integral - Blog UB

RIZKY DITYA LARASATI
NIM : 125100300111010
Kelas : L
INTEGRAL
A. PENGERTIAN
Integral adalah suatu bilangan yang dihitung melalui proses pembatasan (limit) pada daerah
asal dari suatu fungsi, sering berbentuk interval atau bidang datar, lalu dibagi menjadi
sembarang unit-unit yang kecil, nilai fungsi pada suatu titik dikalikan dengan selang untuk
interval atau luas unit untuk bidang datar, hasil-hasil perkalian ini lalu dijumlahkan.
Integral adalah kebalikan dari proses diferensiasi. Integral ditemukan menyusul
ditemukannya masalah dalam diferensiasi di mana matematikawan harus berpikir
bagaimana menyelesaikan masalah yang berkebalikan dengan solusi diferensiasi. Lambang
integral adalah ∫.
Integral terbagi dua yaitu integral tak tentu dan integral tertentu. Bedanya adalah integral
tertentu memiliki batas atas dan batas bawah. Integral tertentu biasanya dipakai untuk
mencari volume benda putar dan luas.
Integral merupakan konsep penting dalam matematika dan, bersama-sama dengan invers
diferensial adalah salah satu dari dua operasi utama dalam kalkulus. Mengingat f fungsi dari
variabel x nyata dan interval [a, b] dari garis real, integral tertentu didefinisikan informal
menjadi daerah daerah di bidang xy-dibatasi oleh grafik f, sumbu x, dan garis vertikal x = a
dan x = b daerah, sehingga di atas sumbu x menambah total, dan di bawah sumbu xmengurangi dari total.
RUMUS 1 :
Integral panjang juga dapat merujuk pada gagasan antiturunan atau antideferensial, sebuah
fungsi F yang derivatif adalah fungsi f diberikan. Dalam kasus ini, hal itu disebut integral tak
tentu dan ditulis:
RUMUS 2 :
B. Integral Tak Tentu
Integral tak tentu atau antiderivatif adalah suatu bentuk operasi pengintegralan suatu fungsi
yang menghasilkan suatu fungsi baru. fungsi ini belum memiliki nilai pasti (berupa variabel)
sehingga cara pengintegralan yang menghasilkan fungsi tak tentu ini disebut integral tak
tentu.
Jika f(x) adalah turunan dari f(x) + c maka diperoleh :
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥 + 𝑐
Hasil dari integral tak tentu adalah sekumpulan fungsi yang tak berhingga banyaknya. Setiap
fungsi tersebut hanya berbeda pada nilai tetapan C. Integral tak tentu biasa ditulis
𝑓(𝑥) 𝑑𝑥. Pada tanda integralnya tidak terdapat batas untuk variabel integrasi x.
Jika 𝐹’(𝑥) = 𝑓(𝑥) dan 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 𝑛 dengan 𝑥  – 1 maka :
𝐹 𝑥 =
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =
𝑎𝑥 𝑛 𝑑𝑥 =
𝑎
𝑥 𝑛 +1 + 𝑐
𝑛+1
Contoh :
5𝑥 2 𝑑𝑥
Penyelesaian :
5𝑥 2 𝑑𝑥 =
5
5
𝑥 2+1 + 𝑐 = 𝑥 3 + 𝑐
2+1
3
C. Integral Tentu
Integral tentu berbeda dengan integral tak tentu. Integral tentu memiliki batas untuk
variabel integrasi x. Biasanya ditulis
integral tentu
𝑏
𝑓(𝑥)
𝑎
𝑏
𝑎
𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 , jika 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 > 0 akan ditunjukkan bahwa
𝑑𝑥 menggambarkan luas kurva diatas sumbu x. Jadi, integral tentu
bukanlah fungsi dalam x, tetapi berupa bilangan biasa, seperti 2, 5, 𝜋, 8, dll.
