perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id commit to user

perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
i
ESTIMASI PARAMETER MODEL SEEMINGLY UNRELATED
REGRESSION (SUR) DENGAN RESIDU BERPOLA AUTOREGRESSIVE
ORDE SATU MENGGUNAKAN METODE PARK
oleh
KHAMSATUL FAIZATI
M0108052
SKRIPSI
ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan
memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SEBELAS MARET
SURAKARTA
2012
commit to user
i
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
commit to user
ii
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
ABSTRAK
Khamsatul Faizati, 2012. ESTIMASI PARAMETER MODEL SEEMINGLY
UNRELATED REGRESSION (SUR) DENGAN RESIDU BERPOLA
AUTOREGRESSIVE ORDE SATU (AR(1)) MENGGUNAKAN METODE
PARK. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sebelas
Maret Surakarta.
Data panel merupakan gabungan antara data cross section dan data time
series. Penerapan data ini dalam sistem persamaan regresi linear, yang merupakan
salah satu bahasan dari model regresi linear multivariat, dapat menimbulkan
masalah pada korelasi residu regresi. Salah satu masalah tersebut adalah korelasi
antar pengamatan dan antar persamaan. Suatu sistem persamaan yang dapat
mengatasi masalah korelasi residu antar persamaan untuk menghasilkan estimator
model regresi adalah model SUR. Jika dalam sistem tersebut, setiap persamaan
regresi mempunyai pola residu antar pengamatan yaitu AR(1) maka model yang
sesuai dengan keadaan ini adalah model SUR dengan residu berpola AR(1).
Tujuan dari skripsi ini adalah menurunkan ulang estimasi parameter model
SUR dengan residu berpola AR(1) menggunakan metode Park. Metode ini
merupakan penerapan dari metode Generalized Least Square (GLS). Hasil
estimasi parameter yang diperoleh adalah
dengan
dan
merupakan bentuk transformasi Prais-Winsten.
Kata kunci: model SUR, AR(1),GLS, metode Park, Prais-Winsten.
commit to user
iii
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
ABSTRACT
Khamsatul Faizati, 2012. PARAMETER ESTIMATION OF SEEMINGLY
UNRELATED REGRESSION (SUR) MODEL WITH FIRST-ORDER
AUTOREGRESSIVE (AR(1)) PATTERN RESIDUAL USING PARK
METHOD. Faculty of Mathematics and Natural Sciences, Sebelas Maret
University.
Panel data is a combination of cross section data and time series data. The
application of these data in the system of linear regression equations, which is one
of discussion of the multivariate linear regression model, it can cause problems on
the correlation of regression residual. One of the problems is the correlation
among observations and equations. A system of equations that can overcome the
problem of residual correlation among equations to produce the estimator of
regression model is SUR model. If in such a system, each regression equation has
residual pattern between observation AR(1), the model corresponding to this
situation is SUR model with AR(1) pattern residual.
The purpose of this final project is to generate parameter estimation of SUR
model with AR(1) pattern residual using Park method. This method is the
application of Generalized Least Square (GLS) method. The result of the
parameter estimation is
with
and
are Prais-Winsten transformation.
Key words: SUR model, AR(1),GLS, Park method, Prais-Winsten.
commit to user
iv
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
MOTO
Maka sesungguhnya bersama kesulitan ada kemudahan, sesungguhnya
bersama kesulitan ada kemudahan. Maka apabila engkau telah selesai (dari
sesuatu urusan), tetaplah bekerja keras (untuk urusan yang lain), dan
hanya kepada Tuhanmulah engkau berharap.
(QS. Al-Insyirah :5-8)
Sesungguhnya Allah beserta orang-orang yang sabar
(QS.Al-Anfaal :46)
commit to user
v
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
PERSEMBAHAN
Karya sederhana ini saya persembahkan kepada
Bapak dan Ibu yang tercinta
Saudara-saudara dan keponakan-keponakan yang tersayang
Pembaca yang budiman.
commit to user
vi
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
KATA PENGANTAR
Syukur Alhamdulillah penulis panjatkan kehadirat Allah
yang senantiasa melimpahkan rahmat-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan
skripsi ini.
Selama proses penyusunan skripsi, penulis menyadari bahwa skripsi ini
tidak akan terwujud tanpa dukungan dan bimbingan dari banyak pihak. Maka
dalam hal ini penulis megucapkan terima kasih kepada :
1. Ibu Dra. Sri Sulistijowati H, M.Si dan Bapak Drs. Tri Atmojo Kusmayadi,
M.Sc., Ph.D. yang telah memberikan bimbingan selama menyelesaikan
skripsi.
2. Teman-teman angkatan 2008 yang selalu menularkan semangatnya.
3. Semua pihak yang telah membantu dalam penyelesaian skripsi ini.
Akhirnya penulis berharap semoga penulisan skripsi ini dapat bermanfaat bagi
penulis pada khususnya dan pembaca pada umumnya.
Surakarta,
Oktober 2012
Penulis
commit to user
vii
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
DAFTAR ISI
Halaman
HALAMAN JUDUL....................................................................................
i
HALAMAN PENGESAHAN .....................................................................
ii
ABSTRAK ..................................................................................................
iii
ABSTRACT ..................................................................................................
iv
MOTO .........................................................................................................
v
PERSEMBAHAN .......................................................................................
vi
KATA PENGANTAR ................................................................................
vii
DAFTAR ISI ...............................................................................................
viii
BAB I PENDAHULUAN ...........................................................................
