Penyelesaian Persamaan Ruang Keadaan - Share ITS

Institut Teknologi Sepuluh Nopember
Surabaya
Penyelesaian
Persamaan Ruang Keadaan
Pengantar
Materi
Contoh Soal
Ringkasan
Latihan
Asesmen
Pengantar
Teorema Cayley-Hamilton
Materi
Penyelesaian Umum Persamaan
Keadaan Homogen
Contoh Soal
Penyelesaian Umum Persamaan
Keadaan Homogen Dengan
Tranformasi Laplace
Ringkasan
Latihan
Asesmen
Pengantar
Materi
Contoh Soal
Ringkasan
Latihan
Asesmen
Pengantar
 Pada sub-bab ini akan dibahas teorema CayleyHamilton untuk menyelesaikan masalah-masalah yang
melibatkan persamaan matrik transisi keadaan,
persamaan homogen, dan pendekatan laplace pada
persamaan keadaan homogen.
 Matrik transisi keadaan, merupakan matriks yang
mencirikan suatu transisi dari variable-variabel state
pada saat ti untuk beralih ke tj, dimana tj>ti
Pengantar
Materi
Contoh Soal
Ringkasan
Latihan
Asesmen
Materi
Teorema Cayley-Hamilton
Teorema ini digunakan untuk pembuktian yang melibatkan persamaan
matrik atau menyelesaikan masalah yang melibatkan persamaan matrik.
Matrik Anxn, dengan persamaan karakteristik
I  A    a1
n
n 1
 ...  an1  an  0
(Pers.1)
teorema Cayley-Hamilton: matrik A yang sesuai dengan persamaan
karakteristiknya dinyatakan dengan bentuk persamaan sebagai berikut,
A n  a1 A n1  ...  an1 A  an I  0
(Pers.2)
Pengantar
Materi
Contoh Soal
Ringkasan
Latihan
Asesmen
Materi
Fungsi eat
at
at
det
de
de
d (at )
 et ;

 e at a  ae at
dt
dt
d (at ) dt

k
(
at
)
e  1  at  21! (at )   k1! (at )    
k!
k 0
k! k  (k  1)   2 1
at
2
k
de at d (1  at  12 (at ) 2   k1! (at ) k  )

dt
dt
0  a  22 (at )a   kk! (at ) k 1 a  )

 ae at
dt
(Pers.3)
Pengantar
Materi
Contoh Soal
Ringkasan
Latihan
Asesmen
Materi
Penyelesaian Umum Persamaan Keadaan Homogen
Persamaan diferensial Skalar
Persamaan diferensial skalar dinyatakan dengan bentuk sebagai berikut:
x  ax
(Pers.4)
dan penyelesaiannya dinyatakan dalam bentuk sebagai berikut
x(t )  b0  b1t  b2 t 2  ....  bk t k  ....
(Pers.5)
Dari kedua persamaan diatas dilakukan substitusi sehingga dapat
dinyatakan dalam bentuk sebagai berikut
b1  2b2 t  3b3t 3  ....  kbk t k 1  ....  a(b0  b1t  b2 t 2  ....  bk t k  ....) (Pers.6)
Pengantar
Materi
Contoh Soal
Ringkasan
Latihan
Asesmen
Materi
Penyelesaian Umum Persamaan Keadaan Homogen
Selanjutnya dengan menyamakan koefisien-koefisien dari suku-suku dengan
pangkat t yang sama diperoleh:
b1  ab0
1
b2  ab1 
2
1
b3  ab2 
3
...................
1
bk  a k b0
k!
1 2
a b0
2
1 3
a b0
3x 2
(Pers.7)
Pengantar
Materi
Contoh Soal
Ringkasan
Latihan
Asesmen
Materi
Penyelesaian Umum Persamaan Keadaan Homogen
dengan mensubtitusikan t=0 kedalam persamaan
b,1  2b2 t  3b3t 3  ....  kbk t k 1  ....  a(b0  b1t  b2 t 2  ....  bk t k  ....)
(Pers.8)
maka diperoleh x(0)=b0, jadi jawab x(t) dapat dituliskan sebagai berikut :
x(t )  (1  at 
1 2 2
1
a t  ....  a k t k  ....) x(0)  e at x(0)
2!
k!
(Pers.9)
Persamaan diatas merupakan penyelesaian umum persamaan diferensial
skalar dan mengandung suku eksponensial skalar.
Pengantar
Materi
Contoh Soal
Ringkasan
Latihan
Asesmen
Materi
Exponensial Matriks: eAt

k k
A
t
At
2 2
k k
1
1
e  I  At  2! A t   k! A t    
k  0 k!
k! k  (k  1)   2 1
de at de at d (at )

 ae at
dt d (at ) dt
de At de At d ( At )

 Ae At  e At A
dt d ( At ) dt
(Pers.9)
Pengantar
Materi
Contoh Soal
Ringkasan
Latihan
Asesmen
Materi
Bentuk deret dari eAt
d At
d
e  ( I  At  21! A 2 t 2   k1! A k t k  )
dt
dt
 0  A  12 2tA2    k1! kt k 1 A k  
 A  A 2t   
1
( k 1)!
A k t k 1  
 A(I  At   (k1-1)! A k 1t k 1  )

