VEKTOR DI BIDANG DAN DI RUANG Misal diberikan sebuah titik di

Matematika Teknik
VEKTOR DI BIDANG DAN DI RUANG
2
Misal diberikan sebuah titik di bidang atau ℜ , A ( x1, y1 ). Maka didapatkan
ruasgaris berarah dari titik pusat sumbu O ( 0,0 ) ke titik A. Bentuk ruasgaris berarah,
→
OA , dapat dipandang sebagai vektor ( posisi ) dari titik A. Jadi sebuah vektor akan
mempunyai arah dan panjang ( besar / norm ). Notasi huruf kecil dicetak tebal atau
→
bergaris atas biasa digunakan untuk menyatakan sebuah vektor , misal OA = a atau
_
→ _
 x1
OA = a . Sehingga didapatkan : a = (x1 , y1 ) =   , dengan x1 dan y1 merupakan
 y1
3
komponen vektor. Sedangkan untuk titik di ruang atau ℜ , misal A ( x1, y1 ,z1 ), maka
 x1
_
 
vektor posisi titik A dituliskan : a = (x1 , y1 , z1 ) =  y1 dengan x1, y1 ,z1 merupakan
z 
 1
komponen vektor.
Untuk menyatakan sebuah titik di
ruang, A ( x1, y1 ,z1 ) dengan salib sumbu
kartesius , sumbu X, sumbu Y dan sumbu Z
Z
digunakan aturan tangan kanan, seperti
terlihat pada gambar di samping berikut.
A(x1,y1,z1)
Y
Panjang atau norm sebuah vektor
dinyatakan sebagai akar kuadrat dari jumlah
kuadrat komponen-komponennya. Misal
_
_
diberikan a = ( x1 , y1) dan b = ( x1 , y1 , z1 ) .
_
_
Maka norm vektor a dan b diberikan :
_
a =
_
b =
X
x12 + y12
x12 + y12 + z12
Misal diberikan dua titik di bidang , A ( x1, y1 ) dan B ( x2, y2 ). Maka jarak
antara A dan B diberikan :
d ( A, B) =
(x2 − x1)2 + ( y2 − y1)2
Sedangkan jarak antara titik A ( x1, y1 ,z1 ) dan B ( x2, y2 ,z2 ) diberikan :
d ( A, B ) =
(x2 − x1)2 + ( y2 − y1)2 + (z 2 − z1)2
Contoh :
Carilah jarak antara dua titik di ruang berikut : A ( -1, 2, -3 ) dan B ( 2, -1, -1 )
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
Matematika Teknik
Jawab :
d ( A, B) =
(− 1 − 2)2 + (2 − (− 1))2 + (− 3 − (− 1))2
= 9+9+4 =
22
Seringkali dijumpai vektor yang semua komponennya nol, yaitu vektor yang
2
mempunyai panjang nol dan arahnya tidak bisa ditentukan. Di ℜ dinyatakan dengan o
3
= ( 0,0 ) dan di ℜ dinyatakan dengan o = ( 0,0,0 ).
Berikut diberikan beberapa sifat penjumlahan vektor di bidang dan di ruang.
2
3
Misal x, y dan z di ℜ atau ℜ . Maka akan berlaku :
1. x + y = y + x
(
) (
)
2. x + y + z = x + y + z
3. x + o = x
( )
4. Untuk setiap vektor x terdapat vektor − x sehingga berlaku x + − x = o
Contoh :
Diketahui dua buah vektor di bidang yaitu a = (1,−3) dan b = (− 2,−4) . Hitunglah
a + b dan a + b
Jawab :
a + b = (1 − 2,−3 − 4 ) = (− 1,−7 )
a +b =
(− 1)2 + (− 7 )2
= 50
Soal Latihan
1. Hitung norm dari vektor berikut;
a. u = ( 2 ,−3)
→
c. u = AB , A(1,3,2) & B( 4.−2 ,−1)
b. u = (− 1,0,4)
2. Hitung jarak antara A dan B bila
a. A = ( 2, 4, 0 ) dan B ( 5,3,1 )
b. A = ( 1, 0,6 ) dan B ( -2,4,0 )
3. Cari vektor u yang merupakan vektor posisi ruas garis berarah dari A ke B ( atau
AB ) , bila :
a. A ( 3,1 ) dan B ( 2,-1 )
b. A ( 0,1 ) dan B ( 1,0 )
c. A ( 1,-2,3 ) dan B ( 0,1,-2 )
d. A ( 0,1,-1 ) dan B ( 4,-12 )
4. Diketahui A ( 2, -1, 3 ), B ( -1,2,0 ), C ( 3,-2,4 ) dan D ( 3,2,1 ). Apakah A, B dan C
collinear ( segaris ) ?. Bagaimana dengan titik B, C dan D .
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung