perancangan sistem digital - Universitas Jenderal Soedirman

MATEMATIKA TEKNIK 1
TKE 072102
LECTURE #1
VECTOR
Ari Fadli, S.T.
Program Studi Teknik Elektro, UNIVERSITAS
JENDERAL SOEDIRMAN
 Terminologi
vektor
 Aljabar vektor
 Ruang Vektor
 Vektor
besaran yang dicirikan oleh besar/harga dan
arah perpindahan, kecepatan, percepatan dll
Arah Vektor
Besar Vektor
Titik tangkap/titik pangkal Vektor
Garis kerja Vektor
Menuliskan Vektor

A
Vektor A
=
AB
A
B
= Vektor AB =
 Panjang Vektor
| u |  a b
2
 Jarak
=
A
AB
(Norma Vektor)
2
Antara Dua Titik
 Titik tengah Vektor

Jenis Vektor
a. Vektor nol
b. Vektor Equivalen
 Komponen Vektor
Koordinat yang membentuk suatu vektor
p1 = Titik awal = x1,y1 dan p2 = Titik Terminal = x2,y2
maka komponen vektor tersebut adalah
p11p22 = (x2 – x1 , y2 – y1)








Komutatif  a + b = b + a
Asosiatif  (a+b)+c = a+(b+c)
Elemen identitas terhadap penjumlahan
Sifat tertutup  hasil penjumlahan vektor
juga berupa vektor
Ketidaksamaan segitiga |u+v| ≤ |u| + |v|
1u = u
0u = 0, m0 = 0.
Jika mu = 0, maka m=0 atau u = 0






(mn)u = m(nu)
|mu| = |m||u|
(-mu) = - (mu) = m (-u)
Distributif : (m+n)u = mu + nu
Distributif : m(u+v) = mu + mv
u+(-1)u = u + (-u) = 0

Dalam bentuk pasangan bilangan
Penjumlahan
a
c
Jika u    dan v   
b
d 
a  c   a  c 

u  v        
b   d  b  d 
| u  v | (a  c) 2  (b  d ) 2

Dalam bentuk grafik
| u  v | | u |2  | v |2 2 | u || v | cos 
v
A
R
b
θ
u+v
u
a?
u-v
v
B
θ
u

Dalam bentuk pasangan bilangan
Pengurangan
a
c
Jika u    dan v   
b
d 
a  c   a  c 

u  v        
b   d  b  d 
| u  v | (a  c) 2  (b  d ) 2

Dalam bentuk grafik
| u  v | | u |2  | v |2 2 | u || v | cos 
v
θ
u+v
u
u-v
v
θ
u



Perkalian Vektor Dengan Skalar
Perkalian Vektor dengan Vektor
Perkalian
1. Dot Product
2. Cross Product

Perkalian Vektor Dengan Skalar
a
Jika u    dan m bilangan real ,
b
 a   ma 

maka : mu  m    
 b   mb 

Perkalian Vektor dengan Vektor
a
c
u 
b
 dan v  
d 

 
 
a  c 
u.v  
b
.
d 
  a *c  b* d
  

Mentranslasikan sumbu koordinat ke sumbu
koordinat yang baru yang sejajar dengan sumbu
aslinya
x’ = x – k dan y’ = y - l
y’
y
O’ k,l
x,
y
O
x’
x

Teorema
Jika u dan v adalah vektor tak nol dan  adalah sudut diantara kedua
vektor tersebut
 Lancip jika dan hanya jika
 Tumpul jika dan hanya jika
 /2
jika dan hanya jika
u .v > 0
u .v < 0
u.v =0

Teorema
(1)
(2)
(3)
(4)
u.v = v.u
u.(v+w) = u.v+u.w
k(u.v) = (ku ).v= u.(kv)
v.v > 0 jika v  0 dan v.v = 0 jika v=0

Bentuk
 
A . B  A . B. cos 
cos  
a.b
| a || b |
a  ( a1, a 2, ..., an)
b  (b1, b 2,..., bn)
a. b  a1.b1  a 2.b 2  .......  an.bn

Teorema
Proya u
= u . a2 a
a
u - Proya u
= u
u .a
a
2
a

Teorema
Panjang proyeksi orthogonal pada vektor
D
ax0  by 0  c
a b
2
2