SISTEM PERSAMAAN LINEAR

SISTEM
PERSAMAAN
LINEAR
PENGERTIAN
Bentuk Umum :
a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2
a31x1 + a32x2 + … + a3nxn = b3
•
•
•
am1x1 + am2x2 + … + amnxn = bn
dimana a11, a12, … amn bil real
b1, b2, … bn bil real
JENIS-JENIS SISTEM
PERSAMAAN LINEAR
Jenis jenis Sistem Persamaan Linear yang
akan dibahas adalah :
a. SPL dengan banyaknya persamaan sama
dengan banyaknya variabel (m = n)
b. SPL dengan banyaknya persamaan tidak
sama dengan banyaknya variabel (m ≠ n)
c. SPL Homogen
JENIS-JENIS
PENYELESAIAN SPL
a. Penyelesaian Konsisten
Arti : SPL mempunyai sekurang kurangnya
1 ( satu ) penyelesaian
Terbagi menjadi 2 jenis :
1. Mempunyai tepat 1 ( satu ) penyelesaian
Artinya, SPL tersebut, hanya
mempunyai tepat 1 penyelesaian,
tidak ada penyelesaian lain
Contoh :
x + 2y = 12
4x + y = 13
Secara grafis :
tepat satu penyelesaian
2. Mempunyai tak hingga penyelesaian
Artinya, SPL tersebut mempunyai
tak hingga banyak penyelesaian
(mempunyai penyelesaian yang
tidak dapat dihitung banyaknya)
Contoh :
x + 2y = 10
2x + 4y = 20
Secara grafis :
tak hingga penyelesaian
b. Penyelesaian Tak Konsisten
Arti : SPL tidak mempunyai
penyelesaian
Contoh :
x + 2y = 10
2x + 4y = 5
Secara grafis :
MENYELESAIKAN SPL
DGN 2 PERS. & 2 VAR.
Terdapat 2 metoda, yaitu :
• Metoda Eliminasi
Metoda ini mendasarkan diri untuk
menentukan nilai dari salah satu
variabel dengan cara menghilangkan
variabel lain
• Metoda Substitusi
Metoda ini mendasarkan diri pada
penggantian satu variabel pada
variabel yang lain
Contoh : Tentukan penyelesaian dari :
x + 2y = 12
4x + y = 13
MENYELESAIKAN SPL
DGN m PERS. & n VAR.
Terdapat 3 metoda, yaitu :
• Metoda Matriks
• Metoda Cramer
• Metoda TBE
METODA MATRIKS
SPL diubah terlebih dahulu menjadi Perkalian 2 Matriks
Secara Umum :
a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2
•
•
•
an1x1 + an2x2 + … + annxn = bn
 a11 a12 .. a1n   x 1 
 b1 
a
  
b 
a
..
a
x
22
2n 
 21
 2 =  2
 :
:
:
:   : 
: 

  
 
a
a
..
a
m2
mn   x n 
 m1
b n 
A
X
B
X=
-1
A .B
Contoh :
Tentukan penyelesaian dari SPL di
bawah ini :
x1 + x2 + 2x3 = 9
2x1 + 4x2 – 3x3 = 1
3x1 + 6x2 – 5x3 = 0
METODA CRAMER
Tentukan terlebih dahulu, masing-masing
determinannya :

2 
 a1n
a11
a12
 a1n
b1
a12
a21
a22  a2 n
b2
a22  a2 n


1 




an 2  ann
bn
an1
an 2  ann
a11
b1
 a1n
a11
a21
b2
 a2 n
a21 a22  b2


an1
bn

 ann
n 

a12  b1


an1 an 2  bn
Penyelesaiannya :
1
X1 

3
X3 

2
X2 

n
Xn 

METODA TBE
Dengan menggunakan TBE, maka koefisien pada ruas kiri
dari SPL, harus diubah menjadi matriks Identitas
 a11 a12 .. a1n

 a 21 a 22 .. a 2n
 :
:
:
:

am1 am 2 .. amn
b1 

b2 
:

bn 

 1 0 .. 0 k 1 


k
0
1
..
0
2

: : : : : 


0 0 .. 1 k n 