
Politeknik Elektronika Negeri Surabaya
2007
PENS-ITS
Metode Numerik
Topik
PENS-ITS
Metode Numerik
Definisi SPL
• Suatu sistem yang merupakan gabungan dari
beberapa persamaan linier dengan variabel x1 , x2 ,..., xn
a11x1  a12 x2  ...  a1n xn  b1
a21x1  a22 x2  ...  a2 n xn  b2




am1 x1  am 2 x2  ...  amn xn  bm
• SPL diatas mempunyai m persamaan dan n variabel
• SPL mempunyai minimal sebuah solusi, disebut
konsisten, jika tidak mempunyai solusi disebut tidak
konsisten
PENS-ITS
Metode Numerik
SPL
• Bentuk persamaan linier simultan dengan n
persamaan dan n variabel bebas
 a11 a12
a
 21 a22
 ... ...

an1 an 2
... a1n   x1   b1 
... a2 n   x2  b2 

... ...   ...   ... 
   
... ann   xn  bn 
PENS-ITS
Metode Numerik
Bentuk Matrik SPL
• SPL dengan m persamaan dan n variabel
a11x1  a12 x2  ...  a1n xn  b1
a21x1  a22 x2  ...  a2 n xn  b2




am1 x1  am 2 x2  ...  amn xn  bm
• Bentuk SPL dapat ditulis dengan
a11 a12 ... a1n
a a ... a
2n
 21 22
  


am1 am 2 ... amn






b1 
b 
 2
 
 
bm 
=
 x1 
x 
 2
 
 
 xm 
• Dapat ditulis Ax = B
PENS-ITS
Metode Numerik
Bentuk Matrik SPL
• Dimana A = a11 a12 ... a1n 
a a ... a
2n 
 21 22
 




a
a
...
a
mn 
 m1 m 2
x =  x1 
 x2 
 
 
 xm 
B= b1 
b 
 2
 
 
bm 
• A adalah matrik koefisien dari SPL (matrik Jacobian).
• Vektor x disebut vektor variabel
• Vektor B disebut vektor konstanta
PENS-ITS
Metode Numerik
Augmented Matrik
• Matrik yang merupakan perluasan matrik A
dengan dengan menambahkan vektor B pada
kolom terakhirnya
a11 a12 ... a1n b1 
a a ... a

b
2n
2 
 21 22
  

 


am1 am 2 ... amn bm 
PENS-ITS
Metode Numerik
Contoh
x + 3y + 2z = 44
x + 4y + z = 49
2x + 5y + 5z = 83
• Bentuk matrik SPL
1 3 2  x 
1 4 1  

