Vektor di Bidang dan di Ruang - Just another Staff.mipa.uns.ac.id

Bab 4
Vektor di Bidang dan
di Ruang
Vektor merupakan besaran yang mempunyai arah. Pada
bab ini akan dijelaskan tentang vektor di bidang dan di ruang,
yang disertai operasi dot product, cross product, dan penerapannya
pada proyeksi vektor dan perhitungan luas suatu segitiga di ruang
3-dimensi. Setiap vektor tersebut dapat dinyatakan secara
geometris sebagai segmen garis berarah pada bidang atau ruang,
dengan notasi garis berpanah. Ekor panah garis tersebut
merupakan titik awal vektor, sedangkan ujung panah sebagai titik
akhir (ujung) vektor tersebut.
4.1 OPERASI VEKTOR
Seperti halnya matriks, setiap vektor dapat di dikenakan
operasi aljabar, seperti penjumlahan dan perkalian. Notasi vektor
dapat dituliskan dengan menggunakan huruf kecil dicetak tebal
atau huruf kecil dengan garis diatasnya. Sedangkan unsur vektor
tersebut ditulis berurutan atau seperti matriks satu kolom atau
memakai notasi vektor satuan iˆ , ĵ , dan k̂ .
Contoh 4.1 :
Berikut adalah beberapa contoh notasi vektor :
⎛ c1 ⎞
a. a = (a1, a2, a3)
⎜ ⎟
c. c = ⎜ c2 ⎟
b. b = b1 iˆ +b2 ĵ +b3 k̂
⎜c ⎟
⎝ 3⎠
Bab 4 ● Vektor di Bidang dan di Ruang
48
Penjumlahan Vektor
Misalkan u dan v adalah vektor – vektor yang berada di
ruang
yang sama, maka vektor u + v didefinisikan
sebagai
sebuah vektor yang titik awalnya sama dengan titik awal u dan
titik akhirnya
merupakan titik ujung dari vektor v (setelah
digeser sehingga titik awal vektor v diletakan pada ujung vektor
u . Agar lebih jelas, perhatikan ilustrasi berkut ini :
v
u +v
v
yang digeser
u
Gambar 4.1 Ilustrasi penjumlahan dua buah vektor pada bidang
Perkalian Vektor
a. Perkalian vektor dengan skalar
Vektor nol didefinisikan sebagai vektor yang memiliki panjang
nol. Misalkan u vektor tak nol dan k adalah skalar, k ∈ ℜ .
Perkalian vektor u dengan skalar k, k u didefinisikan sebagai
vektor yang panjangnya k kali panjang vektor u dengan arah
memiliki ketentuan sebagai berikut :
•
Jika k > 0 Æ searah dengan u
•
Jika k < 0 Æ berlawanan arah dengan u
Aljabar Linear Elementer – Adiwijaya
49
2u
u
− 2u
Gambar 4.2 Ilustrasi perkalian vektor dengan skalar
Secara analitis, kedua operasi pada vektor diatas dapat
dijelaskan sebagai berikut :
Diketahui a dan b merupakan vektor-vektor di ruang (R3)
yang komponen–komponennya adalah a = (a11 a 2 , a 3 ) dan
b = (b1 , b2 , b3 ) maka :
•
•
•
a + b = (a1 + b1 , a2 + b2 , a3 + b3 )
a − b = (a1 − b1 , a2 − b2 , a3 − b3 )
k a = (ka1 , ka2 , ka3 )
b. Perkalian anatara dua buah vektor.
Perkalian antara dua buah vektor hanya dapat dilkakukan
jika kedua vektor tersebut berada pada ruang yang sama.
Perkalian antara dua buah vektor tersebut meliputi :
o Hasil kali titik (dot product)
o Hasil kali silang (cross product)
Berikut ini akan dijelaskan secara lebih detil tentang dua jenis
perkalian antara dua buah vektor.
Bab 4 ● Vektor di Bidang dan di Ruang
50
4.2 HASIL KALI TITIK
Hasil kali titik merupakan operasi antara dua buah
vektor yang akan menghasilkan skalar. Misal a dan b adalah
vektor pada ruang yang sama maka hasil kali titik antara a dan
b didefinisikan oleh
a • b = a b cosα ,
(4.1)
dimana a dan b masing-masing merupakan panjang vektor a
dan b serta α merupakan sudut yang dibentuk antara vektor a
dan vektor b . Ingat kembali definisi panjang (norm) suatu vektor
r
semasa si sekolah menengah, yaitu : jika a = (a1 , a2 )
maka
r
a = a12 + a2 2 .
