analisis real i - Universitas Udayana Repository

MODUL DAN LEMBAR KERJA MAHASISWA
ANALISIS REAL I
Disusun Oleh :
Luh Putu Ida Harini
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS UDAYANA
2012
IDENTITAS MAHASISWA PESERTA MATA KULIAH
ANALISIS REAL I
Tahun Ajaran 2012/2013
Nama
:______________________________
NIM
:______________________________
ii
LEMBAR PENILAIAN PENGUASAAN MATERI LKM
BAB
NILAI
KETUNTASAN
MATERI
KETERANGAN
I
II
III
IV
iii
TANDA
TANGAN
KATA PENGANTAR
Puji syukur penulis panjatkan kehadapan Tuhan Yang Maha Esa, karena
atas berkat rahmat-Nya ringkasan modul yang berjudul “Modul dan Lembar Kerja
Mahasiswa Analisis Real i” dapat diselesaikan dengan baik. Modul ini digunakan
sebagai bahan ajar sekaligus bahan penugasan bagi mahasiswa Jurusan
Matematika FMIPA Universitas Udayana yang sedang mengambil mata kuliah
Analisis Real I.
Modul ini terdiri atas lima bab yaitu Bab 0 Metode-metode dalam
pembuktian, Bab 1 Sistem Bilangan Real, Bab 2 Barisan Bilangan Real, Bab 3
Limit Fungsi dan Bab 4 Relasi Rekursif. Pada awal sub bab akan disajikan
beberapa definisi dan materi, sedangkan bagian selanjutnya diteruskan dengan
contoh-contoh soal dan soal latihan yang wajib diselesaikan oleh setiap
mahasiswa. Dengan modul ini diharapkan proses pembelajaran menjadi lebih
terarah dan menumbuhkan keaktifan serta kemandirian siswa dalam belajar baik
didalam kelas maupun di luar kelas.
Penulis menyadari tulisan ini masih jauh dari sempurna, untuk itu penulis
menerima kritik dan saran yang bersifat membangun demi perbaikan tulisan ini.
iv
September, 2012
Penulis
v
DAFTAR ISI
COVER .................................................................................................
i
IDENTITAS MAHASISWA
ii
LEMBAR PENILAIAN MAHASISWA
iii
KATA PENGANTAR ..............................................................................
iv
DAFTAR ISI ...........................................................................................
v
PENDAHULUAN
1
BAB 0. METODE-METODE PEMBUKTIAN ……………………
5
BAB I. SISTEM BILANGAN REAL ........................................................
16
BAB II. BARISAN BILANGAN REAL .....................................................
52
BAB III. LIMIT FUNGSI ..........................................................................
78
BAB IV. KEKONTINUAN FUNGSI .........................................................
93
DAFTAR PUSTAKA...............................................................................
129
vi
Analisis Real I 2012 PENDAHULUAN
A. MANFAAT MATA KULIAH
Mata kuliah Analisis Real I merupakan mata kuliah wajib yang harus
diambil oleh semua mahasiswa jurusan matematika. Mata kuliah ini
tergolong mata kuliah lanjut yang diperuntukan bagi mahasiswa yang
telah mengambil mata Kalkulus I dan Kalkulus II. Secara umum materi
pada mata kuliah Analisis Real I sebenarnya sudah dikenal oleh
mahasiswa yang telah mengambil kedua mata kuliah prasyarat tersebut.
Hanya saja, materi pada Analisis Real I bersifat lebih abstrak, teoritis,
dan mendalam. Analisis real merupakan alat yang esensial untuk
membentuk pola pikir kritis dan analitis sehingga nantinya dapat
digunakan, baik di dalam berbagai cabang dari matematika maupun
bidang ilmu-ilmu lain. Apabila mata kuliah ini dapat dipahami dengan
baik maka mahasiswa mempunyai modal yang sangat berharga untuk
memahami mata kuliah di bidang lain. Setelah mempelajari mata ajar
Analisis Real I mahasiswa diharapkan mempunyai kedewasaan dalam
bermatematika, yang meliputi:
1. Kemampuan berpikir secara deduktif, logis, dan runtut.
2. Kemampuan menganalisis masalah
3. Kemampuan mensintesis suatu hal yang bersifat khusus ke suatu hal
yang bersifat umum (kemampuan mengeneralisasi masalah) sehingga
dapat menyelesaikan suatu masalah yang lebih kompleks.
4. Kemampuan mengkomunikasikan penyelesaian suatu masalah secara
akurat dan rigorous.
B. DESKRIPSI PERKULIAHAN
Sebelumnya mari kita simak kata-kata bijak berikut :
“Imajinasi lebih penting daripada pengetahuan (Albert Einstein).”
Mata Kuliah Analisis Real I mempelajari pendekatan deduktif konsep
fundamental matematika yang mencakup sistem bilangan real dan sifatsifatnya,
limit
dan
kekontinuan
serta
teori-teori
1 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
fungsi
yang
Analisis Real I 2012 dikembangkan melalui konsep limit. Mata kuliah ini menetapkan tujuan
akhir agar mahasiswa memiliki kemampuan untuk dapat memahami
aturan-aturan
dasar
untuk
memberikan
justifikasi
pada
teori
matematika yang berkaitan dengan bilangan real dan fungsi. Selain itu
diharapkan, setelah mempelajari materi Analisis Real I, mahasiswa
mempunyai kedewasaan dalam bermatematika, yang meliputi antara lain
kemampuan berpikir secara deduktif, logis, dan runtut, serta memiliki
kemampuan
penyelesaiannya
menganalisis
secara
masalah
akurat
dan
dan
mengomunikasikan
rigorous
sehingga
dapat
membangkitkan kemampuan imajinasi yang lebih abstrak.
C. STANDAR KOMPETENSI DAN KOMPETENSI DASAR
Standar Kompetensi: Mahasiswa mampu dalam memahami aturanaturan dasar untuk memberikan justifikasi pada teori matematika yang
berkaitan dengan bilangan real dan fungsi.
Kompetensi Dasar :
•
Memahami sistem bilangan real dan aturan dasar yang berlaku di
dalamnya.
•
Memahami
sifat
kelengkapan
bilangan
real
dan
dapat
menggunakannya untuk menunjukkan eksistensi bilangan irrasional
dan bilangan rsional.
•
Memahami konsep kekonvergenan barisan bilangan real dan sifatsifatnya serta dapat menerapkannya pada masalah yang memuat limit
barisan.
•
Memahami konsep limit fungsi dan dapat menggu-nakannya untuk
menyele-saikan masalah yang memuat limit fungsi.
•
Memahami konsep fungsi kontinu dan sifat-sifatnya serta dapat
menggunakannya untuk menyelesaikan masalah yang memuat fungsi
kontinu.
D. STRATEGI PERKULIAHAN
Selama masa pembelajaran berlangsung, mahasiswa diharapkan
untuk aktif melakukan perkuliahan. Diskusi di luar sesi tatap muka
2 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
Analisis Real I 2012 dapat dilakukan dengan membuat perjanjian terlebih dahulu. Pada setiap
topik disiapkan lembar kerja mahasiswa untuk digunakan pada sesi
tatap muka. Pengerjaan lembar kerja selama proses pembelajaran bukan
dimaksudkan hanya untuk melakukan latihan soal, namun lebih penting
lagi, sebagai bagian proses membentuk pengetahuan (construction of
knowledge)
dan
pendalaman
(internalisasi)
sehingga
diharapkan
mahasiswa dapat aktif dalam diskusi di kelas.
Pertanyaan-pertanyaan pada lembar kerja sudah dirancang untuk
menunjang proses pembelajaran. Mahasiswa yang sudah memahami
tanpa perlu mengerjakan lembar kerja lebih lanjut dapat meneruskan
proses pembelajaran tanpa harus mengerjakan keseluruhan pertanyaan
satu demi satu.
Secara singkat, selama pembelajaran mahasiswa
diharapkan ready to think, dan ready to work, tidak sekedar menjadi
pembaca
atau
pendengar
untuk
menjamin
terjadinya
proses
pembelajaran yang efektif.
Agar Anda berhasil dengan baik dalam mempelajari LKM ini,
ikutilah petunjuk-petunjuk berikut ini.
1. Bacalah dengan baik pendahuluan LKM ini sehingga Anda
memahami tujuan dalam mempelajari LKM ini dan bagaimana
menggunakannya.
2. Bacalah bagian demi bagian materi yang ada dalam LKM ini, kalau
perlu tandai kata-kata/kaliamat yang dianggap penting.
3. Pahami pengertian demi pengertian dari isi LKM ini dengan
mempelajari contoh-contohnya, dengan pemahaman sendiri, tukar
pikiran (diskusi) dengan rekan atau orang lain.
4. Kerjakan soal-soal latihan dalam LKM ini secara individu terlebih
dahulu, apabila mendapat jalan buntu, barulah Anda melihat
pekerjaan rekanan lain atau bertanya kepada pengampu mata
kuliah ini. Perlu ditekankan bahwa jawaban Anda tidak perlu sama
dengan petunjuk yang diberikan, karena kadang-kadang banyak
cara
yang
dapat
kita
lakukan
dalam
menyelesiakan
permasalahan terutama untuk kasus-kasus diskret.
3 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
suatu
Analisis Real I 2012 Beberapa kata mutiara dari ajaran KONFUSIUS (551 – 479 SM.) disajikan
disini: “Hidup miskin bukanlah hal yang memalukan, yang memalukan
adalah hidup miskin dan tidak mempunyai semangat yang tinggi.
Memegang posisi yang rendah tidaklah mengerikan, yang mengerikan
adalah memiliki posisi rendah dan tidak meningkatkan kemampuan
diri. Menjadi tua tidaklah menyedihkan, yang menyedihkan adalah
menjadi tua dan telah menyia-nyiakan hidupmu.”
