vii. bentuk gelombang ac sinusoidal

BENTUK GELOMBANG AC
SINUSOIDAL
1. PENDAHULUAN
Pada bab sebelumnya telah dibahas rangkaian resistif dengan
tegangan dan arus dc. Bab ini akan memperkenalkan analisis rangkaian
ac dimana isyarat listriknya berubah terhadap waktu, dalam hal ini adalah
gelombang sinus. Suatu isyarat listrik tegangan atau arus berubah
terhadap waktu secara konsisten. Dengan kata lain, tegangan atau arus
berubah-ubah menurut pola tertentu yang disebut bentuk gelombang.
Bentuk gelombang yang akan dibahas adalah bentuk gelombang sinus,
karena bentuk gelombang sinus merupakan dasar dalam analisis
rangkaian ac.
Bentuk gelombang sinus merupakan gelombang paling umum
dan mendasar karena semua bentuk gelombang periodik yang lain dapat
dipecah ke dalam gabungan bentuk gelombang sinus. Gelombang sinus
adalah tipe gelombang periodik/berulang dengan interval yang tetap.
Waktu yang diperlukan untuk setiap pengulangan disebut periode dan laju
pengulangannya disebut frekuensi. Teorema-teorema dan metode-metode
yang telah diperkenalkan pada rangkaian dc juga dapat diterapkan pada
rangkaian ac sinus.
2. GELOMBANG SINUS
Gelombang sinus adalah gelombang dasar dari tegangan atau
arus alternating yang juga dikenal sebagai gelombang sinusoidal.
Pelayanan jasa listrik dalam hal ini PLN menyediakan dalam bentuk
tegangan sinusoidal. Simbol yang digunakan untuk menyatakan sumber
tegangan sinusoidal dapat dilihat pada Gambar 1.
Gambar 1. Simbol sumber tegangan sinusoidal
Rangkaian Listrik I by Zaenab Muslimin
77
Gambar 2 adalah grafik yang menunjukkan bentuk umum dari
gelombang sinus yang mana dapat berupa tegangan atau arus
alternating. Tegangan (arus) dinyatakan sebagai sumbu vertikal dan
waktu dinyatakan sebagai sumbu horisontal. Tampak pada gambar bahwa
tegangan (arus) berubah terhadap waktu, mulai dari nol tegangan (arus)
naik menuju maksimum positif dan kembali ke nol, kemudian naik lagi tapi
menuju maksimum negatif dan kembali ke nol lagi.
Tegangan (+V)
atau
Arus (+I)
Maksimum Positif
Waktu (t)
Tegangan (-V)
atau
Arus (-I)
Maksimum Negatif
Gambar 2. Grafik satu siklus gelombang sinus
Polaritas Gelombang Sinus
Sebagaimana penjelasan di atas bahwa perubahan polaritas dari
gelombang sinus adalah antara nilai positif dan negatif. Apabila sumber
tegangan sinusoidal (Vs) diterapkan pada rangkaian resistif seperti pada
Gambar 3(a). maka akan dihasilkan arus sinusoidal alternating. Ketika
tegangan berubah
polaritas maka arus yang dihasilkan juga
menyesuaikan perubahan tersebut.
Bila tegangan (Vs) yang diterapkan adalah positif maka arus
dalam arah seperti yang diperlihatkan pada Gambar 3(a). dan sebaliknya
bila tegangan (Vs) yang diterapkan adalah negatif maka arah arusnya
seperti yang diperlihatkan pada Gambar 3(b). Gabungan antara nilai
positif dan negatif membentuk satu siklus dari gelombang sinus.
Rangkaian Listrik I by Zaenab Muslimin
78
Gambar 3. Tegangan dan arus alternating
Periode Gelombang Sinus
Gelombang sinus berubah dengan waktu (t) dapat didefinisikan
sebagai berikut :
Waktu yang diperlukan untuk satu siklus penuh dari gelombang
sinus disebut periode (T).
Gambar 4(a) menjelaskan periode dari gelombang sinus.
Umumnya , suatu gelombang sinus secara kontinu berulang seperti siklus
sebelumnya sebagaimana diperlihatkan pada Gambar 4(b). Karena
semua siklus gelombang sinus berulang adalah sama maka periode
adalah tetap untuk gelombang sinus tertentu. Periode dari gelombang
sinus dapat diukur dari titik nol ke titik nol berikutnya (lihat Gambar 4(a)).
Selain itu periode juga dapat diukur dari nilai puncak manapun dalam
suatu siklus tertentu hingga nilai puncak yang bersesuaian pada siklus
berikutnya. Untuk lebih jelasnya dapat dilihat pada Gambar 5.
Gambar 4. Periode gelombang sinus
Rangkaian Listrik I by Zaenab Muslimin
79
Gambar 5. Pengukuran periode suatu gelombang sinus
Frekuensi Gelombang Sinus
Frekuensi adalah banyaknya siklus yang dapat terjadi pada
gelombang sinus dalam satu detik.
Bila dalam satu detik terjadi beberapa siklus maka dapat
dikatakan frekuensinya tinggi. Satuan frekuensi (f) adalah hertz (Hz), satu
hertz setara dengan satu siklus per detik. 50 Hz adalah 50 siklus per detik,
dst. Gambar 6. menunjukkan dua gelombang sinus. Gambar 6(a) adalah
gelombang sinus dimana terdapat dua siklus penuh dalam satu detik, dan
Gambar 6(b) adalah gelombang sinus dimana terdapat empat siklus
penuh dalam satu detik oleh karena itu frekuensi pada bagian (b) dua kali
lebih besar daripada bagian (a).
(a) frekuensi rendah
(b) frekuensi tinggi
Gambar 6. Penggambaran frekuensi
Rangkaian Listrik I by Zaenab Muslimin
80
Hubungan Frekuensi dan Periode
Rumus untuk hubungan antara frekuensi (f) dan periode (T)
sebagai berikut :
f
1
T
dan
T
1
f
………………….………….………(1)
Pengukuran Kecepatan Sudut
Satuan pada sumbu horisontal dari gelombang sinus adalah
waktu, tetapi dapat pula berupa derajat atau radian. Istilah derajat sudah
diketahui, tetapi ukuran radian perlu didefinisikan. Jika kita memberi tanda
pada sebagian dari keliling lingkaran dimana panjangnya sama dengan
radius dari suatu lingkaran seperti pada Gambar 7. maka sudut yang
dihasilkan disebut 1 radian. Satu radian ekivalen dengan sudut 57.30.
Gambar 7. Definisi radian
Untuk mengkonversi satuan derajat menjadi satuan radian atau
sebaliknya digunakan rumus :
 π
Radian  
 1800

