komposisi fungsi dan fungsi invers - e

KOMPOSISI FUNGSI DAN
FUNGSI INVERS
A. FUNGSI DAN SIFAT FUNGSI
 FUNGSI
Domain
adalah daerah asal, Kodomain adalah
Fungsi
Rasional
daerah
lawan,
Range
adalah
daerah
hasil.
Merupakan
pemetaan
setiapfungsi
anggota
sebuah
himpunan
(dinamakan
Fungsi
rasional
adalah
yang
memetakan
sebagai
domain) kepada
himpunan yang
lain (dinamakan
suatu
bilangan
real xanggota
ke bilangan
rasional
sebagai kodomain).
dengan g(x) dan h(x) adalah polinom-polinom
dan h(x) tidak sama dengan nol
Fungsi Irrasional / akar kuadrat
Fungsi akar kuadrat utama adalah fungsi yang
sebelah kiri= { Apel, Bekasi,
Labu,
Hijau}
memetakanDomain
himpunanbilangan
real
tak
negatif
Kodomain sebelah kanan = { Kota,Warna,Buah,Sayur}
kepada himpunan
itu sendiri, dan seperti semua
Range = { Kota,Warna,Buah,Sayur}
fungsi, selalu memiliki nilai balikan yang tunggal.
B. FUNGSI KOMPOSISI
SIFAT KOMPOSISI FUNGSI
SIFAT
Fungsi
komposisi merupakan
•Tidak komutatif
operasi
Jika
diketahui fungsi
f dan dua
fungsi fungsi
g dengan (f
o g)(x)lebih
dan (g o
berurutan
dari
atau
f)(x) terdefinisi, maka tidak berlaku sifat komutatif, yaitu (f o
dengan
aturan tertentu.
g)(x)
≠ (g o f)(x)
•Asosiatif
Jika diketahui fungsi f, g dan fungsi h dengan (f o g o h)(x)
terdefinisi, maka berlaku sifat asosiatif, yaitu ((f o g) o h)(x) =
(f o (g o h))(x)
•Identitas
Jika diketahui f suatu fungsi dan I fungsi identitas dengan (f o
I)(x) dan (I o f)(x) terdefinisi, maka berlaku sifat identitas,
yaitu (f o I)(x) = (I o f)(x) = f (x)
C. INVERS FUNGSI DAN FUNGSI INVERS
 Cara
menentukan
invers
dari fungsi awalnya
Definisi
inversfungsi
suatu
fungsi
Definisi
Fungsi
invers

Suatu fungsi f akan mempunyai invers, yaitu f−1f−1 jika dan
Jika
fungsi
f memetakan A ke sebuah
B dan dinyatakan
dalam
FUNGSI
pemetaan
hanya
jika fungsimerupakan
f bijektif atau dalam korespondensi
satu-satu.
pasangan
berurutan
f={(x,y)|x∈A
Misalkan,
ff merupakan
fungsi dari dan
A ke y∈B}f={(x,y)|x∈A
B, maka
f−1f−1merupakan
himpunan,
sedangkanINVERS
adalah
dan y∈B},
fungsi(f−1∘f)(x)=x(f−1∘f)(x)=x
f (dilambangkan f−1f−1)
fungsimaka
invers invers
f jika berlaku
dan
kebalikan,jadi
invers
dalam
fungsi
yaitu
kebalikan
(f∘f−1)(x)=x(f∘f−1)(x)=x.
Perhatikanlah
gambar
di
bawah
ini.
adalah relasi yang memetakan B ke A, dalam pasangan
dari dinyatakan
sebuah pemetaan
himpunan. dan
berurutan
dengan f−1={(y,x)|y∈B
x∈A}f−1={(y,x)|y∈B
 Langkah-langkah menentukan
dan x∈A}. fungsi
Dapatinvers:
ditulis: jika
y=f(x),y=f(x),
inversnya
x=f−1(y)
 1. Buatlahmaka
permisalan
f(x)=yf(x)=y
pada persamaan.


