1 SISTEM BILANGAN REAL

1 SISTEM BILANGAN REAL
Pertemuan 1
•
Standar kompetensi: mahasiswa memahami cara membangun sistem bilangan real,
aturan dan sifat-sifat dasarnya.
•
Kompetensi dasar
Memahami aksioma atau sifat aljabar bilangan real
Memahami fakta-fakta dasar yang sudah berlaku pada bilangan real
Memahami cara pendenisian operasi kurang - , operasi pembagian ÷, dan
pemangkatan
•
Memahami suatu bilangan adalah bilangan rasional dan bilangan irrasional.
Indikator
Menulisakan 9 sifat aljabar bilangan real
Membedakan elemen satuan dan elemen nol pada bilangan real
Mendenisikan elemen kebalikan dan elemen negatif dari sebuah bilangan real
Menulis kembali langkah-langkah pembuktian sifat-sifat dasar yang berlaku
pada bilangan real dengan memberikan alasan/justikasi pada setiap langkahnya.
Melengkapi bukti-bukti yang masih belum diselesaikan.
Bilangan real sudah dikenal dengan baik sejak masih di sekolah menengah.
Namun
untuk memulai mempelajari materi pada BAB ini anggaplah diri kita belum tahu apaapa tentang bilangan real. Kita akan mempelajari bagaimana sistem bilangan real itu
dibangun.
Pertama-tama kita hanya diberikan suatu himpunan bilangan tetapi belum tahu anggotanya
seperti apa, belum aturan yang berlaku di dalamnya. Kemudian kepada himpunan ini
diberikan dua operasi binair, penjumlahan dan pengurangan.
dibuat beberapa aksioma.
men 1.
Dengan dua operasi ini
Dua aksioma penting adalah keujudan elemen 0 dan ele-
Inilah anggota bilangan real pertama yang kita ketahui.
Selanjutnya dengan
aksioma-aksioma ini didenisikan anggota-anggota lainnya, seperti bilangan positif, bilangan negatif, bilangan bulat, bilangan rasional dan bilangan irrasional. Juga didenisikan sifat-sifat yang mengatur hubungan antar anggota, seperti sifat urutan, sifat jarak,
sifat kelengkapan dan sifat kepadatan.
1
1 SISTEM BILANGAN REAL
1.1 Sifat Aljabar Bilangan Real
Bilangan real dipandang sebagai suatu himpunan, seterusnya dilambangkan dengan
R.
Selanjutnya, didenisikan dua operasi binair '+' dan '·' masing-masing disebut operasi
penjumlahan dan operasi perkalian.
Kedua operasi binair ini diterapkan pada
R
dan
memenuhi sifat-sifat sebagai berikut:
(A1)
a+b=b+a
(A2)
(a + b) + c = a + (b + a)
untuk setiap
a, b ∈ R,
yaitu
untuk setiap
komutatif
a, b, c ∈ R,
yaitu
terhadap penjumlahan.
asosiatif
terhadap penjum-
lahan.
(A3) Terdapat elemen
ini disebut
(A4) Untuk setiap
Elemen
0∈R
(−a)
a∈R
a·b=b·a
(M2)
(a · b) · c = a · (b · a)
untuk setiap
(M3) Terdapat elemen
(−a) ∈ R
negatif dari a.
selalu terdapat
ini disebut
(M1)
disebut
a+0=0+a=a
sehingga
elemen nol.
a, b ∈ R,
untuk setiap
1∈R
sehingga
elemen satuan.
yaitu
sehingga
komutatif
a, b, c ∈ R,
untuk setiap
yaitu
a·1 = 1·a = a
a ∈ R.
Elemen
0
a + (−a) = (−a) + a = 0.
terhadap perkalian.
asosiatif
terhadap perkalian.
untuk setiap
a ∈ R.
Elemen
1
ini
a ∈ R, a 6= 0 selalu terdapat (1/a) ∈ R sehingga a · (1/a) = (1/a) · a =
(1/a) ini disebut kebalikan dari a.
(M4) Untuk setiap
1.