1
1.1 Latar Belakang ...........................................................................
1
1.2 Perumusan Masalah....................................................................
2
1.3 Tujuan Penelitian........................................................................
3
1.4 Manfaat Penelitian......................................................................
3
BAB II LANDASAN TEORI .....................................................................
4
2.1. Tinjauan Pustaka .......................................................................
4
2.1.1. Data Panel .......................................................................
5
2.1.2. Harga Harapan ...............................................................
5
2.1.3. Variansi dan Kovariansi .................................................
6
2.1.4. Matriks dan Operasi Matriks ...........................................
7
2.1.5. Sistem Persamaan Regresi Linear ...................................
9
2.1.6. Model Seemingly Unrelated Regression (SUR) ..............
10
2.1.7. Autoregressive .................................................................
12
2.1.8. Ordinary Least Square (OLS) .........................................
14
2.1.9. Generalized Least Square (GLS) ....................................
14
2.1.10. Koefisien Determinasi ...................................................
15
2.2. Kerangka Pemikiran ..................................................................
16
BAB III METODE PENELITIAN ............................................................
17
commit to user
viii
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN ....................................................
18
4.1. Model SUR dengan Gangguan Autokorelasi ...........................
18
4.2. Matriks Variansi Kovariansi Model ..........................................
19
4.3. Estimasi Parameter. ...................................................................
24
4.4. Contoh Kasus. ...........................................................................
27
BAB V PENUTUP ......................................................................................
31
4.1. Kesimpulan ...............................................................................
31
4.2. Saran .........................................................................................
32
DAFTAR PUSTAKA .................................................................................
33
LAMPIRAN
commit to user
ix
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
1
BAB I
PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang
Menurut Gujarati (2004), analisis regresi berkaitan dengan studi
ketergantungan satu atau lebih variabel pada satu atau lebih variabel yang lain
dengan maksud untuk memprediksi nilai yang terbentuk dari fungsi nilai-nilai
tetap yang diketahui. Variabel-variabel tersebut dikategorikan menjadi variabel
independen yang biasa dinotasikan dengan
dan variabel dependen yang
dinotasikan dengan . Jika hubungan antara variabel tersebut linear, maka disebut
model regresi linear.
Yan dan Su (2009) menuliskan dua tipe regresi linear yaitu regresi linear
sederhana dan regresi linear ganda. Regresi linear sederhana adalah regresi yang
memodelkan hubungan linear antara dua variabel,
dan
. Sedangkan regresi
linear ganda adalah regresi yang memodelkan hubungan linear antara satu
variabel
dan lebih dari satu variabel
. Menurut Johnson dan Wichern (2007),
regresi linear multivariat adalah regresi yang memodelkan hubungan antara
beberapa variabel
dan beberapa variabel .
Dalam proses estimasi parameter model regresi, tipe data menjadi
perhatian utama. Salah satu tipe data yang diamati dalam regresi linear multivariat
adalah data panel. Data ini dihasilkan dari proses penggabungan antara data cross
section dan data time series. Data ini diperoleh dengan mengamati beberapa
subyek pada satu satuan waktu dan perubahan subyek tersebut selama waktu
tertentu.
Residu
dalam
model
regresi
linear
selalu
diasumsikan
bersifat
homoskedastik dan serially uncorrelated. Penerapan data panel, yang merupakan
gabungan dari data time series dan cross section, dalam regresi linear multivariat
akan menimbulkan masalah dalam sifat residu tersebut. Korelasi residu menjadi
tiga macam, yaitu korelasi residu antar waktu, korelasi residu antar subyek, dan
korelasi residu antar keduanya. Masalah residu tersebut akan berpengaruh dalam
matriks variansi-kovariansi yang berakibat pada estimasi parameter model regresi.
commit to user
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
Menurut Davidson dan Mackinnon (1999), sistem persamaan regresi linear
merupakan bahasan dari model regresi linear multivariat yang terdiri atas
beberapa persamaan regresi linear. Dalam sistem ini, setiap subyek dalam data
panel dapat dibentuk menjadi sebuah persamaan regresi linear sehingga korelasi
residu antar subyek dan antar waktu dalam data panel dapat diartikan sebagai
korelasi residu antar persamaan dan antar pengamatan dalam sistem. Model SUR
merupakan sistem persamaan regresi linear yang dapat mengatasi masalah
korelasi residu antar persamaan dimana korelasi residu antar pengamatan sudah
tidak berkorelasi untuk menghasilkan estimator model regresi. Dalam skripsi ini
akan dikaji tentang estimasi parameter dari sistem persamaan regresi ketika residu
setiap persamaan berkorelasi antar persamaan dan antar pengamatan. Bentuk
korelasi residu antar pengamatan dalam skripsi ini adalah autoregressive orde satu
(AR(1)). Oleh karena itu, model yang sesuai dengan keadaan ini adalah model
SUR dengan residu berpola AR(1).
Menurut Messemer dan Parks (2004), estimator metode Park didesain
sebagai estimator untuk sistem persamaan dengan residu berkorelasi antar
pengamatan dan antar persamaan. Pada model SUR yang residunya berpola AR(1),
proses estimasi parameternya tidak dapat dilakukan menggunakan metode
Ordinary Least Square (OLS) karena tidak memenuhi asumsi nonautokorelasi
dalam estimator OLS (Gujarati, 2004). Oleh karena itu, metode Park bisa
mengatasi masalah tersebut. Dalam skripsi ini, penulis tertarik untuk menurunkan
ulang estimasi parameter model SUR dengan residu berpola AR(1) menggunakan
metode Park.
