Universitas Gadjah Mada 1 BAB 7 PERSAMAAN

BAB 7
PERSAMAAN DIFERENSIAL
Perhatikan persamaan di bawah ini.
Persamaan ini disebut persamaan diferensial orde satu, karena pada persamaan ini terdapat
derivatif orde satu.
Sebagai contoh
Penyelesaian.
Nilai c diperoleh dengan memasukkan
( )
Dengan demikian, penyelesaian persamaan diferensial di atas adalah :
Hasil analisis menunjukkan, secara umum persamaan diferensial
mempunyai penyelesaian
Pada mata kuliah ini, tidak dibahas penyelesaian persamaan diferensial secara anaiisis,
tetapi hanya akan dibahas penyelesaian secara numeris.
Universitas Gadjah Mada
1
7.1. Metode Euler
Misalkan Y(x) adalah penyelesaian persamaan diferensial
Penyelesaian numerik atas persamaan diferensial tersebut digunakan untuk menentukan
nilai Y(x) pada sejumlah titik tertentu
Untuk memudahkan pekerjaan pada titik-titik diatas berlaku
Selanjutnya, notasi
digunakan untuk menyatakan pendekatan terhadap titik-titik penyelesaian.
Metode Euler diturunkan dari pendekatan terhadap derivative. Derivatif suatu fungsi
mempunyai pendekatan :
Bila pendekatan ini dimasukkan ke dalam masalah yang diselesaikan, yakni
pada titik x = xn diperoleh :.
Diperoleh rumus Euler :
Universitas Gadjah Mada
2
7.2. Metode Taylor
Pendekatan terhadap nilai Y(x) disekitar x = xn, dengan menggunakan deret Taylor sampai k
suku adalah :
Dengan mengambil
diperoleh :
Bila deret Taylor hanya diambil sampai k =1 sebagai pendekatan dalam menyelesaikan
persamaan diferensial maka akan diperoleh Metode Euler.
Sebagai contoh, diselesaikan masalah
Masalah tersebut diselesaikan dengan menggunakan metode Taylor sampai 3 suku.
Deret Taylor sampai 3 suku adalah :
Dan masalah yang diselesaikan
Dan penjabaran di atas diperoleh rumusan numerik
7.3 Metode Runge-Kutta
Metode Taylor secara konseptual cukup mudah dikerjakan, tetapi perlu banyak waktu untuk
melakukan perhitungan. Metode Runge-Kutta menghendaki suatu bentuk yang lebih mudah.
Metode ini mempunyai bentuk umum
Universitas Gadjah Mada
3
Kuantitas F(xn, yn ; h) dapat dipandang sebagai rerata gradien dari penyelesaian
pada interval [xn, xn+1] . F(xn,yn;h) mempunyai bentuk umum
Dari perhitungan lebih lanjut, konstanta {,,1,2}mempunyai keterkaitan
Nilai 2 biasanya dipilih , , atau 1.
7.4. Metode Multistep
Pada metode ini persamaan diferensial diintegralkan.
Fungsi f(x, Y(x)) didekati dengan interpolasi linear. Untuk interval [xn-1, xn]
Dengan demikian diperoleh rumus numerik :
Universitas Gadjah Mada
4
Umpan Balik
Tentukan penyelesaian numerik dari
dengan menggunakan berbagai metode yang dipelajari pada kuliah ini.
Universitas Gadjah Mada
5
DAFTAR PUSTAKA
Atkinson, 1993, "Elementary Numerical Analysis", John Wily & Sons, New York Susila, 1993,
"Dasar-dasar metode numerik", Dikti, Jakarta
Universitas Gadjah Mada
6