Kinematika dua dan tiga dimensi

FI1101 Fisika Dasar IA
Pekan #1: Kinematika dua dan tiga dimensi
1
Dr. Agus Suroso
Posisi, kecepatan, dan percepatan
Posisi suatu benda pada suatu waktu t tertentu kita tulis sebagai ~r(t). Jika saat t = t1 benda
berada pada posisi ~r1 ≡ ~r(t1 ) dan saat t = t2 > t1 benda berada pada ~r2 ≡ ~r (t2 ), maka
perpindahan yang dialami oleh benda adalah
∆~r = ~r2 − ~r1 .
(1)
Jika kita menyatakan posisi benda dalam koordinat Kartesian,
~r = xî + y ĵ + z k̂,
(2)
maka perpindahan benda dapat juga dinyatakan sebagai
∆~r = ∆xî + ∆y ĵ + ∆z k̂
(3)
Dengan mengetahui perpindahan (∆~r) benda untuk selang waktu ∆t tertentu, kita dapat
menentukan kecepatan rata-rata benda
h~v i =
∆~r
∆x
∆y
∆z
=
î +
ĵ +
k̂
∆t
∆t
∆t
∆t
= hvx i î + hvy i ĵ + hvz i k̂,
(4)
dengan besaran-besaran
hvx i =
∆x
,
∆t
hvy i =
∆y
,
∆t
hvz i =
∆z
,
∆t
(5)
secara berurutan adalah komponen-komponen kecepatan rata-rata yang sejajar dengan sumbu
x, y, dan z. Pada bagian ini, kita menggunakan notasi kurung siku h. . .i untuk besaran rata-rata,
yang sebelumnya kita tuliskan dengan notasi overbar (misalnya v̄ dan ā).
Jika kita mengukur kecepatan benda untuk selang waktu yang cukup kecil, ∆t → 0, maka
kita dapat memperoleh kecepatan sesaat benda,
∆~r
d~r
=
= vx î + vy ĵ + vz k̂,
∆t→0 ∆t
dt
~v = lim
(6)
dengan
dx
dy
dz
,
vy =
,
vz =
,
(7)
dt
dt
dt
secara berurutan adalah komponen kecepatan sesaat pada arah sumbu x, y, dan z.
Percepatan rata-rata ditentukan dengan mengukur perubahan kecepatan benda pada
selang waktu ∆t tertentu,
vx =
h~ai =
∆vy
∆~v
∆vx
∆vz
=
î +
ĵ +
k̂
∆t
∆t
∆t
∆t
= hax i î + hay i ĵ + haz i k̂,
(8)
dengan besaran-besaran
hax i =
∆vx
,
∆t
hay i =
∆vy
,
∆t
haz i =
∆vz
,
∆t
(9)
secara berurutan adalah komponen-komponen percepatan rata-rata yang sejajar dengan sumbu
x, y, dan z. Kecepatan sesaat diperoleh dengan mengambil selang waktu yang cukup singkat
∆t → 0,
~a(t) =
d~v
d2~r
= 2 = ax î + ay ĵ + az k̂,
dt
dt
(10)
dengan
ax =
dvx
d2 x
= 2,
dt
dt
update: 27 Agustus 2017
ay =
dvy
d2 y
= 2,
dt
dt
az =
dvz
d2 z
= 2.
dt
dt
(11)
halaman 1
FI1101 Fisika Dasar IA
Pekan #1: Kinematika dua dan tiga dimensi
2
Dr. Agus Suroso
Gerak parabola
Sebagai contoh untuk gerak dalam dua dimensi, marilah kita tinjau gerak yang dialami oleh
sebuah benda yang mengalami gerak parabola di atas permukaan bumi. Untuk memudahkan,
kita akan menerapkan koordinat Kartesian dengan bidang x − y berada di permukaan bumi dan
arah tegaklurus ke atas permukaan bumi sebagai sumbu-z. Selain itu, arah horizontal gerakan
benda kita ambil sebagai sumbu-x, sehingga pada akhirnya benda hanya bergerak pada bidang
x−z. Mula-mula benda dilemparkan dari titik asal koordinat O dengan sudut elevasi θ terhadap
sumbu-x. Jika kecepaan awal benda tersebut adalah ~v0 , maka kecepatan ini dapat diuraikan
dalam komponen-komponen yang sejajar sumbu-x dan z adalah
~v0 = v0,x î + v0,z k̂ = v0 cos θ î + v0 sin θ k̂.
(12)
Karena benda mengalami percepatan gravitasi sebesar g ke bawah, maka
~a = −g k̂,
(13)
sehingga kecepatan benda setiap waktu adalah
Z t
~a dt = v0 cos θ î + (v0 sin θ − gt) k̂
~v = ~v0 +
0
= vx (t)î + vz (t)k̂,
(14)
dengan
vx (t) = v0 cos θ,
vz (t) = v0 sin θ − gt.
