SISTEM PERSAMAAN LINEAR

Dasar Penarikan
Kesimpulan
1.
2.
Contoh Penarikan
Kesimpulan
Pernyataan berdasarkan hukum fisika
“
Jika air dipanaskan, maka suhu air
tersebut akan naik.”
Faktanya : satu panci air dipanaskan di atas
kompor menyala.
Kesimpulan : suhu air di dalam panci tersebut akan
naik.
Contoh Penarikan
Kesimpulan
Pernyataan berdasarkan sifat-sifat bilangan real:
“Jika bilangan real a kurang dari bilangan
real b, maka a – b kurang dari nol”
Fakta : 4 kurang dari 10.
Kesimpulan : 4-10 kurang dari nol.
SISTEM PERSAMAAN LINEAR
Motivasi :
Dari masalah Geometri
Apa artinya… ?
•
•
•
•
•
Titik-titik
Titik-titik
Titik-titik
Titik-titik
Titik-titik
yang
yang
yang
yang
yang
melalui garis-1
melalui garis-2
tidak melalui garis-1
tidak melalui garis-2
melalui garis-1 DAN garis-2
Kemungkinan posisi
dua buah garis lurus
Sistem persamaan linear (SPL)
dengan 2 variabel dan 2 persamaan
• Dari contoh :
y = 3x -2 --- 3x – y = 2
y = -x -6 --- x + y = -6
• SPL dengan dua variabel dan dua persamaan :
ax + by = c
mx + ny = k
Permasalahan :
• Mencari penyelesaian yang memenuhi kedua
persamaan yang diberikan.
• Sama artinya dengan mencari titik potong dua
buah garis lurus.
Contoh penggunaan SPL:
Jarak, Kecepatan, Waktu
Sebuah pesawat terbang menempuh
perjalanan 1200 km dari A ke B selama 2
jam searah arah angin saat itu. Sebuah
pesawat lain dari arah berlawanan (B ke
A) membutuhkan waktu 2.5 jam.
Tentukan kecepatan pesawat dan
kecepatan angin saat itu.
Penyelesaian (1):
Jarak = (Kecepatan)(Waktu)
X: Kecepatan pesawat terbang
Y: Kecepatan angin
Penerbangan A ke B
Jarak = (Kec.)(Waktu)
1200
Penerbangan B ke A
= (x + y) (2)
Jarak = (Kec.)(Waktu)
1200
= (x - y) (2.5)
Penyelesaian (2) :
• Sistem persamaan linear
2 x  2 y  1200
2.5 x  2.5 y  1200
• Kecepatan pesawat adalah
540 km/jam dan kecepatan angin
60 km/jam.
Contoh penggunaan SPL :
Geometri
Jumlah dua sudut lancip sebuah
segitiga adalah 90º.
Besar sudut
pertama 6º lebih kecil daripada 2
kali besar sudut kedua. Tentukan
besar masing-masing sudut.
Penyelesaian (1):
X: besar sudut pertama
Y: besar sudut kedua
Jumlah dua sudut lancip :
90º
X + Y = 90
Besar sudut pertama 6º lebih kecil daripada 2 kali besar
sudut kedua :
x = 2y
-
6
Penyelesaian (2) :
• Sistem persamaan linear :
x  y  90
• Dua sudut tersebutx masing-masing
adalah 32º
 2y  6
dan 58º.
• Mengapa perlu mempelajari sistem persamaan
linear ?
• Apa saja yang dipelajari ?
• Apakah sistem persamaan linear dengan 2
variabel dan 2 persamaan tidak cukup untuk
menyelesaikan masalah?
Fenomena yang
dimodelkan dengan SPL
Tentukan besar masing-masing arus
listrik pada rangkaian berikut:
Hukum Kirchhoff dan
Hukum Ohm
1. Ohm's Law. The voltage drop across a
resistor (E) is the product of the current
passing through it (I) and its resistance
(R); E=IR.
2. Kirchhoff's Current Law. The sum of
the currents flowing into any point equals
the sum of the currents flowing out from
the point.
3. Kirchhoff's Voltage Law. Around any
closed loop, the algebraic sum of the
voltage drops is zero.
Pemodelan (1)
Dengan Hukum Kirchhoff arus listrik pada titik A dan
B diperoleh:
Dari dua persamaan di atas didapat:
Pemodelan (2)
Dari loop 1 dan loop 2 diperoleh:
Pemodelan (3)
Jadi bentuk SPL rangkaian di atas adalah:
yaitu SPL dengan 3 variabel dan 3 persamaan.
Pertanyaan :
• Berapakah besar arus yang melewati masingmasing bagian dalam rangkaian listrik tersebut?
• Sama artinya menghitung , dan , yaitu
menghitung penyelesaian SPL tersebut.
Perkembangan
• SPL tidak hanya untuk kasus 2 variabel dan 2
persamaan.
• SPL berkembang untuk kasus n variabel dan m
persamaan.
Karl Friedrich Gauss
dan Wilhelm Jordan
Pengenalan Bentuk
Umum
Sistem Persamaan Linear
Sistem persamaan linear dengan m persamaan
(SPL)
dan n variabel
Penyelesaian SPL
Penyelesaian SPL di atas adalah barisan bilangan
yang memenuhi setiap persamaan pada SPL.
1 2
n
s , s ,..., s
Kesimpulan
Setiap sistem persamaan linear mempunyai tiga
kemungkinan berkaitan dengan penyelesaiannya:
1.Tidak mempunyai penyelesaian
2.Mempunyai
tak
berhingga
banyak
penyelesaian.
3.Mempunyai tepat satu penyelesaian.