Pertemuan VII

Bahan Minggu XIII dan XIV
Tema : Vektor-4 dan tensor-4
Materi :
Berikut ini akan dijabarkan kaedah alih bentuk Lorentz untuk komponen vektor−4, baik
dalam bentuk kovarian maupun kontravarian melalui transformasi koordinat−4 (1.3 dimensi ruang
dan 1 dimensi waktu) di ruang−waktu Minkowski. Mula−mula diberikan aturan transformasi
koordinat untuk vektor dalam ruang sembarang berdimensi N. Selanjutnya diberikan deskripsi
ruang−waktu Minkowski yang menjadi wahana teori relativitas khusus Einstein. Diberikan kaitan
transformasi koordinat di dalam ruang−waktu tersebut bagi dua kerangka inersial yang salah
satunya bergerak dengan kecepatan konstan V terhadap lainnya. Dengan kaitan tersebut
selanjutnya melalui kaedah transformasi untuk vektor, nilai−nilai komponen beberapa vektor−4
dihitung dan diperoleh relasi yang mengaitkan besaran−besaran pada kedua kerangka tersebut.
Vektor−4 yang dipilih di sini berkaitan berkaitan dengan masalah dalam dinamika relativistik dan
elektrodinamika, seperti vektor kecepatan−4, vektor momentum−4, vektor gaya−4, vektor
potensial−4 dan vektor kerapatan−4.
Kaedah Transformasi untuk Vektor
Ditinjau suatu ruang berdimensi N dengan koordinat
x N = ( x1 , x 2 ,..., x N ) .
Jika dilakukan transformasi ke koordinat
~
x N = (~
x 1, ~
x 2 ,..., ~
xN )
~
di dalam ruang tersebut, kaedah transformasi yang mengubungkan vektor kontravarian Aν dan A µ
~
serta antara vektor kovarian Aν dan Aµ berturut−turut adalah
~ µ ∂~
xµ ν
A = ν A
∂x
dengan inversi
∂xν ~
Aν = ~ µ A µ ,
∂x
serta
~
∂xν
Aµ = ~ µ Aν
∂x
dengan inversi
Aµ =
xµ ~
∂~
Aµ .
∂xν
Tensor merupakan perluasan vektor. Indeks tensor lebih besar dari satu. Banyaknya indeks
disebut rank r dengan jumlah komponen N r . Tensor B µν , Cαβγ berturut-turut dinamkana tensor
rank−2 kontravarian dan tensor rank−3 kovarian. Karena jumlah rank tensor lebih dari satu maka
dimungkinkan terdapat indeks yang terletak di atas dan di bawah. Tensor seperti ini dinamakan
µ
dinamakan tensor rank−3 campuran. Selain itu
tensor campuran (mixed tensor) Sebagai contoh Dαβ
dapat pula dikatakan bahwa vektor dan skalar tak lain merupakan tensor rank−1 dan rank−0.
Persamaan transformasi untuk tensor kontravarian adalah
B µν =
∂x µ ∂xν αβ
B .
α
β
α , β =1 ∂x ∂x
N
∑
Demikian pula kaedah transformasi persamaan tensor kovarian yaitu
Bµν =
∂xα ∂x β
∑ µ ν Bαβ .
α , β =1 ∂x ∂x
N
Sedangkan untuk tensor campuran berlaku kaedah
Bνµ
∂x µ ∂x β α
= ∑
B .
α
ν β
α , β =1 ∂x ∂x
N
Persamaan di atas dapat dikembangkan untuk tensor dengan peringkat yang lebih tinggi.
Selanjutnya untuk mempersingkat penulisan akan digunakan kesepakatan penjumlahan
Einstein meliputi indeks berulang yang menyatakan bahwa jika di dalam sebuah bentuk terdapat
sepasang indeks yang sama dengan salah satu terletak di atas dan yang lainnya di bawah, maka
penjumlahan harus dilakukan terhadap bentuk tersebut meliputi jangkauan indeks berulang tersebut.
Jadi tanda Σ tidak perlu dituliskan. Namun jika bentuk yang memuat indeks berulang tersebut tidak
ingin dijumlahkan, hal tersebut harus ditegaskan secara eksplisit.
Operasi pada Tensor
Operasi yang berlaku pada tensor adalah :
1.
Kombinasi linear
Berlaku jika tensor-tensor tersebut memiliki jenis yang sama seperti
µ
µ
µ
aAαβ
+ bBαβ
= cCαβ
.
µ
Adapun bentuk aAαβ
+ bBαµν tidak didefinisikan.
2.
Perkalian luar
Terhadap dua tensor atau lebih yang memiliki indeks yang berbeda, dapat dilakukan perkalian
luar seperti
β
Aαβ Bµν = Cαµν
.
3.
Kontraksi
Proses menyamakan sepasang atau lebih pasangan indeks kovarian dan kontravarian, seperti
,β )
β
β
Cαµν
kontraksi
  (α
→ C βµν
= C µν
disebut kontraksi meliputi indeks (α , β ) . Proses kontraksi menurunkan rank tensor sebanyak
2.
4.
Perkalian dalam
Proses ini dilakukan terhadap tensor sehingga faktor-faktornya memiliki sepasang indeks
sekutu atau lebih seperti
Aαβµ Bγα = Cγβµ .
5.
Hukum pembagian
Ditinjau kasus berikut. Misalkan C = Aµ Bµ merupakan suatu skalar untuk sembarang vektor
kontravarian A µ , maka Bµ pasti merupakan suatu vektor kovarian. Sebaliknya jika C
merupakan suatu skalar untuk sembarang vektor kovarian Bµ maka A µ pasti merupakan
suatu vektor kontravarian. Hal ini dapat diperluas untuk tensor.
Ruang−
−Waktu Minkowski dan Kaedah Transformasi Lorentz
Metrik ruang waktu Minkowski dengan koordinat
x µ = ( x 0 , x1 , x 2 , x 3 ) = (ct, x, y, z) = (ct , r )
dapat mengambil bentuk
ds 2 = g µν dx µ dxν = −c 2 dt 2 + dx 2 + dy 2 + dz 2 = −c 2 dt 2 + dr 2
dengan
g µν = η µν (ηmn = δ mn , η00 = −1, η0 m = ηm0 = 0 )
~
Ditinjau dua kerangka inersial yakni kerangka K dengan koordinat x µ dan kerangka K
dengan koordinat ~
x µ yang bergerak dengan kecepatan konstan V terhadap kerangka K ke arah
r// =
r.V
V
V2
Kaitan Lorentz antara koordinat−4 di dalam ruang−waktu Minkowski adalah
~
r// = Γ(r// − Vt )
~
r⊥ = r⊥
~
t = Γ (t − r.V / c 2 )
dengan
Γ=
1
1− V / c
2
2
.
Kalau komponen ruang di atas ingin digabungkan, hasilnya
~ ~ ~
(Γ − 1)(r.V )
Γct
r = r// + r⊥ = r +
V−
V
2
c
V
yang jika diuraikan ke dalam komponen−komponennya menjadi
(Γ − 1) x jV j i
ΓV i 0
i
i
~
−
x ni = x ni +
V
n
x ni
i
c
V2
atau
 i (Γ − 1)V iV j
i
~
x = δ j +

