matematika bisnis

MATEMATIKA BISNIS
Dosen
Hikmah Agustin,SP.,MM
Politeknik Dharma Patria Kebumen
2016
Himpunan
• Himpunan adalah kumpulan benda atau objek-objek atau lambang-lambang
yang mempunyai arti yang dapat didefinisikan dengan jelas.
• KONSEP HIMPUNAN
▫ Himpunan (set)  sekumpulan obyek yg dapat dibedakan secara tegas
▫ Obyek yg membentuk sebuah himpunan disebut anggota/elemen/unsur.
▫ Secara umum himpunan dilambangkan dgn huruf besar,sedang anggota berhuruf
kecil
Penulisan
• Penulisan himpunan : cara daftar & cara kaidah
• Contoh
• A = {1,2,3,4,5}  cara daftar
• A = {x; 0 < x < 6}  cara kaidah
atau
A = {x ; 1 ≤ x ≤5}
B = {x; x adalah bilangan gasal}
xS berarti objek x adalah unsur himpunan S
xS berarti objek x bukan unsur himpunan S
PENYAJIAN HIMPUNAN
1. Cara daftar :
Cara daftar ialah dengan mencantumkan seluruh obyek yang menjadi anggota suatu himpunan.
Contoh :
HIMPUNAN A YANG BERISI EMPAT BILANGAN ASLI PERTAMA DAPAT DITULIS
SEBAGAI
A = {1, 2, 3, 4}
2. Cara Kaidah :
Cara kaidah ialah dengan menyebutkan karakteristik tertentu dari obyek-obyek yang menjadi
anggota himpunan tersebut .
Dengan cara penyajian ini, himpunan dinyatakan dengan menulis syarat yang harus dipenuhi
oleh anggotanya.
Notasi : {x | syarat yang harus dipenuhi oleh x}
Keanggotaan Suatu Himpunan
Contoh:
A = { 1, 3, 5, 7, 9 }
B = { 2, 4, 6, 8, 10, 12 }
1 A
3 A
1 B
3 B
2 B
4 B
5 A
7 A
9 A
5 B
7 B
9 B
6
8
10 
12 
B
B
B
B
2 A
4 A
6 A
8 A
10  A
12  A
Banyaknya anggota himpunan A dilambangkan dengan n(A) = 5
Banyaknya anggota himpunan B dilambangkan dengan n(B) = 6
Catatan:
Lambang  dibaca “elemen” atau anggota
Lambang  dibaca “bukan elemen” atau bukan anggota
Lambang n(A), n(B) disebut bilangan kardinal
Jenis Himpunan
1. Himpunan Semesta
Himpunan semesta adalah himpunan yang anggotanya semua
objek pembicaraan.
Simbol himpunan semesta : S atau U.
2. Himpunan Kosong
Himpunan yang tidak memiliki satupun elemen atau himpunan
dengan kardinal = 0 disebut himpunan kosong (null set).
Notasi : ∅ atau { }
Contoh :
E = {x | x < x}, maka n(E) = 0
P = {orang Indonesia yang pernah ke mars}, maka n(P) = 0
Himpunan yang Sama
A = B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen B dan
sebaliknya setiap elemen B merupakan elemen A.
A = B jika A adalah himpunan bagian dari B dan B adalah himpunan
bagian dari A.
Jika tidak demikian, maka A  B.
Notasi : A = B  A  B dan B  A
Contoh :
Jika A = { 3, 5, 8 } dan B = {5, 3, 8 }, maka A = B
Himpunan Saling Lepas
• Dua himpunan A dan B dikatakan saling lepas (disjoint) jika ke
duanya tidak memiliki elemen yang sama.
• Notasi : A // B
• Contoh 11.
Jika A = { x | x  P, x < 8 } dan B = { 10, 20, 30, ... },
maka A // B.
U
A
B
Operasi Himpunan
Politeknik Dharma Patria Kebumen
2016
OPERASI HIMPUNAN
1. Gabungan/union :
A  B = {x: x  A dan atau x B }
2. Irisan/intersection:
A  B = {x: x € A dan x € B }
3. Selisih : A – B= A/B={x: x  A tapi x  B }
4. Komplemen :
A’ = {x: x  U tapi x  A} = U-A
Himpunan Bagian (Subset)
Himpunan A dikatakan himpunan bagian dari himpunan B jika dan hanya jika
setiap elemen A merupakan elemen dari B.
Dalam hal ini, B dikatakan superset dari A.
Notasi: A  B
Diagram Venn:
U
A
B
Irisan (intersection)
Notasi : A  B = { x  x  A dan x  B }
Contoh
(i)Jika A = {2, 4, 6, 8, 10} dan B = {4, 10, 14, 18},
maka A  B = {4, 10}
(ii) Jika A = { 3, 5, 9 } dan B = { -2, 6 }, maka A  B = .