(15)
Integrasi kecepatan terhadap waktu akan menghasilkan posisi benda,
Z t
Z t
Z t
(v0 sin θ − gt) dt k̂
v0 cos θdt î +
~v dt =
~r = xî + z k̂ =
0
0
0
1
= v0 t cos θ î + v0 t sin θ − gt2 k̂
2
= x(t)î + z(t)k̂,
(16)
dengan
1
z(t) = v0 t sin θ − gt2 .
(17)
2
Ketinggian maksimum benda terjadi saat kecepatan vertikal benda bernilai nol, vz (t) = 0,
atau
v0 sin θ
v0 sin θ − gt = 0 ⇒ t =
≡ tm .
(18)
g
x(t) = v0 t cos θ,
Substitusi nilai t ini ke persamaan posisi, diperoleh
1
v 2 sin2 θ
zm = z(tm ) = v0 tm sin θ − gt2m = 0
.
2
2g
(19)
Jangkauan (yaitu jarak mendatar maksimum yang dicapai benda) dicapai ketika benda telah
kembali ke permukaan tanah, z(t) = 0, atau
1
2v0 sin θ
z(t) = v0 t sin θ − gt2 = 0 ⇒ t =
≡ tR .
2
g
(20)
Substitusi nilai t tersebut ke persamaan posisi, diperoleh
R ≡ x(tR ) =
update: 27 Agustus 2017
2v0 sin θ cos θ
v0 sin 2θ
=
.
g
g
(21)
halaman 2
FI1101 Fisika Dasar IA
Pekan #1: Kinematika dua dan tiga dimensi
Dr. Agus Suroso
Terlihat bahwa selain terhadap laju awal, jangkauan gerak parabola juga bergantung pada sudut
elevasi benda. Nilai sudut elevasi yang menghasilkan jangkauan paling besar didapat dengan
memanfaatkan kalkulus,
dR
2v0 cos 2θ
=
= 0 ⇒ θ = π/2.
(22)
dθ
g
Selain ketinggian maksimum dan jangkauan, kita juga dapat menentukan jarak benda terhadap titik awal pelemparan. Dengan pengetahuan tentang vektor yang telah kita miliki, dapat
dituliskan jarak tersebut sebagai
s √
p
1 2 2
2
2
2
2
(23)
|~r| = ~r · ~r = x(t) + z(t) = t v0 − vg sin θt + g t .
4
Dapat dibuktikan bahwa saat t = tR , diperoleh |~r| = R.
3
3.1
Gerak melingkar
Sistem koordinat polar
Pada kuliah sebelumnya, kita selalu menggunakan sistem koordinat Kartesian untuk menggambarkan lintasan partikel yang bergerak. Koordinat Kartesian mudah digunakan saat menggambarkan gerak linear partikel, namun sedikit merepotkan saat digunakan untuk meninjau gerak
melingkar1 . Posisi suatu titik (misal P ) dalam koordinat polar dinyatakan oleh notasi (r, θ), dengan r menyatakan jarak partikel dari suatu titik acuan (titik asal/origin, misal disebut O) dan
θ menyatakan sudut antara suatu sumbu acuan yang melalui O dan garis yang menghubungkan
O dengan P . Vektor satuan untuk koordinat polar kita simbolkan dengan {r̂, θ̂}. Gambaran
untuk r, θ, r̂, dan θ̂ diberikan oleh gambar berikut (gambar kiri).
y
^
θ
r^

P

x
Gambar 1: Kiri : besaran-besaran dalam koordinat polar. Kanan: uraian vektor-vektor satuan
koordinat polar ke komponen-komponennya (warna hijau).
Vektor posisi titik P dinyatakan dengan simbol ~r dan digambarkan dengan panah warna
biru. Panjang vektor tersebut adalah r. Sudut θ adalah sudut yang dibentuk oleh vektor r
terhadap sumbu-x positif. Hal yang menarik dari koordinat polar adalah arah vektor-vektor
satuan r̂ dan θ̂ selalu berubah mengikuti posisi titik P. Arah vektor r̂ sama dengan vektor ~r,
sedangkan arah θ̂ tegaklurus r̂ dan searah dengan arah ’bukaan’2 sudut θ. Posisi dari titik P,
dapat dinyatakan sebagai
~rP = ~r = rr̂.
(24)
1
Walaupun tentu saja, kejadian fisis yang terjadi tidak bergantung sistem koordinat. Benda yang yang bergerak
melingkar tetap akan bergerak melingkar, baik dilihat melalui sistem koordinat polar maupun Kartesian
2
ini bukan istilah standar
update: 27 Agustus 2017
halaman 3
FI1101 Fisika Dasar IA
Pekan #1: Kinematika dua dan tiga dimensi
Dr. Agus Suroso
Hubungan antara koordinat polar dan Kartesian dapat diperoleh dengan menerapkan trigonometri untuk sudut θ. Hasilnya,
xP = r cos θ
dan
yP = r sin θ.