1.2. Perumusan Masalah
Berdasarkan uraian di atas, permasalahan yang dibahas dalam skripsi ini
adalah bagaimana menurunkan ulang estimasi parameter model Seemingly
Unrelated Regression (SUR) dengan residu berpola Autoregressive orde satu
menggunakan metode Park.
commit to user
2
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
1.3. Tujuan Penelitian
Tujuan dari skripsi ini adalah menurunkan ulang estimasi parameter model
Seemingly Unrelated Regression (SUR) dengan residu berpola Autoregressive
orde satu menggunakan metode Park.
1.4. Manfaat Penelitian
Manfaat yang diharapkan dari skripsi ini adalah menambah wawasan dan
pengetahuan mengenai model Seemingly Unrelated Regression (SUR) dengan
residu berpola Autoregressive orde satu dan estimasi parameter dengan metode
Park. Selain itu, dapat digunakan sebagai acuan bagi praktisi untuk menggunakan
metode Park dalam mengestimasi parameter model SUR yang mempunyai residu
berpola AR(1).
commit to user
3
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
4
BAB II
LANDASAN TEORI
Bab ini terdiri dari dua subbab, yaitu tinjauan pustaka dan kerangka
pemikiran. Pada tinjauan pustaka diberikan hal-hal yang mendasari penulisan
skripsi ini, yaitu pengertian dan teori yang berkaitan dengan estimasi parameter
model
Seemingly
Unrelated
Regression
(SUR)
dengan
residu
berpola
Autoregressive orde satu (AR(1)). Melalui kerangka pemikiran digambarkan
langkah dan arah penulisan untuk mencapai tujuan penulisan.
2.1 Tinjauan Pustaka
Estimator suatu parameter model regresi dapat dihasilkan menggunakan
metode maksimum likelihood. Frasher et al. (2005) telah menggunakan metode
ini untuk mengestimasi parameter model SUR. Metode lainnya adalah metode
Ordinary Least Square (OLS). Estimator metode ini harus memenuhi asumsiasumsi dalam metode OLS, salah satunya asumsi homoskedastis (residu tidak
berkorelasi). Adanya korelasi residu antar persamaan dalam model SUR
menyebabkan metode ini tidak dapat digunakan. Zellner (1962) menganjurkan
metode GLS dua langkah untuk mengestimasi parameter model SUR karena
metode ini sudah mempertimbangkan matriks variansi-kovariansi residu dalam
estimasi parameter model. Metode GLS dapat dilakukan jika matriks variansikovariansi residu dalam model SUR non-singular. Takada et al. (1995) meneliti
estimator model SUR ketika matriks variansi-kovariansinya singular. Di sisi lain,
Alaba et al. (2010) membandingkan estimasi parameter model SUR dengan OLS
satu-satu (setiap persamaan dalam model diestimasi satu per satu) dan GLS. Hasil
penelitiannya menyimpulkan bahwa estimator model SUR dengan metode GLS
lebih baik dari pada metode OLS satu-satu karena standar eror OLS lebih besar.
Estimasi parameter model SUR dengan metode GLS telah dikaji ulang oleh
Muflichah (2012). Adanya korelasi residu antar pengamatan dalam skripsi ini
menyebabkan invers dari matriks variansi kovariansi sulit untuk ditentukan
sehingga metode GLS tidak bisa langsung digunakan. Metode Park merupakan
commit to user
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
penerapan dari metode GLS yang dapat mengatasi masalah korelasi residu antar
waktu pengamatan dalam model SUR. Oleh karena itu, model SUR dengan residu
berpola AR(1) dapat diestimasi menggunakan metode Park.
Teori-teori relevan dan mendukung yang dapat digunakan untuk
menyelesaikan masalah tersebut meliputi data panel, harga harapan, variansi dan
kovariansi, matriks dan operasi matriks, sistem persamaan regresi linear, model
Seemingly Unrelated Regression (SUR), autoregressive, Ordinary Least Square
(OLS), Generalized Least Square (GLS) dan koefisien determinasi.
2.1.1
Data Panel
Gujarati (2004) memberikan tiga tipe data yang sering digunakan dalam
analisis yaitu data time series, data cross section dan data panel. Data time series
merupakan suatu himpunan pengamatan yang dikumpulkan pada interval waktu
tertentu seperti harian, mingguan, dan sebagainya. Data cross-section merupakan
suatu data yang dikumpulkan dari beberapa subyek yang diamati pada satu satuan
waktu. Sedangkan data panel merupakan gabungan data yang mempunyai unsurunsur data time series dan data cross-section yang diamati sepanjang waktu. Data
ini dikumpulkan dari beberapa subyek sejenis, seperti keluarga, perusahaan,
negara, dan lain-lain yang diukur pada satu satuan waktu dan diamati pada
interval waktu tertentu.
2.1.2
Harga Harapan
Harga harapan disebut juga mean adalah rata-rata terbobot dan merupakan
ukuran pusat suatu distribusi probabilitas. Harga harapan variabel random diskrit
adalah jumlahan dari hasil perkalian setiap harga variabel random dengan
probabilitas dari harga variabel random tersebut. Jika variabel randomnya
kontinu, maka operasi yang digunakan adalah operasi integral. Definisi tentang
harga harapan variabel random diambil dari Bain dan Engelhardt (1992).