Artinya: A // B
Gabungan (union)
Notasi : A  B = { x  x  A atau x  B }
Contoh
(i) Jika A = { 2, 5, 8 } dan B = { 7, 5, 22 },
maka A  B = { 2, 5, 7, 8, 22 }
(ii) A   = A
Komplemen (complement)
Notasi : = { x  x  U, x  A }
Contoh
Misalkan U = { 1, 2, 3, ..., 9 },
jika A = {1, 3, 7, 9},A maka
= {2, 4, 6, 8}
jika A = { x | x/2  P, x < 9 }, maka
A = { 1, 3, 5, 7, 9 }
Contoh
Misalkan:
A = himpunan semua mobil buatan dalam negeri
B = himpunan semua mobil impor
C = himpunan semua mobil yang dibuat sebelum tahun 1990
D = himpunan semua mobil yang nilai jualnya kurang dari Rp
100 juta
E = himpunan semua mobil milik mahasiswa universitas terte
ntu
“mobil mahasiswa di universitas ini produksi dalam negeri ata
u diimpor dari luar negeri”
(E  A)  (E  B) atau E  (A  B)
“semua mobil produksi dalam negeri yang dibuat sebelum tah
un 1990 yang nilai jualnya kurang dari Rp 100 juta”
Selisih (difference)
Notasi : A – B = { x  x  A dan x BB } = A 
Contoh
(i) Jika A = { 1, 2, 3, ..., 10 } dan B = { 2, 4, 6, 8
, 10 }, maka
A – B = { 1,
3, 5, 7, 9 } dan B – A = 
(ii) {1, 3, 5} – {1, 2, 3} = {5}, tetapi {1, 2, 3} – {1,
3, 5} = {2}
SISTEM BILANGAN
Hikmah Agustin ,SP.,MM
SISTEM BILANGAN
Bilangan
Ril/Nyata (bisa - +)
Irrasional
Khayal/Imajiner
Rasional
Bulat
Pecahan
Sistem Bilangan
► Bilangan nyata = seluruh bilangan yg ada, kecuali bilangan yg
imajiner
► Bilangan bulat positif:
► Bilangan asli : tidak termasuk nol
A = {1,2,3, …}
► Bilangan cacah: termasuk 0 (nol)
B = {0,1,2,3,…}
► Bilangan prima: besarnya ≠ 1, dan hanya “habis” dibagi
(hasil baginya bilangan bulat) dengan dirinya sendiri
P ={2, 3, 5, 7, 11, ….}
Contoh Soal :
Diketahui: S = { 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14 }
A = { 1,2,3,4,5,6 }
B = { 2,4,6,8,10 }
C = { 3,6,9,12 }
Gambarlah diagram Venn untuk menyatakan himpunan di atas
Jawab:
S
0
6 adalah anggota yg dimiliki
oleh himpunan A,B,C
A
7
9
3
12
6
C
13 11
1
3 dan 6 adalah anggota yg
dimiliki oleh himpunan A
dan C
5
2 4
14
8
10
B
2,4, 6 adalah anggota yg
dimiliki oleh himpunan A
dan B
Contoh 2:
Dari 32 siswa terdapat 21 orang gemar melukis, 16 orang gemar menari
dan 10 orang gemar keduanya.
a. Ada berapa orang siswa yang hanya gemar melukis?
b. Ada berapa orang siswa yang hanya gemar menari?
c. Ada berapa orang siswa yang tidak gemar keduanya?
Jawab:
N(S) = 32
Misalnya : A = {siswa gemar melukis}
B = {siswa gemar menari}
A  B = {siswa gemar keduanya}
n(A) = 21
n(B) = 16
n(A  B) = 10
Perhatikan Diagram Venn berikut
S
A
a. Ada 11 siswa yang hanya gemar melukis
B
b. Ada 6 siswa yang hanya gemar menari
11
10
6
c. Ada 5 siswa yang tidak gemar keduanya
5
Contoh 4:
Dari 60 siswa terdapat 20 orang suka bakso, 46 orang suka siomay dan 5
orang tidak suka keduanya.
a. Ada berapa orang siswa yang suka bakso dan siomay?
b. Ada berapa orang siswa yang hanya suka bakso?
c. Ada berapa orang siswa yang hanya suka siomay?
Misalnya : A = {siswa suka bakso}
n(A) = 20
B = {siswa suka siomay}
n(B) = 46
(A B)c = {tidak suka keduanya}
Maka A B = {suka keduanya}
{siswa suka bakso saja} = 20 - x
{siswa suka siomay saja} = 46 - x
Perhatikan Diagram Venn berikut
S
A
20 - x
x
46 - x
B
5
n((A B)c) = 5
n(A B) = x
n(S) = (20 – x)+x+(46-x)+5
60 = 71 - x
X = 71 – 60 = 11
a. Yang suka keduanya adalah x
= 11 orang
b. Yang suka bakso saja adalah
20-x = 20-11= 9 orang
c. Yang suka siomay saja adalah
46-x = 46-11= 35 orang
Latihan dikelas
Dalam seleksi penerima beasiswa, setiap siswa haru
s lulus tes matematika dan bahasa. Dari 180 peserta
terdapat 103 orang dinyatakan lulus tes matematika
dan 142 orang lulus tes bahasa.
Banyak siswa yang dinyatakan lulus sebagai peneri
ma beasiswa ada . . .
Pembahasan
n(S) = 180 orang
n(M) = 103 orang
n(B) = 142 orang
n(M  B ) = x orang
n(S) = n( M  B ) = n(M) + n(B) – n( MB)
180 = 103 + 142 - X
X = 245 – 180 = 65
Jadi yang lulus adalah 65 orang = ( C )
Take Home
1. Dari 80 terdapat 25 orang suka membaca , 46 orang suka menulis dan 10 orang tidak
suka keduanya.
•
•
•
•
Ada berapa orang siswa yang suka membaca dan menulis?
Ada berapa orang siswa yang hanya suka membaca?
Ada berapa orang siswa yang hanya suka menulis?
Gambarkan diagram Venn-nya!
2. Dari 40 siswa terdapat 20 orang suka futsal, 16 orang suka basket dan 7 orang tidak
suka keduanya.
•
•
•
•
Ada berapa orang siswa yang suka bermain futsal dan basket?
Ada berapa orang siswa yang hanya suka futsal saja?
Ada berapa orang siswa yang hanya suka basket saja?
Gambarkan diagram Venn-nya!
Penyelesaian