 A
k 0
Ak t k
 Ae At
k!
 (I  At   (k1-1)! A k 1t k 1  ) A

 (
k 0
Ak t k
) A  e At A
k!
(Pers.10)
Pengantar
Materi
Contoh Soal
Ringkasan
Latihan
Asesmen
Materi
PenyelesaianUmum
UmumPersamaan
PersamaanKeadaan
KeadaanHomogen
Homogen
Penyelesaian
Persamaan diferensial Matrik Vektor
Persamaan diferensial matrik-vector:
x  Ax
(Pers.11)
dimana : x = vektor n dimensi.
A= matriks konstannxn
Analogi dengan kasus skalar, berbentuk deret pangkat vektor dalam t, atau
x(t )  b 0  b1t  b 2 t 2  ....  b k t k  ....
(Pers.12)
Pengantar
Materi
Contoh Soal
Ringkasan
Latihan
Asesmen
Materi
Penyelesaian Umum Persamaan Keadaan Homogen
Substitusi pada pers (
b1  2b 2 t  3b 3t 3  ....  kb k t k 1  ....  A(b 0  b1t  b 2 t 2  ....  b k t k  ....)
(Pers.13)
Selanjutnya dengan menyamakan koefisien-koefisien dari suku-suku dengan
pangkat t yang sama diperoleh:
b  Ab
1
0
1
1
b 
Ab 
A 2b
2
1
0
2
2
1
1
b 
Ab 
A3b
3
2
0
3
3x 2
...................
1
b

Ak b
k
0
k!
(Pers.14)
Pengantar
Materi
Contoh Soal
Ringkasan
Latihan
Asesmen
Materi
Penyelesaian Umum Persamaan Keadaan Homogen
dengan mensubtitusikan t=0 kedalam persamaan x(t )  b 0  b1t  b 2 t 2  ....  b k t k  ....
, maka diperoleh x(0)=b0, jadi jawab x(t) dapat dituliskan sebagai berikut :
x(t )  (I  At 
1 22
1
A t  ....  A k t k  ....)x(0)  e At x(0)
2!
k!
(Pers.15)
Karena eksponensial matrik eAt dalam analisis ruang keadaan sistem linier,
maka berikut adalah beberapa sifat eksponensial matrik,
e ( AB)t  e At e Bt
jika AB  BA
e ( AB)t  e At e Bt
jika AB  BA
(Pers.16)
Pengantar
Materi
Contoh Soal
Ringkasan
Latihan
Asesmen
Materi
Penyelesaian Umum Persamaan Keadaan Homogen Dengan
Tranformasi Laplace
Pendekatan penyelesaian untuk persamaan diferensial skalar homogen dapat
diperluas dengan persamaan keadaan homogen:
x  Ax(t )
(Pers.17)
dengan transformasi laplace sebagai berikut :
sX(s)-x(0) = AX(s)
(Pers.18)
dimanaX(s) = ℒ[x]. Selanjutnya
(sI-A)X(s) = x(0)
(Pers.19)
kedua persamaan (a) dan (b) dikalikan dengan (sI-A)-1, maka diperoleh
X(s) = (sI-A)-1 x(0)
(Pers.20)
Pengantar
Materi
Contoh Soal
Ringkasan
Latihan
Asesmen
Contoh Soal
Persamaan keadaan sistem linier time invariant yang dinyatakan dalam bentuk
berikut :
1
0   x1  1
 x1   0
 x    0
  x   1 r (t )
0
1
2
  
 2   
 x 3   6  11  6  x3  1
y  1 1 0x
Bila diberikan kondisi awal dari variabel keadaan adalah :
 x1   1 
 x    0,5 
 2 

 x3   0,5
Tentukan x(t) dan y(t) jika r(t) adalah fungsi step.
Pengantar
Materi
Contoh Soal
Ringkasan
Latihan
Asesmen
Contoh Soal
Penyelesaian
Pengantar
Materi
Contoh Soal
Ringkasan
Latihan
Asesmen
Contoh Soal
Penyelesaian
Pengantar
Materi
Contoh Soal
Ringkasan
Latihan
Asesmen
Contoh Soal
Penyelesaian
Pengantar
Materi
Contoh Soal
Ringkasan
Latihan
Asesmen
Contoh Soal
Penyelesaian
Program Matlab pada contoh soal tersebut,
A=[0 1 0; 0 0 1; -6 -11 -6];
B=[1;1;1]; C=[1 1 0]; D=0;
x0=[1 .5 -0.5]; t=0:0.05:4;
U=ones(1, length(t)); % menghasilkan vektor baris u(t)
[y,x]=lsim(A,B,C,D,U,t,x0);
plot(t,x,t,y);
title('Penyelesaian numerik pada persamaan state'),
xlabel('Waktu - detik')
Pengantar
Materi
Contoh Soal
Ringkasan
Latihan
Asesmen
Contoh Soal
Penyelesaian
Keluaran dari program Matlab seperti terlihat pada gambar di bawah :
Pengantar
Materi
Contoh Soal
Ringkasan
Latihan
Asesmen
Ringkasan
1. Untuk menyelesaikan persamaan keadaan homogen dapat
diselesaikan dengan teorema: Teorema Cayley-Hamilton
2. Penyelesaian persamaan keadaan sistem, dapat dilakukan
dengan menggunakan function [y,x] = impulse(A,B,C,iu,t) dan
[y,x] = step(A,B,C,D,iu,t) dimana kedua fungsi tersebut akan
menghasilkan respon impulse dan respon step
Pengantar
Materi
Contoh Soal
Ringkasan
Latihan
Asesmen
Latihan
Persamaan keadaan sistem linier time invariant yang dinyatakan dalam bentuk
berikut :
1
0   x1  1
 x1   0
 x    0
  x   1 r (t )
0
2
2
  
 2   
 x3   6  6  6  x3  1
y  1 2 0x
Bila diberikan kondisi awal dari variabel keadaan adalah :
 x1   1 
x    1 
 2 

 x3   0,5
Tentukan x(t) dan y(t) jika r(t) adalah fungsi step.
SEKIAN
&
TERIMAKASIH