 x derajat


…………..……………(2)
 1800
Derajat  
 π
Rangkaian Listrik I by Zaenab Muslimin

 x radian

81
Contoh 1:
300
:
Radian 
π
rad :
3
Derajat 
π
1800
(300 ) 
π
rad
6
1800  π 
x    600
π
3
Sebagai perbandingan pada Gambar 8. tampak tegangan, arus
sinusoidal menggunakan satuan derajat dan radian pada sumbu
horisontal.
Gambar 8. Grafik gelombang sinus versus (a) derajat (b) radian
Kecepatan dengan garis vektor berputar pada pusatnya disebut
kecepatan sudut, yang dapat ditentukan dari persamaan berikut :
jarak (derajat,radian)
………….....…..(3)
waktu (detik)
Kecepatan sudut 
Atau dalam bentuk variabel sbb :
ω
α
t
dan
αωt
………………......………...(4)
Karena setiap satu periode gelombang sinus tersebut berulang sehingga
dapat dituliskan :
Rangkaian Listrik I by Zaenab Muslimin
82
2π
ω
1
ω
f 
T 2π
ω  2 π f rad/det
T
…...…………………………………………….(5)
Pada Gambar 9. tampak pengaruh kecepatan sudut terhadap frekuensi
dan perioda.
Gambar 9. Pengaruh ω terhadap frekuensi dan periode
Contoh 2 :
Hitunglah frekuensi dan perioda dari gelombang sinus bila diketahui ω =
500 rad/dt
Jawab :
2π
2 π rad