Selamat Nguli, Semangat !!!!! ☺
4 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
Analisis Real I 2012 BAB O
METODE-METODE DALAM PEMBUKTIAN
Secara kasat mata apabila dibandingkan dengan ilmu lain
matematika adalah ilmu yang terdiri atas banyak sekali simbol-simbol
yang dirangkai dengan sedikit kata sehingga katanya ”bisa membuat
rambut yang lurus jadi keriting”. Namun apa yang sebenarnya terjadi.
Matematika merupakan cabang utama dari ilmu filsafat. Yang menjadi
ibu dari segala ilmu. Matematika juga dikatakan sebagai bahasa yang
sangat universal.
Matematika sebagai ilmu pengetahuan dengan penalaran deduktif
mengandalkan
pernyataan.
logika
Proses
dalam
meyakinkan
penemuan
dalam
akan
matematika
kebenaran
dimulai
suatu
dengan
pencarian pola dan struktur, contoh kasus dan objek matematika
lainnya. Selanjutnya, semua informasi dan fakta yang terkumpul secara
individual ini dibangun suatu koherensi untuk kemudian disusun suatu
konjektur. Setelah konjektur dapat dibuktikan kebenarannya atau
ketidakbenaranya maka selanjutnya ia menjadi suatu teorema.
Pernyataan-pernyataan matematika seperti definisi, teorema dan
pernyataan lainnya pada umumnya berbentuk kalimat logika, Jadi
membuktikan kebenaran suatu teorema tidak lain adalah membuktikan
kebenaran suatu kalimat logika. Materi logika sudah diberikan sejak di
bangku SLTA. Namun selama ini, sebagian siswa atau guru masih
menganggap logika sebagai materi HAPALAN. Tanpa menguasai logika
maka sulit untuk terbentuknya apa yang disebut dengan logically
thinking.
Pola pikIr yang terbentuk pada siswa, mahasiswa, guru atau bahkan
dosen selama ini lebih dominan pada algorithm thinking atau berpikir
secara algoritma. Cara berpikir algoritmis dalam belajar matematika ini
lebih
ditekankan
pada
memahami
langkah-langkah
dalam
menyelesaikan suatu soal, tanpa melihat lebih dalam mengapa langkah-
5 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
Analisis Real I 2012 langkah tersebut dapat dilakukan. Apabila algorithm thinking lebih
mendominasi maka kita akan menjadi ”robot matematika”.
Pada awalnya pekerjaan membuktikan dan memahami bukti
bukanlah sesuatu yang menarik karena kita lebih banyak bergelut
dengan simbol dan pernyataan logika ketimbang berhadapan dengan
angka-angka yang biasanya dianggap sebagai karakter matematika.
Kenyataan inilah menjadikan salah satu alasan orang malas untuk
memahami bukti dalam matematika. Alasan lainnya adalah pekerjaan
membuktikan lebih sulit dan tidak penting. Padahal banyak manfaat
yang dapat diperoleh pada pengalaman membuktikan ini, salah satunya
adalah melatih logically thinking dalam belajar matematika.
Dalam artikel making mathematics yang berjudul Proof, dijelaskan
secara rinci mengenai bukti dalam matematika yang meliputi what is
proof, why do we prove, what do we prove, dan how do we prove. Menurut
artikel tersebut, terdapat enam motivasi mengapa orang membuktikan,
1. to establish a fact with certainty, untuk meyakinkan bahwa apa
yang
selama ini dianggap benar adalah memang benar.
2. to gain understanding, untuk mendapatkan pemahaman.
3. to communicate an idea to others, untuk menyempaikan ide kepada
orang lain.
4. for the challenge, untuk tantangan baru
5. to create something beautiful, untuk membuat sesuatu yang bersifat
indah.
6. to construct a large mathematical theory, untuk membangun teori
matematika yang lebih luas.
Metoda Pembuktian
Definisi memainkan peranan penting di dalam matematika. Topiktopik baru matematika selalu diawali dengan membuat definisi baru.
Berangkat dari definisi dihasilkan sejumlah teorema beserta akibatakibatnya. Teorema-teorema inilah yang perlu dibuktikan. Selanjutnya,
untuk memahami materi selanjutnya dibutuhkan prasyarat pengetahuan
logika matematika.
6 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
Analisis Real I 2012 1. Bukti langsung
Bukti langsung ini biasanya diterapkan untuk membuktikan teorema
yang berbentuk implikasi p ⇒ q. Dalam hal ini p sebagai hipotesis
digunakan sebagai fakta yang diketahui atau sebagai asumsi, dan
dengan menggunakan p kita harus menunjukkan q berlaku. Secara
logika pembuktian langsung ini ekuivalen dengan membuktikan bahwa
pernyataan p ⇒ q benar dimana diketahui p benar.
Contoh A Buktikan, jika x bilangan ganjil maka x2 bilangan ganjil.
Bukti. Diketahui x ganjil, jadi dapat ditulis sebagai x = 2n - 1 untuk
suatu bilangan bulat n. Selanjutnya,
x2 = (2n - 1)2 = .......................................... = 2 (2n2 + 2) +1 = 2m + 1:
m
Karena m merupakan bilangan bulat maka disimpulkan x2 ganjil.
2. Bukti taklangsung
Kita tahu bahwa nilai kebenaran suatu implikasi p ⇒ q ekuivalen dengan
nilai kebenaran kontraposisinya ¬ q ⇒ ¬ p. Jadi pekerjaan membuktikan
kebenaran pernyataan implikasi dibuktikan lewat kontraposisinya.
Contoh B Buktikan, jika x2 bilangan ganjil maka x bilangan ganjil.
Bukti. Pernyataan ini sangat sulit dibuktikan secara langsung. Mari kita
coba saja. Karena x2 ganjil maka dapat ditulis x = ....................... untuk
suatu bilangan asli m. Selanjutnya x =
2m + 1 tidak dapat disimpulkan
apakah ia ganjil atau tidak. Sehingga bukti langsung tidak dapat
digunakan. Kontraposisi dari pernyataan ini adalah
”....................................................................................”.
Selanjutnya diterapkan bukti langsung pada kontraposisinya. Diketahui
x genap, jadi dapat ditulis x = 2n untuk suatu bilangan bulat n.
Selanjutnya,
x2 = ................................. = 2 (2n2) = 2m
m
yang merupakan bilangan genap.
7 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
Analisis Real I 2012 3.
Bukti kosong
Bila hipotesis p pada implikasi p ⇒ q sudah bernilai salah maka implikasi
p ⇒ q selalu benar apapun nilai kebenaran dari q. Jadi jika kita dapat
menunjukkan bahwa p salah maka kita telah berhasil membuktikan
kebenaran p ⇒ q.
Contoh C Didalam teori himpunan kita mengenal definisi berikut :
”Diberikan dua himpunan A dan B. Himpunan A dikatakan himpunan
bagian dari B, ditulis A ⊂ B jika pernyataan berikut dipenuhi : ”jika x ∈ A
maka x ∈ B”.
Suatu himpunan dikatakan himpunan kosong jika ia tidak mempunyai
anggota. Buktikan, himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari
himpunan apapun.
Bukti. Tanpa mengurangi keumuman bukti dimisalkan A =....................
suatu himpunan kosong dan B himpunan sebarang. Akan dibuktikan
bahwa pernyataan ”jika x ∈ A maka x ∈ B” bernilai benar. Karena A
himpunan kosong maka pernyataan p yaitu x 2 A selalu bernilai salah
karena tidak mungkin ada x yang menjadi anggota himpunan kosong.
Karena p salah maka terbuktilah kebenaran pernyataan ”jika x ∈ A maka
x ∈ B”, yaitu A ⊂ B. Karena B himpunan sebarang maka bukti selesai.
4.
Bukti trivial
Bila pada implikasi p ⇒ q, dapat ditunjukkan bahwa q benar maka
implikasi ini selalu bernilai benar apapun nilai kebenaran dari p. Jadi
jika kita dapat menunjukkan bahwaq benar maka kita telah berhasil
membuktikan kebenaran p ⇒ q.
Contoh D. Buktikan, jika 0 < x < 1 maka 0 <
Bukti. Karena pernyataan q, yaitu 0 <
x
x +1
x
x +1
selalu benar untuk setiap x
bilangan real termasuk x di dalam interval (0,1) maka secara otomatis
kebenaran pernyataan ini terbukti.
8 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
Analisis Real I 2012 5.
Bukti dengan kontradiksi (Reductio ad Absurdum)
Metoda ini mempunyai keunikan tersendiri, tidak mudah diterima
oleh orang awam. Dalam membuktikan kebenaran implikasi p ⇒ q kita
berangkat dari diketahui p dan ¬ q. Berangkat dari dua asumsi ini kita
akan sampai pada suatu kontradiksi.
Contoh E Misalkan himpunan A didefinisikan sebagai interval setengah
terbuka yang dituliskan dengan A := [0,1). Buktikan maksimum A tidak
ada.
Bukti. Diketahui A := [0,1)
Akan ditunjukkan bahwa maksimum A tidak ada.
Andaikan maksimum A ada, katakan p. Maka haruslah 0 < p < 1, dan
akibatnya
1
1
1
p <
dan (p + 1) < 1.
2
2
2
Diperoleh p =
1
1
p + p
2
2
<
1
1
p +
2
2
=
1
(p + 1) < 1
2
Diperoleh dua pernyataan berikut :
• p maksimum A, yaitu elemen terbesar himpunan A.
• ada q ∈ A (yaitu q :=
1
(p + 1)) yang lebih besar dari p.
2
Kedua pernyataan ini kontradiktif, jadi pengandaian A mempunyai
maksimum adalah salah, jadi haruslah tidak ada maksimum.
Latihan Tidak ada bilangan bulat positif x dan y yang memenuhi
persamaan Diophantine x2- y2 = 1.
Bukti:
Diketahui: ………………………………………………………………………….