(D)
Elemen
a · (b + c) = (a · b) + (a · c)
Sifat ini disebut
dan
distributif
(b + c) · a = (b · a) + (c · a)
untuk setiap
a, b, c ∈ R.
perkalian terhadap penjumlahan.
Diperhatikan bahwa ada 4 sifat yang berkaitan dengan operasi penjumlahan yaitu A1,
A2, A3 dan A4 (notasi A untuk Adisi, atau penjumlahan), 4 sifat yang berkaitan dengan
perkalian yaitu M1, M2, M3 dan M4 (M untuk Multiplikasi, atau perkalian) dan 1 sifat
yang mencakup keduanya yaitu D (D untuk Distributif ). Kesembilan sifat ini disebut
sifat aljabar atau aksioma bilangan real.
Sampai saat ini belum didenisikan bilangan negatif dan operasi pengurangan. Notasi
−a
dianggap sebuah elemen di dalam
R.
Begitu juga elemen kebalikan
1/a
dianggap
sebuah elemen dan operasi pembagian belum didenisikan.
Berikut diberikan beberapa teorema sederhana yang diturunkan langsung dari sifat-sifat
aljabar ini.
Teorema 1.1. Jika a bilangan real sebarang maka persamaan a + x = b mempunyai
penyelesaian tunggal, yaitu x = (−a) + b.
2
1 SISTEM BILANGAN REAL
Bukti.
a+x = b
[diketahui]
(−a) + (a + x) = (−a) + b
((−a) + a) + x = (−a) + b [menggunakan A2]
0 + x = (−a) + b [menggunakan A4]
x = (−a) + b [menggunakan A3]
Exercise 1.
a bilangan real tidak nol maka persamaan a·x = b mempunyai
x = (1/b) · a.
Buktikan jika
penyelesaian tunggal
Teorema 1.2. Bila a suatu elemen pada R maka
1.
a·0=0
2.
(−1) · a = −a,
3.
−(−a) = a,
4.
(−1) · (−1) = 1.
Bukti.
,
1) Berdasarkan (M3) kita mempunyai
ditambahkan
a,
a · 1 = a.
Selanjutnya kedua ruas ini
diperoleh
a+a·0 = a·1+a·0
= a · (1 + 0)
= a·1
= a
[menggunakan D]
[menggunakan A3]
[menggunakan M3]
Selanjutnya dengan menggunakan Teorema 1.1 dengan menganggap
x
sebagai
a·0
diperoleh
a · 0 = (−a) + a = 0.
2)
Dari (M3) kita mempunyai
(−1) · a,
a = 1 · a.
Tambahkan pada kedua ruas dengan
diperoleh
a + (−1) · a = 1 · a + (−1) · a
= (1 + (−1)) · a
= 0·a
= 0
[menggunakan D]
[menggunakan A4]
[menggunakan bagian
i,
setelah menerapkan (A1)]
Selanjutnya dengan menggunakan Teorema 1.1
(−1) · a,
dan menganggap
kemudian menggunakan (A3) diperoleh
(−1) · a = (−a) + 0 = −a.
3
x
sebagai
1 SISTEM BILANGAN REAL
Sisanya dapat dibuktikan sendiri sebagai latihan. Teorema 1.2 (1) mengatakan bahwa
bilangan apapun jika dikalikan dengan nol maka hasilnya nol.
Fakta ini merupakan
teorema yang kebenarannya dapat dibuktikan, bukan suatu kesepakatan atau aksioma.
Begitu juga dengan fakta lainnya pada teorema ini.
Teorema 1.3. Misalkan a, b, c elemen pada R.
(i) Jika a 6= 0 maka 1/a 6= 0 dan 1/(1/a) = a,
(ii) Jika a · b = a · c dan a 6= 0 maka b = c,
(iii) Jika a · b = 0 maka berlaku salah satu: a = 0 atau b = 0.
Bukti.
(i):
Karena
a 6= 0
maka menurut (M4) selalu ada
1/a ∈ R.
Andaikan
1/a = 0
maka diperoleh
1 = a · (1/a) = a · 0 = 0.
Hasil ini berlawanan atau kontradiksi dengan (M3). Jadi pengandaian ini salah,
dan haruslah
1/a 6= 0.