 12.57 mdet
ω
500 rad/det
T
dan
f 
1
1

 79.58 Hz
T 12.57 x 10  3 det
3. SUMBER TEGANGAN SINUSOIDAL
Dua metode dasar pembangkitan tegangan sinusoidal yaitu
secara elektromagnetik dan elektronik. Gelombang sinus yang diperoleh
secara elektromagnetik melalui generator ac dan secara elektronik melalui
rangkaian osilator.
Rangkaian Listrik I by Zaenab Muslimin
83
Generator AC (Alternator)
Gambar 10. menunjukkan generator ac yang terdiri dari kawat
tunggal dalam medan magnet permanen. Setiap ujung kawat dihubungkan
pada cincin yang dikenal dengan slip ring. Kawat berputar dalam medan
magnet antara kutub utara dan kutub selatan, slip ring juga ikut berputar
menyebabkan terjadi gesekan pada sikat yang menghubungkan dengan
beban luar. Pada Gambar 11. menggambarkan bagaimana tegangan
sinusoidal dihasilkan oleh generator ac dengan kawat yang berputar.
Gambar 10. Generator ac
Gambar 11. Satu siklus pembangkitan tegangan sinusoidal.
Rangkaian Listrik I by Zaenab Muslimin
84
Electronic Signal Generator
Signal generator adalah peralatan yang secara elektronika dapat
menghasilkan gelombang sinus yang dipergunakan dalam pengujian atau
mengontrol sistem dan rangkaian elektronika. Ada beberapa peralatan
signal generator mulai dari yang hanya menghasilkan satu bentuk
gelombang dengan frekuensi terbatas hingga pada range frekuensi yang
lebih luas dengan berbagai bentuk gelombang. Umumnya peralatan yang
menghasilkan lebih dari satu bentuk gelombang disebut sebagai function
generator. Semua signal generator pada dasarnya terdiri dari sebuah
osilator yang merupakan rangkaian elektronika yang menghasilkan
gelombang berulang. Peralatan signal generator dapat dilihat pada
Gambar 12.
Gambar 12. Peralatan signal generator
4. FORMULA TEGANGAN DAN ARUS SINUSOIDAL
Rumus matematika dasar untuk gelombang sinusoidal adalah :
Am Sin α ………..………………………………………(6)
Am Cos α
dimana Am adalah nilai puncak dari bentuk gelombang dan α
adalah satuan yang digunakan pada sumbu horisontal. Bila α = ωt, maka
rumus umum untuk gelombang sinus dalam kuantitas listrik sebagai
tegangan dan arus adalah :
i = Im Sin ωt
v = Vm Sin ωt
…………………………………………….(7)
Rangkaian Listrik I by Zaenab Muslimin
85
dimana :
i, v
= arus, tegangan sesaat
Im ,Vm = arus, tegangan maksimum
5. HUBUNGAN FASA
Jika bentuk gelombang sinusoidal bergeser ke kiri atau ke kanan
dari 0 derajat maka rumus pada persamaan (6) menjadi :
Am = Sin (ωt ± θ)
……………………………...…………(8)
dimana θ adalah sudut dalam derajat atau radian.
Hubungan fasa antara gelombang sinus dan gelombang cosinus dapat
dilihat pada Gambar 13. dan rumus trigonometri sbb :
π

sin(ω t  90 0 )  sin ωt    cos ωt
2

……………………..(9)
π

sinωt  cos (ω  90 0 )  cos  ωt  
2

Gambar 13. Hubungan fasa antara gelombang sinus dan cosinus
Istilah leading (terdahulu) dan lagging (terbelakang) digunakan
untuk menunjukkan hubungan antara dua gelombang sinusoidal yang
digambar pada frekuensi yang sama. Pada Gambar 13. kurva cosinus
dikatakan lead terhadap kurva sinus sebesar 90 0 dan kurva sinus
dikatakan lag terhadap kurva cosinus sebesar 900 . Sudut 900
menunjukkan sudut fasa antara dua gelombang. Jika kedua gelombang
tersebut berada pada titik yang sama maka disebut sefasa.
Rangkaian Listrik I by Zaenab Muslimin
86
Contoh 3 :
Gambarkan bentuk gelombang sinusoidal berikut dan tentukan
hubungan fasanya.
i = 2 cos (ωt + 100)
v = 3 sin (ωt - 100)
Jawab :
i = 2 cos (ωt + 100) = 2 sin (ωt + 100 + 900)
= 2 sin (ωt + 1000)
i lead v 1100 atau v lag i 1100
Gambar 14. Contoh 3
6. NILAI TEGANGAN DAN ARUS GELOMBANG SINUS
Ada lima cara untuk menyatakan nilai magnituda dari tegangan
atau arus yaitu : nilai sesaat (instantaneous), nilai maksimum (peak), nilai
maksimum ke maksimum (peak to peak), nilai rata-rata (average) dan nilai
efektif (rms=root mean square).
Nilai Sesaat
Gambar 15. menjelaskan berbagai titik sebagai fungsi waktu dari
gelombang sinus, tegangan (arus) mempunyai nilai sesaat. Nilai sesaat ini
berbeda untuk titik-titik yang berbeda sepanjang kurva. Nilai sesaat
tegangan dan arus di simbolkan dengan huruf kecil yaitu v dan i.
Rangkaian Listrik I by Zaenab Muslimin
87
Gambar 15. Nilai sesaat
6.2 Nilai Maksimum (Peak)
Nilai maksimum dari gelombang sinus adalah nilai tegangan
(arus) pada maksimum positif atau maksimum negatif terhadap titik nol.
Untuk lebih jelasnya dapat dilihat pada Gambar 16, untuk gelombang
sinus tertentu nilai peak adalah konstan dan dinyatakan dengan V m dan
Im.
+Vm
Vm
t
Vm
-Vm
Gambar 16. Nilai maksimum
6.3 Nilai Peak-to-Peak
Rangkaian Listrik I by Zaenab Muslimin
88
Nilai peak-to-peak dari gelombang sinus pada Gambar 17.
adalah tegangan atau arus dari peak positif ke peak negatif. Nilai peak-topeak selalu dua kali dari nilai peak yang dinyatakan dalam persamaan
berikut.
Vpp = 2 Vm
atau
Ipp = 2 Im
…………………….(10)
+Vm
-Vm
Gambar 17. Nilai peak to peak
6.4 Nilai Rata-Rata
Nilai rata-rata dari gelombang sinus selalu bernilai nol, karena
nilai positif saling meniadakan dengan nilai negatif. Nilai rata-rata adalah
total area setengah siklus kurva dibagi dengan jarak kurva sepanjang
sumbu horisontal dalam radian. Nilai rata-rata ditentukan setengah siklus
karena rata-rata untuk siklus penuh adalah nol.
Vavg 
Vavg
Luas setengah kurva