  y
2 5 5  z 
=
• Augmented Matrik
 44 
 49 
 
 83 
1 3 2 44
1 4 1 49


2 5 5 83
PENS-ITS
Metode Numerik
Penyelesaian SPL
• Berdasarkan penyelesaiannya, SPL dibedakan
menjadu 3 macam:
– Tidak mempunyai penyelesaian (no solutions)
– Tepat satu penyelesaian (exactly one solution)
– Banyak penyelesaian(infinitely many solutions)
PENS-ITS
Metode Numerik
Penyelesaian SPL
• Secara geometri penyelesaian sist pers linier untuk 2 var
bebas dapat digambarkan:
l
1
y
l1
y
l2
x
l2
x
Mempunyai 1 penyelesaian
Tidak mempunyai
penyelesaian
PENS-ITS
Metode Numerik
Penyelesaian SPL
• Secara geometri penyelesaian sist pers linier untuk 2 var
bebas dapat digambarkan:
y
l1=l2
x
PENS-ITS
Mempunyai banyak
penyelesaian
Metode Numerik
Contoh 1
• Seorang pembuat boneka ingin membuat dua macam boneka
yaitu boneka A dan boneka B. Kedua boneka tersebut dibuat
dengan menggunakan dua macam bahan yaitu potongan kain
dan kancing. Boneka A membutuhkan 10 potongan kain dan 6
kancing, sedangkan boneka B membutuhkan 8 potongan kain
dan 8 kancing.
• Permasalahannya adalah berapa buah boneka A dan
boneka B yang dapat dibuat dari 82 potongan kain dan 62
kancing ?
PENS-ITS
Metode Numerik
Contoh 1
•
Permasalahan ini dapat dimodelkan dengan menyatakan :
–
–
•
x = jumlah boneka A
y = jumlah boneka B
Untuk setiap bahan dapat dinyatakan bahwa:
–
–
Potongan kain
10 untuk boneka A + 8 untuk boneka B = 82
Kancing
6 untuk boneka A + 8 untuk boneka B = 62
•
Atau dapat dituliskan dengan :
10 x + 8 y = 82
6 x + 8 y = 62
•
Penyelesaian dari permasalahan di atas adalah penentuan nilai x dan y yang memenuhi kedua
persamaan di atas.
PENS-ITS
Metode Numerik
Contoh 2
•
Perhatikan potongan peta yang sudah diperbesar (zoom) sebagai berikut :
3
4
2
1
•
•
•
Perhatikan bahwa pada ke-4 titik tersebut dihubungkan dengan garis lurus,
sehingga tampak kasar.
Untuk menghaluskannya dilakukan pendekatan garis dengan kurva yang dibentuk
dengan fungsi pendekatan polinomial.
Dari fungsi polinomial yang dihasilkan kurva dapat digambarkan dengan lebih
halus.
PENS-ITS
Metode Numerik
Contoh 2
•
4 titik yang ditunjuk adalah (2,3), (7,6), (8,14) dan (12,10). 4 titik ini dapat didekati
dengan fungsi polinom pangkat 3 yaitu :
y  ax 3  bx 2  cx  d
•
Bila nilai x dan y dari 4 titik dimasukkan ke dalam persamaan di atas akan
diperoleh model persamaan simultan sebagai berikut :
Titik 1  3 = 8 a + 4 b + 2 c + d
Titik 2  6 = 343 a + 49 b + 7 c + d
Titik 3  14 = 512 a + 64 b + 8 c + d
Titik 4  10 = 1728 a + 144 b + 12 c + d
•
Nilai a, b, c dan d adalah penyelesaian dari permasalahan di atas.
PENS-ITS
Metode Numerik
Contoh 2
• Setelah nilai a, b, c dan d diperoleh maka persamaan polinomialnya
didapatkan dan dengan menggunakan step x yang lebih kecil dapat
digambarkan grafiknya dengan lebih halus.
PENS-ITS
Metode Numerik
Operasi-operasi Dasar
(Elementary Operations)
• Terdapat dua tahap untuk menyelesaikan SPL yaitu:
– Reduksi sistem (mengeliminasi variabel)
– Mendeskripsikan himpunan penyelesaian
• Tujuan dari reduksi sistem adalah untuk
menyederhanakan SPL dengan mengeliminasi
variabel-variabel, sehingga sistem yang dihasilkan
mempunyai himpunan penyelesaian yang sama
dengan sistem aslinya.
PENS-ITS
Metode Numerik
Sistem equivalent
• Definisi
Dua SPL dengan n variabel disebut equivalent jika
SPL tersebut mempunyai himpunan penyelesaian
yang sama
PENS-ITS
Metode Numerik
Operasi Baris Elementer
• Untuk reduksi sistem, SPL menggunakan
operasi baris elementer (elementary row
operations). Terdapat 3 operasi :
– Menukar dua baris (Ri ↔ Rj)
– Mengalikan sebuah baris dengan sebuah skalar
(k Ri)
– Menambah perkalian k dengan sebuah baris
dengan baris lainnya. (Ri + kRj)
PENS-ITS
Metode Numerik
Operasi Baris Elementer
• Menambah perkalian k dengan sebuah baris dengan baris
lainnya. (Ri + kRj)
1 1 2 9 
2 4  3 1


