A. Determinan dan Invers Matriks

Unit
2
Matriks
A. Determinan dan Invers matriks
B. Penyelesaian Sistem Persamaan Linear
Matematika untuk kelas XI SMA
Kelompok Peminatan
Dalam kehidupan sehari-hari, banyak permasalahan
yang melibatkan pengoptimalan, seperti
meminimumkan ongkos atau memaksimalkan laba.
Bersama teman sebangkumu, carilah satu
permasalahan dalam kehidupan sehari-hari yang
melibatkan pengoptimalan. Kemudian, selesaikan
dengan menggunakan program linear, dan
presentasikan hasilnya di depan kelas.
Bersyukurlah kepada
Tuhan dengan adanya
ilmu fisika dan
matematika yang dapat
dikolaborasikan untuk
menyelesaikan suatu
permasalahan
A. Determinan dan Invers Matriks
1. Determinan Matriks Persegi
Definisi Determinan
Matriks Persegi Ordo 2
Bangkit
Karakter
𝑎11 𝑎12
Misalkan 𝐴 = 𝑎
, maka determinan
21 𝑎22
Matriks A adalah
𝑎11 𝑎12
𝐴 = 𝑎
= 𝑎11 𝑎22 − 𝑎21 𝑎12
𝑎
21
22
Determinan suatu matriks diperoleh
dengan mengalikan elemen
elemennya, kemudian
mengurangkannya. Agar lebih mudah
Anda harus hafal skema determinan
matriks tersebut. Coba Anda nyatakan
dengan kalimat sendiri determinan
matriks persegi ordo 2.
Contoh Soal
Soal
Determinan Matriks Persegi Berordo 2
−2 3
1. Tentukan determinan A jika
−5 −4
2 3
2. Tentukan k jika
= 12
4 𝑘
Penyelesaian:
−2 3
1. 𝐴 =
= −2 −4 − −5 3 = 8 + 15 = 23
−5 −4
2 3
2.
= 12
4 𝑘
2 𝑘 − 4 3 = 12 ⟹ 2𝑘 − 12 = 12
⟹ 2𝑘 = 24 ⟹ 𝑘 = 12
Menghitung Determinan Matriks Persegi Ordo 3
dengan Metode Sarrus
Tentukan determinan matriks persegi ordo 3 berikut, dengan metode Sarrus.
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝐴 = 𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
Langkah-langkah yang perlu dilakukan adalah sebagai berikut.
Langkah 1. Salin dua kolom pertama dari determinan disebelah tanda
pisah (Gambar 2.1 Halaman 28).
Langkah 2. Buat diagonal utama matriks (garis panah ke bawah pada
Gambar 2.1) dan dua garis yang sejajar diagonal utama. Kalikan ketiga
elemen yang dilalui oleh diagonal utama dan kedua garis yang sejajar
diagonal utama, beri nama hasilnya 𝐷𝑢𝑡𝑎𝑚𝑎 , kemudian jumlahkan.
𝐷𝑢𝑡𝑎𝑚𝑎 = 𝑎11 𝑎22 𝑎33 + 𝑎12
Langkah 3. Buat diagonal sekunder matriks (garis panah ke atas)
yang melalui tiga buah elemen matriks. Buat juga dua garis yang
sejajar diagonal sekunder (Gambar 2.2)
𝐷𝑠𝑒𝑘𝑢𝑛𝑑𝑒𝑟 = 𝑎31 𝑎22 𝑎13 + 𝑎32 𝑎23 𝑎11 + 𝑎33 𝑎21 𝑎12
Langkah 4. Nilai determinan matriks ordo 3, yaitu D, adalah selisih
antara 𝐷𝑢𝑡𝑎𝑚𝑎 dan 𝐷𝑠𝑒𝑘𝑢𝑛𝑑𝑒𝑟 . Jadi 𝐷 = 𝐷𝑢𝑡𝑎𝑚𝑎 − 𝐷𝑠𝑒𝑘𝑢𝑛𝑑𝑒𝑟
Contoh Soal
Tentukan determinan dari matriks
Penyelesaian:
Langkah 1.
Salin dua kolom pertama di sebelah
kanan tanda terpisah.
Untuk Langkah 4
ada di Halaman 29.
.
Langkah 2 dan Langkah 3.
Buat diagonal utama dan dua garis lain yang
sejajar diagonal utama. Buat juga diagonal
sekunder dan 2 garis lain sejajar diagonal
sekunder.
2. Invers Matriks Persegi Ordo 2
Definisi Invers Matriks Persegi Ordo 2
Jika A adalah matriks persegi ordo 2 dan 𝐴−1 adalah invers dari matriks A,
maka A 𝐴−1 = 𝐴−1 𝐴 = 𝐼2
...(2)
Dengan 𝐼2 adalah matriks satuan ordo 2.
