Deret Fourier 1

KALKULUS 4
Dra. D. L. Crispina Pardede, DEA.
SARMAG TEKNIK MESIN
KALKULUS 4 - SILABUS
1. Deret Fourier
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
1.6.
Fungsi Periodik
Fungsi Genap dan Ganjil,
Deret Trigonometri,
Bentuk umum Deret Fourier,
Kondisi Dirichlet,
Deret Fourier sinus atau cosinus separuh jangkauan.
2. Integral Fourier
3. Fungsi Gamma dan Fungsi Beta
3.1.
3.2.
3.3.
Fungsi Gamma
Fungsi Beta
Penerapan fungsi Gamma dan fungsi Beta
4. Transformasi Laplace
4.1.
4.2.
4.3.
4.4.
Definisi dan sifat Transformasi Laplace
Invers dari transformasi Laplace
Teorema Konvolusi
Penerapan transformasi Laplace dalam penyelesaian P. D.
dengan syarat batas.
1.1. FUNGSI PERIODIK
Fungsi f (x) adalah periodik dengan periode T > 0,
jika berlaku
f (x + T) = f (x)
untuk semua harga x.
T
Fungsi Periodik dengan periode T.
1.1. Fungsi Periodik
Contoh:
Fungsi periodik yang cukup dikenal:
Fungsi Sinus
-π
π
T = 2π
1.1. Fungsi Periodik
Contoh:
Fungsi Cosinus
Gambarkan grafik fungsi cosinus
1.1. Fungsi Periodik
Fungsi Cosinus
-π
π
T = 2π
1.1. Fungsi Periodik
Contoh:
f(x) = sin nx
f(x) = tg x
f(x) = c
2
f(x) = 
− 1
Periode: …
Periode : …
Periode : …
, 0≤ x≤4
, -4< x < 0
,
Periode : .....
1.1. Fungsi Periodik
Bila Fungsi f (x) adalah periodik dengan periode
T > 0 dimana
f (x + T) = f (x)
…(1)
Berdasarkan (1)
f (x + 2T) = f ((x+T)+T)
= f (x+T)
= f (x)
Dapat disimpulkan
f (x+nT) = f (x)
1.1. Fungsi Periodik
Contoh:
Beberapa contoh fungsi periodik
T
T
T
T
1.1. Fungsi Periodik
Latihan:
Gambarkan diagram dari fungsi periodik berikut:
, 0≤x≤5
 3
1. f ( x ) = 
,
Periode : 10
− 3 , - 5 < x < 0
 sin x , 0 ≤ x ≤ π
2. f (x ) = 
, Periode : 2 π
, -π< x < 0
 0
x , 0 ≤ x ≤ 4
3. f ( x ) = 
,
Periode : 4
4 , 4 < x < 8
x 2 , 0 ≤ x ≤ 5
4. f (x ) = 
,
Periode : 1 0
 25 , 5 < x < 10
1.2. FUNGSI GENAP DAN GANJIL
Fungsi f (x) adalah FUNGSI GENAP jika
berlaku
f (- x ) = f (x)
Fungsi f (x) adalah FUNGSI GANJIL jika
berlaku
f (- x ) = - f (x)
1.2. Fungsi Genap dan Ganjil
Contoh:
Perhatikan fungsi f(x) = x
jika x = a , maka f(a) = a
jika x = -a , maka f(-a) = -a
berarti f(-a) = - a
= - f(a)
∴ Fungsi f(x) = x adalah fungsi ganjil.
1.2. Fungsi Genap dan Ganjil
Contoh:
Selidiki apakah fungsi berikut merupakan fungsi
genap atau fungsi ganjil
f(x) = 2x .
f(x) = x2 .
f(x) = x + 2.
1.2. Fungsi Genap dan Ganjil
Latihan:
Selidiki apakah fungsi berikut merupakan fungsi
genap atau fungsi ganjil
f(x) = x3 .
f(x) = x4 .
f(x) = 4x2 .
f(x) = sin x.
f(x) = cos x.
1.3. DERET TRIGONOMETRI
Deret trigonometri
a 0 + a1 cos x + b1 sin x + ... + a n cos nx + bn sin nx + ...
dapat dituliskan sebagai
∞
∞
n =1
∞
n =1
a 0 + ∑ a n cos nx + ∑ b n sin nx
= a 0 + ∑ (a n cos nx + b n sin nx )
n =1
di mana ai dan bi disebut sebagai koefisien.
1.3. Deret Trigonometri
Deret Fourier adalah deret trigonometri
∞
∞
n =1
∞
n =1
a 0 + ∑ a n cos nx + ∑ b n sin nx
= a 0 + ∑ (a n cos nx + b n sin nx )
n =1
di mana koefisien ai dan bi memenuhi bentuk
tertentu.
1.4. DERET FOURIER
Misalkan,
fungsi f(x) tertentu dalam interval (-L, L)
dan di luar interval tersebut oleh f(x + 2L) = f(x).
Periode dari fungsi tersebut adalah 2L.
DERET FOURIER yang berkaitan dengan fungsi
tersebut dapat dinyatakan sebagai …
1.4. Deret Fourier
Deret Fourier:
dimana
cos
1.4. Deret Fourier
Untuk menentukan a0
1
a0 =
L
L
∫
-L
0πx
1
f(x) cos
dx =
L
L
L
∫ f(x)
cos 0 dx
-L
dengan demikian a0 dapat dinyatakan sebagai
1
a0 =
L
L
∫ f(x)
-L
dx
1.4. Deret Fourier
Jika f(x) mempunyai periode 2L,
maka koefisien Fourier an dan bn
dapat ditentukan serupa menggunakan persamaan
1
=
L
c + 2L
1
bn =
L
c + 2L
an
∫
c
∫
c
nπx
f(x) cos
dx
L
nπx
f(x) sin
dx
L
di mana c sembarang bilangan riil.
1.4. Deret Fourier
Contoh:
Gambar fungsi berikut dan berikan deret Fourier
yang berkaitan dengan fungsi tersebut.
0
f (x ) = 
5
, 0≤x≤4
, -4< x < 0
Jawab:
Periode = 8 ,
Periode : 8
2L = 8 L = 4
1.4. Deret Fourier
Jawab:
0
f (x ) = 
5
Periode = 8 , 0≤x≤4
, -4< x < 0
,
Periode : 8
2L = 8 L = 4.
5
-16
-12
-8
4
-4
0
8
12
16
X
1.4. Deret Fourier
Jawab:
0
f (x ) = 
5
, 0≤x≤4
, -4< x < 0
Periode = 8 Deret Fourier:
a0
f (x) =
+
2
∞
∑
n =1
,
Periode : 8
2L = 8 L = 4.
nπx
nπx
a n cos
+ b n sin
L
L
1.4. Deret Fourier
Jawab:
Deret Fourier, dengan L = 4
a0
+
f (x) =
2
∞
nπx
nπx
+ b n sin
a n cos
4
4
∑
n =1
dimana
an
1
=
4
1
bn =
4
4
∫
-4
4
∫
-4
nπx
f(x) cos
dx
4
nπx
f(x) sin
dx
4
1.4. Deret Fourier
Jawab:
an
1
=
4
1
=
4
1
=
4
5
=
4
4
∫
-4