3 6  5 0
B2 – 2B1
9 
1 1 2
0 2  7  17


3 6  5 0 
• B2 – 2B1 artinya elemen-elemen pada baris kedua dikurangi dengan dua
kali elemen pada baris ke satu
• -2B1
B2
B2 – 2B1
: -2 -2 -4 -18
: 2 4 -3 1
: 0 2 -7 -17 (menjadi elemen baris ke-2)
PENS-ITS
Metode Numerik
Contoh Penggunaan
Operasi Baris Elementer
x  y  2z  9
2 x  4 y  3z  1
B2 – 2B1
3x  6 y  5 z  0
1 1 2 9 
2 4  3 1


3 6  5 0
x  y  2z 
2 y  7 z  1 7
3x  6 y  5 z 
B2 – 2B1
9
0
9 
1 1 2
0 2  7  17


3 6  5 0 
PENS-ITS
B3 – 3B1
B3 – 3B1
Metode Numerik
Contoh Penggunaan
Operasi Baris Elementer
x  y  2z 
x  y  2z 
9
2 y  7 z  17
y  72 z   172
1/2B2
3 y  11z  27
9 
1 1 2
0 2  7  17 


0 3  11  27
9
3 y  11z 
1/2B2
PENS-ITS
B3 – 3B2
0
9  B – 3B
1 1 2
2
0 1  7  17  3
2
2 

0 3  11  27
Metode Numerik
Contoh Penggunaan
Operasi Baris Elementer
x  y  2z 
x  y  2z 
9
y  72 z   172
y  72 z   172
-2B3
9 
 172 
 32 
-2B3
B1 – B2
z 3
 12 z   32
1 1 2
0 1  7
2

0 0  12
9
1 1 2
0 1  7
2

0 0 1
PENS-ITS
9 
 172 
3 
B1 – B2
Metode Numerik
Contoh Penggunaan
Operasi Baris Elementer
x
 112 z 
35
2
y z 
7
2
z
1 0 112

7
0
1

2

0 0 1
17
2
3


 
3 
35
2
17
2
B1 – 11/2 B3
B2 + 7/2 B3
B1 – 11/2 B3
B2 + 7/2 B3
1
x
y
 2
z 3
1 0 0 1 
0 1 0 2 


0 0 1 3
SPL diatas mempunyai penyelesaian tunggal x=1,y=2,z=3
Proses reduksi pada contoh diatas disebut Eliminasi Gauss-
Jordan
PENS-ITS
Metode Numerik
Contoh
2x2 + x3 = -2
3x1 + 5x2 - 5x3 = 1
2x1 + 4x2 - 2x3 = 2
0 2 1  2
3 5  5 1 