Definisi 2.1 Jika X adalah variabel random diskrit dengan fungsi densitas
probabilitas (fdp) f(x), maka harga harapan dari X didefinisikan sebagai
commit to user
5
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
Definisi 2.2 Jika X adalah variabel random kontinu dengan fungsi densitas
probabilitas f(x), maka harga harapan dari X didefinisikan sebagai
Teorema 2.1 Jika X adalah variabel random dengan fdp
dan
adalah
fungsi bernilai real yang domainnya meliputi nilai yang mungkin untuk X, maka
Menurut Neter et al. (1990) ; Bain dan Engelhardt (1992), harga harapan
mempunyai sifat-sifat sebagai berikut.
Jika
dan
adalah variabel random, a dan c adalah konstanta, maka
1.
2.
3.
4.
5.
2.1.3
Variansi dan Kovariansi
Variansi merupakan ukuran penyebaran variabel random dalam suatu
distribusi. Bain dan Engelhardt (1992) mendefinisikan variansi dan kovariansi
sebagai berikut.
Definisi 2.3 Variansi dari variabel random X adalah
Teorema 2.2 Jika
adalah suatu variabel random, maka
commit to user
6
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
Sifat-sifat variansi menurut Neter et al. (1990) sebagai berikut
1.
2.
dengan a dan c adalah konstanta.
Definisi 2.4 Kovariansi dari pasangan variabel random
dan
didefinisikan
sebagai
Teorema 2.3 Jika
dan
adalah variabel random dan a,b adalah konstanta,
maka
1.
,
2.
3.
.
Teorema 2.4 Jika X dan Y adalah variabel random, maka
dan
ketika
2.1.4
dan
independen.
Matriks dan Operasi Matriks
Menurut Anton dan Rorres (2005), matriks adalah susunan segi empat
siku-siku yang terdiri dari entri (unsur) berupa bilangan-bilangan. Matriks ini
biasanya dinyatakan dengan sebuah huruf besar bercetak tebal. Berikut diberikan
beberapa sifat matriks.
Definisi 2.5 Jika A adalah matriks
dengan
, maka transpos dari A, dinyatakan
, didefinisikan sebagai matriks
yang didapatkan dengan
mempertukarkan baris-baris dan kolom-kolom dari A.
Toerema 2.5 Sifat dari transpos matriks. Jika A dan B adalah matriks berukuran
dan suatu skalar , maka
1.
2.
3.
commit to user
7
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
4.
Definisi 2.6 Jika
adalah matriks bujur sangkar, dan jika terdapat matriks
yang ukurannya sama sedemikian rupa sehingga
invertible dan
maka
disebut invers dari
. Jika matriks
, maka
disebut
tidak dapat didefinisikan,
dinyatakan sebagai matriks singular.
Teorema 2.6 Jika
adalah matriks yang invertible, maka
Teorema 2.7 Jika
dan
yang sama, maka
juga invertible dan
adalah matriks-matriks yang invertible dengan ukuran
invertible dan
Teorema 2.8 Jika A adalah matriks berukuran
, maka pernyataan
pernyataan di bawah ini ekuivalen.
a.
adalah orthogonally diagonalizable,
orthogonal,
b.
dengan P matriks
, dan D matriks diagonal.
simetris,
Sebagai pendukung dalam skripsi ini, digunakan operasi matriks khusus
yang dikenal sebagai perkalian Kronecker. Perkalian Kronecker dari 2 buah
matriks akan menghasilkan matriks dalam bentuk partisi yang masing-masing
submatriksnya adalah entri dari matriks pertama dikalikan matriks kedua.
Definisi 2.7 (Schott,2005) Jika
matriks berukuran
dituliskan dengan
adalah matriks berukuran
dan
, maka perkalian Kronecker antara matriks
adalah
dan
,
, adalah
Teorema 2.9 (Schott,2005) Misal ,
, dan
adalah matriks dan
vektor, maka
1.
commit to user
8
dan
adalah
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
2.
3.
4.
, jika
dan
berukuran sama
5.
, jika A dan B berukuran sama
6.
7.
8.
, jika
dan
nonsingular.
Turunan dari suatu matriks juga diperlukan dalam penurunan estimasi
parameter. Sifat-sifat turunan suatu matriks diambil dari Schott (2005).
Definisi 2.8 Matriks
terhadap
adalah matriks fungsi dari . Matriks
jika semua entri dalam matriks
Teorema 2.10 Jika
dan
matriks fungsi terhadap
dan
dapat diturunkan
dapat diturunkan terhadap .
adalah matriks fungsi dari
, d adalah turunan
adalah matriks konstan, maka
1.
2.
3.
4.
2.1.5
Sistem Persamaan Regresi Linear
Dalam suatu sistem persamaan regresi linear, diasumsikan bahwa terdapat
M persamaan dan T pengamatan yang masing-masing persamaan mempunyai satu
variabel dependen dan
variabel independen dengan persamaan regresi
sebagai berikut :
dengan
.
commit to user
9
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
Bentuk matriks dari persamaan regresi ke- dituliskan sebagai
dengan
sehingga masing-masing persamaan dapat dinyatakan sebagai
Persamaan-persamaan tersebut dapat diringkas dalam satu matriks dengan
menyusun M persamaan dalam bentuk
(2.3)
dengan
Berdasarkan persamaan (2.3), diasumsikan bahwa terdapat korelasi residu antar
persamaan sehingga estimasi parameternya dapat diselesaikan menggunakan
model Seemingly Unrelated Regression (SUR).
