METODE KUDRATUR LOBATTO UNTUK

METODE KUDRATUR LOBATTO UNTUK MENAKSIR
KONSTANTA EULER e
Tri Andriani1∗
1
Mahasiswa Program Studi S1 Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau
Kampus Binawidya Pekanbaru (28293), Indonesia
∗ [email protected]
ABSTRACT
This article discusses how to use Lobatto Quadrature to approximate the Euler
constant e. The process begins by approximating integral of function f (x) = 1/x on
interval [n, n+1] using Lobatto Quadrature. Then the approximation of the integral
is related to the analytic result of the integral of f (x) = 1/x on the interval [n, n+1].
Approximating the Euler constant e using Lobatto quadrature method are done on
some variations of node points. At the end of the discussion the comparison on
approximating the Euler constant e using trapezoidal rule, Simpson 1/3 rule, Gauss
quadrature rule and Lobatto quadrature method are given.
Keywords: Estimating the Euler constant e, Lobatto quadrature method, trapezoidal rule, Simpson 1/3 rule, Gauss quadrature rule
ABSTRAK
Artikel ini membahas metode untuk menaksir konstanta Euler e dengan menggunakan metode kuadratur Lobatto. Proses penaksiran dilakukan dengan mengaproksimasi integral fungsi f = 1/x pada interval [n, n + 1] dengan menggunakan metode
kuadratur Lobatto kemudian hasil taksiran ini dihubungkan dengan hasil integral
analitik dari fungsi f = 1/x pada interval [n, n + 1]. Penaksiran konstanta Euler
e dengan metode kuadratur Lobatto dilakukan dengan menggunaan sejumlah titik
yang bervariasi. Diakhir pembahasan diberikan perbandingan penaksiran konstanta
Euler e menggunakan aturan trapesium , aturan Simpson 1/3, aturan kuadratur
Gauss dan metode kuadratur Lobatto.
Kata kunci: Konstanta Euler e, metode kuadratur Lobatto, aturan kuadratur
trapesium, aturan kuadratur Simpson 1/3, aturan kuadratur Gauss
Repository FMIPA
1
1. PENDAHULUAN
Bilangan e merupakan salah satu bilangan yang sangat penting dalam sains khususnya matematika. Bilangan ini mengacu kepada bilangan Euler atau lebih dikenal
sebagai konstanta Napier yang sering juga disebut sebagai logaritma natural atau
konstanta alamiah [6]. Pada awalnya bilangan e ditemukan oleh John Napier pada
tahun 1614 tetapi bilangan e dipopulerkan oleh Lionhard Euler, dimana Euler yang
pertama kali menggunakan simbol e yang diperoleh melalui perhitungan.
Bilangan e secara limit untuk nilai n menuju tak hingga dapat ditulis seperti
berikut [1]
n
1
.
(1)
e = lim 1 +
n→∞
n
Pada artikel ini ditentukan cara lain untuk menaksir nilai e dengan menaksir
integral dari fungsi f (x) = 1/x pada interval [n, n + 1], yaitu
Z n+1
1
1
dx = ln 1 +
,
(2)
x
n
n
dengan menggunakan kuadratur. Pada Gambar 1.1 terlihat bahwa integral ini merupakan luas daerah yang dibatasi fungsi f (x) = 1/x dan interval [n, n + 1].
Gambar 1: Grafik fungsi f (x) = 1/x
Pada artikel ini digunakan kuadratur Lobatto untuk menaksir integral (2), dikarenakan metode kuadratur Lobatto merupakan salah satu metode kuadratur yang
memiliki nilai galat lebih kecil jika dibandingkan dengan metode lainnya [6]. Formula kuadratur Lobatto dari berbagai literatur dan jurnal secara umum lebih terkenal dengan istilah metode kuadratur Gauss−Lobatto. Artikel ini merupakan review
dari tulisan Khattri [5].
Pembahasan dimulai dibagian dua dengan menyajikan kuadratur Lobatto, kemudian dilanjutkan dibagian tiga dengan penerapan kuadratur Lobatto untuk menaksir
integral fungsi f (x) = 1/x pada interval [n, n + 1]. Dibagian empat diberikan perbandingan numerik aturan trapesium [7, h. 202], aturan Simpson 1/3 [7, h. 203],
Repository FMIPA
2
aturan Gauss dua titik [4, h. 387] dan metode kuadratur Lobatto dalam menaksir
konstanta Euler e.
2. METODE KUADRATUR LOBAT T O
Pada aturan trapesium dan Simpson, yang merupakan aturan Newton-Cotes tetutup, formula yang ada melibatkan nilai-nilai di ujung-ujung interval.
Metode kuadratur Lobatto beridekan dengan melibatkan titik ujung-ujung interval dan titik di tengah interval yang tidak harus berjarak sama sedemikian sehingga
kesalahan yang terjadi dapat diseimbangkan antara yang positif dan negatif.
Pada bagian ini akan ditentukan formula kuadratur Lobatto [3] untuk menghitung
Z
b
f (x)dx.
a
Tanpa kehilangan keumuman interval integrasi yang digunakan dalam penurunan
bukanlah a dan b, melainkan −1 dan 1 yang disebut batas absis. Tranformasi dari
interval [a, b] ke interval [−1, 1] dapat dilakukan dengan menggunakan transformasi