Akan dibuktikan: …………………………………………………………………
Andaikan…………………………………………………………………………...
Maka pada ruas kiri dapat difaktorkan sehingga diperoleh
...........................................................................................................
Karena x, y bulat maka persamaan terakhir ini hanya dapat terjadi
bilamana …………………. dan …………………. atau ……………….. dan
………………………………………….
9 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
Analisis Real I 2012 Pada kasus pertama akan dihasilkan x = -1 dan y = 0, sedangkan pada
kasus kedua dihasilkan x = 1 dan y = 0. Hasil pada kedua kasus ini
bertentangan dengan hipotesis bahwa ………………………….
Jadi
pengandaian
diingkar
sehingga
diperoleh……………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………
Apabila dicermati ada kemiripan bukti dengan kontradiksi dan bukti
dengan kontraposisi. Namun pada dasarnya adalah berbeda dan
perbedaan pada keduanya dapat dijelaskan sebagai berikut :
• Pada metoda kontradiksi, kita mengasumsikan p dan ¬ q, kemudian
membuktikan adanya kontradiksi.
• Pada bukti dengan kontraposisi, kita mengasumsikan
¬ q, lalu
membuktikan ¬ p.
Asumsi awal kedua metoda ini sama, pada metoda kontraposisi tujuan
akhirnya sudah jelas yaitu membuktikan kebenaran p, sedangkan pada
metoda kontradiksi tujuan akhirnya tidak pasti pokoknya sampai
bertemu kontradiksi. Secara khusus jika kita sampai pada pernyataan :p
maka
kontradiksi
sudah
ditemukan.
Jadi
metoda
kontraposisi
merupakan kasus khusus dari metoda kontraposisi.
6. Bukti eksistensial
Ada dua tipe bukti eksitensial ini, yaitu konstruktif dan takkonstruktif.
Pada metoda konstruktif, eksistensinya ditunjukkan secara eksplisit.
Sedangkan
pada
metoda
takkonstruktif,
eksistensinya
tidak
diperlihatkan secara eksplisit.
Contoh F Buktikan, ada bilangan irrasional x dan y sehingga xy rasional.
Bukti. Sudah diketahui bahwa
2 irrasional, anggaplah kita sudah
dapat membuktikannya. Sekarang perhatikan
( 2)
2
( 2)
2
Bila ternyata
rasional maka bukti selesai, dalam hal ini diambil x = y =
10 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
2 . Bila
Analisis Real I 2012 ( 2)
2
( 2)
2
bukan rasional (yaitu irrasional), diperhatikan bahwa ⎛⎜ 2
⎝
⎞
⎟
⎠
2
=
= 2 merupakan bilangan rasional.
Jadi salah satu pasangan (x,y), dengan x = y =
=
2
2 , atau x =
( 2)
2
dan y
2 pasti memenuhi pernyataan yang dimaksud.
Pada bukti ini hanya ditunjukkan eksistensi bilangan irrasional x
dan y tanpa memberikannya secara eksplisit. Ini dikenal dengan istilah
pembuktian eksistensi non konstruktif.
Contoh G (Bartle and Sherbert, 1994). Bila a dan b bilangan real
dengan a 
berlaku nb - na > 1
1
. Untuk n ini
b−a
(*)
Sekarang ambil m sebagai bilangan bulat pertama yang lebih besar dari
na, dan berlaku m - 1 ≤ na < m
(**)
Dari (*) dan (**) diperoleh
na < m ≤ na + 1 < nb:
Bentuk terakhir ini dapat ditulis na < m < nb, dan dengan membagi
semua ruas dengan n, didapat
a<
m
<b
n
dan dengan mengambil r :=
m
maka bukti Teorema selesai.
n
Dalam mebuktikan eksistensi bilangan rasional r, ditempuh dengan
langkah-langkah konstruktif sehingga bilangan rasional yang dimaksud
dapat
dinyatakan
secara
eksplisit.
Ini
bukti
konstruktif.
7. Bukti ketunggalan
11 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
eksistensial
dengan
Analisis Real I 2012 Dalam membuktikan ketunggalan, pertama harus ditunjukkan eksistensi
suatu objek, katakan objek itu x. Ada dua pendekatan yang dapat
ditempuh untuk membuktikan bahwa x hanya satu-satunya objek yang
memenuhi, yaitu
• Diambil objek sebarang, katakan y maka ditunjukkan y = x, atau
• Misalkan y objek sebarang lainnya dengan y ≠ y, ditunjukkan
adanya suatu kontradiksi. cara ini tidak lain menggunakan
metoda kontradiksi seperti yang sudah dibahas sebelumnya.
Contoh H Diberikan definisi limit barisan sebegai berikut :
Misalkan (xn : n ∈ N) suatu barisan bilangan real. Bilangan real x
dikatakan limit dari (xn : n ∈ N), dan ditulis lim(xn) = x jika dan hanya
jika untuk setiap ε > 0 yang diberikan terdapat bilangan asli K sehingga
x n − x < ε untuk setiap n ≥ K:
Buktikan bahwa jika limit barisan (xn) ada maka ia tunggal.
Bukti. Di sini tidak diperlukan bukti eksistensi karena kita hanya akan
membahas barisan yang mempunyai limit, atau eksistensinya sudah
diasumsikan. Sekarang kita gunakan pendekatan kedua. Andaikan
barisan X := (xn) mempunyai dua limit yang berbeda, katakan xa dan xb
dengan xa ≠ xb. Diberikan ε :=
1
xb − x a
3
Karena lim(xn) = xa maka untuk ε ini terdapat Ka sehingga
x n − x a < ε untuk setiap n ≥ Ka:
Juga, karena lim(xn) = xb maka terdapat Kb sehingga
x n − xb < ε untuk setiap n ≥ Kb:
Sekarang untuk n ≥ maks {K a , K b } maka berlaku
x a − xb = x a − x n + x n − xb
≤ x n − x a + x n − xb
< ε + ε
=
2
x a − xb
3
12 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
Analisis Real I 2012 Akhirnya
diperoleh
x a − xb <
2
x a − xb
3
suatu
pernyataan
yang
kontradikstif. Pengandaian xa ≠ xb salah dan haruslah xa = xb , yaitu
limitnya mesti tunggal.
8.
Bukti dengan counter example
Pembuktian ini dilakukan dengan cara menemukan satu saja kasus yang
tidak memenuhi konjektur tersebut maka selesailah urusannya dengan
kata lain konjektur terbukti.
n
Contoh I Untuk setiap n bilangan asli maka 2 2 + 1 merupakan bilangan
prima.
Bukti. Pernyataan ini berlaku untuk setiap bilangan asli n. Tapi bila bila
n0
ditemukan satu bilangan asli, katakan n 0 dan 2 2 + 1 tidak prima
(komposit) maka konjektur ini tidak benar. Diperhatikan beberapa kasus
berikut, untuk n = 1 diperoleh bilangan 5, n = 2 menghasilkan 17, n = 3
menghasilkan 257 dan n = 4 menghasilkan 65537. Keempat bilangan ini
prima. Coba perhatikan untuk n = 5, diperoleh
225 + 1 = 4294967297 = (641)(6700417).
Ternyata bukan prima. Nah, n = 5 merupakan contoh penyangkalan
(counter example). Akhirnya disimpulkan bahwa konjektur ini salah.
9.
Bukti dengan induksi matematika
Induksi matematika adalah cara standar dalam membuktikan bahwa
sebuah pernyataan tertentu berlaku untuk setiap bilangan asli.
Misalkan untuk setiap bilangan asli n kita mempunyai pernyataan P (n ) .
Pembuktian dengan induksi matematika terdiri dari dua langkah yaitu:
1. Basis Induksi.
Menunjukkan bahwa pernyataan yang akan dibuktikan berlaku untuk
bilanganDengan kata lain tunjukkan bahwa P (1) benar.
2. Langkah Induksi
Menunjukkan bahwa jika pernyataan itu berlaku untuk bilangan n
maka pernyataan itu juga berlaku untuk bilangan ( n + 1) .
Caranya :
13 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
Analisis Real I 2012 a. Asumsikan bahwa pernyataan tersebut benar untuk n = k . P (k )
untuk suatu k tertentu dalam kasus ini disebut hipotesa induksi.
b. Tunjukkan bahwa jika pernyataan tersebut benar untuk n = k ,
maka pernyataan tersebut juga benar untuk n = (k + 1) .
c.
Dengan terbukti (a) dan (b) maka dengan induksi matematika
dapat disimpulkan bahwa pernyataan tersebut berlaku untuk
setiap bilangan asli n.
10. Bukti dua arah
Ada kalanya suatu pernyataan berupa bi-implikasi, p ⇔ q. Ada dua
kemungkinan bi-implikasi bernilai benar p ⇔ q yaitu p benar dan q benar,
atau p salah dan q salah. Dalam prakteknya, pernyataan ini terdiri dari
p ⇒ q dan q ⇒ p. Membuktikan kebenaran bi-implikasi p ⇔ q berarti
membuktikan kebenaran kedua implikasi p ⇒ q dan q ⇒ p. Selanjutnya
dapat menggunakan bukti langsung, taklangsung atau mungkin dengan
kontradiksi.
Contoh J Buktikan, suatu bilangan habis dibagi sembilan jika hanya jika
jumlah angka-angka pembangunnya habis dibagi sembilan.
Bukti. Sebelum kita buktikan, dijelaskan terlebih dulu maksud dari
pernyataan ini dengan contoh berikut. Ambil bilangan 135, 531, 351,
513, 315, 153, maka semuanya habis dibagi 9. Coba periksa satu per
satu. Misalkan p suatu bilangan bulat, maka dapat disajikan dalam
bentuk
p = xnxn-1xn-2..... x2x1 x0
dimana xn ≠ 0; xn-1,.....,x0 bilangan bulat taknegatif.
