bab v penutup

BAB V
PENUTUP
5.1. Kesimpulan
Pada dasarnya geometri proyektif dapat dianggap sebagai perluasan dari
Geometri Euclid, perbedaannya adalah secara intuisi bidang Proyektif mempunyai
titik lebih banyak daripada bidang Euclid dan teorema terpisah namun serupa di
Geometri Euclid dapat dibahas bersama dalam kerangka kerja Geometri Proyektif.
Misalnya, garis sejajar dan garis berpotongan tidak perlu diperlakukan sebagai
kasus yang terpisah karena dua garis sejajar dalam Geometri Proyektif juga
memiiliki titik potong. Titik potong dua garis sejajar adalah di sebuah titik di tak
hingga yang selanjutnya disebut titik ideal atau titik hilang.
Salah satu keistimewaan geometri proyektif adalah prinsip dualitas yang
dimilikinya. Karena dualitas merupakan dasar geometri proyektif, dualitas ini
mencakup seluruh subjek, termasuk misalnya dual definisi, sehingga ketika
didefinisikan segitiga, segiempat lengkap, dan sebagainya, maka juga harus
ditetapkan nama untuk dual dari konfigurasi ini. Misal jika didefinisikan:
himpunan titik dikatakan kolinear jika titik-titik tersebut termuat pada garis yang
sama, maka harus didefinisikan konsep ganda untuk himpunan garis yang melalui
satu titik yang sama.
Kemudian dalam prinsip dualitas, tidak ada hubungan logis antara teorema
dan dualnya, dalam arti bahwa tidak selalu teorema yang satu merupakan konvers,
invers, atau kontraposisi dari yang lain. Secara umum, tidak ada keistimewaan
khusus antara sepasang teorema dual, tetapi pada pembahasan ini ditemukan
bahwa teorema yang satu adalah kebalikan dari yang lain. Dalam kasus seperti itu,
tentu saja bukti yang terpisah dari teorema kebalikan tidak akan diperlukan,
karena mengikuti prinsip dualitas.
Empat teorema utama yang dibahas dalam geometri proyektif adalah
Teorema Dua Segitiga Desargues, Teorema Pappus, Teorema Pascal yang
merupakan generalisasi dari Teorema Pappus, dan Teorema Brianchon. Seperti
86
87
yang telah diketahui bahwa secara umum, semua proposisi dalam Geometri ini
terjadi dalam pasangan dual dan dalam pembahasannya ditemukan bahwa
Teorema Pascal dan Teorema Brianchon saling dual. Kemudian dengan teoremateorema tersebut beserta pembahasannya, dapat digunakan untuk membantu
menyelesaikan masalah konstruksi.
Selain dibahas geometri proyektif secara aksiomatis, pada bab sebelumnya
diperkenalkan sedikit dualitas antara titik dan garis yang dinyatakan dalam bentuk
aljabar melalui sistem koordinat homogen dan diperoleh dual sebagai berikut:
1. Titik
mempunyai
koordinat
1. Garis
homogen
2. Bentuk umum persamaan titik:
tidak semuanya nol
3. Persamaan garis yang melalui
dengan
yang
tidak semuanya nol
3. Persamaan titik yang berada pada
titik ideal
4. Garis
koordinat
homogen
2. Bentuk umum persamaan garis:
dengan
mempunyai
garis ideal
sejajar
dengan
4. Titik yang berada pada koordinat
koordinat sumbu-
5. Titik potong dari dua garis berbeda
dan
sumbu-
5. Sebuah garis yang menghubungkan
dua titik berbeda
mempunyai koordinat homogen
dan
mempunyai koordinat
homogen
dengan tidak semua determinan
bernilai nol.
dengan tidak semua determinan
bernilai nol.
Koordinat homogen juga dapat digunakan untuk menentukan pasangan
harmonis titik maupun pasangan harmonis garis.
88
1. Pasangan harmonis titik
Misalkan
dan
maka
jika ada µ sedemikian sehingga
2. Pasangan harmonis garis
Misalkan persamaan-persamaan garis
homogen sebagai berikut:
maka
jika ada µ sedemikian sehingga
ditulis dalam koordinat