2.1.6
Model Seemingly Unrelated Regression (SUR)
Model SUR merupakan model regresi linear multivariat yang diperkenalkan
oleh Zellner pada tahun 1962. Model ini mengandung T pengamatan pada setiap
M variabel dependen dengan variabel-variabel tersebut sejenis dan diukur pada
satu waktu yang sama (cross section). Model ini digunakan ketika residu
berautokorelasi antar persamaan untuk menghasilkan estimasi model. Persamaan
(2.3) merupakan model SUR dengan asumsi
commit to user
10
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
dan
dengan
adalah matriks variansi kovariansi model SUR (Greene, 2002). Semua
pengamatan digunakan untuk mengestimasi parameter dari
persamaan dan
diasumsikan juga bahwa residu tidak berkorelasi antar pengamatan sehingga
.
Matriks variansi-kovariansi antara persamaan ke- dan persamaan ke- diberikan
oleh
sehingga
dengan
merupakan perkalian Kronecker antara
yang dijelaskan dalam
subbab 2.1.4. Matriks variansi kovariansi model SUR dapat dituliskan
dengan matriks variansi kovariansi residu untuk semua persamaan regresi pada
waktu pengamatan ke-t adalah
Hal yang penting untuk dilakukan sebelum mengestimasi parameter model
SUR adalah menguji apakah struktur variansi kovariansi residu merupakan
struktur SUR. Menurut Greene (2002); Ullah dan Su (2006), untuk menguji
commit to user
11
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
apakah ada korelasi residu antar persamaan digunakan statistik hitung Lagrange
Multiplier yaitu
dengan
untuk semua
(struktur SUR). Dengan tingkat signifikansi
ditolak jika
dan
, diperoleh daerah kritis yaitu
.
2.1.7
Autoregressive
Model SUR dapat digunakan ketika residu berkorelasi antar persamaan.
Dalam sistem persamaan regresi linear, residu pada masing-masing persamaan
kadang-kadang berkorelasi antar persamaan dan antar waktu.
Menurut Sembiring (2003), uji yang digunakan untuk menentukan bahwa
data tidak berkorelasi adalah statistik Durbin-Watson. Uji tersebut didasarkan
pada statistik
dengan
, sisa pada pengamatan ke- . Rentangan nilai d adalah
. Nilai d akan kecil (dekat dengan 0) jika selisih
kecil, jadi
berkorelasi positif. Nilai d akan besar (dekat dengan 4) jika selisih
besar, jadi
berkorelasi negatif. Jika
tidak ada
korelasi maka nilai d akan dekat dengan 2. Dalam skripsi ini, diasumsikan bahwa
bentuk korelasi antar waktu pengamatan adalah autoregressive orde satu (AR(1))
sehingga model sistem ini dapat disebut sebagai Model SUR dengan residu
berpola AR(1).
Proses autoregressive adalah suatu proses regresi pada dirinya sendiri.
Menurut Cryer (1986) bentuk umum suatu proses autoregressive orde p (AR(p))
adalah
commit to user
12
perpustakaan.uns.ac.id
Nilai
digilib.uns.ac.id
merupakan kombinasi linear dari p nilai dirinya sendiri sebelum waktu
ditambah suatu bentuk perubahan baru
, dengan
independen terhadap
Model proses AR(1) adalah
dengan
adalah koefisien parameter,
, dan
dengan mean nol dan variansi konstan,
adalah variabel random
.
Selanjutnya, untuk menguji apakah residu benar-benar berpola AR(1),
digunakan plot Partial Autocorrelation Function (PACF). PACF pada lag k
didefinisikan sebagai korelasi antara dua prediksi eror, yaitu,
dengan ketentuan
. Model Autoregressive dikatakan AR(1) jika
Menurut Cryer (1986), suatu data dapat dikatakan stasioner jika data
tersebut stasioner terhadap mean dan variansi. Selain model Autoregressive,
model untuk data stasioner yang lain adalah Moving Average dan Autoregressive
Moving Average.
Model Moving Average dengan order , atau proses MA
, didefinisikan
sebagai berikut
dimana
independen dan berdistribusi normal dengan mean 0 dan variansi
adalah parameter Moving Average dan
Moving Average orde satu (MA
dengan
,
adalah mean yang konstan. Proses
) adalah
.
Model
Autoregressive
Moving
Average
(ARMA(
))
merupakan
kombinasi dari model Autoregressive (AR( )) dan model Moving Average
(MA( )). Bentuk umum dari model ARMA(p,q) adalah
commit to user
13
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
Model ARMA(p,q) dikatakan stasioner jika
dan
.
Model ARMA(1,1) dapat ditulis sebagai
dengan
dan
2.1.8
.
Ordinary Least Square (OLS)
Bentuk umum model regresi linear dalam matriks adalah
.
Residu dalam model di atas dapat dituliskan sebagai
Weisberg (2005) menuliskan fungsi jumlah kuadrat residu sebagai
yang merupakan fungsi dari
meminimumkan fungsi
. Estimator OLS,
, dari
, yaitu menurunkan
diperoleh dengan
terhadap parameter
kemudian menyamakan dengan nol.
Dalam skripsi ini, parameter model SUR dengan residu berpola AR(1)
diestimasi menggunakan metode Park.
Metode ini menggunakan OLS untuk
mengestimasi setiap persamaan. Hasil estimasi digunakan untuk memperoleh
residu yang akan digunakan untuk mengestimasi parameter AR(1).
2.1.9
Generalized Least Squares (GLS)
Greene (2002) memberikan bentuk umum
model regresi linear
tergeneralisir dalam matriks adalah
(2.5)
dengan asumsi
dan
dimana
merupakan matriks
simetris definit positif, sehingga berdasarkan Teorema 2.8,
dapat difaktorkan
dalam
dimana kolom-kolom dari C adalah vektor-vektor eigen dari
dan nilai-nilai
eigen dari
adalah matriks
disusun dalam matriks diagonal
commit to user
14
. Misalkan
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
diagonal dengan elemen diagonal ke- adalah
. Misalkan pula
maka
, dan
maka
.