Sedangkan nilai p ini dapat ditulis dalam bentuk berikut :
p = x0 + x1101 + x2102 + . . . + xn10n
Jumlah angka-angka pembangunnya adalah
s = x0 + x1 + x2 + . . . + xn.
Pertama dibuktikan ( ⇒ ), yaitu diketahui p habis dibagi 9, dibuktikan s
habis dibagi 9. Karena p habis dibagi 9 maka dapat ditulis p = 9k untuk
suatu bilangan bulat k. Diperhatikan selisih p - s,
p - s = x0 + x1101 + x2102 + . . . + xn10n – (x0 + x1 + x2 + . . . + xn)
14 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
Analisis Real I 2012 = (10 - 1)x1 + (102 - 1)x2 + . . . + (10n - 1)xn
Diperhatikan bilangan pada ruas kanan selalu habis dibagi sembilan,
misalnya ditulis 9m untuk suatu bilangan bulat m. Jadi diperoleh
9k - s = 9m ⇒ s = 9(k - m)
yaitu s habis dibagi 9. Selanjutnya dibuktikan ( ⇐ ), yaitu diketahui s
habis dibagi 9, dibuktikan p habis dibagi 9. Diperhatikan
p = x0 + x1101 + x2102 + . . . + xn10n
= x0 + x1 (101-1) + x2 (102 -1)+ . . . + xn (10n -1) + x1 + x2 + . . . + xn.
= [x0 + x1 + x2 + . . . + xn ] + [x1 (101-1) + x2 (102 -1)+ . . . + xn (10n -1)]
s
Karena bilangan pada kelompok pertama dan kelompok kedua habis
dibagi 9 maka terbukti p habis dibagi 9.
Metode-metode
pembuktian
tersebut
nantinya
yang
dapat
digunakan dalam memahami mata kuliah Analisis Real I ini. Tak bisa
dipungkiri bahwa belajar matematika dengan cara memahami bukti
tidaklah mudah. Dibutuhkan waktu untuk memahami matematika
sebagai bahasa logika. Juga, dibutuhkan wawasan matematika yang luas
untuk belajar membuktikan fakta-fakta yang lebih rumit. Oleh karena
itu, awalilah dengan memahami hal-hal yang bersifat dasar, terutama
pahami definisi, sehingga kebelakangnya anda dapat menyelesaikan halhal yang lebih kompleks.
15 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
Analisis Real I 2012 BAB I
SISTEM BILANGAN REAL
KOMPETENSI DASAR
1. Memahami sistem bilangan real dan aturan dasar yang
berlaku di dalamnya.
2. Memahami sifat kelengka-pan bilangan real dan dapat
menggunakannya untuk menunjukkan eksistensi bilangan
irrasional dan bilangan rsional
INDIKATOR:
Setelah melakukan proses belajar mengajar mahasiswa mampu :
1. Menyebutkan aksioma bilangan real
2. Memahami teorema dasar yang langsung diturunkan dari
aksioma
3. Memahami operasi dan himpunan bagian pada bilangan real.
4. Memahami sifat urutan pada bilangan real
5. Memahami ketidaksamaan akar & kuadarat
6. Memahami rata-rata aritmatika-geometri
7. Memahami ketaksamaan Bernoulli dan Cauchy.
8. Memahami definisi dan sifat harga mutlak
9. Memahami pengertian himpunan terbatas.
10.
Memahami pengertian supremum dan infimum dan
sifatnya.
SUB POKOK BAHASAN :
1.1.
Konsep dan Struktur Bilangan
1.2.
Himpunan Bilangan Real
1.3.
Aksioma Bilangan Real dan Beberapa
Aturan Dasar
1.1. Konsep dan Struktur Bilangan
16 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
Analisis Real I 2012 Bilangan real yang biasa dinotasikan dengan ℜ memainkan peranan
yang sangat penting dalam Kalkulus. Untuk itu, pertama kali akan
diberikan beberapa fakta dan terminologi dari bilangan real. Namun
sebelum membahas bilangan real lebih lanjut, ada baiknya diingat
kembali definisi bilangan-bilangan yang lain. Pengertian macam-macam
bilangan secara umum dapat diuraikan sebagai berikut:
1. Bilangan kompleks
Himpunan
bilangan
yang terbesar di dalam
matematika
adalah himpunan bilangan komleks. Himpunan bilangan real yang
kita pakai sehari-hari merupakanhimpunan bagian dari himpunan
bilangan kompleks ini.Secara umum bilangan kompleks terdiri
dari dua bagian: bagian real dan bagian imajener (khayal).
2. Bilangan Real (Bilangan Nyata)
Bilangan nyata adalah semua bilangan yang dapat ditemukan pada
garis bilangan dengan cara penghitungan, pengukuran, atau bentuk
geometrik. Bilangan-bilangan tersebut ada di dunia nyata. Ada
berbagai macam bilangan yang termasuk dalam bilangan nyata.
Bilangan Real juga dikenal sebagai suatu bilangan yang terdiri dari
bilangan rasional dan bilangan irasional. Bilangan real biasanya
disajikan dengan sebuah garis bilangan.
3. Bilangan Imajiner
Bilangan
imajiner adalah
apabila
sebuah
bilangan
bukan
merupakan bilangan nyata (dalam artian bilangan tersebut bukan
merupakan bilangan rasional maupun irasional), maka bilangan
tersebut dikatakan imajiner.
4. Bilangan Rasional
Bilangan rasional adalah bilangan Real yang dapat disusun ulang
dalam bentuk pecahan
di mana a dan b harus merupakan bilangan
17 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
Analisis Real I 2012 bulat. Jadi, Bilangan irasional adalah bilangan Real yang TIDAK dapat
disusun ulang dalam bentuk pecahan
.
5. Bilangan Irasional
Bilangan irasional adalah suatu bilangan yang terdapat pada suatu
garis bilangan yang tidak dapat di alokasikan dengan cara biasa
karena bilangan ini tidak dapat digambarkan seperti halnya bilangan
rasional.
6. Bilangan Bulat
Bilangan bulat adalah bilangan non pecahan yang terdiri dari
bilangan: Bulat positif (1, 2, 3, 4, 5, …), Nol (0), dan Bulat Negatif
( …,-5,-4,-3,-2,-1)
Di dalam bilangan bulat terdapat bilangan genap dan ganjil :
•
Bilangan bulat genap adalah bilangan yang habis dibagi dengan 2
yaitu { …, -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, … }
•
Bilangan bulat ganjil adalah bilangan yang apabila dibagi 2 tersisa
-1 atau 1 yaitu { …, -5, -3, -1, 1, 3, 5, … }
7. Bilangan Pecahan
•
Bilangan pecahan merupakan bilangan yang mempunyai jumlah
kurang atau lebih dari utuh.
•
Terdiri dari pembilang dan penyebut.
•
Pembilangan merupakan bilangan terbagi.
•
Penyebut merupakan bilangan pembagi
Macam-macam pecahan ;
a. Pecahan biasa
Bilangan pecahan yang hanya terdiri atas pembilang dan penyebut.
b. Pecahan Campuran
Bilangan pecahan yang terdiri atas bilangan utuh, pembilang dan
penyebut.
c. Pecahan Desimal
Merupakan bilangan yang didapat dari hasil pembagian suatu
bilangan dengan 10, 100, 1.000, 10.000 dst.
18 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
Analisis Real I 2012 d. Pecahan Persen
Persen artinya perseratus. Merupakan suatu bilangan dibagi
dengan seratus.
e. Pecahan Permil
Permil artinya perseribu. Merupakan suatu bilangan dibagi seribu,
ditulis dengan tanda ‰
8. Bilangan Cacah
a. Menurut Kamus Besar Bahasa Indonesia (1990:116) “bilangan
cacah adalah satuan dalam sistem matematis yang abstrak dan
dapat diunitkan, ditambah atau dikalikan”. “Himpunan bilangan
cacah” adalah himpunan yang semua unsur-unsurnya bilangan
cacah {0, 1, 2, 3, 4, 5, ….}. (Cholis Sa’dijah, 2001: 93).
b. Menurut Muchtar A. Karim, Abdul Rahman As’sari, Gatot
Muhsetyo dan Akbar Sutawidjaja (1997: 99) bilangan cacah dapat
didefinisikan
menyatakan
sebagai
cacah
bilangan
anggota
yang
suatu
digunakan
himpunan.
Jika
untuk
suatu
himpunan tidak mempunyai anggota sama sekali, maka cacah
anggota himpunan itu dinyatakan dengan “nol” dan dinyatakan
dengan lambang “0”. Jika anggota suatu himpunan hanya terdiri
atas satu anggota saja, maka cacah anggota himpunan tersebut
adalah “satu” dan dinyatakan dengan lambang “1”. Demikian
seterusnya
sehingga
kita
mengenal
barisan
bilangan
hasil
pencacahan himpunan yang dinyatakan dengan lambing 0, 1, 2,
3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, . . . sebagai bilangan cacah.
c. Menurut ST. Negoro dan B. Harahap (1998: 41) menyatakan
bahwa “bilangan cacah adalah himpunan bilangan yang terdiri
atas semua bilangan asli dan bilangan nol”.
9. Bilangan Asli
Bilangan asli merupakan salah satu konsep matematika yang paling
sederhana dan termasuk konsep pertama yang bisa dipelajari dan
dimengerti oleh manusia. Bilangan asli adalah suatu bilangan yang mulamula dipakai untuk membilang. Bilangan asli dimulai dari 1,2,3,4,...
10.
Bilangan Prima
19 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
Analisis Real I 2012 Bilangan prima yaitu bilangan yang hanya dapat dibagi oleh bilangan
1 dan bilangan itu sendiri. Semua anggota bilangan prima adalah
bilangan ganjil kecuali 2.
11.
Bilangan Komposit
Bilangan komposit adalah bilangan asli lebih besar dari 1 yang bukan
merupakan bilangan
prima.
