DERET FOURIER [Compatibility Mode]

DERET FOURIER
PENDAHULUAN
Dalam bab ini akan dibahas pernyataan deret dari suatu fungsi
periodik. Jenis fungsi ini menarik karena sering muncul dalam
berbagai persoalan fisika, seperti getaran mekanik, arus listrik
bolak-balik (AC), gelombang bunyi, gelombang Elektromagnet,
hantaran panas, dsb.
Sama halnya seperti pada uraian deret Taylor, fungsi-fungsi
periodik yang rumit dapat dianalisis secara sederhana dengan
cara menguraikannya ke dalam suatu deret fungsi periodik
sederhana yang dibangun oleh fungsi sin x dan cos x atau
fungsi eksponensial eix. Uraian deret fungsi periodik ini disebut
uraian deret Fourier. Penamaan ini untuk menghargai jasa
matematikawan Perancis Joseph Fourier, yang pertama kali
merumuskan deret ini dalam sebuah makalah mengenai
hantaran panas, yang dilaporkannya kepada akademi ilmu
pengetahuan Perancis pada tahun 1807.
FUNGSI PERIODIK
Definisi 1:
Sebuah fungsi f(x) dikatakan periodic dengan periode T > 0, jika
berlaku:
f(x + T) = f(x)
untuk samua x.
catatan:
Jika T adalah periode terkecil, maka T disebut periode dasar, dan
selang a < x < a + T , dimana a sebuah konstanta, disebut
selang dasar fungsi periodik f(x). Untuk selanjutnya sebutan
periode dimaksudkan bagi periode dasar ini.
Konstanta a pada selang dasar dapat dipilih sembarang, berharga
nol atau negatif. Pilihan a = - T/2 sering digunakan untuk
memberikan selang dasar yang simetris terhadap x = 0, yakni
selang – T/2 < x < T/2.
Contoh fungsi periodik yang paling sederhana adalah fungsi sin x
dan cos x, karena:
sin (x ±2π) = sin x
dan
cos (x ±2π) = cos x
Yang menunjukkan bahwa keduanya memiliki periode T = 2π.
Dalam hal ini x adalah variabel sudut dengan satuan radian atau
derajad. Bila x bukan merupakan variabel sudut, maka x harus
dikalikan dengan suatu faktor alih p, sehingga berdimensi sudut.
Jadi satuan p adalah:
[ satuan p ] =
[ radian ]
[ Satuan x]
Misalkan x berdimensi panjang, dengan satuan meter (m), maka
satuan p = rad/m. Dengan demikian pernyataan fungsi Sin dan
Cos yang bersangkutan menjadi:
sin x sin px ; cos x cos px
Jadi translasi sudut sebesar satu periode T = 2π dapat dialihkan
ke translasi variabel x sejauh + T, dengan syarat:
px ± 2π = p ( x ± T )
Hubungan ini mengaitkan p dengan T melalui hubungan:
2π
p=
T
Dengan pernyataan faktor alih ini, sifat periodik fungsi sin px dan
cos px diberikan oleh hubungan:
sin px = sin p ( x ± T ); cos px = cos p ( x ± T )
Yang memperlihatkan bahwa sin px dan cos px adalah periodik
dengan periode T. Khusus dalam hal T = 2π, maka p = 1.
Salah satu contoh sederhana benda bermassa m yang
digantungkan pada ujung sebuah pegas dengan tetapan pegas k.
k
titik kesetimbangan
Jika benda ditarik sejauh A dari kedudukan setimbangnya, kemudian
dilepaskan, benda tersebut akan bergerak secara harmonik
sederhana akibat adanya gaya pemulih yang arahnya selalu
berlawanan dengan arah simpangan benda. Simpangan vertikal
benda y(t) setiap saat t berubah-ubah dari kedudukan
setimbangnya, menurut persamaan:
Besaran A dan ω berturut-turut adalah amplitudo dan frekuensi
sudut getaran, sedangkan adalah fase getaran, dengan Φ0 sebagai
fase awalnya, yang berdimensi sudut.
Jika T adalah periode atau waktu getar (waktu yang diperlukan
benda untuk melakukan satu kali getaran) yang diukur dalam satuan
detik, maka , bersatuan (rad/s). Dengan demikian ω merupakan
faktor alih (p) yang membuat ωt berdimensi sudut.
DERET FOURIER
Andaikan f(x) adalah sebuah fungsi periodik dengan periode T yang
terdefinisikan dalam selang dasar a < x < a + T, yakni f(x) = f (x + T),
maka fungsi f(x) dapat diuraikan dalam deret Fourier sebagai berikut:
Dengan koefisien-koefisien a0, an, dan bn yang disebut
sebagai koefisien-koefisien Fourier, ditentukan oleh fungsi f(x)
melalui hubungan integaral:
1
a0 =
L
1
an =
L
1
bn =
L
a+
+T
T
∫ f ( x)dx
a
a +T
∫
a
a +T
∫
a
nπx
f ( x) cos
dx
L
nπx
f ( x) sin
dx
L
dengan T = periode dan
L=½T
Contoh 1.
Diketahui fungsi f(x) sebagai berikut:
1
f ( x) = 
0
−π < x < 0
0< x <π
Periodik dengan periode 2π sehingga f(x + 2π) = f(x)
Nyatakan fungsi ini dalam uraian deret Fourier !!!
Pemecahan:
Menurut definisi fungsi periodik, periode fungsi f(x) di atas adalah T
= 2π, dengan demikian L = ½ T = π, selang dasarnya –π < x < π,
jadi a = - π. Di luar selang ini, f(x) didefinisikan sebagai perluasan
selang dasar ke arah kiri dan kanan sumbu x, seperti terlihat pada
Gambar 1.
f(x)
x
-5π
-4π -3π -2π
-π
π
Gambar 1
2π
3π
4π
5π
Koefisien-koefisien Fourier dapat dicari sebagai berikut:
1
a0 =
L
a0 =
1
π
1
an =
L
a +T
∫
a
0
π
0
π