Contoh 4.2 :
Tentukan hasil kali titik dari dua vektor berikut :
a = 2i dan b = 2i + 2j
Jawab :
b
a
Karena tan α = 1 , artinya α = 45 0
Sehingga
Aljabar Linear Elementer – Adiwijaya
a .b
51
b cos α = 2
= a
=2 2 2
1
2
8
1
2
=4
Bagaimana cara menghitung hasil kali titik di RN dan dua buah
vektor tanpa diketahui sudut antar kedua vektor tersebut? Untuk
hal tersebut, ingat kembali tentang aturan cosinus :
a2 = b2 + c2 – 2 bc cos α
β
c
a
α
b
δ
Gambar 4.3 Ilustrasi aturan cosinus
Selanjutnya, akan dijelaskan hubungan dua vektor posisi dengan
aturan cosinus. Perhatikan ilustrasi dua vektor di ruang R2
berikut ini :
(b -a )
b
θ
a
Gambar 4.4 Ilustrasi aturan cosinus dua vektor dan selisihnya
Bab 4 ● Vektor di Bidang dan di Ruang
52
Notasi vektor pada Gambar 4.4,
panjang (norm) vektor, yaitu :
akan dirubah dalam notasi
b -a
b
θ
a
Gambar 4.5 Aturan Cosinus Norm Dua Vektor dan Selisihnya
Menurut aturan cosinus pada ilustrasi diatas, maka :
b −a
2
= a
2
+ b
2
b cos α
−2 a
Selanjutnya :
b cos θ =
a
1
2
⎡ a
⎢⎣
2
2
+ b
− b −a
2
⎤
⎥⎦
Seperti telah kita ketahui bahwa :
(1)
a
(2)
a
(3)
b
(4)
b−a
cos θ = a . b
b
2
2
= a 1 2 + a 2 2 + a 3 2 + …. + a n2
= b1 2 + b2 2 + b3 2 + …. + bn2
2
= (b 1 − a 1 ) + (b 2 − a 2
2
)2
+ ... + (b n − a n
= b1 + b 2 + ... + b n + a 1 + a 2 + ... + a n
2
2
2
2
− 2 b1 a 1 − 2 b n a n − ... − 2 b n a n
maka akhirnya diperoleh :
a • b = a1b1 + a2b2 + ... + anbn
2
)2
2
Aljabar Linear Elementer – Adiwijaya
53
Contoh 4.3 :
Tentukan kembali hasil kali titik dari dua vektor berikut
berikut dengan rumus di atas
a = 2i dan b = 2i + 2j
Jawab :
a • b = a1b1 + a 2 b2
= 2 (2) + 0 (2)
=4
Berikut ini adalah sifat – sifat hasil kali titik :
(i) a • b = b • a
(
) (
) (
(ii) a • b + c = a • b + a • c
(
)
)
(iii) k a • b = k a • b = a • kb , dimana k ∈ R
Proyeksi Ortogonal Suatu Vektor
Secara geometri, proyeksi ortogonal suatu vektor terhadap
vektor lain dapat diilustrasikan sebagai berikut :
w
a
b
r
Pr oy r a
b
Gambar 4.6 Proyeksi Ortogonal Vektor a Terhadap Vektor b
Bab 4 ● Vektor di Bidang dan di Ruang
54
Misalkan c = proyb a maka c =k b untuk suatu kelipatan k ∈ ℜ .
Sementara itu, w merupakan suatu komponen dari vektor a
yang tengah lurus terhadap b .
Perhatikan bahwa
a = w+c
Sehingga :
a • b = (w + c ) • b
= w •b + c •b
= c •b 2
= kb • b
=k b
Dengan demikian
k =
a •b
b
2
.
Oleh karena itu, kita peroleh bahwa :
proyb a = a • b b .
2
b
Berikut adalah contoh perhitungan untuk memperoleh vektor
hasil proyeksi ortogonal suatu vektor terhadap vektor yang lain.