berikut
x=
a+b
b−a
xi +
,
2
2
dx =
b−a
dxi .
2
(3)
Dengan menggunakan transformasi ini didapat
Z b
Z 1 b−a
a+b b−a
f (x)dx =
f
xi +
dxi
2
2
2
a
−1
Z b
Z
b−a 1
b−a
a+b
f (x)dx =
f
xi +
dxi .
2
2
2
a
−1
Integral di ruas kanan kemudian ditaksir dengan kuadratur Lobatto, dengan absis xi
dan bobot wi , sehingga didapat
Z b
m
b−aX
a+b
b−a
f (x)dx ≈
wi f
xi +
,
(4)
2 i=1
2
2
a
atau
Z
b
f (x)dx ≈ k
a
m
X
wi f (c + kxi ),
(5)
i=1
dengan
a+b
b−a
,
c=
.
2
2
Pada integral dengan batas n sampai n + 1 persamaan (5) dapat ditulis dengan
disederhanakan menjadi:
Z n+1
m
X
f (x)dx ≈ k
wi f (c + kxi ).
(6)
k=
n
Repository FMIPA
i=1
3
Dengan memperhatikan persamaan (5), diperoleh
1
k= ,
2
c=
2n + 1
,
2
(7)
dengan x1 = a = n dan xn = b = n + 1, merupakan titik tetap.
0
(x) dengan
Absis bebas xi , i = 2, 3, . . . , n − 1 merupakan akar-akar dari Pn−1
Pm (x) adalah polinomial Legendre berderajat m [2, h. 564]. Untuk mendapatkan
akar-akar ini dengan m yang besar dapat digunakan software Maple.
Bobot untuk absis bebas diberikan oleh
2
(8)
wi =
2
(xi )
n(n − 1)Pn−1
dan absis untuk titik tetap adalah
wi =
2
.
n(n − 1)
(9)
Metode Kuadratur Lobatto Tiga Titik Pada subbagian ini diturunkan metode
Kuadratur Lobatto Tiga Titik untuk interval integrasi [n, n+1]. Metode ini dipunyai
absis tetap x1 dan x3 dan absis bebas x2 , sedangkan bobot untuk absis tetap adalah
w1 dan w3 , dan bobot untuk absis bebas adalah w2 . Diketahui bahwa
3 2 1
P2 (x) =
x −
,
(10)
2
2
dan
wi =
2
.
6[P2 (xi )]2
(11)
Jadi dengan menurunkan persamaan (10) terhadap x dan menyamakan dengan nol
diperoleh x2 = 0. Dengan menggunakan nilai x1 = −1 , x2 = 0, dan x3 = 1
berturut-turut ke persamaan (11), diperoleh berturut-turut w1 = 31 , w2 = 34 , dan
w3 = 13 . Dengan mensubstitusikan nilai-nilai ini ke persamaan (6), mengingat k = 1
dan c = 0 diperoleh
Z 1
f (x)dx ≈ w1 f (x1 ) + w2 f (x2 ) + w3 f (x3 ),
(12)
−1
atau
Z
1
1
4
1
f (x)dx ≈ f (−1) + f (0) + f (1).
3
3
3
−1
(13)
Metode Kuadratur Lobatto Empat Titik Pada kuadratur Lobatto empat titik
untuk interval integrasi [n, n+1], variabel x1 dan x4 adalah tetap, dan variabel bebas
adalah x2 dan x3 . Bobot untuk absis tetap adalah w1 dan w4 , sedangkan bobot untuk
absis bebas adalah w2 , w3 . Perhatikan bahwa,
5 3 3x
P3 (x) =
x −
,
(14)
2
2
Repository FMIPA
4
dan
2
.
(15)
12(P3 (xi ))2
Dengan melakukan hal yang sama seperti mendapatkan nilai bobot dan absis kuadratur Lobatto untuk tiga titik diperoleh nilai bobot dan absis kuadratur Lobatto
sebagai berikut:
wi =
5
5
w2 = , w3 = , w4 =
6 r
6 r
1
1
x1 = −1, x2 = −
, x3 =
,
5
5
1
w1 = ,
6
1
,
6
x4 = 1.
Dengan mensubstitusikan nilai-nilai ini ke persamaan (6)diperoleh
Z 1
f (x)dx ≈ w1 f (x1 ) + w2 f (x2 ) + w3 f (x3 ) + w4 f (x4 ),
(16)
−1
atau
Z
1
1
5
f (x)dx ≈ f (−1) + f
6
6
−1
r !
1
5
−
+ f
5
6
r !
1
1
+ f (1).
5
6
(17)
Metode Kuadratur Lobatto Lima Titik Pada kuadratur Lobatto lima titik
untuk interval integrasi [n, n + 1], variabel x1 dan x5 adalah tetap, dan variabel
bebas adalah x2 , x3 , dan x4 . Bobot untuk absis tetap adalah w1 dan w5 , sedangkan
bobot untuk absis bebas adalah w2 , w3 , dan w4 . Perhatikan bahwa
35 4 30 2 3
x − x +
,
(18)
P4 (x) =
8
8
8
dan
2
.
(19)
20[P4 (xi )]2
Melalui proses yang sama sebagaimana mendapatkan nilai absis dan bobot untuk
kuadratur Lobatto tiga titik diperoleh
wi =
w1 =
1
,
10
x1 = −1,
49
32
49
1
, w3 = , w4 = , w5 = ,
90r
45
90
10
r
3
3
x2 = −
, x3 = 0, x4 =
, x5 = 1.
7
7
w2 =
Dengan mensubstitusikan nilai-nilai ini ke persamaan (6), mengingat k = 1 dan
c = 0 diperoleh kuadratur Lobatto lima titik sebagai berikut:
Z 1
f (x)dx ≈ w1 f (x1 ) + w2 f (x2 ) + w3 f (x3 ) + w4 f (x4 ) + w5 f (x5 ),
(20)
−1
atau
Z 1
1
49
f (x)dx ≈ f (−1) + f
10
90
−1
Repository FMIPA
r !
3
32
49
−
+ f (0) + f
7
45
90
r !
3
1
+ f (1). (21)
7
10
5
3. PENERAPAN KUADRATUR LOBAT T O
Pada bagian ini digunakan formula (6) dan (7) bersamaan dengan formula (13),
(17), dan (21) untuk menaksir nilai e.
Dengan mengambil m = 3 pada persamaan (6) didapat
Z
n
n+1
3
X
1
dx ≈ k
wi f (c + kxi ).
x
i=1
(22)
dan dari persamaan (13)
Dari persamaan (7) sudah diketahui bahwa k = 12 , c = 2n+1
2
1
4
diketahui x1 = −1, x2 = 0, dan x3 = 1, w1 = 3 , w2 = 3 , dan w3 = 31 . Jadi dari
persamaan (22) didapat
Z n+1
1
1 1
4
2n + 1
1
dx =
f (n) + f
+ f (n + 1)
x
2 3
3
2
3
n
1
1 1 1
4
2
1
1
ln 1 +
=
+
+
n
2 3 n
3 2n + 1
3 n+1
2
12n + 12n + 1
=
3
2 + 6n
12n
+ 18n
2
1 12n + 12n + 1
=
n 12n2 + 18n + 6



