notasi sigma, barisan, deret dan induksi

NOTASI SIGMA, BARISAN, DERET
DAN INDUKSI MATEMATIKA
n
4.
n
∑ KU i = K ∑U i
i =1
i =1
n
5.
Notasi Sigma :
∑
∑ (U
i =1
adalah notasi sigma, digunakan untuk menyatakan
penjumlahan berurutan dari suatu bilangan yang sudah
berpola.
∑ merupakan huruf capital “S” dalam abjad Yunani
adalah huruf pertama dari kata SUM yang berarti
jumlah.
i
± Vi ) =
∑U i =
∑U i+1 =
i =1
i =0
n
7.
i
=
i =1
∑U i =
i=2
i
i −1
n
i
+
∑U
i = m +1
; dimana 1< m < n
i
n− p
∑U i− p =
i =m+ p
i=m
∑V
i =1
∑U
n+ p
n
Bentuk umum notasi sigma:
∑U
n
±
i
n +1
m
∑U
i =1
8.
i =1
n −1
n
6.
n
∑U
∑U
i =m− p
i+ p
n
∑U
i =1
i
= U1 + U 2 + U 3+ . . . + U n
n
9. a.
∑ (U i + Vi ) 2 =
i =1
n
n
n
2
∑U i + 2
∑U iVi +
∑V
n
n
n
i =1
i =1
2
i
i =1
n
∑U
i =1
i
dibaca penjumlahan suku U i untuk i=1 sampai
∑ (U
i =1
dengan i=n
i = indeks penjumlahan
i =1 disebut batas bawah penjumlahan
i = n disebut batas atas penjumlahan
{1,2,3,…,n} adalah wilayah penjumlahan
i
− Vi ) 2 =
∑U
i =1
2
i
-2
∑U V
i =1
50
∑ 2i
b = U 2 - U 1 = U 3 - U 2 = U n - U n −1
Bentuk umum barisan aritmetika :
i =1
a , a+b, a +2b,…, a+(n-1)b
Sifat-sifat notasi sigma:
Bentuk umum deret aritmetika:
n
∑U
i =1
i
= U1 + U 2 + U 3 + . . . + U n
a + (a+b) + (a+2b) +… + {a+(n-1)b}
n
2.
n
∑U i =
i =1
∑U
k =1
dimana:
k
n
3.
∑K
i
+
∑V
i =1
2
i
Suatu barisan U 1 , U 2 , U 3 ,…, U n −1 , U n disebut barisan
aritmetika jika selisih dua suku sebelum dan sesudahnya tetap,
dimana selish tersebut dinamakan beda (b).
2 + 4 + 6 + 8 + 10 + … + 100 dapat ditulis dengan
1.
i
Barisan dan Deret Aritmetika (Deret Hitung):
Contoh:
notasi sigma yaitu
n
b.
= nK ; dimana K adalah konstanta
a = suku pertama
b = beda
n = banyak suku
i =1
www.pintarmatematika.web.id - 1
Rumus-rumus :
1. Suku ke n barisan aritmetika (U n ) ditulis sbb:
2. Menentukan banyaknya suku baru (n ' )
Barisan lama : U 1 , U 2 , U 3 ,…, U n −1 , U n
U n = a + (n-1) b
Barisan baru: U 1 , …,U 2 ,…, U 3 ,…, U 4 ,… U n
2. Jumlah n suku pertama deret aritmetika (S n ) ditulis
sbb:
n
S n = U 1 + U 2 + U 3 + . . . + U n = (a + U n )
2
n
= (2a +(n-1) b)
2
hubungan U n dan S n adalah:
k suku
banyaknya suku baru: n ' = 2 + k = 2 +(2-1)k
U n = S n - S n −1
3. Jika n ganjil, maka suku tengah barisan aritmetika (U t )
ditulis sbb:
Ut =
k suku k suku k suku k suku
dari barisan baru dapat dilihat bahwa U n ' = U n
a. jika banyaknya suku =2
U 1 , …,U 2
1
(a + U n )
2
b. jika banyaknya suku =3
U 1 , …,U 2 ,…, U 3
k suku k suku
banyaknya suku baru: n ' = 3 +2 k = 3 +(3-1)k
c. . jika banyaknya suku =4
U 1 , …,U 2 ,…, U 3 ,…, U 4
Sisipan:
Suatu barisan aritmetika :
k suku k suku k suku
a , a+b, a +2b,…, a+(n-1)b
banyaknya suku baru: n ' = 4 +3 k = 3 +(4-1)k
apabila diantara dua suku disisipkan k buah bilangan , maka
barisan aritmetika yang baru adalah sbb:
a , (a+ b ' ), (a+2 b ' ),…,(a+k b ' ),{a+(k+1) b ' },…
k buah bilangan sisipan
U 1 barisan lama
U 2 barisan lama
Jadi, jika banyaknya suku adalah n buah maka banyaknya suku
baru adalah:
