Turunan fungsi

Turunan (diferensial) fungsi
Definisi
Turnan sebuah fungsi f adalah fungsi lain f’ (dibaca “ f aksen”) yang nilainya pada sebarang
bilangan c adalah
Asalka limit ini ada. Jika limit ini memang ada, dikatakan bahwa f terdiferensial di c.
Pencarian turunan disebut diferensiasi.
Proses pencarian turunan dengan menggunakan definisi turunan memerlukan waktu, untuk
lebih memudahkan kita dapat mencari turunan dengan menggunakan aturan pencarian
turunan.
Aturan Pencarian Turunan
Rumus 1 : Jika y = cxn dengan c dan n konstanta real , maka dy/dx = cn xn-1
Contoh
y = 2x maka dy/dx = 2x1-1 = 2x0 = 2.1 = 2
y = 2x4 maka dy/dx = 4.2x4-1 = 8x3
soal menggunakan pangkat pecahan atau akar
y = 2√x = 2x1/2 turunannya adalah 1/2.2 x (1/2-1) = x -1/2 = 1/√x
Rumus 2 : Jika y = c dengan c adalah konstanta maka dy/dx = 0
contoh jika y = 6 maka turunannya adalah sama dengan nol (0)
Rumus 3 : Jika y = f(x) + g(x) maka turunannya sama dengan turunan dari masingmasing fungsi = f'(x) + g'(x)
contoh
y = x3 + 2x2 maka y’ = 3x2 + 4x
y = 2x5 + 6 maka y’ = 10x4 + 0 = 10x4
Rumus 4 : Turunan Perkalian Fungsi Jika y f(x).g(x) maka y’ = f'(x) . g(x) + g'(x) . f(x)
contoh
y = x2 (x2+2) maka
f(x) = x2
f'(x) = 2x
g(x) = x2+2
g'(x) = 2x
masukkan ke rumus y’ = f'(x) . g(x) + g'(x) . f(x)
y’ = 2x (x2+2) + 2x . x2
y’ = 4x3 + 4x (jawaban ini juga bisa diperoleh dengan mengalikan terlebih dahulu lalu
menggunakan rumus 3)
Rumus 5 : Turunan Pembagian Fungsi
contoh soal
Rumus 6 : y = [f(x)]n maka turunannya adalah n [f(x)]n-1 . f'(x)
contoh
Rumus 7 : Turunan Logaritma Natural misal y = ln f(x) maka turunannya
contoh soal
Rumus 8 : ef(x) maka dy/dx = ef(x).f'(x)
contoh :
y = e2x+1
f(x) = 2x+1
f'(x) = 2
maka f’ = e2x+1 . 2 = 2e2x+1
Rumus 9 : Turunan Trigonometri Sin
y = sin f(x) maka turunannya adalah y’ = cos f(x) . f'(x)
contoh :
y = sin(x2 + 1) maka
y’ = cos (x2 +1) . 2x = 2x. cos (x2 +1)
Rumus 10 : Turunan Trigonometri Cos
y = cos f(x) maka turunanya adalah y’ = -sin f(x). f'(x)
contoh :
y = cos (2x+1) maka turunannya
y’ = -sin (2x+1) . 2 = -2 sin (2x+1)
Rumus Turunan Kedua
rumus turunan kedua sama dengan turunan dari turunan pertama . Turunan kedua diperoleh
dengan menurunkan turunan pertama. Contoh :
Turunan kedua dari x3 + 4x2
turunan pertama = 3x2 + 8x ; Turunan kedua = 6x + 8
Aplikasi turunan
Menentukan nilai maksimum dan minimum fungsi
Contoh soal:
Tentukan nilai maksimum dan minimum dari fungsi y = x3 + 3x2 -24x
Jawab:
y = f(x) = x3 + 3x2 – 24x
f'(x) = 3x2 + 6x -24
3x2 + 6x -24 = 0
3x2 + 6x -24 = 0
(3x+12) (x-2) = 0
dapat disederhanakan menjadi
x = -4 atau x = 2
3(x2 + 2x -8) = 0
(x+4) (x-2) = 0
x = -4 atau x = 2
kedua nilai x kemudian kita masukkan ke fungsi
f(-4) = (-4)3 + 3(-4)2 -24(-4) = -64 + 48 + 96 = 80 (nilai maksimum)
f(2) = 23 + 3(2)2 – 24(2) = 8 + 12 – 24 = -8 (nilai minimum)
TURUNAN PARSIAL
a. Fungsi dua variabel atau lebih
Fungsi dua variabel atau lebih dapat ditulis dalam bentuk eksplisit atau implisit. Jika fungsi
dua peubah dinyatakan dalam bentuk eksplisit, maka secara umum ditulis dalam bentuk z = F(x,y).
Sebaliknya jika fungsi dituliskan dalam bentuk implisit, secara umum ditulis dalam bentuk F(x,y,z) =
0.
Contoh:
1. f(x) = 2x+5
2. z = 2x + y
3. xy + xz – yz = 0
Pada contoh di atas, contoh 1 merupakan fungsi 1 variabel fungsi dua variabel yang ditulis
dalam bentuk eksplisit adalah pada contoh 2. Sedangkan contoh 3 adalah fungsi yang ditulis dalam
bentuk implisit. Semua fungsi dalam bentuk eksplisit dengan mudah dapat dinyatakan dalam bentuk
implisit. Akan tetapi tidak semua bentuk implisit dapat dinyatakan dalam bentuk eksplisit.
Turunan Parsial Fungsi Dua dan Tiga variabel
Definisi
Misal z = F(x,y) adalah fungsi dua peubah yang terdefinisi pada interval tertentu, turunan parsial
pertama z terhadap x dan y dinotasikan dengan
z
z
dan
dan didefinisikan oleh
x
y
Z
F ( x  x, y )  F ( x, y )
= Lim
x

0
x
x
dan
F ( x, y  y )  F ( x, y )
Z
= Lim
y

0
y
y
Asalkan limitnya ada.
Kita dapat menghitung turunan tersebut dengan aturan pencarian turunan.
Untuk memudahkan persoalan andaikan z = F(x,y) maka untuk menentukan
z
sama artinya
x
dengan menurunkan variabel x dan variabel y dianggap konstan dan selanjutnya y diturunkan.
Demikian pula untuk menentukan
z
sama artinya dengan menurukan variable y dan variable x
y
dianggap konstant lalu diturunkan.
Contoh soal:
1. Tentukan turunan parsial pertama dari z = x2 + 2y
Z
= 2x
x
Z
=2
y
2. F(x,y) = x2y + 3y3, carilah fx dan fy jika x =1 dan y= 2.
fx =
f
f
dan fy =
x
y
fx = 2xy
Jika x=1 dan y = 2, maka 2xy = 2.1.2 = 4.
fy = x2 + 9y2
Jika x=1 dan y = 2, maka x2 + 9y2 =. 12 + 9.22 = 37
Tugas
1. Tentkanlah turunan berikut
1
a. y = 3x4 + 2x5
2. Tentukan nilai maksimum dan minimum dari fungsi berikut
y = f(x) = x3 –3x2 – 24x -7
1
2
3. F(x,y) = x4 - 5xy3, carilah fx dan fy jika x =3 dan y= -1.