Bilangan
komposit
dapat
dinyatakan
sebagai faktorisasi bilangan bulat, atau hasil perkalian dua bilangan
prima atau lebih. Sepuluh bilangan komposit yang pertama adalah 4, 6,
8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, dan 18. Atau bisa juga disebut bilangan yang
mempunyai faktor lebih dari dua.
Beberapa hubungan antar bilangan di atas dapat digambarkan dalam
diagram berikut:
Bilangan Komplek
Bilangan Khayal
Bilangan Real (R)
Bilangan Rasional (Q)
Bilangan Irasional (I)
Bilangan Pecahan
Bilangan Bulat (Z)
Bilangan Bulat Negatif
Bilangan Cacah (C)
Nol (0)
Bilangan Asli (N)
Secara umum dalam sistem bilangan, himpunan semua bilangan
asli
dilambangkan
dengan
N.
Himpunan
semua
20 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
bilangan
cacah
Analisis Real I 2012 dilambangkan dengan C. Himpunan semua bilangan bulat dilambangkan
dengan himpunan Z. Bilangan-bilangan real yang dapat ditulis dalam
bentuk
p
dengan p,q ∈ Z disebut bilangan pecahan. Gabungan antara
q
himpunan bilangan bulat dengan bilangan pecahan disebut bilangan
rasional
atau
terukur
dan
himpunan
semua
bilangan
rasional
dilambangkan dengan Q. Bilangan-bilangan real yang bukan bilangan
rasional disebut bilangan irasional atau tak terukur dan himpunan
semua bilangan dilambangkan (I). Bilangan diluar bilangan real disebut
bilangan khayal atau imajiner, dan gabungan antara bilangan real dan
imajiner inilah yang dikenal sebagai bilangan kompleks.
Lembar Kerja 1
1. Gambarkan hubungan ke sebelas jenis bilangan yang telah
dipaparkan dalam sub bab ”Konsep dan Struktur Bilangan” dalam
diagram Venn.
Jawab:
21 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
Analisis Real I 2012 2. Buatlah gambar himpunan jenis bilangan tersebut dalam garis
bilangan!
Jawab:
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
3. Selain jenis bilangan di atas apakah ada jenis bilangan lain yang
pernah anda kenal?
Jawab:
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
22 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
Analisis Real I 2012 .................................................................................................................
23 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
Analisis Real I 2012 1.2. Himpunan Bilangan Real
Sub bab ini menjelaskan tentang hal-hal yang berkaitan dengan dengan
himpunan dan sistem bilangan real sebagai suatu sistem matematika
yang memiliki sifat-sifat sebagai suatu lapangan yang terurut dan lengkap
yaitu bahwa pada himpunan semua bilangan real R yang dilengkapi
dengan operasi penjumlahan dan perkalian berlaku sifat-sifat aljabar dari
lapangan. Sifat terurut dari R berkaitan dengan konsep kepositifan dan
ketidaksamaan antara dua bilangan real, sedangkan sifatnya yang
lengkap berkaitan dengan konsep supremum atau batas atas terkecil.
Teorema-teorema dasar dalam kalkulus elementer, seperti Teorema
Eksistensi Titik Maksimum dan Minimum, Teorema Nilai Tengah,
Teorema Rolle, Teorema Nilai Rata-Rata, dan sebagainya, didasarkan atas
sifat kelengkapan dari R ini. Sifat ini berkaitan erat dengan konsep limit
dan kekontinuan. Dapat dikatakan bahwa sifat kelengkapan dari R
mempunyai peran yang sangat besar di dalam analisis real.
1.3. Aksioma Bilangan Real dan Beberapa Aturan Dasar
Definisi 1.1 (Sifat Aljabar dari Bilangan Real) Sistem bilangan R adalah
suatu sistem aljabar yang terhadap operasi jumlahan (+) dan operasi
perkalian ( o ) mempunyai sifat-sifat sebagai berikut:
A. (R, +) Grup komutatif, yaitu:
(A1). ∀a, b ∈ ℜ, a + b ∈ ℜ
(Tertutup)
(A2). ∀a, b, c ∈ ℜ, a + (b + c ) = (a + b ) + c
(Assosiatif)
(A.3). ∃!o ∈ ℜ, ∀a ∈ ℜ, a + o = o + a = a
(ada elemen Netral ⊕)
(A.4). ∀a ∈ ℜ, ∃!−a ∈ ℜ, a + (− a ) = o = −a + a
(Ada elemen Invers ⊕)
(A.5). ∀a, b ∈ ℜ, a + b = b + a
(Komutatif)
B. (R-{0}, o ) Grup Komutatif, yaitu
(M1). ∀a, b ∈ ℜ − {0}, a o b ∈ ℜ − {0}
(Tertutup)
(M2). ∀a, b, c ∈ ℜ − {0}, a o (b o c ) = (a o b ) o c
(Assosiatif)
(M3). ∃!1 ∈ ℜ − {0}, ∀a ∈ ℜ − {0},1 o a = a o 1 = a
(Ada elemen satuan)
24 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
Analisis Real I 2012 1
1 1
(M4). ∀a ∈ ℜ − {0}, ∃! ∈ ℜ − {0}, a o = o a = 1 (Ada el invers ditulis a −1 )
a
a a
(M5). ∀a, b ∈ ℜ − {0}a o b = b o a
(komutatif)
C. (ℜ,+,o) distributif
∀a, b, c ∈ ℜ, a o (b + c ) = a o b + a o c
Selanjutnya anggota ℜ disebut sistem bilangan Real / bilangan nyata.
Teorema 1.2
(a). Jika z dan a ∈ ℜ, z + a = a, maka z = 0
(b). Jika u, b ∈ ℜ dengan b ≠ o dan u o b = b, maka u = 1
Bukti:
(a). Diketahui z , a ∈ ℜ, z + a = a
Akan ditunjukkan bahwa z = 0
Menurut
(A4)
(z + a ) + (− a ) = a + (− a )
(A2)
z + (a + (− a )) = a + (− a )
(A4)
z+0
(A3)
=0
z
=0
(b). Diketahui u , b ∈ ℜ, b ≠ 0, u ⋅ b = b
(M4) (u o b ) o b −1 = b o b −1
(
)
(M2) u o b o b −1 = b o b −1
(M4) u o 1
=1
(M3) u
=1
Teorema 1.3.
(a). Jika a, b ∈ ℜ, a + b = 0 maka b = −a
(b). Jika a ≠ 0, b ∈ ℜ, a o b = 1 maka b =
1
a
Bukti :
(a). Diketahui a, b ∈ ℜ, a + b = 0
(A4)
(− a ) + (a + b) = (− a ) + 0
(A2)
((− a ) + a ) + b = (− a ) + 0
(A4)
0 + b = (− a ) + 0
(A3)
b = −a
25 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
Analisis Real I 2012 (b). Latihan!
Diketahui..................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
......................................................................................
Teorema 1.4 Misal a, b ∈ ℜ , maka
(a). Persamaan a + x = b mempunyai penyelesaian tunggal x = (− a ) + b
(b). Jika a ≠ 0, persamaan a o x = b mempunyai penyelesaian tunggal
⎛1⎞
x = ⎜ ⎟ob
⎝a⎠
Bukti:
(a). Dengan (A2) (A4) & (A3) didapat
a + ((− a ) + b ) = (a + (− a )) + b = 0 + b = b
Q
a + x = b mempunyai penyelesaian x = (− a ) + b
Misal x1 juga penyelesaian, maka diperoleh:
a + x1 = b
(A4) (− a ) + (a + x1 ) = (− a ) + b
(A2) (− a + a ) + x1 = (− a ) + b
(A4)
0 + x1 = (− a ) + b
(A3)
x1 = (− a ) + b
26 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
Analisis Real I 2012 (b). Latihan
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
..............................................................
Teorema 1.5. Jika a ∈ ℜ sebarang, maka
(a). a o 0 = 0
(c). − (− a ) = a
(b). (− 1) o a = −a
(d). (− 1) o (− 1) = 1
Bukti:
(M 3)
(a). a ∈ ℜ ⇒
a o1 = a
⇒
a + a o 0 = a o1+ a o 0
(c )
= a o (1 + 0 )
A3
= a o1 = a
Q
a+ao0 = a
Th (1a )
⇒
ao0 = 0
(M 3)
(b). a + (− 1) o a = 1 o a + (− 1) o a
(c )
= (1 + (− 1)) o a
( A4 )
=
0oa
(a )
=
Q
a + (− 1) o a = 0
0
Th ( 2 a )
⇒
(− 1) o a = −a
27 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
Analisis Real I 2012 (c). Dari A4 ⇒ (− a ) + a = 0
Th 2 a
⇒ a = −(− a )
(d). Dari b, a diganti − 1 ⇒ (− 1) o (− 1) = −(− 1)
(c )
⇒(− 1) o (− 1) = 1
Teorema 1.6 Diberikan a, b, c ∈ ℜ
(a). Jika a ≠ 0 maka
1
1
≠ 0 dan
=a
1
a
a
(b). Jika a o b = a o c, a ≠ 0, maka b = c
(c). Jika a o b = 0
, maka a = 0 atau b = 0
Bukti:
(a). a ≠ 0 ⇒
1
ada
a
Andaikan
(M 3) 1
1
= 0 , maka 1 = o a = 0 o a = 0 Kontradiksi.
a
a
2b
Jadi
Th
1
1
o a =1⇒ a =
1
a
a
(b). a ≠ 0 ⇒
1
≠ 0 sehingga dari yang diketahui:
a
aob = aoc
1
1
o (a o b ) = o (a o c )
a
a
1o b = 1o c
b=c
(c). Misalkan a ≠ 0 ⇒ harus dibuktikan b = 0 .