n ' = n + (n-1) k
3. Jumlah n suku setelah sisipan (S n ' )
Sn '=
n'
n'
(a + U n ' ) atau S n ' = { (2a + (n ' -1) b ' }
2
2
dengan b ' = beda baru setelah ada k bilangan sisipan
'
1. Beda barisan baru (b )
hubungan barisan baru dan lama :
a +b = a+(k+1) b '
b = (k+1) b '
b
b'=
k +1
U n ' = U n maka,
Sn '=
n'
(a + U n )
2
contoh soal sisipan :
1. Antara bilangan 60 dan 110 disisipkan 10 bilangan
sehingga bersama kedua bilangan semula terbentuk deret
b = beda deret lama
'
aritmetika. Tentukan jumlah deret yang terbentuk .
b = beda deret baru
k = banyaknya bilangan yang disisipkan
www.pintarmatematika.web.id - 2
jawab:
sebelum dan sesudahnya selalu tetap, perbandingan dua suku
tersebut disebut pembanding atau rasio (r).
banyaknya suku awal = 2 n
deret setelah sisipan 60+ … + 110
Jadi r =
U2
U
Un
= 3 = . . .=
U1
U2
U n −1
Bentuk umum barisan geometri:
a, ar, ar 2 , ar 3 , . . . , ar n −1 , ar n
10 bilangan
Banyaknya suku baru: n ' = n+(n-1)k
= 2+(2-1)10 = 12
Jumlah deret yang terbentuk :
n'
Sn '=
(a + U n )
2
12
(60+110)
=
2
= 1020
Bentuk umum deret geometri:
a + ar + ar 2 + ar 3 + . . . + ar n −1 + ar n
a = suku pertama
n = banyaknya suku
r = rasio
Rumus-rumus:
2. Diantara dua suku berurutan pada barisan 5, 15, 25,…
disisipkan 4 bilangan sehingga membentuk barisan
aritmetika yang baru . Tentukan jumlah 10 suku pertama
dari barisan yang terbentuk
dari barisan 5, 15, 25,…
diketahui a = 5
b = 10
k=4
a (r n − 1)
Sn =
untuk r >1
r −1
Sn =
beda barisan yang baru:
b
b'=
k +1
10
=
=2
4 +1
S 10
a (1 − r n )
untuk r <1
1− r
Hubungan U n dan S n
Jumlah 10 suku pertama barisan yang terbentuk :
Sn
U n = ar n −1
2. Jumlah n suku pertama deret geometri (S n ) ditulis sbb:
Jawab:
'
1. Suku ke n barisan geometri (U n ) ditulis sbb:
U n = S n - S n −1
3. Untuk n ganjil, maka suku tengah barisan geometri (U t )
adalah :
n'
= { (2a + (n ' -1) b ' }
2
Ut=
10
=
{2.5+(10-1)2} = 5(10+18) = 140
2
a.U n
Sisipan:
Suatu barisan geometri:
Barisan dan Deret Geometri (Deret Hitung):
Suatu barisan U 1 , U 2 , U 3 ,…, U n −1 , U n disebut
barisan geometri jika perbandingan antara dua suku
a, ar, ar 2 , ar 3 , . . . , ar n −1 , ar n
www.pintarmatematika.web.id - 3
apabila diantara dua suku disisipkan k buah bilangan , maka
barisan geometri yang baru adalah sbb:
Jawab:
Barisan baru : 48, sisipan1, sisipan2, sisipan3, 768
'
'
2
'
3
'
k
'
a, ar , a(r ) , a(r ) ,…, a(r ) , a(r )
k +1
,…
3 sisipan
k buah bilangan sisipan
U 1 barisan lama
U 2 barisan lama
Banyaknya suku barisan lama n = 2
banyaknya suku barisan baru :
n ' = n + (n-1) k = 2 +(2-1)3= 5
r ' = rasio baru setelah ada k bilangan sisipan
rasio barisan lama , r =
1. Banyaknya suku baru:
768
= 16
48
k +1
Rasio barisan baru, r ' =
n ' = n + (n-1) k
=
=
2. Rasio baru (r ' ) :
hubungan rasio lama dan baru
3+1
4
r
16
24 = 2
ar = a(r ' ) k +1
Barisan geometri tak hingga:
r = (r ' ) k +1
r'=
k +1
Deret geometri yang banyak suku-sukunya tak terbatas /tak
hingga dinamakan deret geometri tak hingga.