……………………………...(11)

Vp
1

  Vp sin  d 
(  cos ) 0
0



Vp
 cos   ( cos 0) 

2 Vp

Vp

1 1
…………………..…(12)
 0.637 Vp
Rangkaian Listrik I by Zaenab Muslimin
89
6.5 Nilai Efektif (rms)
Nilai rms (root mean square) juga dikenal sebagai nilai efektif. Bila
sebuah resistor dihubungkan ke sumber tegangan ac sinusoidal seperti
pada Gambar 18(a). maka pada resisitor akan timbul sejumlah panas
yang dibangkitkan oleh daya pada resistor tersebut. Gambar 18(b)
menunjukkan resistor yang sama dihubungkan dengan sumber tegangan
dc. Nilai tegangan dc diatur sedemikian rupa sehingga pada resistor timbul
sejumlah panas yang sama seperti ketika dihubungkan dengan sumber
ac. Bila hal tersebut terpenuhi maka daya elektrik rata-rata yang dikirim ke
resistor R oleh sumber ac adalah sama dengan daya yang dikirim oleh
sumber dc.
Gambar 18. Nilai rms tegangan sinusoidal sama dengan tegangan dc
Daya yang dikirim oleh suplai ac setiap saat adalah :
Pac  (i ac ) 2 R  (I m sin t ) 2 R  (I 2m sin2 t ) R
dim ana
1
(1 cos 2 t )
2
sin2 t 
sehingga:
Pac  I 2m
Pac 

1
2
(1 cos 2 t ) R
I 2m R I 2m R

cos 2t
2
2
…………………………………(13)
Daya rata-rata yang dikirim oleh sumber ac adalah suku pertama
pada persamaan (13) dimana suku kedua adalah nol karena nilai rata-rata
Rangkaian Listrik I by Zaenab Muslimin
90
dari gelombang kosinus adalah nol. Sehingga daya rata-rata yang dikirim
oleh sumber ac adalah sama dengan sumber dc sbb :
Pav (ac)  Pdc
Im2 R
 I2dc R
2
I
Idc  m  0.707Im
2
…………………………………(14)
Nilai dc ekivalen dengan nilai efektif dari kuantitas sinusoidal.
Hubungan antara nilai maksimum dan nilai efektif (rms) adalah sama
untuk tegangan maupun arus sbb :
Irms 
Vrms 
1
2
1
Im  0.707Im
2
……………………………………(15)
Vm  0.707 E m
Dengan cara yang sama diperoleh :
I m  2 I rms  1.414 I rms
Vm  2 Vrms  1.414 V rms
……………………………………..(16)
Contoh 4 :
Sumber dc 120 V mengirim daya 3.6 W ke beban, tentukan nilai
tegangan dan arus maksimum jika sumber ac mengirim daya yang sama
ke beban.
Gambar 19. Contoh 4
Rangkaian Listrik I by Zaenab Muslimin
91
Jawab :
Pdc = Vdc Idc
Idc 
Im 
Vm 
Pdc
3.6

 30 mA
Vdc 120
2 Idc  (1.414)( 30 )  42.42 mA
2 Vdc  (1.414)(120 )  169.68 V
Rangkaian Listrik I by Zaenab Muslimin
92