modul integral tak tentu

INTEGRAL TAK TENTU
1. Pengertian Integral Tak Tentu
Dalam kalkulus integral dikenal dua macam pengertian integral, yaitu integral tak tentu
(indefinite integral) dan integral tertentu (definite integral ). Integral tak tentu merupakan
kebalikan dari diferensial, yaitu suatu konsep yang berhubungan dengan proses penemuan suatu
fungsi asal apabila turunan (derivatif) dari fungsinya diketahui.
2. Bentuk Umum Integral Tak tentu
Mengintegralkan suatu fungsiturunan f(x) berarti adalah mencari integral atau turunanantinya, yaitu F(x). bentuk umum integral dari f(x) adalah :
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) + 𝑘
Keterangan :
∫
= tanda integral
F(x)
= integral partikular
f(x) dx = diferensial dari F(x)
k
= konstanta pengintegralan
f(x)
dx
= diferensial
= integran
F(x) + k
= fungsi asli atau fungsi asal
Dalam diferensial kita menemukan, bahwa jika misalnya suatu fungsi asal
dilambangkan dengan F(x) dan fungsi turunannyya dilambangkan dengan f(x), maka ;
Untuk fungsi asal
: F(x) = x2 + 5
Fungsi turunannya
: f(x)
=
d 𝐹(x)
dx
= 2x
Jika prosesnya dibalik, yakni fungsi turunan f(x) diintegralkan, maka ;
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) + 𝑘 = 𝑥 2 + k
Karena derivatif dari setiap konstanta adalah nol, maka dalam mengintegralkan setiap
fungsi turunan konstanta tersebut tidak dengan sendirinya bisa diisi dengan bilangan tertentu
(misalnya 5, dalam contoh tadi), kecuali jika di dalam soal memang sudah ditentukan nilai
Page | 1
konstantanya. Karena ketidaktentuan nilai konstanta itulah maka bentuk integral yang
merupakan kebalikan dari diferensial dinamakan integral tak tentu.
3. Kaidah – Kaidah Integral Tak Tentu
Kaidah 1. Formula Pangkat
∫ 𝑥 𝑛 𝑑𝑥 =
𝑥 𝑛+1
+𝑘
𝑛+1
Contoh soal dan penyelesaian :
3x 21
3 3
3
x
d
x


k

x  k  x3  k
1) 
2 1
3
2
2) ʃ 5 dx = 5 ʃ dx = 5x + c
3) ʃ 4x5 dx = 4 ʃ x5 dx
= x5 + 1 + c
=
x6 + c =
x6 +c
Kaidah 2. Formula Logaritmis
∫
1
𝑑𝑥 = ln 𝑥 + 𝑘
𝑥
Contoh Soal dan Penyelesaian :
3
 x  1 dx  3 ln( x  1)  k
Page | 2
Kaidah 3. Formula Eksponensial
∫ 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒 𝑥 + 𝑘
U = f(x)
∫ 𝑒 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑒 𝑢 + 𝑘
Contoh Soal dan Penyelesaian :
1)
e
2)
e
2x
dx 
3 x  2
1 2x
1
e d (2 x)  e 2 x  k

2
2
dx  
1 3 x  2
1
e
d  3 x  2   e 3 x  2  k

3
3
3)
Page | 3
Kaidah 4. Formula Penjumlahan
∫ 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥
= ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥
= F(x) + G(x) + k
Contoh Soal dan Penyelesaian :
2
 (3x  10 x)dx 

3x 21 10 x11

k
2 1 11
3 3 10 2
x  x  k  x 3  5x 2  k
3
2
 (e
x
1
 )dx  e x  ln x  k
x
Kaidah 5. Formula Perkalian
∫ 𝑛𝑓(𝑥) = 𝑛 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
Contoh Soal dan Pembahasan :
∫ 5x dx = 5 ∫ x2 dx
= 5 ( x 2+1
+ k ) = x10 + k
2+1
Kaidah 6. Formula Substitusi
𝑑𝑢
∫ 𝑓(𝑢) 𝑑𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑢) 𝑑𝑢 = 𝐹(𝑢) + 𝑘
U = g(x) ∫ 𝑑𝑢 = 𝑠𝑢𝑏𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑡 𝑏𝑎𝑔𝑖 ∫ 𝑑𝑥
Page | 4
Contoh Soal dan Pembahasan :
1) Selesaikanlah ∫ 6x (3x2 – 10)dx
Penyelesaian:
Dengan cara substitusi, misalkan u = 3x2 - 10; maka du/dx = 6x, atau dx
= du/6x. sehingga:
∫ 6x (3x2 – 10)dx
= ∫ 6x u du/6x
= ∫ u du
= u2 /2 + k
= (3x2 – 10)2 + k2
= ½ (9x4 – 60x2 + 100) + k
= 4,5 x 4 - 30x2 +50 + k
= 4,5 x 4 - 30x2 + k
dimana k + 50 + k
2) ∫ 9(x2 + 3x + 5)8.(2x + 3) dx
Misal : u = x2 + 3x + 5 maka :
Page | 5