Metode GLS sudah mempertimbangkan matriks variansi-kovariansi pada
model. Dalam metode ini, didefinisikan fungsi jumlah kuadrat tergeneralisir.
Untuk memperoleh fungsi ini, persamaan (2.5) dikalikan dengan P sehingga
atau
Vektor residu persamaan (2.6) adalah
dan fungsi jumlah kuadrat tergeneralisir
Menurut Greene (2002), prinsip metode GLS meminimumkan
menurunkan
terhadap parameter
dengan cara
kemudian menyamakan dengan nol.
2.1.10 Koefisien Determinasi
Menurut Sembiring (2003), koefisien determinasi
dapat digunakan
untuk mengukur kecocokan data dengan model. Koefisien determinasi
didefinisikan
dengan
adalah nilai taksiran dari variabel dependen,
dari variabel dependen dan
adalah nilai pengamatan pada variabel random.
Nilai koefisien determinasi,
dengan
, berkisar antara
sampai . Semakin dekat
maka makin baik kecocokan model dengan data, sebaliknya jika
makin dekat dengan
Besar
adalah nilai rata-rata
maka makin jelek kecocokan model tersebut.
dipengaruhi oleh banyaknya variabel independen dalam model.
Jika jumlah variabel independen lebih dari satu, maka digunakan
yang didefinisikan sebagai
commit to user
15
-adjusted
perpustakaan.uns.ac.id
dengan
digilib.uns.ac.id
adalah banyaknya pengamatan dan
banyaknya parameter.
2.2 Kerangka Pemikiran
Model SUR digunakan dalam analisis regresi multivariat ketika residu
berkorelasi antar persamaan. Namun, dalam regresi multivariat residu masingmasing persamaan kadang-kadang juga berkorelasi antar waktu pengamatan,
seperti berpola AR(1). Model regresi multivariat ini dapat dikatakan sebagai
model SUR dengan residu berpola AR(1). Estimasi parameter model SUR
menggunakan metode GLS lebih baik daripada metode OLS satu-satu, namun
adanya korelasi antar waktu menyebabkan metode GLS kurang sesuai untuk
estimasi parameter model SUR dengan residu berpola AR(1). Oleh karena itu,
metode Park yang merupakan penerapan metode GLS dan estimatornya didesain
sebagai estimator dari sistem persamaan yang residunya berkorelasi antar
persamaan dan antar waktu pengamatan (Messemer dan Park, 2004) sesuai untuk
mengestimasi model SUR dengan residu berpola AR(1). Setelah estimator model
didapatkan, kemudian diaplikasikan dalam contoh kasus.
commit to user
16
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
17
BAB III
METODOLOGI PENELITIAN
Metode penelitian yang digunakan adalah studi literatur dengan
pengumpulan bahan melalui buku buku referensi dan karya ilmiah yang meliputi
hasil-hasil penelitian dan jurnal yang berkaitan dengan model SUR dan metode
Park.
Langkah langkah penelitian adalah sebagai berikut
1. mengkonstruksi model SUR dengan residu berpola AR(1),
2. menentukan estimasi parameter model,
a. menentukan matriks variansi-kovariansi model beserta inversnya,
b. mengestimasi parameter model dengan metode generalized least
square dengan membentuk
kemudian menentukan nilai
minimumnya,
c. menentukan estimasi parameter setiap persamaan regresi model
dengan metode OLS untuk memperoleh residu yang akan
digunakan untuk estimasi koefisien korelasi AR(1),
d. menentukan langkah-langkah penerapan metode Park dalam data.
3. menerapkan dan mengambil kesimpulan dari suatu contoh kasus.
commit to user
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
18
BAB IV
HASIL DAN PEMBAHASAN
Pada bab ini akan diturunkan ulang cara melakukan estimasi terhadap
parameter model SUR dengan residu berpola AR(1) serta penerapannya.
Pembahasan di sini mengacu pada Messemer dan Park (2004), Dey et al. (2008)
dan Greene (2002).
4.1 Model SUR dengan Gangguan Autokorelasi
Persamaan regresi ke- dari model SUR yang terdiri dari
persamaan
regresi dapat dituliskan sebagai
dengan
adalah vektor observasi terurut
adalah matriks observasi
pada variabel dependen
pada variabel independen
adalah vektor parameter
adalah vektor residu
.
persamaan regresi tersebut dapat disusun dalam matriks blok yang dituliskan
sebagai
dengan
Jika residu dalam masing-masing persamaan pada model SUR memiliki
pola AR(1), maka bentuk hubungan residu untuk persamaan ke- ,
dengan
AR(1), dan
adalah residu pengamatan ke- pada periode ,
adalah parameter
adalah residu AR(1) yang tidak berkorelasi antar pengamatan.
commit to user
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
4.2 Matriks Variansi Kovariansi Model
Estimasi parameter model SUR dengan residu berpola AR(1) dilakukan
dengan mengestimasi parameter
dalam persamaan
digunakan untuk mengestimasi
. Metode yang akan
adalah metode Park. Langkah pertama dalam
estimasi parameter adalah menentukan matriks variansi kovariansi model SUR.
Model SUR mengasumsikan bahwa
atau
untuk
yaitu, residu pengamatan tidak berkorelasi antar waktu. Akan tetapi, residu
pengamatan dalam skripsi ini berkorelasi antar waktu pengamatan dengan pola
korelasi tersebut adalah AR(1). Bentuk hubungan residu untuk persamaan ke- ,
dengan
,
dan
jika
. Variansi residu
adalah
Residu
diasumsikan stasioner (
) sehingga diperoleh
Dengan cara yang sama, kovariansi antara persamaan ke- dan persamaan kedapat diperoleh.
