θ θ θ - E-Journal UPP

Relatif Efisiensi Penaksir Momen Terhadap Penaksir Maksimum Likelihood
RELATIF EFISIENSI PENAKSIR MOMEN TERHADAP
PENAKSIR MAKSIMUM LIKELIHOOD
UNTUK PARAMATER BERDISTRIBUSI SEGITIGA
Haposan Sirait1, Usman Malik2
ABSTRAK
Makalah ini membahas dua metode yaitu metode momen dan metode maksimum likelihood
untuk memperoleh penaksir titik parameter dari suatu distribusi segitiga kanan dengan parameter p,
selanjutnya, variansi estimator yang diperoleh dari kedua metode tersebut akan dibandingkan untuk
mendapatkan penaksir yang relatif lebih efisien.
Kata kunci: metode momen, maksimum likelihood,distribusi segitiga, efisiensi relatif.
ABSTRACT
This paper discusses two methods, namely the method of moments and the method of
maximum likelihood to obtain a point estimator of a Triangular distribution with parameter p.
Furthermore, the variance estimator obtained from both method will be compared to obtain a
relatively more efficient estimator.
Keywords: moments, maximum likelihood, Triangular distribution, relative efficiency.
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Sebagian besar orang pasti sudah
lumayan familiar bila mendengar kata
statistika. Sebelum berbicara lebih lanjut
tentang statistika, perlu mencari tahu apa
sebenarnya statistika itu. Statistika adalah ilmu
yang mempelajari bagaimana merencanakan,
mengumpulkan,
menganalisis,
menginterpretasi, dan mempresentasikan data.
Singkatnya, statistika adalah ilmu yang
berkenaan dengan data. Atau statistika adalah
ilmu yang berusaha untuk mencoba mengolah
data untuk mendapatkan manfaat berupa
keputusan dalam kehidupan.
Kebanyakan model probabilitas, terutama
yang cukup luas nilai penggunaanya,
tergantung pada beberapa konstan yang
dikenal dengan nama parameter. Biasanya
Staf Pengajar FMIPA Universitas Riau
digunakan lambang μ dan σ untuk parameter
mean dan deviasi standar distribusi normal,
sedangkan
untuk
distribusi
binomial,
digunakan lambang n dan p masing-masing
untuk parameter banyak kali usaha (trial) dan
peluang sukses dalam tiap usaha. Dalam
banyak masalah, keluarga model probabilitas
yang menggambarkan suatu fenomena
biasanya dianggap diketahui. Tetapi anggota
tertentu dari keluarga itu yang dipandang
paling tepat menggambarkan fenomena
tersebut mungkin sekali tidak diketahui.
Dalam hal ini perlu ditaksir berdasarkan data
yang diambil dari fenomena itu.
Namun, untuk membicarakan masalah
penaksir parameter pada umumnya di gunakan
huruf Yunani θ (theta) sebagai lambang
f (x;1 , 2 ,..., n )
parameter. Jadi,
akan
menunjukkan fungsi probabilitas dengan k
parameter
(diketahui
ataupun
tidak)
Page 39
1,2 ,...,n . Kebanyakan masalah yang
dihadapi biasanya hanya memuat satu
parameter, sehingga fungsi probabilitasnya
dapat ditulis f ( x; ) saja.
Jika dalam masalah, parameter θ tidak
diketahui, harus ditaksir dengan menggunakan
data sampel. Ini dilakukan melalui suatu
fungsi yang dinamakan statistik.
Ada berbagai macam jenis penaksir