V2

 j ΓV i 0
x −
x

c

Sedangkan penguraian untuk komponen waktu adalah
c~
t = Γ(ct −
Vi i
x)
c
atau
V
~
x 0 = Γ( x 0 − i x i ) .
c
~
Jika dilakukan derivatif parsial koordinat K terhadap K, diperoleh
(Γ − 1)V iV j
∂~
xi
i
δ
=
+
j
∂x j
V2
∂~
xi
ΓV i
=
−
c
∂x 0
ΓV
∂~
x0
=− i
i
c
∂x
∂~
x0
= Γ.
∂x 0
Ditinjau suatu vektor−4 kontravarian di ruang K
S µ = ( S 0 , S m ) = ( S 0 , S)
~
dan vektor−4 kontravarian di ruang K
~
~ ~
~ ~
S µ = (S 0 , S m ) = (S 0 , S) .
Dengan menggunakan kaedah transformasi untuk komponen vektor kontravarian, diperoleh :

ΓV
S⋅V
x 0 ν ∂~
x 0 0 ∂~
x0 n
~ 0 ∂~

S = ν S = 0 S + n S = ΓS 0 − n S n = Γ S 0 −

c
c
∂x
∂x
∂x


dan
xm
~
∂~
xm
∂~
xm
∂~
ΓV m 0  m (Γ − 1)V mVn  n
S
S m = ν Sν = 0 S 0 + n S n = −
S +  δ n +
2

c
∂x
∂x
∂x
V


(Γ − 1)S ⋅ V m ΓS 0 m
= S +
V −
V
c
V2
m
yang jika dinyatakan dalam notasi vektor menjadi
~
(Γ − 1)S ⋅ V
ΓS 0
S=S+
V
V.
−
c
V2
Mengingat bentuk
(S ⋅ V )V / V 2 = S // ,
kaedah untuk komponen vektor S yang sejajar V adalah
(
)
~
ΓS 0
S // = S // + (Γ − 1)S // −
V = Γ S // − ( S 0 / c)V .
c
Sementara itu kaedah untuk komponen vektor S yang tegaklurus V adalah
~
S⊥ = S ⊥ .
Selanjutnya ditinjau vektor kecepatan−4 kontravarian :
V µ = (γ c, γ v )
sehingga
S0 = γc
dan
S =γv.
Untuk komponen ke nol, diperoleh

γ v⋅V 

c
γ~ c = Γ γ c +



yang memberikan hasil

v⋅V 
γ~
= Γ1 + 2  .
γ
c 

Persamaan di atas menghubungkan faktor dilatasi partikel yang bergerak di kedua kerangka.
Sedangkan untuk komponen vektor, diperoleh
~
γ~ v = γ v +
yang jika disederhanakan menjadi
(Γ − 1)γ v ⋅ V
Γγ c
V−
V
2
c
V
~
v=
v+
(Γ − 1) v ⋅ V
V − ΓV
V2
 v⋅V 
Γ1 − 2 
c 