Contoh Soal
Periksa apakah matriks B =
matriks A =
merupakan invers dari
Untuk memeriksa apakah B merupakan invers dari A, Anda tentukan
nilai AB. Jika AB = 𝐼2 maka B adalah invers dari A.
Oleh karena AB = 𝐼2 maka jelas B adalah invers dari A atau dapat
Anda tulis B = 𝐴−1 . Pada kasus ini berlaku pula BA = 𝐼2 .
a. Rumus Invers Matriks Ordo 2 × 2
C. Nilai Stasioner
Rumus Invers Matriks Persegi Berordo 2
𝑎 𝑏
maka invers dari matriks A, ditulis 𝐴−1
𝑐 𝑑
1
𝑑 −𝑏
adalah 𝐴−1 =
dengan det A ≠ 0
det 𝐴 −𝑐
𝑎
Jika A =
Sifat Invers Matriks
Jika A, B, dan AB dianggap memiliki matriks invers maka berlaku sifat berikut.
(𝐴𝐵)−1 = 𝐵−1 . 𝐴−1
(𝐵𝐴)−1 = 𝐴−1 . 𝐵−1
Perhatikan (𝐴𝐵)−1 ≠ (𝐵𝐴)−1
(antikomunikatif)
b. Matriks Singular dan Nonsingular
Definisi Matriks Singular dan Matriks Nonsingular
Sebuah matriks persegi A dikatakan sebagai matriks singular (matriks yang tidak
memiliki invers) jika determinan dari matriks persegi itu sama dengan nol atau
jika det A = 0 maka A matriks singular;
jika det A ≠ 0 maka A matriks nonsingular
Contoh Soal
Soal
Diketahui matriks A =
Carilah bilangan x sehingga matriks A – xI adalah matriks singular.
Penyelesian:
Syarat A – xI singular adalah det[A – xI] = 0,
Jadi, nilai x yang memenuhi adalah x = 5 atau x = –1.
Soal Latihan
1. Tentukan determinan dari matriks-matriks berikut.
𝑥
𝑦 1
4 −3
a.
b. −2 −2 1
1 2
1
5 1
𝑎+𝑏 𝑎
2. Tentukan nilai b agar matriks
tidak mempunyai invers.
𝑎
+𝑏
3. Tunjukan bahwa persamaan garis melalui titik-titik (𝑥1 , 𝑦1 ) dan (𝑥2 , 𝑦2 )
𝑥 𝑦 1
dapat diperoleh oleh det 𝑥1 𝑥2 1
𝑦1 𝑦2 1
Kegiatan
Kerjakan
Uji Materi 2.1 halaman 34,
buku Matematika untuk Kelas XI
SMA Kelompok Wajib.
B. Penyelesaian Sistem Persamaan
Linear
1. Penyelesaian SPL Dua Variabel dengan Invers Matriks
Penyelesaian Persamaan Matriks AX = B dan XA = B
Misalkan, matriks A adalah matriks persegi ordo n dan invers 𝐴−1 ada
(artinya det A ≠ 0).
Jika AX = B maka
X = 𝐴−1 B (kedua ruas dikalikan dengan 𝐴−1 dari kiri)
...(4)
Jika XA = B maka
X = B 𝐴−1 (kedua ruas dikalikan dengan 𝐴−1 dari kanan)
...(5)
Contoh Soal
Tentukan penyelesaian SPL berikut dengan matriks
2x – y = 5
3x + 2y = 4
Langkah 1. Tidak perlu dilakukan karena SPL sudah dalam bentuk umum.
Langkah 2. Ubah SPL ke bentuk persamaan matriks AX = B.
Langkah 3. Tentukan matriks invers A–1 dengan rumus invers matriks ord 2 × 2
Untuk Langkah 4 dan
Langkah 5 ada pada
Halaman 36
2. Aplikasi Penyelesaian SPL Dua Variabel
dengan Invers Matriks
Salah satu keuntungan besar menggunakan invers matriks dalam
penyelesaian SPL adalah memudahkan Anda menyelesaikan SPL lain
yang dibentuk hanya dengan mengubah tetapan-tetapan SPL
(tidak mengubah koefisien-koefisien dari SPL).
Contoh Soal
Analisis Rangkaian Listrik. Ada dua arus loop 𝐼1 dan 𝐼2 (diukur dalam ampere) yang
dapat dibuat dalam rangkaian listrik, seperti pada Gambar 2.3. Menurut Hukum II
Kirchhoff, arus-arus loop ini memenuhi sistem persamaan (coba Anda buktikan hal
ini).