1
1
f ( x)dx = ∫ f ( x)dx =  ∫ (1)dx + ∫ (0)dx 
π −π
π −π
0

0
1
∫π dx = π ( x)
−
a +T
∫
a
−π
π
= =1
π
nπx
1
f ( x) cos
dx =
π
L
π
nπx
∫−π f ( x) cos L dx
0
π

 1
1
a n =  ∫ (1). cos nx.dx + ∫ (0) cos nxdx  =
π −π
0
 π
0
0
∫π cos nx.dx
−
1 1
1

(sin 0 + sin nπ ) = 0
a n =  sin nx  =
π n
 −π nπ
1
bn =
L
a +T
∫
a
n πx
1
f ( x ) sin
dx =
L
π
π
∫
−π
n πx
f ( x ) sin
dx
L
π
0
 1
1
b n =  ∫ (1). sin nx .dx + ∫ ( 0 ) sin nxdx  =
π  −π
0
 π
0
∫π sin nx .dx
−
0
1 1
1
1

(cos 0 − cos( − nπ ) ) = − (1 − ( −1) n )
b n =  − cos nx  = −
π n
nπ
nπ
 −π
bn =
{
− 2 / n π , n ganjil
0
, n genap .
Dengan demikian, uraian Fourier untuk fungsi f(x) pada contoh ini adalah:
a0 ∞ 
nπx
nπx 
f ( x) =
+ ∑  a n cos
+ bn sin
, a n = 0
2 n =1 
L
L 
1 ∞
2
nπx
f ( x) = + ∑ −
sin
2 n =1 nπ
π
ganjil
f ( x) =
1 2
1
1

+  − sin x − sin 3x − sin 5 x − L
2 π
3
5

f ( x) =
1 2
1
1

−  sin x + sin 3x + sin 5 x + L
2 π
3
5

Contoh 2.
Diketahui fungsi f(x) sebagai berikut:
f (x) =
{
1,
0<x<1
0,
1<x
<x<2
Periodik dengn periode 2 sehingga f (x + 2) = f(x)
Uraikan fungsi ini dalam uraian deret Fourier.
Pemecahan:
Periode T = 2, sehingga L = ½ T = 1. selang dasarnya 0 < x < 2, jadi a = 0.
Perluasan f(x) dalam daerah kiri dan kanan sumbu x dapat dilihat
dalam Gambar 2.
f(x)
x
-6
-5
-4
-3
-2
-1 0
1
Gambar 2
2
3
4
5
6
Koefisien-koefisien Fouriernya dapat dicari sebagai berikut:
1
a0 =
L
a +T
∫
a
2
2
1

