analisis eksistensi dan ketunggalan optimal control

SEMINAR TUGAS AKHIR
Oleh:
Pitut Fariana 1204 100 040
Dosen Pembimbing:
Dr. Erna Apriliani, M.Si
Highly Active Antiretroviral Theraphy (HAART) adalah metode
pengobatan yang dilakukan pada penderita HIV yang bertujuan untuk
memperlambat perkembangan infeksi HIV menjadi AIDS. Terapi ini
dilakukan dengan cara menggabungkan 2 atau 3 obat antiretroviral.
Pada model dinamik HIV ini dilakukan pengendalian optimal dengan
meminimumkan fungsi tujuan untuk meningkatkan konsentrasi sel
CD4+T dan mengurangi pengaruh efek samping obat yang diberikan
terhadap tubuh. Pada Tugas Akhir ini dibahas pengendalian optimal dari
gabungan terapi menggunakan metode Pontryagin Minimum Principle
untuk mendapatkan penyelesaian yang optimal. Hasil analisa
menunjukkan bahwa kontrol obat yang diberikan dapat meningkatkan
konsentrasi sel CD4+T.
1.1 Latar Belakang
Hubungan seksual
dengan penderita
HIV/AIDS
Penggunaan jarum
suntik secara bergantian
Transfusi darah yang
mengandung HIV
Ibu penderita HIV positif
pada bayinya ketika
mengandung dan/menyusui
Penularan
1.1 Latar Belakang (continue…)
Meninggal Dunia
ODHA
(Orang Dengan HIV/AIDS)
Kemoterapi
Akan tetapi…
 Obat-obatan mahal
 Perawatan yang kontinyu dan lama
 Adanya efek samping dalam
penggunaan obat, seperti: gangguan
pencernaan, rambut rontok, gangguan
otot dan saraf, anemia, kulit kering,
gangguan produksi hormon dll.
Latar Belakang (continue…)
Beberapa penelitian sebelumnya :
 (Fariyanto, 2008)
masing-masing
 (Maghfiroh, 2009)
melakukan
analisis
mengenai
eksistensi
dan ketunggalan optimal control pada model
dinamiknya
Dalam tugas akhir ini,,,
Akan dibahas masalah optimal control dalam
pemberian dosis obat dengan meminimumkan
fungsi
obyektif
yang
bertujuan
untuk
meningkatkan konsentrasi sel kekebalan tubuh dan
mengurangi efek samping obat yang diberikan
terhadap tubuh. Selain itu juga akan dianalisis
kestabilan lokal sistem untuk mengetahui perilaku
dinamiknya.
1.2 Rumusan Masalah
 Bagaimana perilaku dinamik sistem yang merupakan interaksi
antara partikel HIV dan sel-sel kekebalan tubuh tersebut serta
bentuk optimal control dalam pemberian dosis obat bagi
penderita HIV
 Bagaimana menyelesaikan kontrol optimumnya secara numerik
1.3 Batasan Masalah
 Diasumsikan kontrol yang disimbolkan u dalam
keadaan terbatas (bounded) yaitu dengan dan
 Sistem terjadi pada interval waktu tertentu
 Keadaan/kondisi awal dari sistem model
dinamik HIV adalah T (0)  T ,T (0)  T ,T (0)  T ,T (0)  T ,V (0)  V ,V (0)  V , E(0)  E
 Simulasi dilakukan menggunakan software
Matlab
1
10
2
20
1
10
2
20
I
I0
NI
NI 0
0
1.4 Tujuan Penelitian
Mengetahui perilaku dinamik sistem melalui analisis kestabilan
serta mendapatkan persamaan optimal control untuk
meningkatkan konsentrasi sel darah putih dan mengurangi
pengaruh efek samping obat yang diberikan terhadap tubuh
 Mendapatkan kontrol optimum melalui penyelesaian secara
numerik
1.5 Manfaat Penelitian
Manfaat penelitian tugas akhir ini adalah untuk
memberikan informasi bahwa penyelesaian optimal
control yang diperoleh dapat menjadi suatu solusi
yang optimal dalam pemberian dosis obat sehingga
dapat dilakukan kontrol yang tepat bagi penderita
HIV
Sistem Kekebalan Tubuh
Sistem kekebalan atau sistem imun adalah sistem
perlindungan tubuh dari pengaruh luar (bakteri maupun
virus) yang dilakukan oleh sel dan organ khusus pada suatu
organisme khususnya makrofag dan sel T CD4+. Makrofag
merupakan sel yang menelan dan mencerna patogen. Selain
itu makrofag juga menstimulasi sel kekebalan tubuh lain
seperti sel T CD4+ untuk memberikan reaksi pada patogen.
Sel T CD4+ tidak langsung menyerbu patogen akan tetapi
membantu aktivasi sel T Cytotoxic. Sel T Cytotoxic berperan
sebagai penghancur sel-sel yang telah terinfeksi virus
ataupun tumor. (Card,JJ, 2007)
HIV/AIDS
HIV (Human Immunodeficiency Virus) merupakan salah satu
jenis virus yang hanya menginfeksi manusia dan menyebabkan
menurunnya sistem kekebalan tubuh penderita HIV. HIV