untuk suatu parameter θ yaitu penaksir titik
dan penaksir interval. Penaksir titik dapat
diperoleh dengan metode Momen ataupun
metode Maksimum likelihood serta metode
Bayes.
Distribusi segitiga merupakan salah satu
distribusi peluang kontinu dengan tiga buah
parameter yaitu nilai minimum a dengan
a   , , nilai maksimum b dengan b > a
dan nilai yang paling mungkin m dengan
a  m  b . Lambang dari distribusi ini adalah
Tr m, a, b.
Misalkan X adalah suatu peubah acak
yang
berdistribusi
Triangular
dengan
parameter a , b, dan m, maka X dapat ditulis
dengan lambang X~Tr m, a, b.
Tujuan Penelitian
Penelitian
ini
bertujuan
untuk
menentukan penaksir titik terbaik dari
parameter suatu populasi yang memiliki
distribusi segitiga kanan.
Tinjauan Pustaka
Seringkali seseorang dituntut untuk
membuat dugaan yang rasional dalam kondisi
yang penuh ketidakpastian tanpa informasi
yang lengkap. Agar dugaan yang dilakukan
dapat menghasilkan suatu dugaan yang baik,
maka kita harus menguasai konsep pendugaan
secara statistik estimasi titik dari sebuah
parameter populasi adalah sebuah nilai yang
diperoleh dari sampel dan digunakan sebagai
penaksir dari parameter yang nilainya tidak
diketahui.
Page 40
Misalkan
X1 , X 2 ,, X n
merupakan
sampel random (acak) yang berasal dari
popoulasi X dengan fungsi densitas
probabilitas yang tergantung pada . yaitu
f ( x; ) . Dikarenakan bahwa X1 , X 2 ,, X n
merupakan sampel random maka fungsi
f ( x; ) juga merupakan variabel acak. Suatu
fungsi
yang
diamati
misalnya
tn X1 , X 2 ,, X n  disebut sebagai statistik, dan
disebut juga suatu penaksir dari
yang
dinotasikan dengan
[3] . Akan tetapi
menghadapi persoalan mencari penaksir titik
ada tiga metode yang populer, yaitu metode
momen, metode maksimum likelihood dan
metode Bayes [2].
METODOLOGI PENELITIAN
Penelitian ini akan dilakukan melalui kajian
literatur untuk menentukan penaksir titik dari
parameter suatu populasi yang memiliki
distribusi segitiga kanan.
Definisi 1.
Suatu variabel random X dikatakan
berdistribusi segitiga kanan dengan parameter
p  (0,1) dengan fungsi densitas probabilitas
 2x ,
0 x p
f ( x : p)   p2
(1)
 0, untuklainnya
Dua metode penaksir yang akan digunakan
adalah metode Momen dan metode maksimum
likelihood.
Selanjutnya dari kedua penaksir yang
diperoleh
akan
dibandingkan
Relatif
Efisiensinya berdasarakan variansinya untuk
mendapatkan penaksir terbaik.
HASIL DAN PEMBAHASAN
Penaksir Momen
Suatu metode yang paling
paling sedehana untuk menemukan
dari suatu parameter adalah metode
Metode
momen
didasarkan
tua dan
penaksir
momen.
dengan
JURNAL APTEK Vol. 7 No. 1 Januari 2015
Relatif Efisiensi Penaksir Momen Terhadap Penaksir Maksimum Likelihood
menselaraskan momen sampel dengan momen
populasi. Misalkan X adalah peubah acak
kontinu (diskrit) dengan fungsi kepadatan
probabilitas (fkp) berbentuk f ( x; ) , dengan θ
parameter yang tidak diketahui. Misalkan k
buah momen sekitar pusat populasi pertama
t'  E X t .
(2)
 