1
1


n  12n2 + 18n + 6 
12n2 + 12n + 1
1
1
.
ln 1 +
= 6n + 5
n
n 1+
12n2 + 12n + 1
=
Dengan demikian didapat
n 1+
6n + 5
1
ln 1 +
=1
12n2 + 12n + 1
n
6n + 5
n 1 +
1
12n2 + 12n + 1
ln 1 +
= ln e.
n
Jadi dengan menggunakan kuadratur Lobatto tiga titik bilangan Euler e dapat ditaksir sebagai berikut
6n
+
5
n 1 +
1
12n2 + 12n + 1
e = lim 1 +
.
(23)
n→∞
n
Repository FMIPA
6
Dengan mengambil m = 4, pada persamaan (6), didapat
Z n+1
4
X
1
dx ≈ k
wi f (c + kxi ).
x
n
i=1
(24)
Dari persamaan (7) sudah diketahui bahwa k = 12 , c = 2n+1
dan dari persamaan (17)
2
q
q
diketahui x1 = −1, x2 = − 15 , x3 = 15 , dan x4 = 1, w1 = w4 = 16 , dan w2 = w3 =
5
.
6
Jadi dari persamaan (24) didapat
Z n+1
1
1 1
5
dx =
f (n) + f
x
2 6
6
n
!
√
(2n + 1) 5 − 1
√
2 5
!
!
√
1
5
(2n + 1) 5 + 1
√
+ f (n + 1)
+ f
6
6
2 5
!
√
1
1 1 1
5
2 5
√
ln 1 +
=
+
n
2 6 n
6 (2n + 1) 5 − 1
!
√
!
2 5
1
5
1
√
+
+
6 (2n + 1) 5 + 1
6 n+1
60n3 + 90n2 + 32n + 1
4
3 + 72n2 + 12n
60n
+ 120n
1
60n3 + 90n2 + 32n + 1
=
n 60n3 + 120n2 + 72n + 12