1
f ( x)dx = ∫ f ( x)dx =1∫ (1)dx + ∫ (0)dx 
10
1
0

1
a 0 = ∫ dx = ( x) 0 = 1
1
0
1
an =
L
a +T
∫
a
nπx
1
nπx
f ( x) cos
dx = ∫ f ( x) cos
dx
L
10
1
2
2
1
 1
a n = ∫ (1). cos nπx.dx + ∫ (0) cos nπxdx = ∫ cos nπx.dx
1
0
 0
1
1
1
(sin nx ) = (sin nπ − sin 0) = 0
an =
nπ
nπ
0
1
bn =
L
a +T
∫
a
1
nπx
nπx
dx = ∫ f ( x) sin
dx
f ( x) sin
10
1
L
2
2
1
 1
bn = ∫ (1). sin nx.dx + ∫ (0) sin nxdx  = ∫ sin nπx.dx
1
0
 0
1
1
(cos nπx ) = − 1 (cos nπ − cos 0) = − 1 ((−1) n − 1)
bn = −
nπ
nπ
nπ
0
 n2π
bn = 
0
, n ganjil
, n genap .
Dengan demikian, uraian Fourier untuk fungsi f(x) pada contoh ini adalah:
∞
a0
2
f ( x) =
sin nπx
+∑
2 n =1 nπ
ganjil
f ( x) =
1 2
2
2

sin 3π x +
sin 5πx + L
+  sin πx +
2 π
3π
5π

1 2
1
1

f ( x) = +  sin πx + sin 3π x + sin 5πx + L
2 π
3
5

SYARAT DIRICHLET
•
Persyaratan sebuah fungsi f(x) agar dapat diuraikan
dalam deret Forier ditentukan oleh syarat Dirichlet
berikut:
Jika:
1. f(x) periodik dengan periode T
2. Bernilai tunggal serta kontinu bagian demi bagian dalam
selang dasarnya; a < x < a + T, dan
a +T
3.
f ( x) dx nilainya berhingga.
∫
a
Maka deret Fourier di ruas kanan konvergen ke nilai,
a. f(x) di semua titik kekontinuan f(x) dan
1
b. {lim f ( x0− ) + lim f ( x0+ )} di setiap titik ketakkontinuan x0 (pada
2
daerah lompatan).
Soal
Pada contoh 2 di atas (Perhatikan Gambar 2!); Tentukanlah konvergen
ke nilai berapa deret Fourier di titik-titik kekontinuan
1 3 3 −5
x= , , ,
2 2 4 2
dan di titik-titik ketakkontinuan x = 0, 1, 2, 3.
FUNGSI GANJIL DAN FUNGSI GENAP
Perhitungan koefisien-koefisien Fourier sering kali dipermudah,
jika fungsi f(x) yang diuraikan memiliki sifat istimewa tertentu,
yakni genap atau ganjil terhadap sumbu x = 0 (sumbu f(x)).
Keduanya didefinisikan sebagai berikut:
Definisi 2.
Sebuah fungsi f(x) adalah:
genap, jika berlaku f(-x) = f(x)
ganjil, jika berlaku f(-x) = - f(x)
untuk semua x dalam daerah definisi f(x).
Contoh
Fungsi x2 dan cos x adalah fungsi genap, karena (-x)2 = x2
dan cos (-x) = cos x. Sedangkan fungsi x dan sin x adalah
fungsi ganjil, karena (-x) = -(x) dan sin (-x) = - sin (x). Pada
umumnya fungsi pangkat genap dari x (x2, x4, x6 , . . .)
merupakan fungsi genap dan fungsi pangkat ganjil dari x (x,
x3, x5, . . .) merupakan fungsi ganjil. Dengan definisi di atas
dapat dicari contoh-contoh lain dari kedua fungsi ini.
Untuk menentukan koefisien-koefisien Fourier a0, an, dan bn dari
fungsi periodik genap dan ganjil ini dipergunakan perumusan
berikut:
 a0 = 2 ∫ f ( x ) dx
 L0