Selanjutnya
misalkan
X1 , X 2 ,, X n
merupakan sampel acak berukuran dan
didefinisikan k buah momen sekitar pusat
sampel pertama
mt' 
1
n

n
xt ,
i 1 i
t  1,2,, k
(3)
Kemudian
dengan
memyelesaikan
persamaan t'  mt' akan diperoleh suatu
penaksir yang disebut sebagai penaksir
momen.
Untuk menentukan penaksir momen
parameter p persamaan (1), terlebih dahulu
ditentukan momen pertama disekitar pusat
yaitu

2x
E( X )  x 2 dx
p
0

atau
E( X )  23 p.
(4)
(5)
Kemudian, momen kedua disekitar pusat
p

E( X )  x 2
2
0
2x
dx
p2
atau
E( X 2 )  12 p 2 .
(6)
(7)
Dengan demikian dari persamaan (5) dan (7)
diperoleh
Var( X )  181 p 2 .
(8)
Berdasarkan metode menentukan penaksir
momen dari parameter p yang dinotasikan
dengan
p̂mn dapat diperoleh dengan
memanfaatkan persamaan (2) dan (3) yaitu
pˆ mn  32 x.
(9)
Selanjutnya karena p̂mn merupakan penaksir
tak bias maka ketelitiannya diberikan oleh
Var( pˆ mn )  81n p 2 .
(10)
Staf Pengajar FMIPA Universitas Riau
Penaksir Maksimum Likelihood
Metode maksimum likelihood adalah metode
penaksir parameter suatu distribusi yang
memaksimumkan fungsi likelihood. Metode
maksimum likelihood merupakan salah satu
metode paling baik untuk memperoleh taksiran
tunggal. Metode ini tidak dapat digunakan
apabila distribusi tidak diketahui. Berikut ini
diberikan definisi fungsi likelihood seperti
yang dikemukakan oleh Bain [1].
Definisi 2
Fungsi densitas bersama dari n variabel
random X1 , X 2 ,..., X n yang dievaluasi pada titik
x1 , x2 ,..., xn dengan notasi f (x1 , x2 ,..., xn ; )
disebut sebagai fungsi likelihood. Untuk
x1 , x2 ,..., xn tetap, maka fungsi likelihood
adalah sebuah fungsi dari  yang dinotasikan
dengan L( ; x1 , x2 ,..., xn ) .
Jika X1 , X 2 ,..., X n adalah sampel random
dari fungsi densitas f x;  , dengan    ,
maka fungsi likelihood dari parameter 
adalah
L ; x1 , x2 ,, xn  
n
 f ( x ; )
i 1
i
(11)
Setelah fungsi likelihood pada persamaan di
atas diperoleh, selanjutnya ditentukan penaksir
metode maksimum likelihood seperti yang
diberikan oleh definisi berikut.
Definisi 3
Penaksir ˆ  u( x1 , x2 ,..., xn ) disebut penaksir
maksimum likelihood jika,
L ˆ; x1 , x2 ,, xn  max L ; x1 , x2 ,, xn 
(12)
Dalam menentukan penaksir maksimum
likelihood biasanya digunakan logaritma
natural fungsi likelihood. ˆ  f X 1 , X 2 ,..., X n 
disebut penaksir maksimum likelihood.


Berdasarkan Definisi 2,
maka fungsi
likelihood distribusi segitiga kanan sebagai
berikut
Page 41
L( p) 
2x1 2x2 2xn
 2
p2 p2
p
p
E pˆ Ml   y.2n.

0
atau



xi .
(13)

 i 1 
Sehubungan fungsi di atas merupakan fungsi
monoton turun, maka harga p yang membuat
fungsi maksimum tak dapat ditentukan dengan
cara differensial. Sehingga perlu dianalisa
yaitu fungsi maksimum akan dicapai dengan
memilih p sekecil mungkin.
n
2
L( p)  2n
p

Diketahui bahwa p  maxX i  , maka p yang
1in
membuat fungsi maksimum yang dinotasikan
dengan p̂Ml adalah
(14)
pˆ Ml  maxX i 
1in
Selanjutnya akan ditentukan apakah p̂Ml
memiliki sifat tak bias, untuk keperluan ini
terlebih dahulu dimisalkan Y  maxX i  .
1in
Untuk mengetahui fungsi densitas dari
variabel random Y , terlebih dahulu ditentukan
fungsi distribusi dari Y sebagai berikut
F ( y)  P(Y  y)
 P max X i   y