2 4  2 2 
1 2  1 1 
3 5  5 1 


0 2 1  2
B1
↔
B3
B2 - 3B1
PENS-ITS
2 4  2 2 
3 5  5 1 


0 2 1  2
1 2  1 1 
0  1  2  2 


0 2
1  2
1/2B1
-B2
Metode Numerik
Contoh
1 2  1 1 
0 1 2
2 

0 2 1  2
B1 - 2B2
1 0  5  3
0 1 2

2


0 0  3  6
-1/3B3
1 0 0 7 
0 1 2 2 


0 0 1 2
B2 - 2B3
1 0  5  3
0 1 2

2


0 2 1  2
1 0  5  3
0 1 2

2


0 0 1
2 
B3 - 2B2
B1 + 5B3
1 0 0 7 
0 1 0  2 


0 0 1 2 
• SPL diatas mempunyai penyelesaian tunggal yaitu x1=7,
x2=-2 dan x3=-2
PENS-ITS
Metode Numerik
3 Kemungkinan Penyelesaian SPL(a)
Dari matrik augmented SPL direduksi dengan operasi
baris elementer diperoleh bentuk reduced echelon form.
Terdapat 4 kemungkinan penyelesaian seperti berikut :
1 0 0 5 
(a) 0 1 0  2
0 0 1 4 
Penyelesaian (a)
 5
x
y
 -2
z 4
PENS-ITS
Metode Numerik
3 Kemungkinan Penyelesaian SPL(b1)
2
4
1 1
(b) 0  3  3  6
0 0
0
0 
Penyelesaian (b)
x1  x2  2 x3  4
- 3x2 - 3x3  - 6
Variabel depan
(leading variables)
PENS-ITS
Variabel bebas
(free variables)
Metode Numerik
3 Kemungkinan Penyelesaian SPL(b2)
x1 = 10 – 5x3
x2 = 3 – x3
Variabel bebas dapat diisi dengan
sembarang nilai k, selanjutnya dapat
ditentukan variabel depan
Terdapat banyak penyelesaian,
penyelesaian secara umum
diberikan dengan
menggunakan formula
PENS-ITS
x1 = 10 – 5k
x2 = 3 – xk3
x3 = k
Metode Numerik
3 Kemungkinan Penyelesaian SPL(c)
2
4
1 1
0  3  3  6


0 0
0
1 
Penyelesaian (c)
1. Persamaan yang bersesuai
dengan baris terakhir tsb
adalah
2. Tidak ada nilai xi yang
memenuhi persamaan
tersebut
0x1 + 0x2 + 0x3 = 1
PENS-ITS
Metode Numerik
Contoh
• Matrik di bawah ini adalah matrik reduced echelon form.
Jelaskan SPL yang berhubungan dengan matrik tersebut dan
bagaimana penyelesaiannya?
1
0
A
0

0
3
1 0  2
0 1 7 

0 0 0
0 0
1 0  1 0
B  0 1 3 0
0 0 0 1
1 2 0 5 
D  0 0 1 0
0 0 0 0
1  3 0 4 2
C  0 0 1  5 1
0 0 0 0 0
PENS-ITS
Metode Numerik
Contoh
• Matrik A adalah matrik augmented dengan SPL sbb:
x1  3
x2  - 2
x3  7
SPL mempunyai penyelesaian tunggal yaitu x1  3 x2  - 2 x3  7
• Matrik B adalah matrik augmented dengan SPL sbb:
x1 - x3  0
x2  3x3  0
0 x1  0 x2  0 x3  1
SPL tidak mempunyai penyelesaian karena pada persamaan
ke-3, SPL tidak konsisten
PENS-ITS
Metode Numerik
Contoh
•
Matrik C adalah matrik augmented dengan SPL :
x1 - 3x2  4 x4  2
x3 - 5 x4  1
Matrik C adalah matrik augmented dengan SPL :
x1  2  3x2  4 x4
x3  1  5 x4
Variabel depan adalah x1 dan x3, variabel bebas adalah x2 dan x4. SPL mempunyai
penyelesaian banyak dapat dinyatakan dengan formula :
x1  2  3s  4t
x2  s
x3  1  5t
x4  t
PENS-ITS
Metode Numerik
Contoh
• Matrik D adalah matrik augmented dengan SPL :
x1  2 x2  5
x3  0
Matrik D adalah matrik augmented dengan SPL : x1  5 - 2 x2
x3  0
• Variabel depan adalah x1 dan x3, variabel bebas adalah x2.
SPL mempunyai penyelesaian banyak dinyatakan dengan
formula :
x  5 - 2s
1
x2  s
x3  0
PENS-ITS
Metode Numerik
Metode Analitik
• metode grafis
• aturan Crammer
• invers matrik
PENS-ITS
Metode Numerik
Metode Numerik
•
•
•
Metode Eliminasi Gauss
Metode Eliminasi Gauss-Jordan
Metode Iterasi Gauss-Seidel
PENS-ITS
Metode Numerik
Metode Eliminasi Gauss
• Metode Eliminasi Gauss merupakan metode yang
dikembangkan dari metode eliminasi, yaitu menghilangkan
atau mengurangi jumlah variable sehingga dapat diperoleh
nilai dari suatu variable bebas
• matrik diubah menjadi augmented matrik :
 a11 a12

a 21 a 22
 ...
...