Jika f ( x) genap : 
L
2
nπx
a
=
f
(
x
)
cos
dx
 n L∫
L
0

 bn =0
L
Dalam hal ini dikatakan f(x) teruraikan dalam deret kosinus (karena
bn = 0).
Jika
 a0 = 0


 an =0
f ( x ) ganjil : 


L
 b n = 2 ∫ f ( x ) sin n π x dx
L
 L0
Dalam hal ini, f(x) dikatakan teruraikan dalam deret sinus (karena
an = 0).
Seperti sebelumnya
L = ½ T = ½ periode
Contoh 3.
Diketahi fungsi:
1
1
f ( x) = x , − < x <
2
2
2
Periodik dengan periode 1, sehingga f(x + 1) = f(x).
Nyatakan fungsi tersebut dalam deret Fourier.
Pemecahan
Fungsi f(x) = x2 adalah suatu fungsi genap
T = 1, sehingga L = ½ T = ½ , akan teruraikan dalam deret kosinus.
bn = 0, a0 dan an dapat ditentukan sebagai berikut:
L
a0 =
2
2
f
x
dx
=
(
)
L ∫0
1
 
2
1/ 2
1/ 2
41 1
1 3
2
x
dx
=
x
=
4


 =
∫0
38 6
3 0
2
nπx
2
nπx
2
an = ∫ f ( x) cos
dx =
x
cos
dx
∫
L0
L
L
1 0
 
 2
L
1/ 2
1/ 2
an = 4 ∫ x2 cos2nπxdx
0
1/ 2
 2 1

1
2
an = 4x
cos2nπx + 2x
cos2nπx −
sin 2nπx
2
2
(2nπ )
(2nπ )
 2nπ
0
 1

π
an = 4
cos
n

2
(2nπ )

1 (−1)n 
an = 2  2 
π  n 
Dengan demikian pernyataan deret Fourier untuk fungsi f(x) = x2
dengan selang dasar -½ < x < ½ adalah:
a0 ∞
nπx
f ( x) =
+ ∑ a n cos
,
2 n =1
1/ 2
1
1
f ( x) =
+ 2
12 π
bn = 0
(−1) n
cos 2nπx
∑
2
n =1 n
∞
2πx
4πx
6πx


−
cos
−
cos
−
cos
−
L


2
2
2
1
2
3


1
1 
2πx
4πx
6πx

f ( x) =
− 2 cos 2 + cos 2 + cos 2 + L
12 π 
1
2
3

1
1
f ( x) =
+ 2
12 π
Latihan
Diketahui fungsi:
f ( x) = x
; −
π
2
<x<
π
2
Periodik dengan periode π, sehingga f (x + π) =
f(x).
Nyatakan fungsi tersebut dalam deret Fourier.
DERET FOURIER JANGKAUAN
JANGKAUAN SETENGAH
•
Dalam suatu persoalan fisika, fungsi f(x) mungkin hanya
terdefinisikan dalam suatu selang positif; 0 < x < l. Oleh karena
itu seringkali perlu untuk memperluasnya ke seluruh sunbu x,
baik ke arah sumbu x positif maupun ke arah sumbu x negatif.
Dalam hal ini ada 3 pilihan yang dapat dilakukan sebagai berikut:
1) Fungsi f(x) diperluas menjadi fungsi periodik tidak ganjil – tidak
genap (seperti pada contoh 1) dengan periode T = l; dan selang
dasarnya 0 < x < l, dengan l sembarang positif.
2) Selang dasar 0 < x < l diperluas ke selang negatif secara simetris
terhadap sumbu x = 0 menjadi – l < x < l, dan fungsi f(x)
diperluas menjadi fungsi periodik dengan periode T = 2l.
•
Dalam hal ini kita mempunyai dua pilihan yakni memperluas
fungsi f(x) sebagai fungsi genap fc(x) atau fungsi ganjil fs(x).
Contoh
Diketahui sebuah fungsi yang terdefinisi pada setengah daerah:
f(x)
x
f ( x) = 
1
0< x <1
Sket:
1
1< x < 2
x
0
1
2
Nyatakan fungsi ini dalam:
a. deret Fourier fungsi kosinus (fungsi genap)
b. deret Fourier fungsi sinus (fungsi ganjil)
c. deret Fourier fungsi kosinus – sinus (fungsi tidak genap–tidak ganjil).
Pemecahan:
(a) Pernyataan fungsi dalam deret Fourier kosinus
(fungsi genap)
Untuk membentuk fungsi genap, maka selang dasar (0 < x < 2) di atas
diperluas ke selang negatif menjadi (-2 < x < 2), dan fungsi f(x) diperluas
menjadi fungsi periodik genap {f(-x) = f(x)} dengan periode
T = 4 (L = 2) seperti ditunjukkan pada gambar berikut:
fc(x)
x
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
Untuk fungsi genap ini bn = 0, a0 = dan an ditentukan sebagai berikut:
1
2
L
  1 2 1
2
2
2
 3
a n = ∫ f ( x)dx = ∫ xdx + ∫ (1)dx  =  x + x 1  =
2 0
L0
 2
1
  2 0
L
1
2
2
2
2
nπx
nπx
nπx
nπx 
a n = ∫ f ( x) cos
dx = ∫ x cos
dx + ∫ (1) cos
dx + ∫ (1) cos
dx 
2 0
2
2
2
L0
L
1
1