Karena a ≠ 0 , maka
1
1
⎛1⎞
≠ 0 . Oleh karena itu ⎜ ⎟ o (a o b ) = o 0
a
a
⎝a⎠
(diketahui)
1o b = 0
b=0
Sifat Terurut dari ℜ
Sifat
terurut
dari
R
berkaitan
dengan
konsep
kepositifan
dan
ketidaksamaan antara dua bilangan real. Seperti apa kedua konsep
28 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
Analisis Real I 2012 tersebut? Di sini, kita akan membahasnya. Terlebih dahulu kita akan
membahas konsep kepositifannya.
(Sifat Kepositifan). Terdapat himpunan bagian tak kosong dari R , yang
dinamakan himpunan bilangan real positif Ρ ∈ ℜ sehingga memenuhi:
(1). a, b ∈ Ρ ⇒ a + b ∈ Ρ
(2). a, b ∈ Ρ ⇒ a o b ∈ Ρ
(3). ∀a ∈ ℜ , tepat satu berlaku : a ∈ Ρ, a = 0, − a ∈ Ρ (sifat Trichotomi)
Selanjutnya P disebut himpunan bilangan real positif.
Sifat Trichotomy ini mengatakan bahwa R dibangun oleh tiga buah
himpunan yang disjoin. Tiga buah himpunan tersebut adalah himpunan
{− a : a ∈ P}
yang merupakan himpunan bilangan real negatif, himpunan
{0} , dan himpunan bilangan real positif
.
Kesepakatan :
a ∈ Ρ ⇒ a disebut bilangan Real Positif, ditulis a > 0
− a ∈ Ρ ⇒ a disebut bilangan Real Negatif, ditulis a < 0
a ∈ Ρ ∪ {0} ⇒ a disebut bilangan real non negatif, ditulis a ≥ 0
− a ∈ Ρ ∪ {0} ⇒ a disebut bilangan real non positif, ditulis a ≤ 0
a − b ∈ Ρ ⇒ ditulis a > b atau b < a
a − b ∈ Ρ ∪ {0} ⇒ a ≥ b atau b ≤ a
a < b < c ⇒ a < b dan b < c
a ≤ b ≤ c ⇒ a ≤ b dan b ≤ c
Penjumlahan
k
buah suku elemen 1 menghasilkan bilangan
k.
Himpunan bilangan k yang dikonstruksi dengan cara demikian disebut
sebagai himpunan bilangan asli, dinotasikan dengan N . Himpunan N ini
merupakan himpunan bagian dari himpunan
. Himpunan ini memiliki
sifat fundamental, yakni bahwa setiap himpunan bagian tak kosong dari
N memiliki elemen terkecil. Sifat yang demikian disebut sebagai sifat
well-ordering dari N . Selanjutnya, jika kita ambil sembarang k ∈ N maka
− k ∈ N− . Gabungan himpunan N ,
{0} ,
dan
{−k : k ∈ N}
membentuk suatu
himpunan yang disebut sebagai himpunan bilangan bulat, dinotasikan
dengan Z . Himpunan bilangan asli N disebut juga sebagai himpunan
29 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
Analisis Real I 2012 bilangan bulat positif, dinotasikan dengan Z + , sedangkan himpunan
{−k : k ∈ Z}
disebut juga himpunan bilangan bulat negatif, dinotasikan
dengan Z − . Dari himpunan Z , kita bisa mengonstruksi bilangan dalam
bentuk m / n , dengan n ≠ 0 . Bilangan real yang dapat direpresentasikan
dalam
bentuk
yang
demikian
disebut
sebagai
bilangan
rasional.
Sebaliknya, bilangan real yang tidak dapat direpresentasikan dalam
bentuk itu disebut sebagai bilangan irasional. Himpunan bilangan
rasional dinotasikan dengan Q . Dapat dikatakan bahwa himpunan
bilangan real R merupakan gabungan dua himpunan disjoin, himpunan
bilangan rasional dan himpunan bilangan irasional. Bilangan 2 dan 0
merupakan contoh bilangan-bilangan rasional, dan dapat ditunjukkan
bahwa
2 , akar dari persamaan x 2 = 2 , merupakan contoh bilangan
irasional. Sekarang, kita sampai kepada penjelasan tentang konsep
ketidaksamaan antara dua bilangan real, sebagai salah satu konsep yang
berkaitan dengan sifat terurut dari R .
Teorema 1.7 Diberikan a , b, c ∈ ℜ
(1). a > b dan b > c ⇒ a > c
(2). Tepat satu berlaku : a > b, a = b, a b dan b > c , maka a − b ∈ Ρ dan b − c ∈ Ρ , sehingga menurut
(1) didapat (a − b ) + (b − c ) = a − c ∈ Ρ . D.k.l a > b
(2). Dengan Trichotomi, tepat satu berlaku :
a −b∈Ρ
,a − b = 0
,−(a − b ) ∈ Ρ
a>b
a=b ,
a b , kontradiksi dengan yang
diketahui.
Teorema 1.8 Diberikan a ∈ ℜ
(1). a ≠ 0 ⇒ a 2 > 0
(2). 1 > 0
(3). ∀n ∈ Ν ,
n>0
30 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
Analisis Real I 2012 Bukti:
(1). Menurut sifat Trichotomi, untuk a ≠ 0 , maka a ∈ Ρ atau − a ∈ Ρ
Dengan sifat urutan (2) a o a = a 2 ∈ Ρ atau (− a ) o (− a ) = a 2 ∈ Ρ.
Jadi a 2 > 0
(2). Dari (1) : 1 ≠ 0 ⇒ 12 ∈ Ρ. Jadi 1 > 0
1o1 = 1
(3). Dengan induksi matematika:
i) n = 1 ⇒ 1 > 0
benar karena (2)
ii) Dianggap benar untuk n = k
Karena 1 ∈ Ρ & k ∈ Ρ maka dengan sifat urutan (1) :
k + 1 ∈ Ρ Q k + 1 > 0 . Jadi n > 0, ∀n
Teorema 1.9 Diketahui a, b, c, d ∈ ℜ
(1). a > b ⇒ a + c > b + c
(2). a > b ∧ c > d ⇒ a + c > b + d
(3). a > b ∧ c > 0 ⇒ ac > bc
a > b ∧ c < 0 ⇒ ac < bc
(4). a > 0 ⇒ 1 > 0
a
a<0⇒ 1 <0
a
Bukti:
(1). Dari a > b, maka a − b ∈ Ρ.
a −b
(a + c ) − (b + c ) = ∈ Ρ ⇒ a + c > b + c
(2). Karena a > b ∧ c > d maka a − b ∈ Ρ dan c − d ∈ Ρ
Dengan sifat urutan (1) : (a − b ) + (c − d ) = (a + c ) − (b + d ) ∈ Ρ
Q a+c >b+d
(3). Dari a > b dan c > 0 , maka a − b ∈ Ρ dan c ∈ Ρ
Dengan sifat urutan (2) : (a − b ) o c ∈ Ρ
ac − bc ∈ Ρ
Q ac > bc
(4). Latihan.
31 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
Analisis Real I 2012 .................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
..............................................................
Teorema 1.10 Jika a 0 ⇒
dan
1
1
1
> 0 ⇒ ⋅ 2a < (a + b )
1
2
2
2
a < (a + b ) 0 maka a = 0
Bukti:
Andaikan a ≠ 0, a > 0 . Dengan Teorema sebelumnya, 0 <
bilangan ε 0 =
1
a < a . Diambil
2
1
a , maka 0 < ε 0 < a . Kontradiksi dengan yang diketahui :
2
0 ≤ a ≤ ε , ∀ε > 0
Q Pengandaian a ≠ 0 salah
Teorema 1.12 (Teorema Ketidaksamaan Bernoulli)
x ∈ ℜ dan x > −1 maka (1 + x ) ≥ 1 + nx, ∀n ∈ Ν
n
32 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
Analisis Real I 2012 Bukti:
Dengan induksi matematika:
i) n = 1 ⇒ (1 + x ) ≥ 1 + x benar
ii) Dianggap benar untuk n = k :
(1 + x )k
≥ 1 + kx
iii) n = k + 1
(1 + x )k +1 = (1 + x )k ⋅ (1 + x ) ≥ (1 + kx )(1 + x ) = 1 + (k + 1)x + kx 2
≥ 1 + (k + 1)x
(1 + x )n ≥ 1 + nx .
Q
HARGA MUTLAK
Definisi 1.13 (Nilai Mutlak) Nilai mutlak dari bilangan real
a,
dinotasikan dengan a , didefinisikan dengan
⎧ a, a ≥ 0
a := ⎨
⎩−a, a < 0.
Nilai mutlak dari bilangan-bilangan real ini memiliki sifat-sifat tertentu,
di antaranya seperti yang tertuang dalam fakta berikut ini.
Teorema 1.14
1. a = 0 ⇔ a = 0
2. − a = a
3. ab = a b untuk setiap a, b ∈ R .
4. Misalkan c ≥ 0 dan a ∈ R , a ≤ c jika dan hanya jika −c ≤ a ≤ c .
5. Misalkan c ≥ 0 dan a ∈ R , a ≥ c jika dan hanya jika a ≥ c atau a ≤ −c .
6. − a < a < a
,
∀a ∈ ℜ
Bukti:
1. Jelas dari definisi
2. a ∈ ℜ
i) a = 0 ⇒ −a = 0 ⇒ − a = a
ii) a > 0 ⇒ −a < 0 ⇒ a = a = −(− a ) = − a
iii) a < 0 ⇒ −a > 0 ⇒ − a = −a = a
33 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
Analisis Real I 2012 3. Diberikan a, b ∈ ℜ . Jika a = 0 atau b = 0 maka ab = 0 = 0 dan a b = 0 .
Jika a, b > 0 maka ab > 0 , a = a , dan b = b , sehingga ab = ab dan
a b = ab . Jika
a > 0 dan b < 0 maka ab < 0 ,
a = a , dan
b = −b ,
sehingga ab = − ab dan a b = a ( −b ) = − ab . Untuk kasus a < 0 dan b > 0 ,
penyelesaiannya serupa dengan kasus sebelumnya.