1/a 6= 0 dan karena (1/a) · a = 1 maka
x maka diperoleh a = 1/(1/a).
a · b = a · c dikalikan dengan (1/a) disertai dengan mengguSelanjutnya karena
dengan Latihan 1 dengan memandang
(ii):
Kedua ruas pada
a
sebagai
nakan (M2), diperoleh
((1/a) · a) · b = ((1/a) · a) · c
⇔1·b = 1·c
⇔b = c
[menggunakan M4]
[menggunakan M3]
Bagian sisanya yang belum dibuktikan, dapat dibuktikan sendiri sebagai latihan.
Beberapa operasi lainnya pada R
Sejauh ini hanya ada dua operasi pada bilangan real. Melalui dua operasi ini diturunkan
bebedapa operasi lainnya yang didenisikan sebagai berikut :
1.
Operasi pengurangan.
b
Bila
a, b ∈ R maka notasi a − b dibaca a dikurang dengan
dan didenisikan oleh
a − b := a + (−b).
2.
Operasi pembagian.
dengan
b
Bila
a, b ∈ R, b 6= 0 maka notasi a/b atau
dan didenisikan oleh
a/b := a · (1/b).
4
a
b dibaca
a dibagi
1 SISTEM BILANGAN REAL
3.
Operasi pangkat.
a2 dibaca a dipangkatkan dengan
2
dua atau a kuadarat dan didenisikan sebagai a := a · a. Secara umum untuk n
n
bilangan asli, a adalah a dipangkatkan dengan n didenisikan oleh
Bila
a ∈ R
maka notasi
an := |a · a · a{z· · · · · a} .
sebanyak n faktor
Untuk
a 6= 0,
notasi
a−1
dimaksudkan untuk
1/a
dan notasi
a−n
untuk
(1/a)n .
Beberapa himpunan bagian penting pada R
1.
Bilangan asli.
Himpunan bilangan asli dilambangkan dengan
gai himpunan bagian
R
dan
n∈N
N
dipandang seba-
didenisikan sebagai
n := |1 + 1 + 1{z+ · · · + 1} .
sebanyak n suku
2.
Bilangan bulat.
Himpunan bilangan bulat dilambangkan dengan
Z
dan keang-
gotannya dapat didenisikan sebagai berikut :
Z := {−n : n ∈ N} ∪ N ∪ {0}
dengan
−n := (−1) + (−1) + (−1) + · · · + (−1).
|
{z
}
sebanyak n suku
3.
Bilangan rasional dan irrasional.
dengan
Q
Himpunan bilangan rasional dilambangkan
adalah elemen bilangan real yang dapat ditulis dalam bentuk pecahan.
Jadi,
Q :=
b
: a, b ∈ Z, a 6= 0 .
a
Bilangan real selain bilangan rasional disebut bilangan
bilangan irrasional ini biasa dilambangkan dengan
Notasi ":=" berarti "didenisikan oleh" (
dened by ).
irrasional
dan himpunan
R \ Q.
Penggunaan notasi ini lebih tepat
daripada menggunakan "=" karena tanda sama dengan seharusnya digunakan untuk
menyatakan kesamaan kedua ruas.
Struktur bilangan real diberikan pada Gambar 1.1.
Teorema 1.4. Tidak ada bilangan rasional r sehingga r2 = 2.
Proof.
Andai ada bilangan rasional yang kuadratnya sama dengan dua. Untuk itu dapat
ditulis
r=
m
n dengan
m
dan
n
tidak mempunyai faktor persekutuan selain 1. Diperoleh
r2 =
m2
= 2 ⇒ m2 = 2n2 ,
n2
5
1 SISTEM BILANGAN REAL
R
Q
himpunan bilangan rasional
R\Q
Misal: -3/4, -1, 0, 2, 1/2, 4/5.
himpunan bilangan
irrasional
Z: himpunan bilangan bulat
{ . . . ,-2, -1, 0, 1, 2, . . . }
Misal:
2,
N: himpunan bilangan asli
{1, 2, 3, . . . }
Figure 1.1: Struktur bilangan real
berarti
m2
bilangan genap. Karena itu
genap maka dapat ditulis
m = 2p.
m
juga genap (lihat latihan berikut!). Karena
Substitusi
m
m
ini ke kesamaan sebelumnya, diperoleh
(2p)2 = 2n2 ⇒ 4p2 = 2n2 ⇒ n2 = 2p2 .