1
2
 2
4
nπx
nπx 
nπx 
 2
sin
cos
sin
an = x
+
+



2
2
2
2
n
n
π
π
π
(
n
)

1

0
nπx 

cos
− 1
2 
2
( nπ ) 

4
2
4
a1 = − 2 , a 2 = − 2 , a3 = − 2 , a1 = 0, dst
π
π
9π
an =
4
Maka diperoleh uraian deret Forier kosinus untuk f(x), sebagai berikut:
a0 ∞
nπx
f ( x) =
+ ∑ a n cos
, bn = 0
2 n =1
L
f ( x) =
3 4 1
2πx 1
3πx
πx 1

− 2  cos + cos
+ cos
+ L
4 π 1
2 2
2
9
2

(b) Pernyataan fungsi dalam deret Fourier sinus
(fungsi ganjil)
Untuk membentuk fungsi ganjil, maka selang dasar (0 < x < 2)
di atas diperluas ke selang negatif menjadi (-2 < x < 2), dan fungsi f(x)
diperluas menjadi fungsi periodik ganjil {f(-x) = -f(x)} dengan
periode T = 4 ( L = 2) seperti ditunjukkan pada gambar berikut:
f(x)
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
x
5
6
Untuk fungsi ganjil ini a0 = 0, an = 0, dan bn ditentukan sebagai berikut:
L
1
2
2
nπx
2
nπx
nπx 
bn = ∫ f ( x) sin
dx = ∫ x sin
dx + ∫ (1) sin
dx 
L0
L
2 0
2
2
1

1
2

nπx
nπx 
nπx 
2
4
 2
bn = − x
cos
cos
cos
+
+
−



2
n
2
2
n
2
π
π
(
n
)
π

1

0
 4

nπx 2
bn = 
sin
cos
n
π
−

2
π
2
n
π
(
n
)


1
1
 4 + 2π 
 4 + 6π 
b1 = 
,
b
=
−
,
b
=
−
,
b
=
−
, dst



2
3
2
2
2
2
π
π
9
π
π




Maka diperoleh uraian deret Fourier sinus untuk f(x), sebagai berikut:
f ( x) = ∑ bn sin
nπx
, a0 = 0, a n = 0
L
 4 + 2π
f ( x) = 
2
 π
2πx  4 + 6π
 πx 1
−
−
sin
sin