Jika 𝐹(𝑥) adalah antiturunan dari 𝑓(𝑥) maka :
𝑏
𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥)
𝑏
𝑎
= 𝐹 𝑏 − 𝐹(𝑎)
𝑎
Contoh :
2𝑥 − 5 𝑑𝑥
Penyelesaian :
3
1
2
2𝑥 − 5 𝑑𝑥 =
𝑥 1+1 − 5𝑥
1+1
= 32 − 5 × 3 − 12 − 5 × 1
= 9 − 15 − 1 + 6
= −2
D. Integral Fungsi Trigonometri
3
= 𝑥 2 − 5𝑥
1
3
1
Contoh :
(4 cos 𝑥 − 2 sin 3𝑥 𝑑𝑥
10 (cos 4𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥
Penyelesaian :
1
(4 cos 𝑥 − 2 sin 3𝑥 𝑑𝑥 = 4 sin 𝑥 − 2 − cos 3𝑥 + 𝑐
3
2
= 4 sin 𝑥 + cos 3𝑥 + 𝑐
3
10 (cos 4𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥 =
5 (2 cos 4𝑥 cos 𝑥) 𝑑𝑥
=
5 cos 5𝑥 + cos 3𝑥
𝑑𝑥
1
1
sin 5𝑥 + sin 3𝑥 + 𝑐
5
3
3
= sin 5𝑥 + sin 3𝑥 + 𝑐
5
=5
E. Integral Substitusi
Dalam integral substitusi digunakan pedoman :
𝑎
𝑎𝑢𝑛 𝑑𝑢 =
𝑢𝑛+1 + 𝑐
𝑛+1
sin 𝑢 𝑑𝑢 = − cos 𝑢 + 𝑐
cos 𝑢 𝑑𝑢 = sin 𝑢 + 𝑐
Contoh :
Selesaikan (4𝑥 − 1)8 𝑑𝑥 !
Penyelesaian :
(4𝑥 − 1)8 𝑑𝑥
𝑚𝑖𝑠𝑎𝑙 ∶ 𝑈 = 4𝑥 − 1 → 𝑑𝑢 = 4 𝑑𝑥 →
𝑈8
1
1
𝑑𝑢 =
𝑈 8 𝑑𝑢
4
4
1 1
= . 𝑈9 + 𝑐
4 9
1
=
(4𝑥 − 1)9 + 𝑐
36
F. Integral Parsial
Rumus umum integral parsial :
𝑈 𝑑𝑣 = 𝑈. 𝑣 −
𝑣 𝑑𝑢
Contoh :
3𝑥 cos 5𝑥 𝑑𝑥
Penyelesaian :
3𝑥 cos 5𝑥 𝑑𝑥
𝑈 = 3𝑥 → 𝑑𝑢 = 3 𝑑𝑥
𝑑𝑣 = cos 5𝑥 𝑑𝑥
→𝑣=
=
cos 5𝑥 𝑑𝑥
1
sin 5𝑥 + 𝑐
5
1
𝑑𝑢 = 𝑑𝑥
4
𝑠𝑕𝑔 ∶

1.
2.
3.
4.
5.
1
1
3𝑥 cos 5𝑥 𝑑𝑥 = 3𝑥 . sin 5𝑥 –
sin 5𝑥 3 𝑑𝑥
5
5
3
3
1
= 𝑥 sin 5𝑥 – . −
cos 5𝑥 + 𝑐
5
5
5
3
3
= 𝑥 sin 5𝑥 +
cos 5𝑥 + 𝑐
5
25
Penggunaan Integral Tentu
Luas daerah di bawah kurva
Volum benda putar
Panjang kurva atau lintasan
Kerja (terapan gaya)
Momen atau pusat massa
G. Menghitung Luas Daerah
Misalkan L adalah luas daerah pada bidang Cartesius yang dibatasi oleh kurva 𝑦 = 𝑓(𝑥),
sumbu x, garis x = a, garis x = b (dengan a < b), seperti tampak pada gambar (daerah yang
diarsir).
Luas daerah L dapat ditentukan dengan :
𝑏
𝐿=
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑎
Misalkan L adalah luas daerah pada bidang Cartesius yang dibatasi oleh kurva y = f(x),
sumbu x, garis x = a, garis x = b (dengan a < b), seperti tampak pada gambar (daerah yang
diarsir).
Dengan demikian luas daerah yang dimaksud adalah :
𝑏
𝐿=
𝑐
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 +
𝑎
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑏
Misalkan L adalah luas daerah pada bidang Cartesius yang dibatasi oleh kurva y = f(x), y =
g(x) (dengan f(x) > g(x) untuk a < x < b), seperti tampak pada gambar (daerah yang diarsir).
Dengan demikian luas daerah yang diarsir adalah :
𝑏
𝐿=
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 −
𝑎
𝑔 𝑥 𝑑𝑥
𝑎
𝑏
𝐿=
𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥
𝑎
H. Menghitung Volume Benda Putar
𝑑𝑥
I.
Aplikasi Integral
1. Pada Bidang Teknik
Pada bidang teknik penggunaan turunan dapat membantu progamer dalam pembuatan
aplikasi dari mesin-mesin yang handal.
Contohnya : para Engineer dalam membuat / mendesain mesin-mesin pesawat terbang.
2. Bidang Ekonomi
1. Surplus Konsumen
Konsumen yang mampu atau bersedia membeli barang lebih tinggi (mahal) dari
harga equilibrium P0 akan memperoleh kelebihan (surplus) untuk tiap unit barang
yang dibeli dengan harga P0. Pada saat equilibrium, jumlah total pengeluaran (total
expenditure) konsumen = P0.X0 yang dalam gambar ini adalah luas empat persegi
panjang 0ABC, sedangkan konsumen yang tadinya bersedia membeli barang ini lebih
tinggi dari harga P0 akan menyediakan uang yang banyaknya = luas daerah yang
dibatasi kurva demand yang sumbu tegak P, sumbu mendatar X, dan garis ordinat x
= x0 (yakni = luas daerah 0ABF).
SK = Luas 0ABF – Luas 0ABC = Luas daerah CBF =oʃxof(x).dx – P0.X0
Jika dari fungsi demand p = f(x) maka hasil dari 0ʃaf(x).dx adalah jumlah uang yang
disediakan.
2. Surplus Produsen
Surplus produsen adalah selisih antara hasil penjualan barang dengan jumlah
penerimaan yang direncanakan produsen dalam penjualan sejumlah barang. Pada
saat harga terjadi price equilibrium P0 maka penjual barang yang bersedia menjual
barang ini dibawah harga po akan memperoleh kelebihan harga jual untuk tiap unit
barang yang terjual yakni selisih antara po dengan harga kurang dari po.
SP = Luas 0ABC – Luas daerah 0ABE = P0.X0 -oʃxcg(x).dx
Fungsi Biaya Total (C)
Fungsi biaya total merupakan integral dari biaya marginalnya, dan sebaliknya biaya
marginal merupakan turunan pertama dari fungsi biaya total.
C=∫ MC dq
Fungsi Penerimaan Total (R)
Fungsi penerimaan total merupakan integral dari penerimaan marginalnya, dan
sebaliknya penerimaan marginal merupakan turunan pertama dari fungsi
penerimaan total.
R=∫ MC dq
Fungsi Konsumsi (C)
Fungsi konsumsi merupakan integral dari konsumsi marginalnya (MPC), dan
sebaliknya konsumsi merupakan turunan pertama dari fungsi konsumsi.
C=∫ MPC dy
Fungsi Tabungan (S)
Fungsi tabungan merupakan integral dari tabungan marginalnya (MPS), dan
sebaliknya tabungan marginal merupakan turunan pertama dari fungsi tabungan.
S=∫ MPS dy
Fungsi Model (K)
Kt=∫ I(t) dt
Fungsi (pembentukan) modal atau fungsi (pembentukan) kapital merupakan integral
dari (aliran) investasi bersih (I) dan sebaliknya investasi bersih merupakan turunan
pertama dari fungsi kapital.
3. Aplikasi Integral pada sistem elektronik
Besarnya tegangan pada komponen elektronik dinyatakan sebagai berikut:
Karena komponen elektronik memiliki karakteristik seperti di atas maka analisis dari
beberapa
rangkaian elektronis harus diselesaikan menggunakan turunan maupun integral.
Sumber :
http://latifanurjannah.blogspot.com/2012/08/aplikasi-integral-dalam-ekonomi.html
http://ributsantoso.files.wordpress.com/2011/05/bab-8-aplikasi-integral-dalam-bidangekonom1.doc
http://dc337.4shared.com/download/atAw0U1I/integral_adalah_kebalikan_dari.docx?t
sid=20121229-222149-be0a0dc4
http://id.wikipedia.org/wiki/Integral
http://dc481.4shared.com/download/tk7QLBZH/Integral.docx?tsid=20121227-0329167d136b43
http://bismartplis.files.wordpress.com/2010/06/aplikasi-integral.pdf
Integral Calculus. Halm. 211-278.