a n1 a n 2
... a1n
... a 2 n
...
...
... a nn
PENS-ITS
b1 

b2 
... 

bn 
Metode Numerik
Metode Eliminasi Gauss
• ubah matrik menjadi matrik segitiga atas atau segitiga bawah
dengan menggunakan OBE (Operasi Baris Elementer).
 a11
a
 21
 a31

 ...
a n1
a12
a13
... a1n
a 22
a 23 ... a 2 n
a32
a33
... a3n
...
...
...
an2
a n 3 ... a nn
...
c11
0

0

 ...
 0
b1 
b2 
b3 

... 
bn 
PENS-ITS
c12
c13
... c1n
c 22
c 23 ... c 2 n
0
c33 ... c3n
...
...
...
0
0
... c nn
...
d1 
d 2 
d3 

... 
d n 
Metode Numerik
Metode Eliminasi Gauss
• Sehingga penyelesaian dapat diperoleh
dengan:
d
xn 
n
c nn
x n 1 
1
c n 1,n 1
 c
n 1, n
x n  d n 1 
.....................................
1
d 2  c23 x3  c24 x4  ...  c2 n xn 
x2 
c 22
1
d1  c12 x2  c13 x3  ...  c1n xn 
x1 
c11
PENS-ITS
Metode Numerik
Contoh :
• Selesaikan sistem persamaan berikut:
x1  x 2  x3  6
x1  2 x 2  x3  2
2 x1  x 2  2 x3  10
• Augmented matrik dari persamaan linier simultan tersebut :
1 1 1 6 
1 2  1 2 


2 1 2 10
PENS-ITS
Metode Numerik
Contoh :
• Lakukan operasi baris elementer
B2  B1
B3  2B1
B3  B2
1
6 
1 1


0 1  2  4
0 1 0  2


6 
1 1 1
0 1  2  4 


0 0  2  6 
PENS-ITS
Metode Numerik
Contoh :
• Penyelesaian :
6
x3 
3
2
1
x 2   4  (2)3  2
1
1
x1  6  2  3  1
1
PENS-ITS
Metode Numerik
Algoritma Metode Eliminasi
Gauss
PENS-ITS
Metode Numerik
Metode Eliminasi Gauss Jordan
• Metode ini merupakan pengembangan metode eliminasi
Gauss, hanya saja augmented matrik, pada sebelah kiri
diubah menjadi matrik diagonal
 a11
a
 21
 a31

 ...
a n1
a12
a13
... a1n
a 22
a 23 ... a 2 n
a32
a33
... a3n
...
...
...
an2
a n 3 ... a nn
...
b1 
b2 
b3 

... 
bn 
1
0

0

...
 0
d1 
... 0 d 2 
... 0 d 3 

... ... ... 
... 1 d n 
0
0 ... 0
1
0
0
1
... ...
0
0
• Penyelesaian dari persamaan linier simultan diatas adalah nilai
d1,d2,d3,…,dn dan atau:
x1  d1 , x2  d 2 , x3  d 3 ,...., xn  d n
PENS-ITS
Metode Numerik
Contoh Eliminasi Gauss Jordan (1/1)
• Selesaikan persamaan
linier simultan:
• Augmented matrik dari
persamaan linier
simultan
x1  x2  3
2 x1  4 x2  8
1 1 3 B2  2b1 1 1 3
2 4 8
0 2 2 


• Lakukan operasi
baris elementer
Penyelesaian persamaan linier simultan :
x1 = 2 dan x2 = 1
PENS-ITS
1 1 3
B 2 / 2