2 π
2  9π 2

∞
n −1

 3πx
+
sin
L


2


(c) Pernyataan fungsi dalam deret Fourier sinus-cosinus
(fungsi tidak ganjil-tidak genap)
untuk membentuk fungsi periodik ini, tinggal memperluas f(x) ke kiri
dan ke kanan sumbu x dengan periode T=2 (L=1)
seperti pada gambar berikut :
f(x)
1
x
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
Koefisien-koefisien Fourier ao, an, dan bn dapat ditentukan sebagai
berikut :
1
ao =
L
T
1
an =
L
T
∫
0
∫
0
1
f ( x ) dx =  ∫ x dx +
1 0
1
1
nπx
1
f ( x ) cos
dx =  ∫ x cos n π x dx +
L
1 0
 1
1
= x
sin n π x +
(n π
 nπ
=
1
 1 2
dx
(
1
)
= x
∫1
 2
2
(n π )2
)2

cos n π x 

1
0
1
0
+x
2
1
=
3
2

(
1
)
cos
n
π
xdx

∫1

2
 1

+
sin n π x 
 nπ

2
1
n
1  (− 1 ) − 1 
−2
(cos n π − 1) = 2 
=
, n ganjil

2
2
2
π  n
 n π
= 0,
n genap
1
bn =
L
T
∫
0
1
2

1
f ( x ) sin n πx dx =  ∫ x sin n π x dx + ∫ (1) sin n πxdx 
1 0
1



1
1
= − x
cos n π x +
sin n π x 
2
nπ
(n π )


1
=−
cos 2 n π
nπ
1
=−
nπ
1
0
 1

+ −
cos n πx 
 nπ

Sehingga pernyataan deret Fouriernya adalah :
∞
∞
3
2
 1

f ( x) = + ∑ (− 2 2 cos nπx) + ∑  −
sin nπx 
4 n =1
nπ
nπ

n =1 
ganjil
2
1
DERET FOURIER EKSPONENSIAL
Pernyataan deret Fourier suatu fungsi periodik dapat pula
dibangun dari fungsi eksponensial, dengan menggunakan
hubungan Euler sbb :
e
±i
nπx
L
nπx
nπx
= cos
± i sin
,
L
L
i2 = − 1
dengan menyisipkan :
nπx e
cos
=
L
i
nπx
L
+e
2
−i
nπx
L
dan
nπx e
sin
=
L
i
nπx
L
−e
2i
−i
nπx
L
ke dalam pernyataan deret Fourier dari suatu fungsi periodik,
sbb :
∞
a0
nπx
nπx
f ( x) =
+ ∑ (a n cos
+ bn sin
)
2 n =1
L
L
didapat :
nπx
nπx
i
−i

∞
e L +e L
a0
f ( x ) = + ∑ an 
2 n =1 
2

(
a0
an − ibn )
f (x ) = + ∑
e
2 n =1
2
∞
i
nπx
−i
 ∞  i nLπx

e
−e L
 + ∑ bn 
2i
 n =1 


nπx
L
∞
+∑
n =1
(an + ibn ) e
2
−i





nπx
L
a0 ∞ (an − ibn ) i
f (x ) = + ∑
e
2 n=1
2
nπx
L
+
−1
∑
(a−n + ib−n ) ei nLπx
n =−∞
2
Indeks jumlah n pada deret ke dua telah dinamakan ulang
dengan –n. Jika didefinisikan :
(a− n + ib− n ) / 2, n < 0

Cn =  a0 / 2
, n=0
 (a − ib ) / 2 , n > 0
n
 n
maka didapat pernyataan fungsi periodik dalam deret Fourier
eksponensial sbb :
f (x ) =
∞
∑C
n = −∞
n
e
i
nπx
L
Koefisien Cn dapat dicari dengan persamaan integral berikut :
C0 =
1
T
a +T
∫ f (x ) dx
a
dan
1
Cn =
T
a +T
∫ f ( x )e
a
−i
nπx
L
dx
Contoh 7
Tentukan pernyataan Fourier Eksponensial dari fungsi periodik
pada contoh 1 !
Pemecahan :
Fungsi periodik pada contoh 1 adalah :
1, − π < x < 0
f ( x) = 
0, 0 < x < π
Berarti T = 2π dan a = π.
Koefisien-koefisien Fourier eksponensial ditentukan sebagai berikut :
1
Co =
T
a +T
∫
a
1
=
2π
1
Cn =
T
=
1
2π
1
f ( x)dx =
2π
0
∫ dx =
−π
f ( x )e
−inπx
L
a
0
∫π
e −inx dx =
−
 niπ ,
=
 0,
0
π