=

1
1


3
2
n  60n + 120n + 72n + 12 
60n3 + 90n2 + 32n + 1
1
1
ln 1 +
= 2
30n + 40n + 11
n
n 1+
.
60n3 + 90n2 + 32n + 1
=
Dengan demikian didapat
1
30n2 + 40n + 11
ln 1 +
=1
n 1+
60n3 + 90n2 + 32n + 1
n
30n2 + 40n + 11
n 1 +
1
60n3 + 90n2 + 32n + 1
ln 1 +
= ln e.
n
Jadi dengan menggunakan kuadratur Lobatto empat titik bilangan Euler e dapat
ditaksir sebagai berikut
2
30n
+
40n
+
11
n 1 +
1
60n3 + 90n2 + 32n + 1
.
(25)
e = lim 1 +
n→∞
n
Repository FMIPA
7
Dengan mengambil m = 5, pada persamaan (6), didapat
Z n+1
5
X
1
dx ≈ k
wi f (c + kxi ).
x
n
i=1
(26)
Dari persamaan (7) sudah diketahui bahwa k = 12 , c = 2n+1
dan dari persamaan (21)
2
q
q
1
3
, dan x5 = 1, w1 = w5 = 10
,
diketahui x1 = −1, x2 = − 37 , x3 = 0, x3 =
7
w2 = w4 =
Z n+1
n
49
,
90
dan w3 =
1
1
dx =
x
2
1
1
ln 1 +
=
n
2
32
.
45
Jadi dari persamaan (26) didapat
p !
√
(2n + 1) 7 − (3)
1
49
32
2n + 1
√
f (n) + f
+ f
10
90
45
2
2 7
!
!
p
√
(2n + 1) 7 + (3)
1
49
√
+ f (n + 1)
+ f
90
10
2 7
!
√
1 1
49
2 7
32
2
p
√
+
+
10 n
90 (2n + 1) 7 − (3)
45 2n + 1
!
√
!
49
1
2 7
1
p
√
+
+
.
90 (2n + 1) 7 + (3)
10 n + 1
1
840n4 + 1680n3 + 1030n2 + 190n + 3
ln 1 +
=
n
840n5 + 2100n4 + 1800n3 + 600n2 + 60n
1 840n4 + 1680n3 + 1030n2 + 190n + 3
=
n 840n4 + 2100n3 + 1800n2 + 600n + 60



1
1


4
3
2

n 840n + 2100n + 1800n + 600n + 60 
840n4 + 1680n3 + 1030n2 + 190n + 3
1
1
ln 1 +
= 3
420n + 770n2 + 410n + 57
n
n 1+
.
840n4 + 1680n3 + 1030n2 + 190n + 3
=
Dengan demikian didapat
420n3 + 770n2 + 410n + 57
1
ln 1 +
=1
n 1+
840n4 + 1680n3 + 1030n2 + 190n + 3
n
3
2
420n
+
770n
+
410n
+
57
n 1 +
1
840n4 + 1680n3 + 1030n2 + 190n + 3
ln 1 +
= ln e.
n
Jadi dengan menggunakan kuadratur Lobatto lima titik bilangan Euler e dapat ditaksir sebagai berikut
3
2
420n
+
770n
+
410n
+
57
n 1 +
1
840n4 + 1680n3 + 1030n2 + 190n + 3
e = lim 1 +
.
(27)
n→∞
n
Repository FMIPA
8
4. PERBANDINGAN NUMERIK
Pada bagian ini dilakukan perbandingan taksiran konstanta Euler e dengan menggunakan metode yang telah dikemukakan di Bab 2 dan Bab 3, yaitu pendekatan
dengan aturan kuadratur trapesium, aturan kuadratur Simpson 1/3, aturan kuadratur Gauss dua titik absis, dan metode kuadratur Lobatto untuk titik absis tiga,
empat dan lima titik.
Pendekatan dengan aturan kuadratur Trapesium
1
n 1 + 2
1
n + 12 .
e = lim 1 +
n→∞
n
Dengan menyatakan eTn , sebagai taksiran aturan kuadratur Trapesium dengan n
membesar didapat
eT5
eT10
eT50
eT100
= 2.70332154524940,
= 2.71417380072722,
= 2.71810418271846,
= 2.71828182823699.
Pendekatan dengan aturan kuadratur Simpson 1/3
6n
+
5
n 1 +
1
12n2 + 12n + 1
.
e = lim 1 +
n→∞
n
Dengan menyatakan eSn , sebagai taksiran aturan kuadratur Simpson 1/3 dengan n
membesar didapat
eS5
eS10
eS50
eS100
= 2.71825684788031,
= 2.71417380072722,
= 2.71828182497572,
= 2.71828182823699.
Pendekatan dengan aturan kuadratur Gauss dua titik