Persamaan di atas menghubungkan vektor kecepatan−3 di kedua kerangka acuan. Kaedah untuk v //
adalah
~
v −V
v // = //
v⋅V
1− 2
c
Sedangkan untuk v ⊥ adalah
~
v⊥ =
v⊥
 v⋅V 
Γ1 − 2 
c 

Berikutnya ditinjau vektor momentum−4 kontravarian yang memiliki komponen :
P µ = ( E / c, p )
sehingga
S0 = E / c
dan
S = p.
Kaedah transformasi Lorentz untuk energi adalah

p⋅V 
~

E / c = Γ E / c −

c


atau
(
)
~
E = Γ E −p⋅V .
Adapun kaedah transformasi Lorentz untuk vektor momentum−3 adalah
~
(Γ − 1)p ⋅ V
ΓE
p=p+
V− 2 V.
2
V
c
Untuk komponen vektor momentum−3 sejajar dan tegaklurus, kaedahnya adalah
(
~
ΓE
p // = p // + (Γ − 1)p // − 2 V = Γ p // − ( E / c 2 ) V
c
dan
~
p⊥ = p ⊥
Selanjutnya ditinjau vektor gaya−4 kontravarian :
)
(
F µ = γ f ⋅ v / c, f
)
sehingga
S0 = γ
f ⋅v
dan S = γ f .
c
Diperoleh
~
γ~ f = γ f +
(Γ − 1)γ f ⋅ V
Γγ f ⋅ v
V−
V
2
V
c2
yang mana bentuk di atas dapat dituliskan menjadi
~ f+
f =
(Γ − 1) f ⋅ V
Γf ⋅v
V− 2 V
2
V
c
.
 v⋅V
Γ1 − 2 
c 

Kaedah f untuk komponen sejajar dan tegaklurus berturut−turut adalah
Γf ⋅v
~ f // + (Γ − 1) f // − 2 V f // −
c
f// =
=
 v⋅V 

1 −
Γ1 − 2 

c



f ⋅v
V
c2
.
v⋅V

c 2 
dan
~
f⊥ =
f⊥
 v⋅V 
Γ1 − 2 
c 

.
~
Selanjutnya jika ditinjau kasus khusus dengan v = V , atau partikel rehat di K , yang berarti bahwa :
1−
V⋅V
= Γ − 2 , (f ⋅ V )V = f //V V = f //V 2 ,
c2
sehingga
 V2 
f // 1 − 2 
~0
~0
c 
f⊥
dan
f// = 
=
f
f
=
= Γ f⊥ .
//
⊥
 V2 
ΓΓ − 2
1 − 2 

c 

~
Jadi untuk kerangka rehat partikel di K , kaedah transformasi Lorentz untuk vektor gaya−3 adalah
~0 ~0 ~0
f = f// + f⊥ = f // + Γf ⊥ .
Contoh Soal
1.
Sebuah atom yang stasioner pada suatu jarak koordinat Schwarzschild r dari pusat ),
memancarkan cahaya berfrekuensi ν yang diamati oleh seorang pengamat stasioner pada
koordinat R (> r) dari pusat O. Tunjukkan bahwa frekuensi yang diamati adalah ν − δν
dengan
1
r
δν / ν = m −
1

R
sampai dengan orde pertama dalam m.
2.
Diketahui Aij adalah suatu tensor kovarian. Jika Bij = A ji , tunjukkan bahwa Bij juga suatu
tensor kovarian.
3.
Di kerangka K dengan koordinat x µ = ( s, t ) terdapat suatu vektor A µ dengan komponen
A1 = 1 dan A 2 = 2.
Terdapat kerangka K’ dengan koordinat x' µ = (u , v) dimana hubungan antara koordinatkoordinat tersebut adalah
u = s + t dan v = s − t .
Jika di K’ terdapat vektor A' µ , carilah komponen vektor tersebut.
4.
Jika Ai adalah sebuah vektor kovarian, tunjukkan bahwa
Bij = ∂Ai / ∂x j − ∂A j / ∂x i
tertansformasi seperti sebuah tensor kovarian.
5.
x, y, z adalah koordinat Kartesan datar dalam ruang tiga dimensi. Persamaan parametrik
untuk parabolida hiperbolik diberikan dalam bentuk x = u + v , y = u − v , z = uv . Sebuah
medan tensor kovarian pada permukaan parabolida hiperbolik tersebut memiliki komponen
Auu = u 2 , Auv = Avu = −uv , Avv = v 2 .
Tunjukkan bahwa komponen kontravarian medan tensor tersebut bernilai seperempat dari
komponen kovarian masing-masing.
6.
x, y adalah koordinat Kartesan datar pada bidang Euclidean. u , v adalah koordinat
kurvilinear yang didefinisikan oleh
x = a cosh u cos v , y = a sinh u sin v .
Sebuah vektor kovarian memiliki komponen Ax , A y pada titik ( x, y ) dan komponen
kurvilinear Au , Av . Tunjukkan bahwa
Ax =
2( Au sinh u cos v − Av cosh u sin v)
.
a (cosh 2u − cos 2v)