1 
∫−π f ( x)dx = 2π −∫π (1)dx + ∫0 (0)dx
π
1 0
1
x −π =
=
2π
2π 2
a +T
∫
π
n ganjil
n genap
−inπx
0
π
1 
dx =
 ∫ (1) e π dx + ∫ (0)e
2π −π
0
1
2π
0
− inπx
π

dx 

1
 1 −inx 
(1 − cos nπ )
e
=


 − in
 −π 2nπ
Maka diperoleh uraian deret Fourier eksponensial sebagai
berikut :
f ( x) =
10
inx
C
e
∑ n
n = −10
=
1 i
+
2 π
1 −5ix 1 −3ix −ix ix 1 3ix 1 5ix


...
−
e
−
e
−
e
+
e
+
e
+
e
+
...


5
3
3
5


Untuk membandingkan hasil ini dengan hasil yang diperoleh
pada Contoh 1, maka kita gunakan kembali hubungan Euler di
atas :
f ( x) =
(
) (
(
)
) (
1 1  e ix − e −ix 1  e 3ix − e −3ix
= − 
+ 
i
i
2 π
3
=
)
1 i  ix
1
1

+  e − e −ix + e 3ix − e −3ix + e 5ix − e −5ix + .......... 
2 π
3
5

 1  e 5ix − e −5ix
 + 
i
 5
1 1  2 sin x 2 sin 3x 2 sin 5 x

− 
+
+
+ .......... 
2 π 1
3
5

1 2  sin x sin 3x sin 5 x

= − 
+
+
+ .......... 
2 π 1
3
5

Persis sama seperti hasil pada contoh 1.


 + .......... 



IDENTITAS PARSEVAL
Sekarang akan dicari bagaimana hubungan antara harga rata-rata
kuadrat fungsi f(x) dalam selang dasarnya dengan koefisienkoefisien Fourier. Hasilnya dikenal sebagai identitas Parseval
atau hubungan kelengkapan (Completeness Relation) yang
bentuknya bergantung pada rumusan pernyataan deret Fourier
yang digunakan.
Untuk deret Fourier yang diuraikan dalam bentuk :
ao 10
nπx 10
nπx
f ( x ) = + ∑ an cos
+ ∑ bn sin
2 n =1
L n =1
L
Jika fungsi pada ruas kiri dan ruas kanan dikuadratkan, maka
akan diperoleh :
nπx ∞
nπx 
 ao   ∞
f ( x) =   +  ∑ an cos
+ ∑ bn sin

L n =1
L 
 2   n =1
2
2
2
nπx
mπx
nπx mπx
nπx mπx 
2
 ao  ∞ ∞ 
cos
+ 2anbm cos
sin
+ bnbm sin
sin
f (x) =   + ∑∑ anam cos

2
L
L
L
L
L
L

  n=1 m=1 
2
Kemudian jika dicari rata-rata kuadrat pada selang dasarnya,
dengan cara mengintegrasi ruas kiri dan kanan, maka didapat :
1
T
a +T
∫
a
1
f ( x) dx =
T
2
a +T
∫
a
2
1 ∞ ∞
 ao 
  dx + ∑∑
T n =1 m =1
2
a +T
∫
a
1 ∞ ∞
∑∑
T n =1 m =1
a +T
1 ∞ ∞
∑∑
T n =1 m =1
a +T
∫
a
∫
a
nπx
mπx 

a
a
cos
cos
 n m
+
L
L 

nπx
mπx 

2
a
b
cos
sin
 n m
+
L
L 

nπx
mπx 

sin
 bnbm sin

L
L 

atau
1
T
a +T
∫
a
2
1  a0 
1 ∞ ∞ 
2 T
 1 ∞ ∞
f ( x) dx =   (T ) + ∑∑  an am
δ mn  + ∑∑ (0) +
T 2
2
T n=1 m=1 
 T n=1 m=1
2
1 ∞ ∞ 
2 T

b
b
δ
∑∑  n m 2 mn 
T n=1 m=1 
maka bentuk hubungannya adalah sebagai berikut :
1
T
a +T
∫
a
2