r
r = rasio lama ; k = banyaknya suku baru yang disisipkan
3. Jumlah n suku setelah sisipan (S n ' ):
Deret : a + ar + ar 2 + ar 3 + . . . + ar n −1 + ar n disebut deret
terhingga dengan n suku.
Deret : a + ar + ar 2 + ar 3 + . . .
disebut deret tak hingga (n nya tak hingga)
Jumlah n suku pertama setelah sisipan :
Jumlah n suku pertama deret geometri tak hingga :
a[(r ) − 1]
; r ' > 1 atau
'
r −1
' n ''
Sn ' =
1. Bila |r| < 1 atau -1 < r < 1
S∞ =
a[1 − (r ' ) n ' ]
=
; r'< 1
1− r'
'
Sn
'
a
1− r
; dinamakan konvergen (mempunyai nilai)
2. Bila |r| > 1
S ∞ = ∞ ; dinamakan divergen (tidak mempunyai nilai)
Contoh soal sisipan:
Diantara bilangan 48 dan 768 disisipkan 3 buah bilangan
sehingga terbentuk barisan geometri. Tentukan rasio dan
jumlah barisan setelah sisipan.
Contoh deret tah hingga:
1 1 1
+ +
+...
2 8 32
Berapakan jumlah deret tsb?
1. Diketahui deret geometri :
www.pintarmatematika.web.id - 4
jawab:
Induksi Matematika:
1
1
1
Diketahui : a =
; r= 8 =
1
2
4
2
Induksi matematika adalah suatu cara pembuktian suatu
pernyataan umum mengenai deret yang berlaku untuk setiap
bilangan asli.
1
memenuhi syarat |r| < 1 atau -1 < r < 1, maka
4
konvergen.
r=
1
S∞ =
a
2
=
1− r
1− 1
1. Buktikan bahwa pernyataan benar untuk n = 1
2. Buktikan bahwa pernyataan benar untuk n = k
3. Buktikan bahwa pernyataan juga benar untuk n = k+1
1
=
4
2 = 4 = 2
3
6
3
4
contoh induksi matematika:
2. Apabila suatu deret geometri tak hingga mempunyai
jumlah 10 dengan suku pertamanya adalah 5. Berapa
rasio dan jumlah 5 suku pertama dari deret tersebut ?
diketahui S ∞ = 10 ; a = 5
karena S ∞ = 10 maka deret tak hingga ini adalah
konvergen.
a
S∞ =
1− r
5
5
10 =
; 1-r =
1− r
10
1
1
1
; r=1- =
2
2
2
Jadi rasionya: r =
1. Buktikan
2 + 4 + 6 + …+2n = n (1+n)
langkah 1 :
jawab:
1–r=
Langkah-langkah pembuktian dengan induksi matematika
adalah:
1
2
untuk n = 1
masukkan nilai n =1
2n = n (1+n)
2.1 = 1 (1+1)
2 =2
terbukti
langkah 2 :
untuk n = k
misalkan rumus berlaku untuk n = k maka rumus menjadi
2 + 4 + 6 + …+2k = k (1+k)
langkah 3 :
jumlah 5 suku pertamanya:
untuk n = k+1
berdasarkan langkah 2
Karena r <1 maka
2 + 4 + 6 + …+2k = k (1+k)
a (1 − r n )
a
Sn =
=
( 1 - rn ) = S∞( 1 - rn )
1− r
1− r
jika n = k +1 didapat :
1 5
1
) ] = 10 ( 1 )
2
32
31
310
22
= 10 .