0
1
1


1 0 2 
B1  B2 

0
1
1


Metode Numerik
Contoh Eliminasi Gauss Jordan (1/4)
x  y  2z  9
2 x  4 y  3z  1
B2-2B1
3x  6 y  5 z  0
1 1 2 9 
2 4  3 1


3 6  5 0
x  y  2z 
2 y  7 z  1 7
3x  6 y  5 z 
B2-2B1
9
0
9 
1 1 2
0 2  7  17


3 6  5 0 
PENS-ITS
B3-3B1
B3-3B1
Metode Numerik
Contoh Eliminasi Gauss Jordan (2/4)
x  y  2z 
9
2 y  7 z  17
½ B2
3 y  11z  27
9 
1 1 2
0 2  7  17 


0 3  11  27
x  y  2z 
y  72 z   172
3 y  11z 
½ B2
9
0
9 
1 1 2
0 1  7  17 
2
2 

0 3  11  27
PENS-ITS
B3-3B2
B3-3B2
Metode Numerik
Contoh Eliminasi Gauss Jordan (3/4)
x  y  2z 
x  y  2z 
9
y  72 z   172
-2 B3
 12 z   32
1 1 2
0 1  7
2

0 0  12
9 
 172 
 32 
9
y  72 z   172
B1 - B2
z 3
-2 B3
1 1 2
0 1  7
2

0 0 1
PENS-ITS
9 
 172 
3 
B1 - B2
Metode Numerik
Contoh Eliminasi Gauss Jordan (4/4)
x

11
2
z
35
2
y z 
7
2
z
1 0 112

7
0
1

2

0 0 1
B2 + 7/2 B3
17
2
3
B1 - 11/2 B3


 
3 
B2 + 7/2 B3
35
2
17
2
B1 - 11/2 B3
 Solusi x = 1, y=2 dan z=3
PENS-ITS
1
x
y
 2
z 3
1 0 0 1 
0 1 0 2 


0 0 1 3
Metode Numerik
Algoritma Metode Eliminasi
Gauss-Jordan
PENS-ITS
Metode Numerik
Strategy Pivoting
• Prinsip strategy pivoting adalah jika ap,p(p-1) =0,
cari baris k dengan ak,p ≠ 0 dan k > p, lalu
pertukarkan baris p dan baris k.
PENS-ITS
Metode Numerik
Jenis pivoting (1)
• Partial pivoting (pivoting sebagian)
– Pivot dipilih dari semua elemen pada kolom p yang mempunyai nilai
mutlak terbesar.
|ak,p| = max{|ap,p|, |ap+1,p|, …, |an-1,p|, |an,p|}
– Lalu pertukarkan baris ke-k dengan baris ke-p.
– Misal setelah operasi baris pertama diperoleh matrik sbb:
x
0

0

0
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x 
x

x
– Untuk operasi baris kedua, carilah elemen x pada kolom ke-2 mulai
baris ke-2 s/d kolom ke-4 yang nilai mutlaknya terbesar, lalu
pertukarkan barisnya dengan baris ke-2.
– Elemen x yang nilai mutlaknya terbesar itu sekarang menjadi pivot
untuk operasi baris selanjutnya.
PENS-ITS
Metode Numerik
Jenis pivoting (2)
• Complete pivoting (pivoting lengkap)
– Disamping baris, kolom juga diikutkan dalam
pencarian elemen terbesar dan kemudian
dipertukarkan, maka strategi ini disebut pivoting
lengkap.
– Pivoting lengkap jarang dipakai dalam program
sederhana karena pertukaran kolom mengubah
urutan suku x dan akibatnya menambah kerumitan
program secara berarti
PENS-ITS
Metode Numerik
Contoh
• Selesaikan SPL dengan metode Eliminasi Gauss
0.0003x1  1.566 x2  1.569
0.3454 x1  2.436 x2  1.018
• Penyelesaian
• Baris pertama dipertukarkan dengan baris ke-2 sehingga
0.3454 menjadi pivot
0.0003 1.566 1.569
0.3454 - 2.436 1.018