(25)
Vektor-vektor satuan r̂ dan θ̂ juga dapat diuraikan dalam vektor-vektor satuan koordinat Kartesian î dan ĵ sebagai berikut (perhatikan gambar kanan dan ingat |r̂| = 1),
r̂ = cos θ î + sin θ ĵ
Latihan: buktikan
3.2
dr̂
dθ
= θ̂ dan
dθ̂
dθ
θ̂ = − sin θ î + cos θ ĵ.
dan
(26)
= −r̂.
Posisi, kecepatan, dan percepatan gerak melingkar
Anggaplah suatu partikel yang mula-mula berada di titik P lalu bergerak melingkar mengikuti
lintasan berwarna ungu pada gambar 2. Posisi partikel tersebut akan berubah terhadap waktu.
Jika jari-jari lintasan partikel selalu tetap, maka besaran yang berubah dari posisi partikel adalah
tersebut adalah θ, sedangkan r nilainya tetap. Karena vektor-vektor satuan bergantung pada θ
(lihat persamaan 26), maka selama partikel bergerak arah vektor-vektor satuan r̂ dan θ̂ selalu
berubah, atau merupakan fungsi dari waktu t.
Sesuai persamaan (24), posisi partikel adalah
~r(t) = rr̂(t).
(27)
Kecepatan partikel adalah turunan pertama dari posisi terhadap waktu, sehingga diperoleh
~v (t) ≡
d~r(t)
dr
dr̂(t)
dr̂(t) dθ
=
r̂(t) + r
=r
= rω θ̂,
dt
dt
dt
dt
|{z}
| dθ
{z } |{z}
0
θ̂
(28)
ω
dengan ω ≡ dθ
dt disebut kecepatan sudut. Karena arah θ̂ tegaklurus r̂, dan r̂ searah dengan
jari-jari lingkaran, maka arah θ̂ sejajar dengan garis singgung lingkaran ungu. Dengan demikian,
kecepatan ~v merupakan kecepatan tangensial partikel. Jika nilai kecepatan sudut ω konstan,
maka nilai dari laju tangensial juga konstan.
Untuk menentukan percepatan, kita turukan kembali kecepatan ~v (t) terhadap t, diperoleh
~a ≡
d~v (t)
dr
dω
dθ̂ dθ
= ω θ̂ + r
θ̂ + rω
= rαθ̂ − rω 2 r̂,
dt
dt
dt
dθ
dt
|{z}
|{z} |{z}
α
−r̂
y
O
(29)
ω
v
⃗
⃗
r

P
x
Gambar 2: Partikel bergerak melingkar mengikuti lintasan berbentuk lingkaran.
update: 27 Agustus 2017
halaman 4
FI1101 Fisika Dasar IA
Pekan #1: Kinematika dua dan tiga dimensi
Dr. Agus Suroso
dengan α ≡ dω
dt disebut percepatan sudut. Suku pertama dari percepatan tersebut (yaitu rα)
disebut sebagai percepatan tangensial, karena arahnya searah dengan θ̂, dan nilainya bergantung pada percepatan sudut. Jika partikel bergerak dengan kecepatan sudut konstan, maka
2
diperoleh ~a = −rω 2 r̂ = − vr r̂ (ingat persamaan 28). Percepatan ini disebut sebagai percepatan sentripetal, yang arahnya menuju pusat lintasan partikel. Nilai percepatan sentripetal
bergantung hanya pada ω (dan tentu saja r), sehingga partikel yang bergerak melingkar selalu memiliki percepatan jenis ini. Sehingga, kita dapat katakan percepatan sentripetal sebagai
percepatan yang menyebabkan suatu benda bergerak melingkar.
Jika suatu partikel memiliki kedua komponen percepatan (tangensial dan sentripetal), maka
besar percepatan partikel tersebut adalah
q
(30)
a = a2tangensial + a2sentripetal
3.3
Kinematika gerak melingkar
Secara umum, persamaan kinematika untuk gerak melingkar memiliki bentuk yang serupa dengan pada gerak linear. Kita dapat menuliskan,
1
θ = θ0 + ω0 t + αt2 ,
2
ωt2 = ω02 + aαθ.