4. Misalkan a ≤ c . Untuk a ≥ 0 , kita peroleh a = a ≤ c , sehingga didapat
0 ≤ a ≤ c . Untuk a ≤ 0 , kita peroleh a = − a ≤ c atau a ≥ −c , sehingga
didapat −c ≤ a ≤ 0 . Dengan menggabungkan hasil dari kedua kasus
tersebut, kita peroleh − c ≤ a ≤ c .
Untuk sebaliknya, misalkan − c ≤ a ≤ c . Hal tersebut mengandung arti
−c ≤ a dan a ≤ c . Dengan kata lain, − a ≤ c dan a ≤ c . Lebih sederhana,
yang demikian dapat dituliskan sebagai a ≤ c .
5. Misalkan a ≥ c . Untuk a ≥ 0 , kita peroleh a = a ≥ c . Untuk a ≤ 0 , kita
peroleh
kedua
a = − a ≥ c atau a ≤ −c . Dengan menggabungkan hasil dari
kasus
tersebut,
kita
peroleh
a≥c
atau
a ≤ −c .
Untuk
sebaliknya, jika a ≥ c atau a ≤ −c maka a ≥ c atau − a ≥ c . Dengan kata
lain, a ≥ c .
6. Jelas bahwa
a ≥ 0 dan oleh karena itu menurut (4) diperoleh
− a <a< a
Selanjutnya, kita sampai kepada sifat nilai mutlak yang lain, yang
dinamakan
dengan
Ketidaksamaan
Segitiga.
Ketidaksamaan
ini
mempunyai kegunaan yang sangat luas di dalam matematika, khususnya
di dalam kajian analisis dan aljabar.
Teorema 1.15 (Teorema Ketaksamaan Segitiga)
Untuk a, b,∈ ℜ, a + b ≤ a + b
Bukti:
Untuk a, b ∈ ℜ
: − a ≤a≤ a
− b ≤b≤ b
34 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
Analisis Real I 2012 Diperoleh : − a − b ≤ a + b ≤ a + b
(4 )
− (a + b ) ≤ a + b ≤ a + b ⇒ a + b ≤ a + b
Akibat 1.16
(1). a − b ≤ a − b
(2). a − b ≤ a + b
Bukti:
1). Untuk a, b ∈ ℜ
(i) a = a − b + b ≤ a − b + b
(ii) b − b − a + a ≤ b − a + a = − (a − b ) + a = a − b + a
Sehingga
a − b ≤ a −b
dari (i)
b − a ≤ a −b
atau − a − b ≤ a − b
dari (ii)
Jadi
− a −b ≤ a − b ≤ a−b
D.k.l
a − b ≤ a−b
2). a − b = a + (− b ) ≤ a + − b = a + b
Contoh 1.17
Tentukan Μ > 0 sehingga f ( x ) ≤ Μ, ∀x ∈ [1,4] dengan f ( x ) =
Jawab:
f (x ) =
2 x 2 + 3x + 4
2 x 2 + 3x + 4
=
5x − 1
5x − 1
2 x 2 + 3x + 4 ≤ 2 x 2 + 3x + 4
= 2 x 2 + 3x + 4
≤ 2 ⋅ 16 + 3 ⋅ 4 + 4 = 48
5x − 1 ≥ 5 ⋅1 − 1 = 4
35 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
2 x 2 + 3x + 4
5x − 1
Analisis Real I 2012 f (x ) =
2 x 2 + 3x + 4 48
≤
= 12 = Μ, ∀x ∈ [1,4] .
15 x − 1
4
Lembar Kerja 2.
1. Cari semua penyelesaian dari ketidaksamaan x 2 − x < 6 .
Jawaban. Perhatikan bahwa
x 2 − x < 6 ⇔ x 2 − x − 6 < 0 ⇔ ( x + 2 )( x − 3 ) < 0 .
Dari sini diperoleh bahwa x + 2 > 0 dan x − 3 < 0 , atau ……………. dan
………………………. Untuk kasus yang pertama kita dapatkan x > −2
dan x < 3 , atau dengan kata lain ………………. Untuk kasus yang
kedua kita peroleh bahwa x < −2 dan x > 3 . Perhatikan bahwa pada
kasus kedua tersebut tidak ada nilai x yang memenuhinya. Dengan
demikian,
ketidaksamaan
x2 − x < 6
dipenuhi
oleh
semua
x ∈ {x ∈ R : −2 < x < 3} . ■
2. Selidiki apakah ketidaksamaan
x−2
>2
2x + 3
memiliki penyelesaian.
Jawaban:
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………..
3. Cari himpunan penyelesaian dari 2 x + 1 < 5 .
36 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
Analisis Real I 2012 Jawaban:
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………..
4. Tentukan himpunan penyelesaian dari
.
Jawaban:
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
37 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
Analisis Real I 2012 …………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………
5. Selidiki apakah ketidaksamaan x − 3 + x + 2 ≤ 4 memiliki penyelesaian.
Jawaban:
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………
38 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
Analisis Real I 2012 Sifat Kelengkapan ℜ
Sifat kelengkapan berkaitan dengan konsep supremum atau batas atas
terkecil. Untuk itu, kita akan bahas terlebih dahulu apa yang dimaksud
dengan batas atas dari suatu himpunan bilangan real, dan kebalikannya,
yaitu batas bawahnya.
Definisi 1.18
Himpunan A ⊂ R dan A ≠ φ dikatakan terbatas ke atas (bounded
(i).
above) jika ada bilangan real k sehingga berlaku a ≤ k untuk setiap
a ∈ A . Selanjutnya k disebut batas atas (upper bound) himpunan A .
(ii). Himpunan A ⊂ R dan A ≠ φ dikatakan terbatas ke bawah (bounded
below) jika ada bilangan real l sehingga berlaku l ≤ a untuk setiap
a ∈ A . Selanjutnya l disebut batas atas (lower bound) himpunan A .
(iii). Himpunan A ⊂ R dikatakan terbatas (bounded) jika A terbatas ke
atas dan terbatas ke bawah.
Definisi 1.19
(i). Bilangan real M ∈ R disebut batas atas terkecil (supremum) atas
himpunan A ⊂ R jika memenuhi:
a. a ≤ M untuk setiap a ∈ A .
b. Jika a ≤ M ′′ untuk setiap a ∈ A maka M ≤ M ′′
(ii).
Bilangan real m ∈ R disebut batas bawah terbesar (infimum) atas
himpunan A ⊂ R jika memenuhi:
c. m ≤ a untuk setiap a ∈ A .
d. Jika m′′ ≤ a untuk setiap a ∈ A maka m′′ ≤ m
Teorema 1.20
(i). M supremum himpunan A jika dan hanya jika memenuhi
a. M batas atas himpunan A
b. Untuk
setiap
bilangan
ε >0
terdapat
a′ ∈ A
M − ε < a′ ≤ M
(ii).
m infimum himpunan A jika dan hanya jika memenuhi
c. m batas bawah himpunan A
39 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
sehingga
Analisis Real I 2012 d. Untuk
setiap
bilangan
ε >0
terdapat
a′′ ∈ A
sehingga
m ≤ a′′ ≤ m + ε .
Bukti
(i). (⇒ )
Karena M supremum (batas atas terkecil) himpunan A maka
untuk setiap a ∈ A dan untuk setiap bilangan ε > 0 , M − ε
a≤M
bukan batas atas himpunan A . Berarti ada a′ ∈ A sehingga M − ε < a′ .
Karena M batas atas terkecil himpunan A maka untuk setiap a ∈ A
khususnya a′ ∈ A berlaku a′ ≤ M .
Jadi terbukti ada a′ ∈ A sehingga M − ε < a′ ≤ M .
(⇐ )
Diketahui bahwa a ≤ M dan untuk setiap bilangan ε > 0 terdapat
a′ ∈ A sehingga M − ε < a′ ≤ M . Hal ini berarti tidak ada batas atas M 1
sehingga M 1 < M . Andaikan ada batas atas M 1 dengan
M1 < M .
Kemudian diambil ε o = M − M 1 maka diperoleh kontradiksi
M 1 = M − (M − M 1 ) = M − ε o < a .
Dengan kata lain terbukti bahwa M
supremum himpunan A
(ii).
(⇒ )
Karena m infimum (batas bawah terbesar) himpunan A maka
a ≥ m untuk setiap a ∈ A dan untuk setiap bilangan ε > 0 , m + ε bukan
batas atas himpunan A . Berarti ada a′′ ∈ A sehingga a′′ < m + ε . Karena
m batas bawah terbesar himpunan A maka untuk setiap a ∈ A
khususnya a′′ ∈ A berlaku m ≤ a′′ .
Jadi terbukti ada a′′ ∈ A sehingga m ≤ a′′ < m + ε .
(⇐ )
Diketahui bahwa m ≤ a dan untuk setiap bilangan ε > 0 terdapat
a′′ ∈ A sehingga m ≤ a′′ < m + ε . Hal ini berarti tidak ada batas bawah m1
sehingga m < m1 . Andaikan ada batas bawah m1 dengan
m < m1 .
Kemudian diambil ε o = m1 − m maka diperoleh kontradiksi
a′′ < m + ε o = m + (m1 − m ) = m1 .
Dengan kata lain terbukti bahwa m infimum himpunan A .
Selanjutnya jika A ⊂ R , A ≠ φ dan A terbatas maka supremum atau
infimumnya ada di R .
40 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
Analisis Real I 2012 Teorema 1.21 (Aksioma Supremum) Jika A ⊂ R , A ≠ φ dan A terbatas
ke atas maka A mempunyai
M ∈R
supremum di R , yaitu terdapat
sehingga M = sup A .