=
=9
32
32
32
S 5 = 10 [1 – (
2 + 4 + 6 + …+2k+ 2(k+1) = k (1+k) + 2 (k+1)
k(1+k)
Catatan:
Rumus kanan awal : n (1+n) , kita masukkan n = k+1
Menjadi (k+1) (1 +(k+1)) = (k+1) (k+2) ini yang akan
dibuktikan
www.pintarmatematika.web.id - 5
ruas kanan dijabarkan
jika n = k +1 didapat :
k (1+k) + 2 (k+1) = k + k 2 + 2k +2
1
1
1
1
1
+
+
+...+
+
2 6 12
k (k + 1) (k + 1)(k + 2)
= k 2 + 3k +2
= (k+1)(k+2)
k
k +1
terbukti
2. Buktikan
n
1
∑ m(m + 1)
m =1
1
k
+
k + 1 (k + 1)(k + 2)
=
=
n
n +1
Catatan:
n
, kita masukkan n = k+1
n +1
k +1
k +1
Menjadi
=
ini yang akan dibuktikan
k +1+1 k + 2
jawab:
Nilai m dimasukkan menjadi
1
1
1
1
n
+
+
+...+
=
2
6 12
n(n + 1)
n +1
Rumus kanan awal :
langkah 1 :
ruas kanan dijabarkan :
Untuk n = 1
masukkan n=1 ruas kiri dan kanan
1
n
=
n(n + 1)
n +1
k
1
1
1
+
=
+
k + 1 (k + 1)(k + 2)
(k + 1)(k + 2)
(k + 1)(k + 2)
=
1
1
=
1(1 + 1) 1 + 1
=
1
1
=
2
2
terbukti
k 2 + 2k + 1
(k + 1)(k + 2)
=
(k + 1)(k + 1)
(k + 1)(k + 2)
=
k +1
k +2
Misalkan rumus berlaku untuk n=k rumus menjadi
1
1
1
1
k
+
+
+...+
=
2 6 12
k (k + 1) k + 1
k ( k + 2) + 1
(k + 1)(k + 2)
=
Langkah 2:
Untuk n = k
k ( k + 2)
1
+
(k + 1)(k + 2) (k + 1)(k + 2)
Langkah 3 :
Untuk n = k+1
Berdasrakan langkah 2 :
1
1
1
1
k
+
+
+...+
=
2 6 12
k (k + 1) k + 1
www.pintarmatematika.web.id - 6
terbukti
Contoh Soal
a, a+ 3-1 , a +6
Soal-soal UN2010 – 2012
r=
a, a+ 2 , a +6
a+2 a+6
=
a
a+2
(a+2). (a+2) = a. (a+6)
a 2 + 4a + 4 = a 2 + 6a
UN2010
1. Diketahui barisan aritmetika dengan U n adalah suku ke–
a 2 - a 2 + 4 = 6a – 4a
n. Jika U2 + U15 + U40 = 165, maka U19 = ….
4 = 2a
A. 10
C. 28,5
a=
B. 19
D. 55
E. 82,5
4
=2
2
Jawabannya adalah B
Jawab:
UN2011
Suku ke n barisan aritmetika (U n ) : U n = a + (n-1) b
3. Suku ke-4 dan ke-9 suatu barisan aritmetika berturut-
turut adala 110 dan 150. Suku ke-30 barisan aritmetika
tersebut adalah....
U2= a + b ; U15 = a + 14b ; U40 = a + 39b
U2 + U15 + U40 = a + b + a + 14b + a + 39b
= 3a + 54 b = 165 = a + 18 b = 55
U19 = a + (19-1) b = a + 18b
A. 308
sama dengan nilai
B. 318
C. 326
D. 344
E. 354
Jawab:
U2 + U15 + U40 = a + 18 b = 55
Jawabannya adalah D
Suku ke-n barisan aritmetika
U n = a + (n-1) b
UN2010
U 4 = a + 3 b = 110 ...(1)
2. Tiga buah bilangan membentuk barisan aritmetika
dengan beda tiga. Jika suku kedua dikurangi 1, maka
terbentuklah barisan geometri dengan jumlah 14. Rasio
barisan tersebut adalah ….
U 9 = a + 8 b = 150 ...(2)
U 30 = ...?
Substitusi (1) dan (2)
1
2
A. 4
C.