Contoh 4.4 :
⎛ − 2⎞
⎜ ⎟
Tentukan proyeksi ortogonal vektor w = ⎜ − 4 ⎟ terhadap
⎜ 3 ⎟
⎝ ⎠
⎛ 1 ⎞
⎜ ⎟
vektor v = ⎜ 3 ⎟
⎜ − 4⎟
⎝ ⎠
Aljabar Linear Elementer – Adiwijaya
Jawab :
Pr oy v w =
w •v
v
2
55
v
⎛ − 2⎞ ⎛ 1 ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ − 4⎟ • ⎜ 3 ⎟
⎜ 3 ⎟ ⎜ − 4 ⎟ ⎛⎜ 1 ⎞⎟
= ⎝2 ⎠2 ⎝ ⎠2 ⎜ 3 ⎟
1 + 3 + (−4) ⎜ ⎟
⎝ − 4⎠
⎛ 1 ⎞
− 2 + (−12) + (−12) ⎜ ⎟
=
⎜ 3 ⎟
26
⎜ − 4⎟
⎝ ⎠
⎛ 1 ⎞
− 26 ⎜ ⎟
=
⎜ 3 ⎟
26 ⎜ ⎟
⎝ − 4⎠
⎛ − 1⎞
⎜ ⎟
= ⎜ − 3⎟
⎜ 4 ⎟
⎝ ⎠
4.3 HASIL KALI SILANG (CROSS PRODUCT)
Hasil kali silang merupakan perkalian antara dua vektor
yang akan menghasilkan suatu vektor baru
Definisi :
Misal u dan v adalah vektor di ruang (R3) maka vektor yang
tegak lurus terhadap keduanya ( u dan v ) adalah w sehingga
w = u × v . Ini membuktikan bahwa w ⊥ u dan w ⊥ v .
Secara geometri, misal u =(0,0,1) dan v =(0,1,0), jika w = u × v
maka w yang tegak lurus terhadap u dan v yang searah sumbu
x negatif. Arah vektor w di tentukan dengan menggunakan
Bab 4 ● Vektor di Bidang dan di Ruang
56
aturan tangan kanan, dimana arah empat jari dari vektor u
menuju vektor v sehingga ibu jari searah dengan arah vektor w .
Z
u
w
y
v
x
Gambar 4.7 Ilustrasi Hasilkali Silang antara Dua Vektor
Cara menentukan vektor w yang mempunyai hasil kali silang
antara dua vektor yaitu u dan v adalah sebagai berikut :
w = u ×v
iˆ
= u1
v1
ˆj
u2
v2
kˆ
u
v3
u1
u u
u u
= iˆ 2 3 − ˆj 1 3 + kˆ
v2
v3
v1
v3
v1
u2
v2
= (u2v3-u3v2) iˆ +(u3v1-u1v3) ĵ +(u1v2-u2v1) kˆ
Contoh 4.5 :
Tentukan w = u × v , dengan u = (1, 2, − 2) dan v = (3, 0, 1) .
Aljabar Linear Elementer – Adiwijaya
57
Jawab :
w = u ×v
kˆ
u3
v3
iˆ ˆj
u1 u2
v1 v2
=
u u
u2 u3
u
− ˆj 1 3 + kˆ 1
= iˆ
v1 v3
v2 v3
v1
u2
v2
= (u2v3-u3v2) iˆ +(u3v1-u1v3) ĵ +(u1v2-u2v1) k̂
= (2.1 − 0(−2) ) iˆ + (3(−2) − 1.1) ĵ + (1.0 − 3.2 ) k̂
= 2 iˆ − 7 ˆj − 6 kˆ
Beberapa sifat hasil kali silang yang perlu diketahui adalah:
Misal u dan v di ruang (R3) maka:
a. u • ( u x v ) = 0
b. v • ( u x v ) = 0
c.
u ×v
2
= u
2
v
2
− (u • v )
2
Dari sifat ketiga dapat kita simpulkan bahwa:
u ×v
2
= u ⋅ v − (u • v )
2
2
= u ⋅ v − ( u ⋅ v ⋅ cos α )
2
2
2
(
= u ⋅ v − u ⋅ v ⋅ cos 2 α
2
= u ⋅ v
2
2
2
2
2
(1 − cos α )
2
= u ⋅ v ⋅ sin 2 α
2
2
Sehingga kita memperoleh hubungan :
u x v = u ⋅ v ⋅ sin α
)
Bab 4 ● Vektor di Bidang dan di Ruang
58
Untuk memudahkan pemahaman rumusan diatas, perhatikan
ilustrasi berikut :
v
v sin α
α
u
u
Gambar 4.8 Hasilkali Silang Dua Vektor dengan Daerah yang
Dibentuknya
Dengan mengacu pada gambar 4.8, beberapa hal yang diperoleh
antara lain :
• Luas jajaran-genjang yang dibentuk oleh vektor u & v
adalah u × v
•
Luas segitiga yang dibentuk oleh u , v , dan ( u – v )
adalah
1
u ×v
2
Agar dapat memperoleh pemahaman lebih dalam berikut adalah
contoh aplikasi hasilkali silang dalam menghitung luas segitiga.