Ini berarti
n2
bilangan genap, akibatnya
n
juga bilangan genap.
Berangkat dari pen-
gandaian tadi diperoleh dua pernyataan berikut
a.
m
n
dan
tidak mempunyai faktor persekutuan selain 1, berarti
m
dan
n
tidak
mungkin keduanya genap.
b.
m
dan
n
bilangan genap.
Kedua pernyataan ini bertentangan (kontradiksi), sehingga pengandaian harus diingkari.
Kesimpulannya Teorema terbukti.
Beberapa soal yang dipecahkan
Contoh 1.1.
maka
r+z
Buktikan bahwa jika
dan
rz
z ∈ R bilangan irrasioanl dan r 6= 0 bilangan rasional
bilangan irrasional.
Penyelesaian.
Dibuktikan dengan kontradiksi.
r+z =
m
n
Andai r + z
dan
r=
rasional, maka dapat ditulis
p
, m, n, p, q ∈ Z, n, q 6= 0.
q
Dari sini diperoleh
m p
mq − np
− =
,
n
q
nq
yaitu z rasional, sebab mq − np, nq ∈ Z, nq 6= 0. Kontradiksi
Jadi pengandaian r + z rasional salah, dan haruslah r + z
z=
argumen yang sama dapat dibuktikan sisanya.
6
dengan
z
irrasional.
irrasional.
Dengan
1 SISTEM BILANGAN REAL
Contoh 1.2.
Buktikan bahwa jika
1.
−(a + b) = (−a) + (−b)
2.
(−a) · (−b) = a · b
3.
1/(−a) = −(1/a), a 6= 0
4.
−(a/b) = (−a)/b, b 6= 0.
Bukti.
a, b ∈ R
maka
1). Dengan menggunakan Teorema 1.2(2) dan sifat distributif diperoleh
−(a + b) = (−1) · (a + b)
= (−1) · a + (−1) · b
= (−a) + (−b).
2). Diperhatikan penjabaran berikut, coba justikasi setiap langkah yang diberikan
(−a) · (−b) = ((−1) · a) · ((−1) · b)
= (a · (−1)) · ((−1) · b)
= a · ((−1) · ((−1) · b))
= a · (((−1) · (−1)) · b)
= a · (1 · b)
= a·b
Untuk sisanya dikerjakan sendiri sebagai latihan.
Contoh 1.3.
atau
Bila bilangan real
a memenuhi a · a = a maka salah satunya berlaku: a = 0
a = 1.
Bukti.
Diketahui
a · a = a.
Coba lengkapi justikasi untuk tiap-tiap langkah berikut.
a · a + (−a) = a + (−a)
a · a + (−1) · (a) = 0
(a + (−1)) · a = 0.
a + (−1) = 0
a + (−1) = 0.
Dengan menggunakan Teorema 1.3(iii) diperoleh
jutkan langkah untuk menyimpulkan
Contoh 1.4.
Bukti.
Bila
Karena
a 6= 0
a 6= 0
dan
dan
b 6= 0,
b 6= 0
a=1
buktikan
maka
atau
a = 0.
Lan-
1/(ab) = (1/a) · (1/b).
ab 6= 0
7
dari
sehingga berdasarkan Teorema 1.3 (i)
1 SISTEM BILANGAN REAL
diperoleh
1
(1/ab)
= a·b
1
· (1/b) = a · (b · (1/b))
(1/ab)
1
· (1/b) = a
(1/ab)
1
· ((1/b) · (1/a)) = a · (1/a)
(1/ab)
1
· ((1/b) · (1/a)) = 1.
(1/ab)
(1/a) · (1/b) =
dari (1/a) · (1/b).
Dari baris terakhir dapat disimpulkan
1
(1/ab) merupakan elemen kebalikan
8
1
(1/(1/ab))
= 1/(ab)
karena