1i n
 P X  y n
y

P( X  y)  x 2
0
n
 y2 
F ( y)   2 
p 
Jadi fungsi densitas dari Y adalah :
dy
0
atau
E pˆ Ml  
2n
(16)
p.
2n  1
Hal ini berarti penaksir maksimum likelihood
merupakan penaksir tak bias. Meskipun
demikian penaksir maksimum likelihood
merupakan penaksir konsisten.
Untuk melihat ketelitiannya ditentukan
Mean Square Error (MSE) dari p̂Ml yaitu
dengan menentukan
y
Epˆ    y .2n.
p
2n1
p
2
Ml
2
2n
dy
0
p

atau
2n.
y 2n1dy
p 2n 0

 
2n
p2
2n  2
Jadi MSE dari
adalah
2
E pˆ Ml

MSE pˆ Ml  
2n
 2n 
p2  
p
2n  2
 2n  1 
(17)
2
Definisi 3. [3]. Misalkan ˆ1 dan ˆ2 adalah dua
penaksir dari  , dan misalkan MSE (1 ) dan
MSE ( ) adalah MSE dari ˆ1 dan ˆ2 , maka
n1
2
relative efisiensi dari ˆ2 ke ˆ1 dinotasikan
.2 y
atau
Page 42
2n
Relatif Efisiensi Penaksir
Dengan demikian maka diperoleh
y 2n1
.
p 2n
Dengan demikian maka
y
2
 2n
 2n   2
MSE pˆ Ml   

  p (18)
 2n  2  2n  1  
y2
2x
dx

.
p2
p2
 y2 
f ( y)  dF( y)  n 2 
p 
p
atau
Sedangkan
f ( y)  2n
2n.
 2n
p
n
y 2n1
dy
p 2n
(15)
dengan RE (1 , 2 ) didefinisikan sebagai
MSE(1 )
(19)
RE(1 , 2 ) 
MSE( 2 )
Jika RE (1,2 )  1 , maka dapat disimpulkan
bahwa ˆ1 lebih efisien dari pada ˆ2 , dengan
JURNAL APTEK Vol. 7 No. 1 Januari 2015
Relatif Efisiensi Penaksir Momen Terhadap Penaksir Maksimum Likelihood
kata lain yaitu MSE (1 ) lebih kecil dari
MSE ( 2 ) .
Dengan demikian
Relatif efisiensi
terhadap
dinotasikan
p̂Ml
RE ( pˆ mn , pˆ Ml ) didefinisikan sebagai
Var ( pˆ mn)
RE( pˆ mn , pˆ Ml ) 
MSE( pˆ Ml )

atau
RE( pˆ mn , pˆ Ml ) 

2n
2n  2
1
8n
p2
p̂mn
dengan

 22nn1  p2
2
2n  22n  12
(20)
16n 2
Karena persamaan (20) lebih besar dari
satu untuk setiap harga n , maka p̂mn lebih
efisien dari pˆ Ml .
KESIMPULAN
Dari uraian di atas dapat disimpulkan
bahwa untuk menentukan penaksir titik dari
distribusi segitiga kanan dapat digunakan
penaksir metode Momen dan metode
maksimum likelihood. Akan tetapi ternyata
penaksir momen lebih efisien dari pada
penaksir maksimum likelihood.
DAFTAR PUSTAKA
Bain. L. J, Engelhard. M. 1991. Introduction
to Probability Mathematical Statistics.
Second
Edition.
Duxbury
Press,
California.
Hasan Iqbal. M. 2002. Pokok-pokok Materi
Statistik 1. Edisi kedua. Bumi Aksara.
Jakarta.
Montgomery , D.C & G.C. Runger. 1999.
Applied Statistics And Probability For
Engineers, Second Edition. John Wiley &
Sons Inc, New York.
Staf Pengajar FMIPA Universitas Riau
Page 43
.
Page 44
JURNAL APTEK Vol. 7 No. 1 Januari 2015