Contoh 4.6 :
Diketahui titik-titik diruang (R³ ) adalah :
A = (1, –1, –2), B = (4, 1, 0), dan C = (2, 3, 3)
Dengan menggunakan hasilkali silang, tentukan luas
segitiga ABC !
Aljabar Linear Elementer – Adiwijaya
59
Jawab:
a. Misalkan, AB dan AC adalah vektor yang berimpit
pada titik A.
Tulis AB = B – A= (4, 1, 0) – (1, –1, –2)
= (3, 2, 2)
AC = C – A= (2, 3, 3) – (1, –1, –2)
= (1, 4, 5)
Dengan menggunakan kedua vektor tersebut
diperoleh :
AB × AC
=
iˆ
ˆj
kˆ
3
1
2
4
2
5
= 2iˆ − 13 ˆj + 10kˆ
Sehingga luas segitiga ABC yang berimpit di A adalah :
=
1
AB × AC
2
1
4 + 169 + 100
2
1
273
=
2
=
b. Misalkan, BA dan BC adalah vektor yang berimpit
pada titik B.
BA
= a − b = (1,-1,-2) – (4,1,0)
= (-3,-2,-2)
BC
= c − b = (2,3,3) – (4,1,0)
= (-2,2,3)
Bab 4 ● Vektor di Bidang dan di Ruang
60
BA × BC =
iˆ
ˆj
kˆ
− 3
− 2
− 2
2
− 2
3
= − 2iˆ + 13 kˆ − 10 ˆj
Sehingga luas segitiga ABC yang berimpit di B adalah :
1
BA × BC
2
1
=
4 + 169 + 100
2
1
=
273
2
=
Dengan demikian,
walaupun titik acuan (sudut) yang
berbeda-beda tetapi luas segitiga itu adalah tetap yaitu
1
273
2
Aljabar Linear Elementer – Adiwijaya
61
Latihan Bab 4
1. Tentukan cos sudut yang terbentuk oleh pasangan vektor
berikut :
⎛1⎞
⎛ 6 ⎞
a. u = ⎜⎜ ⎟⎟ dan v = ⎜⎜ ⎟⎟
⎝ 2⎠
⎝ − 8⎠
⎛ 1 ⎞
⎛ 8 ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
b. u = ⎜ − 3 ⎟ dan v = ⎜ − 2 ⎟
⎜ 7 ⎟
⎜ − 2⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
2. Tentukan proyeksi ortogonal vektor a terhadap vektor b dan
tentukan panjang vektor proyeksi tersebut:
⎛ 2⎞
⎛ − 3⎞
a. a = ⎜⎜ ⎟⎟ dan b = ⎜⎜ ⎟⎟
⎝1⎠
⎝ 2 ⎠
⎛ 2⎞
⎛1⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
b. a = ⎜ − 1⎟ dan b = ⎜ 2 ⎟
⎜ 3⎟
⎜ 2⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
3. Tentukan dua buah vektor satuan (vektor dengan panjang satu)
⎛ 3 ⎞
yang tegak lurus terhadap vektor u = ⎜⎜ ⎟⎟
⎝ − 2⎠
⎛− 7⎞
⎜ ⎟
4. Tentukan vektor yang tegak lurus terhadap vektor u = ⎜ 3 ⎟
⎜ 1 ⎟
⎝ ⎠
⎛ 2⎞
⎜ ⎟
dan vektor v = ⎜ 0 ⎟
⎜ 4⎟
⎝ ⎠
5. Tentukan luas segitiga yang mempunyai titik sudut P (2,
0, –3), Q (1, 4, 5) dan R (7, 2, 9)
Bab 4 ● Vektor di Bidang dan di Ruang
62
6. Misalkan
u • v = 1 dan a • w = 3 3 .
2
Sementara itu, a ⊥ u
dan a ⊥ v , jika panjang vektor u v , dan w masing-masing
adalah 1, 2, dan 3. Tentukan sudut antara a dan w
7. Diketahui A=(1, 2, 3), B=(–1, 2, –3), dan C=(3, 2, 1) merupakan
titik-titik pada ruang XYZ.
a. Tentukan proyeksi vektor AC terhadap vektor AB
b. Tentukan luas segitiga ABC