menghancurkan sistem kekebalan tubuh manusia dengan cara
merusak sel yang dibutuhkan oleh sel T Cytotoxic untuk menjadi aktif.
Infeksi HIV pada akhirnya menyebabkan penderita mengalami AIDS
(Acquired Immune Deficiency Syndrome) yaitu suatu kondisi dimana
penderita HIV mengalami penurunan tingkat kekebalan tubuh.
Tahap infeksi virus HIV yang lebih lanjut (AIDS) diindikasikan
oleh dua hal. Pertama dideteksi dari jumlah sel T CD4+ yang kurang
dari . Kemudian juga dilihat dari munculnya infeksi oportunistik yang
menyertai keberadaan virus HIV diantaranya pneumonia, kehilangan
berat badan secara berlebihan, tuberculosis, rambut rontok dan
berbagai macam kanker.
Model Dinamik HIV
Model dinamik HIV pada penelitian Tugas Akhir ini diberikan
dalam bentuk sistem persamaan differensial biasa sebagai berikut
(Banks, 2008) :
(1)
Model Dinamik HIV (cont…)
Selanjutnya model diatas menjadi :
(2)
Model Dinamik HIV (cont…)
Tindakan pengendalian ini bertujuan untuk meningkatkan
konsentrasi sel-sel target dan mengurangi pengaruh efek
samping obat yang diberikan terhadap tubuh. Untuk itu,
dipresentasikan dalam bentuk pemodelan fungsi tujuan sebagai
berikut:
Titik Setimbang dan Kestabilannya
Suatu sistem persamaan differensial yang berbentuk :
mempunyai titik setimbang
Titik Setimbang dan Kestabilannya
Titik Setimbang dan Kestabilannya
Sifat stabilitas titik setimbang
berdasarkan tanda pada bagian real dibedakan menjadi tiga
macam, yaitu :
 Stabil
dikatakan stabil jika dan hanya jika
akar karakteristiknya mempunyai bagian real tak positif.
 Stabil Asimotis
dikatakan stabil asimtotis jika dan
hanya jika akar karakteristiknya mempunyai bagian real
negatif.
 Tidak Stabil
dikatakan tidak stabil jika dan hanya
jika akar karakteristiknya real dan positif atau mempunyai
paling sedikit satu akar karakteristik dengan bagian real
positif.
Titik Setimbang dan Kestabilannya
Routh Hurwitz adalah suatu metode untuk
menunjukkan kestabilan sistem dengan memperhatikan
koefisien dari persamaan karakteristik tanpa menghitung akarakar karakteristik secara langsung.
Jika diketahui suatu persamaan karakteristik dengan orde ke-n
sebagai berikut :
maka susun koefisien persamaan karakteristik tersebut menjadi :
Titik Setimbang dan Kestabilannya
Titik Setimbang dan Kestabilannya
Dengan menggunakan akar karakteristik (nilai eigen ), sistem
dikatakan stabil atau mempunyai bagian real negatif jika dan
hanya jika elemen-elemen pada kolom pertama memiliki tanda
yang sama.
Titik Setimbang dan Kestabilannya
Untuk sistem tak linear harus dilinearkan terlebih dahulu
sehingga didapatkan bentuk sistem linear. Selanjutnya akan
dicari pendekatan linear disekitar
dengan
melakukan ekspansi menurut deret Taylor disekitar titik
didapatkan matriks Jacobian berikut :
Teori Pengendalian Optimal
Dalam teori pengendalian, persoalan pengendalian
optimal adalah untuk mendapatkan kendali pada sistem
dinamik yang sesuai dengan target atau variabel keadaan dan
pada waktu yang sama dapat dilakukan optimasi
maksimum/minimum pada fungsi tujuan.
Prinsip Minimum Pontryagin
Diberikan permasalahan dengan suatu kontrol yang terbatas
sebagai berikut:
Prinsip Minimum Pontryagin
Prinsip Minimum Pontryagin
Start
Pembentukan Model HIV
Mencari Daerah Penyelesaian dan Titik Setimbang
Titik Setimbang Bebas Penyakit
Titik Setimbang Endemik
Analisa Kestabilan Lokal
Penyelesaian
Optimal Control
Membentuk Persamaan Hamiltonian
Menentukan persamaan state, co-state dan kondisi stasioner
Mencari Bentuk Optimal Control serta penyelesaian secara numerik
Interpretasi Hasil Simulasi
Penarikan Kesimpulan
Finish
Deskripsi Model dan Asumsi
• Populasi Sel T CD4 Sehat
• Populasi Makrofag Sehat
• Populasi Sel T CD4 Terinfeksi
• Populasi Makrofag Terinfeksi
• Populasi Virus Infektif
• Populasi Virus Non Infektif
• Populasi Sel T Cytotoxic
Deskripsi Model dan Asumsi
Diperoleh digram kompartemen sebagai berikut :
Daerah Penyelesaian Model
Titik Setimbang Model
Kestabilan Lokal Titik Setimbang
Matriks Jacobian:
 1  k1VI