2
2
2
 ao  1 ∞

f ( x) dx =   + ∑ an + bn 
 2  2 n =1

Ruas kiri adalah harga rata-rata kuadrat fungsi f(x) dalam
selang dasarnya a < x < a + T, sedangkan ruas kanan adalah
jumlah kuadrat semua koefisien Fourier.
Untuk uraian deret Fourier eksponensial,
f ( x) =
∞
∑C e
n =−∞
inπx
L
n
maka bentuk hubungannya adalah sebagai berikut :
1
T
a +T
∫ f ( x)
a
2
dx =
∞
∑C
n = −∞
2
n
Secara fisis, jika f(x) merupakan fungsi periodik dari suatu besaran
fisika, misalnya simpangan getaran mekanik (system pegas), maka
untuk x = t adalah variabel waktu, maka pernyataan :
T
1
p =
T
2
∫
−T
2
f (t ) dt
2
Menyatakan daya rata-rata (Joule/s) dari getaran tersebut
dalam suatu periode T. Dengan demikian identitas Paseval,
mengaitkan daya rata-rata dengan separuh jumlah kuadrat
amplitudo setiap harmonik penyusun periodik.
Secara matematik, ruas kiri dari identitas Parseval memberikan
jumlah deret bilangan diruas kanannya, seperti pada contoh
berikut :
Contoh 8
Gunakan identitas Paseval untuk mencari jumlah deret bilangan
yang bersangkutan dengan uraian deret Fourier dari fungsi f(x)
pada contoh 4.
Pemecahan
Pada contoh 4, f(x) = x2 dengan periode 1 dan selang dasarnya
adalah
1
1
− <x<
2
2
memiliki uraian deret Fourier dengan koefisien-koefisien
sebagai berikut :
n
1
1  (− 1) 
ao = , an = 2  2 
6
π  n 
n = 1, 2, 3........, bn = 0
Harga rata-rata kuadrat dari f(x) = x2 ditentukan sebagai berikut :
1
2
1
2
1
2
1 1
1  1
=  + =
5  32 32  80
1
1 5
2 2
4
x dx = ∫ x dx = x
∫
1 1
5
1
−
2
−
2
−
1
2
Menurut identitas Paseval, nilai rata-rata kuadrat ini sama dengan
 ao 2 1 ∞
2
2 

(
a
b
)
+
+
 

∑
n
n
 2  2 n =1

sehingga :
1
80
1
80
1
 1 2 1  ∞ 1 2  (− 1)4  2 
 

 
=   +  ∑  2   2  


 12  2  n =1  π   n  
1
1 1 ∞ 1
=
+
, atau
4 ∑ 4
144 2 π n =1 n
∞
1
1
1
1
= −
=
4 ∑ 4
2π n =1 n 80 144 180
Sehingga :
1 2π 4 π 4
=
=
∑
4
180 90
n =1 n
∞
atau
1
1
1
π4
1 + 4 + 4 + 4 + ..... =
2
3
4
90
Pemecahan
Pada contoh.4. f(x) = x2 dengan periode 1 dan selang dasarnya adalah
−
1
1
<x<
2
2
, memiliki uraian deret Fourier dengan koefisien-koefisien
sebagai berikut :
n
1
1  (− 1) 
ao = , an = 2  2 
6
π  n 
n = 1, 2, 3........, bn = 0
Harga rata-rata kuadrat dari f(x) = x2 ditentukan sebagai berikut :
1
1
1
2
∫x
−
1
2
2 2
1
2
1
2
1 1
1  1
=  + =
5  32 32  80
1 5
dx = ∫ x dx = x
5
1
4
−
2
−
1
2
Menurut identitas Paseval, nilai rata-rata kuadrat ini sama dengan
 a o  2 1 10
2
2 

(
a
b
)
+
+




∑
n
n
2
2
 

n =1
sehingga :
1
80
1
80
1
 1 2 1  10 1
 

=   +  ∑  2
 n =1  π
12
2




1
1 1 10 1
,
=
+
4 ∑ 4
144 2 π n =1 n
10



2
 (− 1)
 2
 n

atau
1
1
1
1
= −
=
4 ∑ 4
80 144 180
2π n =1 n
4




2




Sehingga :
1 2π 4 π 4
=
=
∑
4
180 90
n =1 n
r
atau
1
1
1 π4
1+ 4 + 4 + 4 =
90
2
3
4
Sambung Hal. 19 (Contoh 9)