R2 
0.0003
R1
0.3454
R 2  R1
0.3454 - 2.436 1.018
0.0003 1.566 1.569


0.3454 - 2.436 1.018
 0

1.568
1.568


PENS-ITS
Metode Numerik
Contoh
• Dengan backward subtitusi diperoleh
x 2  1.568
1
1.568
1.018  (2.436)(1.000)
x1 
 10.02
0.3454
PENS-ITS
Metode Numerik
Metode Iterasi Gauss Seidel
• Metode untuk menyelesaikan SPL yang menggunakan
proses iterasi.
• Baik untuk menyelesaikan SPL yang besar
• Bila diketahui SPL seperti di bawah ini
a11
x1

a12
x2

a13
x3
 ... 
a1n
xn

a 21
x1

a 22
x2

a 23
x3
 ...  a 2 n
xn
 b2
a31
x1

a32
x2

a33
x3
 ... 
a3n
xn
 b3
...
... ...
...
... ...
...
... ... ... ...
...
... ... ...
a n1
x1
 ... 
a nn
xn
 an2
x2
 an3
x3
PENS-ITS
b1
 bn
Metode Numerik
Metode Iterasi Gauss-Seidel
• Berikan nilai awal dari setiap xi (i=1 s/d n)
x1 
1
b1  a12 x 2  a13 x3  ....  a1n x n 
a11
1
b2  a 21 x1  a 23 x3  ....  a 2 n x n 
x2 
a 22
...............................................................
1
bn  a n1 x1  a n 2 x 2  ....  a nn1 x n 1 
xn 
a nn
PENS-ITS
Metode Numerik
Metode Iterasi Gauss-Seidel
• Dengan menghitung nilai-nilai xi (i=1 s/d n) menggunakan
persamaan-persamaan di atas secara terus-menerus hingga
nilai untuk setiap xi (i=1 s/d n) sudah sama dengan nilai xi
pada iterasi sebelumnya maka diperoleh penyelesaian dari
SPL tersebut.
• Atau dengan kata lain proses iterasi dihentikan bila selisih
nilai xi (i=1 s/d n) dengan nilai xi pada iterasi sebelumnya
kurang dari nilai tolerasi error yang ditentukan.
• Untuk mengecek kekonvergenan
PENS-ITS
Metode Numerik
Syarat Konvergen
• Syarat agar konvergen adalah sistem dominan secara diagonal
aii 
• Contoh SPL berikut:
n
a
j 1, j  i
ij
3x1  x2  x3  1
2 x1  4 x2  x3  5
 x1  5 x2  8 x3  5
• Dominan secara diagonal karena
| 3 | > | 1 | + | -1 |
|4|>|2| +|1|
| 8 | > | -1 | + | 5 |
Sehingga pasti konvergen
PENS-ITS
Metode Numerik
Algoritma Metode Iterasi
Gauss-Seidel
PENS-ITS
Metode Numerik
Contoh
• Selesaikan SPL di bawah ini menggunakan metode
iterasi Gauss-Seidel x1  x2  5
2 x1  4 x2  14
• Berikan nilai awal : x1 = 0 dan x2 = 0
• Susun persamaan menjadi:
x1  5  x 2
(5,0)
(5,1)
(4,1)
(4,3/2)
(7/2,3/2)
(7/2,7/4)
PENS-ITS
x2 
1
14  2 x1 
4
Metode Numerik
Contoh
(13/4,7/4)
(13/4, 15/8)
(25/8, 15/8)
(25/8, 31/16)
(49/16, 31/16)
(49/16, 63/32)
(97/32, 63/32)
(97/32, 127/64)
PENS-ITS
Metode Numerik
Contoh :
• Selesaikan sistem persamaan berikut:
x1  x 2  x3  6
x1  2 x 2  x3  2
2 x1  x 2  2 x3  10
• Augmented matrik dari persamaan linier simultan tersebut :
1 1 1 6 
1 2  1 2 