0


k1VI

J 
0
   kV
1 1 I

0


0

0
  2  k2VI
0
0
0
0
 k1T1
 k2T2
0
0
0
   m1E
0
k1T1
0
k2VI
  2 k2VI
0
0
0
NT 
0
J 7 ,3
   m2 E
NT 
0
J 7, 4
Dengan :
J 7 ,3  J 7 , 4
bE Kb E
dE Kd E


2
2
 T   T   K   T   T   K 
2
b
2
d
 1
  1

J 7,7
k2T2
0
   1k1T1   2 k2T2 
0
0

0
0




 m1T1

 m2T2 
0 

0 

J 7 , 7  Eˆ
0
0

 
bE
dE

 T  T    


 T   T   K T   T   K  1 2  E
b
1
2
b 
 1 2
Kestabilan Lokal Titik Setimbang
 
J Eˆ 0

  1

 0


 0


 0


 0

 0

 0

0
 2
0
0
0
0
   m1
E
E
0
 k2
0
k1
k2
0
0
   m2 E
0
NT 
NT 
0
0
 bE d E   E



 Kb Kd  E
0
 bE d E   E



 Kb Kd  E
0
1
 k1
1
0
2
0
2
1
1
0
2
0
0
0
2


 
    1 k1 1   2 k 2 2  0
1
2 

0


0 

0 


0 


0 


0 

0 

 E 
 Eˆ
Kestabilan Lokal Titik Setimbang
Dengan menyelesaikan persamaan I  J  0
Diperoleh nilai eigen sebagai berikut :
1  1 , 2  2 , 3  E , 4  
dan tiga nilai eigen yang lain didapat dari RouthHurwitz, yaitu:
Kestabilan Lokal Titik Setimbang
Dengan:
Kestabilan Lokal Titik Setimbang
Dan:
Kestabilan Lokal Titik Setimbang
Kestabilan Lokal Titik Setimbang
Kestabilan Lokal Titik Setimbang
Kestabilan Lokal Titik Setimbang
Kestabilan Lokal Titik Setimbang
Kestabilan Lokal Titik Setimbang
Penyelesaian Optimal Control
Untuk menyelesaikan model dinamika virus HIV
dengan menggunakan pengendalian optimal, hal
pertama yang harus dilakukan adalah membentuk
fungsi Hamiltonian.
Penyelesaian Optimal Control
Persamaan Lagrangian:
Penyelesaian Optimal Control
Penyelesaian Optimal Control
Persamaan State
Penyelesaian Optimal Control
Persamaan Co-State
Penyelesaian Optimal Control
Penyelesaian Optimal Control
Penyelesaian Optimal Control
Penyelesaian Optimal Control
Kesimpulan
Kesimpulan
Saran
Banks, HT. (2008), HIV Model Analysis Under Optimal Control Based
Treatment Strategies. North Carolina : North Carolina University.
Card, J.J. (2007), The Complete HIV/AIDS Teaching Kit. New York: Springer
Publishing Company.
Fariyanto, A. (2008), Analisis Eksistensi dan Ketunggalan Optimal Control
Pada Model Immunology HIV. Tugas Akhir S1 Jurusan Matematika ITS
Surabaya.
Finizio, N. dan Ladas, G. 1988. Ordinary Differential Equations with Modern
Applications. California: Wadsworth Publishing Company.
Hirmajer, T., Canto, E.B., dan Banga, J.R., (2009), DOTcvpSB: a Matlab
Toolbox for Dynamic Optimization in Systems Biology, User’s Guide
Technical Report, Instituto De Investigaciones Marinas [IIM-CSIC],
Spanyol.
Maghfiroh, F. (2009), Pengendalian Optimal Dari Gabungan Terapi Pada
HIV-1 Satu Strain. Tugas Akhir S1 Jurusan Matematika ITS Surabaya.
Naidu, D. S. 2002. Optimal Control Systems. USA: CRC Presses LLC.
Pontryagin, L.S. et al. The Mathematical Theory of Optimal Processes, vol.
4. Interscience, 1962.
Subchan, S. dan Zbikowski, R. 2009. Computational Optimal Control : Tools
and Practice. UK : John Wiley & Sons Ltd.Publishing.