(31)
(32)
Untuk mendapatkan hubungan antara besaran-besaran sudut dengan linear, perhatikan gambar
3. Misalkan mula-mula (saat t = t0 ) partikel berada pada titik P , dan sesaat kemudian (t =
t0 + dt) partikel berpindah ke titik Q. Panjang lintasan yang ditempuh oleh partikel adalah ds
dan sudut yang dibentuk oleh vektor posisi pada kedua saat tersebut adalah dθ. Untuk selang
waktu dt yang sangat singkat OP Q dapat dianggap sebagai segitiga siku-siku dengan sudut
siku-siku di titik P . Dari hubungan trigonometri, diperoleh tan(dθ) = ds/r. Karena sudut dθ
sangat kecil, berlaku tan(dθ) ≈ dθ, sehingga diperoleh dθ = ds/r, atau
ds = rdθ.
(33)
Kecepatan dan percepatan diperoleh dengan menurunkan jarak tersebut terhadap waktu,
ds
dθ
=r
= rω
dt
dt
dv
dω
a≡
=r
= rα.
dt
dt
v≡
(34)
(35)
y
Q
d
O
ds
P
r
x
Gambar 3: Hubungan antara besaran-besaran sudut dengan linear pada gerak melingkar. Mulamula partikel berada pada titik P dan sesaat kemudian berpindah ke Q. Panjang lintasan yang
ditempuh oleh partikel adalah ds dan sudut yang dibentuk oleh vektor posisi kedua titik tersebut
adalah dθ.
update: 27 Agustus 2017
halaman 5
FI1101 Fisika Dasar IA
Pekan #1: Kinematika dua dan tiga dimensi
Dr. Agus Suroso
Δ⃗
v
y
v⃗P
d
r⃗Q
v⃗Q
P
r⃗P
O
Δ⃗
r
x
d
r⃗Q
r⃗Q
d
Gambar 4: Kiri : gambaran vektor-vektor posisi dan kecepatan benda saat berada pada titik
P dan Q. Kanan: gambar yang diperbesar untuk vektor-vektor posisi dan kecepatan serta
perubahan keduanya saat benda berada pada titik P dan Q.
Sekali lagi, kita peroleh hasil yang sama dengan pada persamaan (28) dan (29). Namun, perlu
diingat bahwa ds adalah perpindahan partikel pada arah tangensial (menyinggung lingkaran),
sehingga turunan-turunannya juga merupakan besaran tangensial (kecepatan tangensial dan
percepatan tangensial). Terlihat bahwa nilai percepatan tangensial bergantung pada α ≡ dω
dt .
Sehingga untuk gerak melingkar dengan kecepatan sudut ω konstan, percepatan tangensial bernilai nol di seluruh bagian lintasan (baik di titik P, Q, maupun lainnya). Untuk gerak dengan
kecepatan sudut konstan, besar dari laju tangensial juga konstan, namun arahnya selalu berubah (yaitu selalu menyinggung lingkaran). Pada besaran vektor, perubahan vektor dapat terjadi
karena berubahnya besar, arah, maupun keduanya. Karena kecepatan tangensial selalu mengalami perubahan arah, maka dikatakan bahwa kecepatan tangensial selalu mengalami perubahan.
Sebelumnya, telah kita ketahui bahwa perubahan kecepatan tiap satuan waktu disebut sebagai
percepatan. Sehingga, kita simpulkan bahwa benda yang bergerak melingkar dengan kecepatan
sudut konstan juga mengalami percepatan, dan percepatan tersebut haruslah selain percepatan
tangensial. Mari kita namai percepatan tersebut (yang mengubah arah kecepatan tangensial
benda yang bergerak melingkar) sebagai percepatan sentripetal.
Untuk mendapatkan percepatan sentripetal, kita perlu meninjau perubahan kecepatan tangensial saat di titik Q bila dibandingkan dengan saat di titik P. Untuk keperluan ini, mula-mula
kita tinjau gerak melingkar dengan laju konstan dan menggambarkan vektor kecepatan di kedua titik seperti pada gambar 4 (gambar kiri). Selisih kedua vektor kecepatan dituliskan sebagai
∆~v = ~vQ − ~vP (gambar kanan). Terlihat bahwa segitiga yang dibentuk oleh vektor-vektor posisi
(yaitu rP , rQ , dan ∆r) dan vektor-vektor kecepatan (vP , vQ , dan ∆v) kongruen. Perbandingan
sisi-sisi kedua segitiga memberikan
∆r
∆v
v
=
atau ∆v = ∆r.
r
v
r
(36)
Sehingga kita dapat menentukan percepatan,
a≡
∆v
v ∆r
v2
=
= .
∆t
r |{z}
∆t
r
(37)
v
Arah dari percepatan sentripetal ditentukan oleh arah vektor ∆~v . Dari gambar, terlihat bahwa arah ∆~v adalah menuju pusat putaran. Telah kita dapatkan besar dan arah percepatan
sentripetal seperti pada bagian sebelumnya.
update: 27 Agustus 2017
halaman 6