2 1 2 10
PENS-ITS
Metode Numerik
Hasil Divergen
PENS-ITS
Metode Numerik
Hasil Konvergen
2 x1  x 2  2 x3  10
x1  2 x 2  x3  2
x1  x 2  x3  6
PENS-ITS
Metode Numerik
Contoh Penyelesaian Permasalahan
Persamaan Linier Simultan
•
Mr.X membuat 2 macam boneka A dan B. Boneka A memerlukan bahan 10 blok
B1 dan 2 blok B2, sedangkan boneka B memerlukan bahan 5 blok B1 dan 6 blok
B2. Berapa jumlah boneka yang dapat dihasilkan bila tersedia 80 blok bahan B1
dan 36 blok bahan B2.
•
•
Model Sistem Persamaan Linier :
Variabel yang dicari adalah jumlah boneka, anggap:
x1 adalah jumlah boneka A
x2 adalah jumlah boneka B
Perhatikan dari pemakaian bahan :
B1: 10 bahan untuk boneka A + 5 bahan untuk boneka B = 80
B2: 2 bahan untuk boneka A + 6 bahan untuk boneka B = 36
•
•
Diperoleh model sistem persamaan linier
10 x1 + 5 x2 = 80
2 x1 + 6 x2 = 36
PENS-ITS
Metode Numerik
Contoh
•
metode eliminasi Gauss-Jordan
•
Diperoleh x1 = 6 dan x2 = 4, artinya bahan yang tersedia dapat dibuat 6
boneka A dan 4 boneka B.
PENS-ITS
Metode Numerik
Contoh :Penghalusan Kurva Dengan Fungsi
Pendekatan Polinomial
• Perhatikan bahwa pada ke-4 titik tersebut dihubungkan dengan garis lurus,
sehingga tampak kasar. Untuk menghaluskannya dilakukan pendekatan garis
dengan kurva yang dibentuk dengan fungsi pendekatan polinomial. Dari
fungsi polinomial yang dihasilkan kurva dapat digambarkan dengan lebih
halus.
3
4
2
1
PENS-ITS
Metode Numerik
Contoh 2 :
• Misalkan pada contoh diatas, 4 titik yang ditunjuk adalah
(2,3), (7,6), (8,14) dan (12,10). 4 titik ini dapat didekati
dengan fungsi polinom pangkat 3 yaitu :
• Bila nilai x dan y dari 4 titik dimasukkan ke dalam persamaan
di atas akan diperoleh model persamaan simultan sebagai
berikut :
• Titik 1
 3=8a+4b+2c+d
• Titik 2
 6 = 343 a + 49 b + 7 c + d
• Titik 3
 14 = 512 a + 64 b + 8 c + d
• Titik 4
 10 = 1728 a + 144 b + 12 c + d
PENS-ITS
Metode Numerik
•
Dengan menggunakan Metode Eliminasi Gauss-Jordan
a = -0,303
b = 6,39
c = -36,59
d = 53,04
y = -0,303 x3 + 6,39
x2 – 36,59 x + 53,04
PENS-ITS
Metode Numerik
Latihan Soal
• Selesaikan dg Eliminasi Gauss, Eliminasi Gauss
Jordan dan Iterasi Gauss Seidel
1.0001x1  1.5 x2  0
6.122 x1  1500.5 x2  1506.622
2 x1  3x2  1
2000 x1  3x2  2003
x1  x2  2 x3  8
 x1  2 x2  3x3  1
3x1  7 x2  4 x3  10
2.51x1  1.48 x2  4.53x3  0.05
8 x1  x2  3x3  2 x4  0
1.48 x1  0.93x2  1.3x3  1.03
2 x1  9 x2  x3  2 x4  1
2.68 x1  3.04 x2  1.48 x3  0.53
x1  3x2  2 x3  x4  2
x1  6 x3  4 x4  3
PENS-ITS