0
∫
-4
nπx
f(x) cos
dx
4
0
∫
-4
0
∫
-4

nπx
nπx
5 cos
dx + ∫ 0 cos
dx 
4
4
0


=0
nπx
5 cos
dx 
4

4
0
nπx
5  4
nπx
cos
dx =
sin


4
4 nπ
4 −4
1.4. Deret Fourier
Jawab: a = 5  4 sin n π x 
n
4 nπ
0
4  −4
0
5 
nπx
=
 sin

nπ 
4  −4
5 
n π0
n π (-4) 
− sin
=
 sin

nπ 
4
4 
5
(sin 0 − sin (-n π) )
=
nπ
5
5
(0 − sin (-n π) ) =
(− sin (-n π) )
=
nπ
nπ
1.4. Deret Fourier
Jawab:
5
(− sin (-n π) )
an =
nπ
oleh karena
sin (- nπ) = - sin (n π)
5
maka a n =
sin (n π)
nπ
untuk sembarang n,
sin nπ = 0
5
jadi a n =
0=0
nπ
a 1 = a 2 = a 2 = ... = 0
1.4. Deret Fourier
Jawab:
1
a0 =
L
a0
1
=
4
L
∫ f(x)
dx
-L
4
∫ f(x)
dx
-4
0
4
0




1
1
 ∫ 5 dx + ∫ 0 dx  =  ∫ 5 dx 
=

 4 
4  - 4
0
 -4


1
5
5
0
(5 x )-4 = (0 − ( −4) ) = ( 4)
=
4
4
4
jadi a 0 = 5
1.4. Deret Fourier
Jawab:
1
bn =
4
1
=
4
1
=
4
5
=
4
4
∫
-4








0
∫
-4
nπx
f(x) sin
dx
4
0
∫
-4
0
∫
-4

nπx
nπx
5 sin
dx + ∫ 0 sin
dx 
4
4
0


nπx
5 sin
dx 
4

4
0
nπx
5  4 
n π x 
sin
dx =

 - cos
 
4
4 nπ 
4   −4
1.4. Deret Fourier
Jawab:
0
 4 
n π x 

 - cos
 
4   −4
nπ 
0
5 
nπx
=
 - cos

nπ 
4 −4
5
bn =
4
5
=
nπ

n π0
n π (-4)  

 - cos
−  - cos
 
4
4 


5
(- cos 0 + cos (-n π) )
=
nπ
5
=
nπ
( −1
+ cos (-n π) )
1.4. Deret Fourier
Jawab:
5
bn =
nπ
( −1
+ cos (-n π) )
oleh karena
cos (- nπ) = cos (n π)
5
( − 1 + cos (n π) )
maka b n =
nπ
bila n genap, cos nπ = 1
bila n ganjil, cos nπ = ( −1)
jadi b n = 0, untuk n genap
- 10
dan b n =
, untuk n ganjil
nπ
- 10
- 10
b 2 = b 4 = b 6 = ... = 0 ; b1 =
, b3 =
,...
π
3π
1.4. Deret Fourier
Jawab:
Jadi, deret Fourier dari fungsi
0
f (x ) = 
5
, 0≤x≤4
, -4< x < 0
,
Periode : 8
adalah
5
f (x) =
+
2
∞
∑
n =1
5
n πx
(-1 + cos nπ) sin
nπ
4
1.4. Deret Fourier
Latihan:
Tentukan deret Fourier dari fungsi berikut:
, 0≤x≤5
 3
1. f ( x ) = 
,
Periode : 10
− 3 , - 5 < x < 0
 sin x , 0 ≤ x ≤ π
, Periode : 2 π
2. f (x ) = 
, -π< x < 0
 0
x , 0 ≤ x ≤ 4
3. f ( x ) = 
,
Periode : 4
4 , 4 < x < 8
x 2 , 0 ≤ x ≤ 5
4. f (x ) = 
,
Periode : 1 0
 25 , 5 < x < 10