2. Selesaikan persamaan sehingga diperoleh xx sebagai fungsi yy
atau x=f−1(y)x=f−1(y).
3. Ganti variabel yy dengan xx pada f−1(y)f−1(y) sehingga diperoleh
f−1(x)=yf−1(x)=y sebagai fungsi invers dari y=f(x)y=f(x).
D. CONTOH SOAL
Nomor
13
Pembahasan:
Nomor
Nomor
4
Pembahasan
Nomor
5
Jika
suatu
fungsi
= xg(x)
+f 2o=dan
= x +f o5
Tentukan
Jika
f(x)
=
terlebih
2x=2 2x
+f(x)
52+
dahulu
dan
g(x)
x=+g(x)
1+maka
Nomor
2
Jika
f
o
g(x)
4
dan
g(x)
x
1
maka
Tentukan
Jika
f foog(x)
terlebih
=adalah.....
2x +
dahulu
4 daninvers
f(x) =
dari
x - 2g(x)
maka
yaitu
Pembahasan
Pembahasan
maka
g(x)
2
2 +
f g(1)
o
g(x)
=
....
=
2
g(x)
+
5
=
2
(x
+
1)
+
5
=
2
(x
Jika
f(x)
=
x
-2
dan
g(x)
=
2x
+
3
maka
g
o
f(x)
f(x)
=
...
g(x)
=3....
xberarti
+ 1 sehingga
x
=
g(x)
1
sehingga:
fA.
g
o
o
g(x)
f(x)
berarti
x
x
pada
pada
f(x)
g(x)
diganti
diganti
dengan
dengan
g(x)
f(x).
x
+
2x
A.
+5x 1)
+ 5 = 2x2 + 4x + 2 + 5
adalah...
A.
1
-1
goxo(x)
A.
x+f(x)
- 7=
2==
xg(x)
-2 12f(x)
(+g(x)
fB.
g(x)
2+ =3+diganti
(x
+ 5)dengan
+ 2 = xx)+ 7
f B.
o
8
g(x)
=
2x
+
4x
7
A.
x
1
B.
xx f(x)
+
Ganti
B.
++x243=
pada
fo
g(x)
dengan
g4-1(x)
Jawaban:
g
o
B
2
(x
2)
+
3
=
2x
C.
2x
Ganti
C.
f o g(x) dengan 1 + 3 = 2x - 1
B.
x11
+2x+2pada
C.
2x
1
-1
f(x)
C.
2x=+2+7gC
2 (x) 2+ 4 = 2 (x - 1) + 4 = 2x - 2 + 4 =
D.
2x
f Jawaban:
D.
o
g(1)
13
=
2 (1) + 4 (1) + 7 = 13
C.
2x
1
D.
2x
22++24
2
2x
D.
2x
+
E.
2x
Jawaban:
E.
17
D.
2x2+
+ 542D
E.
2x
+
Jawaban:
E.
2x + 6D
E. 4x + 4
Soal Nomor 6
Pembahasan
Jika
f(x) = 2x - 6 maka f-1(x) = ...
Untuk
fungsi invers, kita tinggal menentukan persamaan x-nya.
A.
1/2 xmenentukan
-3
f(x)
-6
B.
1/2= x2x
Nomor
7+ 3
2x-1/2x
= f(x)- +3 6
C.
Jika
f(x) = 5 - 1/3x maka f-1(x) = ...
Pembahasan
Pembahasan
x
=
f(x)
++ 63 / 2 (ganti x dengan f-1(x) dan f(x) diganti dengan x)
D.
-1/2x
Pembahasan
Nomor
10 (UN 2014)
A.
3x
+
15
Cara
1
-1(x) = (x + 6) / 2 = 1/2 x + 3
ff(x)
f(x)
=
(x
3) / (2x + 5) berarti a = 1, b = -3, c =
E.
x
12
=
5
1/3x
B.
3x - 15invers
Misalkan
f(x)
= ydidefinisikan sebagai f(x) = (x - 3)
Fungsi
Jawaban:
B=
1/3x
=
5
f(x)
2
dan
d
5
Pembahasan
C.
-3x
+
15
Nomor
y = (x + 3) 9
/ (x maka:
/
(2x
+
5),
x. 3≠- 2)
- 5/2
danf-1f-1
(x)
adalah invers dari
x
=
(5
f(x))
-1
Tentukan
terlebih
dahulu
(x)
D.
-3x
15
-1(1) = ...
(-dx
--1a))
yf (x(x)
- 2)==
x2x
+ 3/+(xb)- /1)(cx
Jika
f(x)
=
maka
f
x
==-15
f(x)
fungsi
f (x) adalah...
y-1
2x
/38x(x
E.Nomor
-3x
+-f(x).
5/3
yx
2y
=
+-Rumus
31)- 3) / dari
f
(x)
=
(-5x
(2x
-1) atau
-1 pembilang dan
-1
A.
Jika
(x
3) /- (x
fA.
(x)
-3x
y-1
(x
-==1)
+2y==3)
/+ (1
2x)- 2) maka f (x) = ...
yx
-(5x
xf(x)
++2x315
penyebut
- (min)
(2x
+= 3)
/dikali
(x
Jawaban:
C2y
yx
-- y1)
B.A.
0(y(5x
x
=2x
+(13- -1)2x)
B.
3)
/
-1(x
B.
- 3)
/(5x
++2)
- 2x
y (x
=
(-2xx+dengan
1) f-1(x) dan y dengan x maka
xfyx
=1(x)
(2y
+=3)
/ (y
-3)
1) /ganti
C.
C.
(5x
+
3)
/
(2x
+
1)
C.
(2x
+
3)
/
(x
+
1)
x
(y
f-1
(2x=(5x
+y 3)+/3)
(x /- (1
1) - 2x)
f-12(x)
(x)-= 2)
=
D.
D.
(-2x
+
3)
/
(x
+
1)
x
=
y
/
(y
2)
D.
(2x
Cara
2 + 3) / (5x + 5)
Jawaban:
A(x -- 2)
-1
(-x
+=3)=x /(ax
E.E.
3
(x)
2)+/ 5)
Jika
f(x)
+ b)
(cx + d) maka f-1(x) = (-dx + b) / (cx - a))
E.f-1(2x
- 3)//(x(5x
f (1)
= 1 / tukar
(1 - 2)tempat
= - 1 dan ganti tanda 1 dengan -2.
Jadi
tinggal
Jawaban:
f-1
(x) = (2x A
+ 3) / (x - 1)
Jawaban: A