B. 2
D. -
E. -2
1
2
Jawab:
Tiga buah barisan aritmetika :
a + 3 b = 110
a + 8 b = 150 -5b = - 40
b=8
a + 3b = 110 a = 110 – 3b
a = 110 – 3. 8 = 86
didapat a = 86 dan b = 8
sehingga U 30 = a + 29b = 86 + 29. 8 = 86 + 232 = 318
U 1 , U 2 , U 3 = a, a+b, a+2b dengan beda 3 maka
barisannya menjadi a, a+ 3, a +6
Jawabannya adalah B
Suku kedua dikurangi 1 menjadi barisan geometri:
www.pintarmatematika.web.id - 7
UN2011
4. Seorang penjual daging pada bulan Januari dapat menjual
120 kg, bulan Februari 130 kg, Maret dan seterusnya
selama 10 bulan selalu bertambah 10 kg dari bulan
sebelumnya. Jumlah daging yang terjual selama 10 bulan
adalah....
A. 1.050 kg
D. 1.650 kg
B. 1.200 kg
E.1.750 kg
UN2012
6. Keuntungan seorang pedagang bertambah setiap bulan
dengan jumlah yang sama. Jika keuntungan pada bulan
pertama sebesar Rp46.000,00 dan pertambahan keuntungan
setiap bulan Rp18.000,00 maka jumlah keuntungan sampai
bulan ke-12 adalah ....
A. Rp 1.740.000,00
B. Rp 1.750.000,00
C. Rp 1.840.000,00
C. 1.350 kg
D. Rp 1.950.000,00
E. Rp 2.000.000,00
Jawab:
Jawab:
U 1 = 120
U 2 = 130
Barisan soal adalah barisan aritmetika dengan:
a = U1 = 46.000
U2 = 46.000 + 18.000 = 64.000
U 3 s/d U 10 bertambah 10 kg
b = U2 – U1 = 64.000 – 46.000 = 18.000
ditanya S 10 = ...?
Sn =
n
(2a +(n-1) b)
2
12
(2. 46000 +(12-1). 18000)
S12 =
2
U 1 = 120 = a
b = U 2 - U 1 = 130 – 120 = 10
10
(2.120 +9. 10)
2
= 5 (240 + 90) = 5 . 330 = 1.650 kg
Jawabannya adalah D
S 10 =
= 6 (92000 + 198000)
= 6 . 290000
= Rp. 1.740.000,00
Jawabannya A
UN2012
5. Jumlah n suku pertama deret aritmetika dinyatakan
dengan Sn = 2n2 + 4n. Suku ke-9 dari deret aritmetika
tersebut adalah ....
A. 30
B. 34
C. 38
D. 42
E. 46
Jawab:
UN2012
7. Barisan geometri dengan dengan suku ke 5 adalah
rasio = , maka suku ke-9 barisan geometri tersebut
adalah...
A. 27
B. 9
C.
Hubungan U n dan S n
U n = S n - S n −1
Jawab:
suku ke 9:
U9 = S9 – S8
Barisan geometri dengan:
Sn = 2n2 + 4n
S9 = 2 . 92 + 4. 9 = 162 + 36 = 198
U5 =
;r=
U n = ar n −1
S8 = 2. 82 + 4 . 8 = 128 + 32 = 160
cari nilai a dulu:
maka: U9 = 198 – 160 = 38
Jawabannya C
U5 =
= a.(
)4
=
a=
= 27
www.pintarmatematika.web.id - 8
D.
E.
dan
maka U9 = a .r8 = 27. .(
=
=
)8
=
Jawabannya E
UN2012
8. Suku ke-tiga dan suku ke-tujuh suatu deret geometri
berturut-turut 16 dan 256. Jumlah tujuh suku pertama
deret tersebut adalah ....
A. 500
512
B. 504
E. 516
C. 508
D.
Jawab:
Deret Geometri:
U3 = 16 ; U7 = 256
ditanya S7=...?
U n = ar n −1
U3 = 16 = ar2
U7 = 256 = ar6
=
=
= r4 = 16
r = √16
=2
16 = ar2
16 = a . 22
a=
=4
karena r > 1 , maka S n =
S7 =
=
a (r n − 1)
r −1
4(2 7 − 1)
2 −1
4(127)
= 508
1
Jawabannya C
www.pintarmatematika.web.id - 9