Residu AR(1),
, diasumsikan independen terhadap residu pengamatan
sehingga
,
diperoleh
commit to user
19
dan
perpustakaan.uns.ac.id
Misalkan
digilib.uns.ac.id
,
dan asumsi kestasioneran
maka
atau
Nilai kovariansi antara persamaan ke- dan persamaan ke- untuk satu periode
waktu pengamatan yang berbeda diperoleh
Untuk dua periode waktu pengamatan yang berbeda,
sehingga untuk suatu
satuan waktu yang berbeda diperoleh
Matriks variansi kovariansi model SUR dengan residu berpola AR(1) adalah
commit to user
20
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
dengan
Langkah selanjutnya adalah menentukan invers dari matriks variansi
kovariansi residu model SUR dalam skripsi ini, yaitu
. Variansi kovariansi
persamaan ke- berdasarkan persamaan (4.2) dan (4.3),
Untuk memudahkan dalam menentukan
invers dari
, didefinisikan matriks
adalah
dengan
commit to user
21
dengan
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
Berdasarkan persamaan (4.5) dan persamaan (4.6) diperoleh
commit to user
22
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
atau
dan untuk persamaan ke-i dan persamaan ke-j,
Jika matriks
dari M persamaan disusun dalam matriks blok
dan W dengan
dan
maka berdasarkan persamaan (4.3), (4.7) dan (4.8) diperoleh
atau
Kedua sisi baik kanan dan kiri dalam persamaan (4.9) diinverskan,
commit to user
23
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
4.3 Estimasi Parameter
Estimator parameter model diperoleh dengan mengestimasi parameter
menggunakan metode GLS, yaitu dengan mencari nilai minimum dari
. Fungsi
merupakan suatu fungsi kuadrat dari
dengan koefisien
positif sehingga fungsi ini mempunyai titik ekstrim minimum. Oleh karena itu,
titik ekstrim minimum dari fungsi kuadrat
dari persamaan
dicapai ketika
. Nilai
dalam bentuk matriks adalah
Langkah-langkah estimasi parameter
adalah
1. Menentukan fungsi
2. Menurunkan
terhadap
3. Meminimumkan fungsi
dengan cara persamaan
dengan nol
Persamaan (4.10) disubstitusikan ke dalam persamaan (4.12) diperoleh
commit to user
24
disamakan
perpustakaan.uns.ac.id
Estimator
digilib.uns.ac.id
dapat juga ditulis dengan
(4.13)
Greene
(2002)
menjelaskan
transformasi
Prais-Winsten
untuk
menghilangkan autokorelasi pada data. Jika diketahui pasangan data time series
[
] dan
adalah koefisien korelasi maka transformasi Prais-Winsten dari data
tersebut adalah
dan
Hasil transformasi yang diperoleh sama dengan perkalian matriks
. Misalkan
dan
dan
maka persamaan (4.13) dapat ditulis sebagai
Setiap persamaan regresi linear dalam model SUR diestimasi parameternya
masing-masing untuk menentukan pola autokorelasi residu. Metode yang
digunakan untuk mengestimasi parameter tiap persamaan adalah metode OLS.
Setelah dilakukan estimasi parameter, akan diperoleh nilai residu tiap waktu dari
masing-masing persamaan. Residu dalam skripsi ini diasumsikan berpola AR(1).
Estimator untuk koefisien korelasi AR(1),
, diperoleh berdasarkan residu
tersebut. Bentuk umum model regresi linear dalam bentuk matriks adalah
Weisberg (2005) menuliskan fungsi jumlah kuadrat residu sebagai
commit to user
25
perpustakaan.uns.ac.id
yang merupakan fungsi dari
, yaitu menurunkan
digilib.uns.ac.id
. Prinsip OLS adalah meminimumkan fungsi
terhadap parameter
kemudian menyamakan
dengan nol
diperoleh estimator OLS, , dari
adalah
(4.17)
Estimator OLS tersebut diterapkan dalam setiap persamaan pada model
SUR. Hasil estimasi digunakan untuk memperoleh estimator dari koefisien
korelasi. Bentuk korelasi residu pengamatan persamaan ke- adalah
Menurut Greene (2002), estimator untuk
adalah
Langkah-langkah estimasi parameter menggunakan metode Park adalah
1. mengestimasi parameter setiap persamaan dengan persamaan (4.17),
2. menghitung residu dan estimator
yaitu
berdasarkan residu berpola
AR(1) dengan persamaan (4.18),
3. untuk setiap persamaan, data ditransformasi menggunakan transformasi
Prais-Winsten yang dituliskan dalam persamaan (4.14) dan persamaan
(4.15),
4. parameter model SUR diestimasi dengan menggunakan data hasil
transformasi dan persamaan (4.16).
commit to user
26
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
4.4 Contoh Kasus
Contoh data yang digunakan dalam kasus skripsi ini adalah data investasi
dari dua perusahaan yaitu Perusahaan A dan Perusahaan B. Masing-masing
perusahaan diambil 20 waktu pengamatan, dengan dua variabel yang diamati
adalah
: investasi,
: nilai pasar perusahaan (nilai saham di bursa efek).
Semua variabel dalam satuan juta dollar. Data yang diperoleh dapat dilihat pada
Lampiran 3.
Model yang diestimasi adalah
untuk
dan
.