1
3+

n
n 1+


6n + 3
1
.
e = lim 1 +
n→∞
n
Dengan menyatakan eGn , sebagai taksiran aturan kuadratur Gauss dua titik dengan
n membesar didapat
eG5
eG10
eG50
eG100
Repository FMIPA
= 2.71829844954342,
= 2.71828307328824,
= 2.71828183078121,
= 2.71828182860708.
9
Pendekatan dengan metode kuadratur Lobatto tiga titik
6n + 5
n 1 +
1
122 + 12n + 1
e = lim 1 +
.
n→∞
n
Dengan menyatakan eL3n , sebagai taksiran metode kuadratur Lobatto tiga titik
dengan n membesar didapat
eL35
eL310
eL350
eL3100
= 2.71825684788031,
= 2.71827996020772,
= 2.71828182497572,
= 2.71828182823699.
Pendekatan dengan metode kuadratur Lobatto empat titik
30n2 + 40n + 11
n 1 +
1
60n3 + 90n2 + 32n + 1
e = lim 1 +
.
n→∞
n
(28)
Dengan menyatakan eL4n , sebagai taksiran metode kuadratur Lobatto empat titik
dengan n membesar didapat
eL45
eL410
eL450
eL4100
= 2.71828178109807,
= 2.71827996020772,
= 2.71828182845897,
= 2.71828182845905.
Pendekatan dengan metode kuadratur Lobatto lima titik
3
2
420n
+
770n
+
410n
+
57
n 1 +
1
840n4 + 1680n3 + 1030n2 + 190n + 3
.
e = lim 1 +
n→∞
n
(29)
Dengan menyatakan eL5n , sebagai taksiran metode kuadratur Lobatto lima titik
dengan n membesar didapat
eL55
eL510
eL550
eL5100
= 2.71828182836549,
= 2.71828182845852,
= 2.71828182845905,
= 2.71828182845905.
Dengan memperhatikan hasil komputasi dengan metode-metode yang dibandingkan dapat disimpulkan bahwa teknik menggunakan metode kuadratur Lobatto
dapat digunakan sebagai metode alternatif dalam menaksir konstanta Euler e. Disamping itu penggunaan jumlah titik di metode kuadratur Lobatto dapat meningkatkan keakuratan taksiran.
Repository FMIPA
10
Ucapan Terimakasih Penulis mengucapkan terimakasih kepada Dr. Imran M.,
M.Sc. dan Supriadi Putra, M.Si. yang telah memberikan arahan dan bimbingan
dalam penulisan skripsi yang menjadi acuan artikel ini.
DAFTAR PUSTAKA
[1] Andreou, S. & J. Lambright. 2012. A Reflection of Euler’s Constant and Its
Application. Transaction Journal of Engineering, Management, & Applied Sciences & Technologies, 3 : 371–380.
[2] Boas, M. L. 2006. Matehematical Methods in Physical Sciences. John Wiley and
Sons, Chicago.
[3] Gautschi, W. 2004. Generalized Gauss-radau and Gauss-Lobatto Formulae,
BIT, 44 : 1–14.
[4] Hilderbrand, F. B. 1965. Introduction to Numerical Analysis Second Edition.
Dover Publications Inc, New York.
[5] Khattri, S. K. 2010. From Lobatto Quadrature to Euler Constant e. PRIMUS
20(6): 488–497.
[6] Khattri, S. K. 2009. Sharp Bounds On The Mathemtical Constanst e. International Journal of Open Problems in Computer Science and Mathematics, 2 :
365–371
[7] Suli, E. & D. F. Moyes 2003. Intodruction to Numerical Analysis. Cambridge
University Press, Cambridge.
Repository FMIPA
11