3𝐼1 – 𝐼2 = V
–𝐼1 + 2 𝐼2 = 0
Tentukan nilai kedua arus loop 𝐼1 dan 𝐼2 jika
a. V = 6
b. V = 12
Penyelesaian ada pada Halaman 37
3. Penyelesaian SPL dengan Determinan
Penyelesaian SPL Dua Variabel dengan Determinan
𝐷𝑦
𝐷
𝑥 = 𝑥 dan 𝑦 =
𝐷
𝐷
dengan:
x dan y menyatakan variabel-variabel dari SPL
D = determinan dari matriks koefisien SPL
𝐷𝑥 = determinan yang diperoleh dari D dengan mengganti
kolom variabel x (kolom ke-1) dengan tetapan-tetapan SPL
𝐷𝑦 = determinan yang diperoleh dari D dengan mengganti
kolom variabel y (kolom ke-2) dengan tetapan-tetapan SPL
Materi tentang matriks
dapat dilihat pada situs
 http://www.edhelper.co
m/ Matrices.htm
 http://home.scarlet.
be/~ping1339/matr.htm
Jawaban selanjutnya
ada pada Halaman 40
Contoh Soal
Tentukan penyelesaian
2𝑥 − 𝑦 = 5
3𝑥 + 2𝑦 = 4
Penyelesaian:
SPL telah disusun sesuai dengan bentuk umum yang
diinginkan sehingga Anda dapat langsung menentukan
determinan dari matriks koefisien, yaitu
𝐷𝑥 diperoleh dari kolom D dengan mengganti kolom
variabel x (kolom 1) dengan tetapan-tetapan SPL, yaitu 5
dan 4.
4. Penyelesaian SPL 3 Variabel
dengan Determinan (*)
Langkah-Langkah Penyelesaian SPL
Tiga Variabel dengan Metode
Determinan
1. Misalkan, SPL tiga peubah
dalam bentuk matriks adalah
dengan A adalah matriks
koefisien dari SPL dan B matriks
tetapan dari SPL.
2. Tentukan determinan matriks A.
4. Bentuk matriks Y' dengan cara mengganti
kolom 2 matriks A dengan matriks kolom B,
kemudian tentukan determinan Y'.
5. Bentuk matriks Z' dengan cara mengganti
kolom 3 matriks A dengan matriks kolom B,
kemudian tentukan determinan Z'.
3. Bentuk matriks X' dengan cara
mengganti kolom ke-1 matriks A
dengan matriks kolom B (tetapan SPL),
kemudian tentukan determinan X’.
6. Jika D ≠ 0 maka penyelesaian SPL tiga
peubah adalah
Contoh Soal
Selesaikan SPL berikut x + y + z = 5; 2x – 4y – 3z = –5; x – y = 4
Penyelesaian:
Anda dapat menyatakan SPL tersebut ke dalam persamaan matriks berikut
Tentukan determinan dari matriks koefisien adalah
Oleh karena D ≠ 0 maka SPL memiliki penyelesaian tunggal. Mari, lanjutkan
dengan menentukan 𝐷𝑥 ’ dan 𝐷𝑦 '.
[Cara untuk menghitung 𝐷𝑥 ’ dan 𝐷𝑦 '. Dengan metode Sarrus diberikan kepada Anda
sebagai latihan]. Dengan demikian,
Soal Latihan
1.
Lena meminjam Rp80.000.000,00 dalam tiga kategori
pinjaman berbeda untuk memulai menjalankan bisnisnya. Ia
meminjam dari dua bank sejumlah Rp70.000.000,00 masingmasing dengan bunga 11% dan 10%. Sisa lainnya dipinjam
dari lembaga keuangan dengan bunga 13%. Berapa besar
pinjaman Lena pada setiap kategori jika bunga tahunan yang
harus dibayarnya adalah Rp8.500.000,00?
2.
Jika matriks
tidak mempunyai invers,
tentukan nilai 2y + 1.
Kegiatan
Kerjakan
Uji Materi 2.2 halaman 43
buku Matematika untuk Kelas XI
SMA Kelompok Wajib.
Kesimpulan
Kemukakanlah pertanyaan atau pendapat
Anda tentang materi pembelajaran unit ini.
Kuis
1. Diberikan sistem persamaan
𝑥1 – 3 𝑥2 = 𝑘1
2 𝑥1 – 5 𝑥2 = 𝑘2
a. Ubah sistem persamaan ke bentuk matriks AX = B.
b. Tentukan invers matriks koefisien A
c. Gunakan 𝐴−1 untuk menentukan penyelesaian jika 𝑘1 = –2 dan 𝑘2 = 1
d. Gunakan 𝐴−1 untuk menentukan penyelesaian untuk 𝑘1 = 1 dan 𝑘2 = –2
2. Sebuah partikel bergerak dengan persamaan S = 4 𝑡 2 + 2 (s dalam meter dan t
dalam sekon). Jika ditentukan oleh
tersebut setelah bergerak t sekon?
Kegiatan
Kerjakan
Uji Kompetensi Unit 2 halaman 44
buku Matematika untuk Kelas XI
SMA Kelompok Wajib.
berapa kecepatan partikel
Rahasia sukses dalam hidup itu
adalah menemukan suatu
takdirnya dan kemudian
melakukannya.
-Henry Ford-.
referensi
• www.photo.dhakasite.com
• www.smamarsudirinimtl.c
om