Estimasi parameter model tersebut dengan metode OLS dan nilai statistik Durbin
Watson adalah
statistik Durbin-Watson = 2,95782
statistik Durbin-Watson = 2,85406
Nilai statistik Durbin-Watson kedua perusahaan tidak mendekati 2, berarti residu
kedua perusahaan mengalami autokorelasi. Dari hasil estimasi tersebut, dihitung
nilai residu pengamatan kedua perusahaan. Residu tersebut mempunyai pola
stasioner (Lampiran 4).
Gambar 1 menunjukkan plot Autocorrelation Function (ACF) dan Partial
Autocorrelation Function (PACF) untuk residu perusahaan A.
Dapat dilihat
bahwa lag 1 kedua plot keluar dari garis interval kepercayaan 5%, itu berarti
residu perusahaan dapat berpola AR(1), MA(1), dan ARMA(1,1). MSE dari
AR(1) lebih kecil daripada MA(1) dan ARMA(1,1) sehingga residu berpola
AR(1) dengan estimasi koefisien korelasi
commit to user
27
(Lampiran 5).
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
Gambar 1. Plot ACF dan PACF residu perusahaan Diamond Match
Gambar 2 menunjukkan plot Autocorrelation Function (ACF) dan Partial
Autocorrelation Function (PACF) untuk residu perusahaan B.
Dapat dilihat
bahwa lag 1 kedua plot keluar dari garis interval kepercayaan 5%, itu berarti
residu perusahaan dapat berpola AR(1), MA(1), dan ARMA(1,1). MSE dari
AR(1) lebih kecil daripada MA(1) dan ARMA(1,1) sehingga residu berpola
AR(1) dengan estimasi koefisien korelasi
(Lampiran 5).
Gambar 2. Plot ACF dan PACF residu perusahaan American Steel
Selanjutnya data ditransformasi menggunakan transformasi Prais-Winston.
Hasil transformasi dapat dilihat dalam Lampiran 6. Data hasil transformasi
digunakan untuk mengestimasi parameter model dengan metode generalized least
square. Hasil estimasi yang diperoleh ditunjukkan dalam Tabel 1.
commit to user
28
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
Tabel 1. Estimasi Parameter Model SUR
Perusahaan
A
Parameter
Nilai estimasi
(intercept)
p-value
0,0000
0,0000
B
(intercept)
0,0000
0,0000
Matriks koefisien korelasi residu model adalah
Hipotesis null untuk Model SUR adalah
untuk
(struktur
variansi kovariansi bersifat heteroskedastis dan tidak ada korelasi residu antar
persamaan) dengan nilai statistik Lagrange Multiplier,
Daerah kritis khi-kuadrat untuk
dan
adalah
3,8415. Karena
, dapat disimpulkan bahwa
ditolak,
artinya model ini memenuhi struktur SUR (terdapat korelasi residu antar
persamaan).
Dari Tabel 1, diperoleh persamaan investasi untuk dua perusahaan adalah
sebagai berikut
dan
.
Nilai p-value dari parameter kedua perusahaan adalah 0,000 lebih kecil dari
tingkat signifikansi
, berarti bahwa nilai estimator parameter kedua
perusahaan signifikan (sesuai/cocok) dengan data. Nilai Adjusted R-squared
diperoleh sebesar 0,999, artinya
99,9% variasi variabel dependen (Y) dapat
dijelaskan oleh variabel independen nilai pasar perusahaan ( ), dan sisanya
dipengaruhi oleh variabel lain.
commit to user
29
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
Pada perusahaan A, nilai investasi menurun sebesar 13,99 juta dolar ketika
nilai pasar perusahaan tidak berpengaruh. Apabila nilai pasar perusahaan
mengalami peningkatan sebesar 1 juta dolar akan mengakibatkan nilai investasi
meningkat sebesar
dolar.
Pada perusahaan B, nilai investasi meningkat sebesar 33,32 juta dolar
ketika nilai pasar perusahaan tidak berpengaruh. Apabila nilai pasar perusahaan
mengalami peningkatan sebesar 1 juta dolar akan mengakibatkan nilai investasi
meningkat sebesar
dolar.
commit to user
30
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
31
BAB V
PENUTUP
5.1
Kesimpulan
Berdasarkan uraian dalam pembahasan dapat ditarik kesimpulan bahwa
model SUR memiliki bentuk umum masing-masing persamaan ke- adalah
dengan residu berpola AR(1) mempunyai bentuk untuk persamaan ke- ,
Metode yang digunakan untuk mengestimasi parameter model SUR
dengan residu berpola AR(1) adalah metode Park. Langkah-langkah estimasi
parameter menggunakan metode Park adalah
1. mengestimasi parameter setiap persamaan dengan
2. menghitung residu dan estimator
yaitu
berdasarkan residu berpola
AR(1) dengan
3. untuk setiap persamaan, data ditransformasi menggunakan transformasi
Prais-Winsten. Jika diketahui pasangan data time series [
adalah estimator dari
] dan
maka transformasi Prais-Winsten dari data
tersebut adalah
4. parameter model SUR diestimasi dengan menggunakan data hasil
transformasi dan persamaan
commit to user
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
5.2
Saran
Skripsi ini mengkaji ulang tentang teori estimasi parameter model SUR
dengan residu berpola AR(1). Oleh karena itu dapat dilakukan penelitian dengan
menerapkan teori ini dalam studi kasus. Metode yang digunakan pada skripsi ini
adalah metode Park, untuk itu dapat dilakukan penelitian lain dengan metode yang
berbeda.
commit to user
32