Akibat
1.22
A⊂ R, A≠φ
Jika
maka A mempunyai
dan
A
terbatas
infimum di R , yaitu terdapat
ke
bawah
m ∈ R sehingga
m = inf A .
Sering muncul pertanyaan, apakah perbedaan antara supremum
(infimum) dengan maksimum (minimum)? Contoh sebelumnya tentang
himpunan {x ∈ R : 0 < x < 1}, bisa menjadi ilustrasi untuk menjelaskan hal
ini. Himpunan
{x ∈ R : 0 < x < 1}
tidaklah mempunyai minimum dan
maksimum, karena tidak ada m, M ∈ {x ∈ R : 0 < x < 1} sedemikian sehingga
m≤x
dan M ≥ x , untuk setiap x ∈ {x ∈ R : 0 < x < 1} . Sedangkan untuk
supremum dan infimum, himpunan {x ∈ R : 0 < x < 1} memilikinya, yaitu 1
dan
0,
masing-masing
secara
berurutan.
Elemen
minimum
dan
maksimum haruslah elemen dari himpunan yang bersangkutan, tetapi
elemen infimum dan supremum tidaklah harus demikian. Jadi elemen
infimum dan supremum bisa termasuk atau tidak termasuk ke dalam
himpunan
yang
bersangkutan.
Himpunan
{x ∈ R : 0 ≤ x ≤ 1}
memiliki
infimum dan supremum, yaitu elemen 1 dan 0, yang termasuk ke dalam
himpunan {x ∈ R : 0 ≤ x ≤ 1}.
Catatan :
1). Inf & sup tidak perlu jadi anggota → Contoh : S 3 = {x : 0 < x < 1}
2). Suatu himpunan bisa jadi punya batas bawah tapi tidak punya batas
atas, dan sebaliknya punya batas atas, tidak punya batas bawah.
Misal:
S1 = {x ∈ ℜ : x ≥ 0} → Punya batas bawah tapi tidak punya batas atas
S1 = {x ∈ ℜ : x < 0} → Punya batas atas tapi tidak punya batas bawah
Sifat Kelengkapan ℜ
1. Setiap himpunan tak kosong dan terbatas di atas dalam ℜ
mempunyai supremum dalam ℜ
41 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
Analisis Real I 2012 2. Setiap himpunan tak kosong dan terbatas di bawah dalam ℜ
mempunyai infimum dalam ℜ
Selanjutnya, mungkin kita mempertanyakan apakah elemen supremum
atau infimum tunggal atau tidak. Mari kita kaji masalah ini. Misalkan
u, v ∈ R adalah supremum dari himpunan yang terbatas atas U . Untuk
menunjukkan bahwa supremum dari U adalah tunggal, berarti kita
harus menunjukkan bahwa u = v . Untuk menunjukkannya, perhatikan
bahwa u ≤ w dan v ≤ w , untuk setiap w , batas atas dari U . Karena u dan
v juga batas atas dari U , kita memiliki u ≤ v dan v ≤ u . Yang demikian
berarti u = v atau supremum dari U adalah tunggal. Dengan mudah,
dapat pula kita tunjukkan bahwa infimum dari suatu himpunan yang
terbatas bawah juga tunggal. Berdasarkan semua penjelasan pada
subbab ini, kita mempunyai suatu aksioma yang sangat esensial.
Aksioma inilah yang dimaksud dengan sifat Kelengkapan dari R
Aksioma 1.23 (Sifat Kelengkapan dari R ). Setiap himpunan bagian dari
R yang terbatas atas memiliki supremum di R .
Aksioma tersebut mengatakan bahwa R , digambarkan sebagai
himpunan titik-titik pada suatu garis, tidaklah “berlubang”. Sedangkan
himpunan bilangan-bilangan rasional Q , sebagai himpunan bagian dari
R yang juga memenuhi sifat aljabar (lapangan) dan terurut, memiliki
“lubang”.
Inilah
“berlubang”
yang
inilah,
membedakan
R,
selain
R
dengan
merupakan
Q.
lapangan
Karena
tidak
terurut,
juga
mempunyai sifat lengkap. Oleh karena itu, R disebut sebagai lapangan
terurut
{
yang
lengkap.
}
T := t ∈ Q : t ≥ 0, t 2 < 2
Penentuan
bisa
dijadikan
supremum
ilustrasi
dari
untuk
himpunan
menjelaskan
terminologi “lubang” pada himpunan Q . Supremum dari T ∈ Q yaitu
2,
yang merupakan akar dari persamaan x 2 = 2 , bukanlah bilangan rasional.
Bilangan
2 ini merupakan salah satu “lubang” pada Q . Maksudnya,
supremum dari T ∈ Q adalah
2 yang bukan merupakan elemen dari Q .
Sehingga dapat dikatakan bahwa aksioma kelengkapan tidak berlaku
42 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
Analisis Real I 2012 pada Q . Tetapi jika kita bekerja pada R , yang demikian tidak akan
terjadi.
Lembar Kerja 3.
1). S ⊆ ℜ, S ≠ φ , terbatas dalam ℜ
Buktikan Sup S = − inf {− s : s ∈ S }
Bukti:
Misalkan T = {− s : s ∈ S }
Dengan sifat kelengkapan, S mempunyai ................................... dalam ℜ
Mislkan u = sup S , sehingga berlaku ............................................................................
Oleh karena itu –u adalah ....................................................... dari T .
Dengan sifat kelengkapan, T mempunyai ........................................ dalam ℜ
Misalkan l = inf T
Dalam hal ini: − u ≤ l atau − l ≤ u ................ (1)
Di pihak lain : l ≤ − s , ∀s ∈ S sehingga berlaku s ≤ −l , ∀s ∈ S yaitu − l batas atas
dari S dan u ≤ −l ........ (2).
Dari (1) & (2) didapat u = −l atau sup S = − inf T
2). S ≠ φ , u batas atas S dengan u ∈ S . Buktikan u = sup S
Bukti :
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
3). S ≠ φ , u = sup S .
Buktikan :
(1). u − 1
2
bukan batas atas S .
43 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
Analisis Real I 2012 (2). u + 1
n
batas atas S , ∀n ∈ N
Bukti:
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
Teorema 1.24
(i). Jika A ⊂ B ⊂ ℜ , B terbatas ke atas, maka sup( A) ≤ sup (B )
(ii). Jika A ⊂ B ⊂ ℜ , B terbatas ke bawah, maka inf ( A) ≥ inf (B )
Bukti:
(i). Karena A ⊂ B dan B terbatas ke atas, maka A juga terbatas ke atas.
Diambil k sebarang batas atas himpunan B .
Karena A ⊂ B , maka k juga merupakan batas atas A . Jadi sup (B )
merupakan batas atas himpunan A . Akibatnya : Sup ( A) ≤ sup (B )
(ii). Latihan
Bukti:
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
44 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
Analisis Real I 2012 .................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
Teorema 1.25 Diberikan A, B ⊂ ℜ & x ∈ ℜ. Didefinisikan A + B = {a + b : a ∈ A & b ∈ B}
Jika A, B ⊂ ℜ dan terbatas, maka
(i). sup ( A + B ) ≤ sup ( A) + sup (B )
(ii). Inf
( A + B) ≥
inf ( A) + inf (B )
Bukti :
(i). Misal M 1 = sup ( A) dan M 2 =sup (B ) . Berdasarkan definisi supremum
diperoleh bahwa ∀a ∈ A, a ≤ M 1 dan ∀b ∈ B, b ≤ M 2 .
Akibatnya
∀a + b ∈ A + B ,
a + b ≤ M1 + M 2 ⇒ M1 + M 2
batas
atas
A+ B
sehingga sup ( A + B ) ≤ M 1 + M 2 = sup ( A) + sup (B )
(ii) Latihan
Bukti:
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
45 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
Analisis Real I 2012 .................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
Teorema 1.26 (Sifat Archimedes) Jika x ∈ R
maka terdapat n ∈ N
sehingga x < n .
Bukti : Diambil sebarang x ∈ R . Andaikan tidak ada n ∈ N sehingga x < n ,
berarti n ≤ x untuk setiap n ∈ N . Akibatnya N terbatas ke atas dengan
salah satu batas atasnya adalah x . Dengan menggunakan aksioma
supremum berarti N mempunyai supremum. Namakan u = sup N . Jika
diambil ε = 1 maka u − 1 bukan batas atas N . Jadi terdapat m ∈ N dengan
sifat u − 1 < m , akibatnya u < m + 1 . Karena u < m + 1 dan m + 1 ∈ N maka
terjadi kontradiksi dengan asumsi bahwa u merupakan batas atas N .
Jadi pengandaian diingkar. Dengan kata lain terbukti bahwa jika x ∈ R
maka terdapat n ∈ N sehingga x < n .
Akibat 1.27 Diberikan y dan z bilangan real positif, maka
(i). ∃n ∈ N ∋ z < ny
(ii). ∃n ∈ N ∋ 0 < 1 < y
n
(iii). ∃n ∈ N ∋ n − 1 ≤ z < n
Bukti : Diketahui y dan z bil real positif.
(i). Ambil x = z
y
> 0 . Dengan sifat archimedes, ∃n ∈ N sehingga x = z < n
y
Q z < ny
(ii). Khususnya z = 1 , (i) menjadi 1 < ny atau 0 < 1 < y
n
(iii). Misal S = {m ∈ N : z < m}
S ≠ φ , karena sifat archimedes
S ⊆ N , karena N mempunyai elemen terkecil maka S mempunyai
elemen terkecil. Misal n elemen terkecil, maka n −1 ≤ z < n .
Teorema 1.28 (eksistensi
2 ) : ∃ bilangan real positif x sehingga x 2 =2.
Teorema Kerapatan 1.29 Jika x dan y bilangan real sehingga x < y ,
maka ∃ bilangan rasional r sehingga x < r < y
46 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
Analisis Real I 2012 Bukti :
Misalkan x > 0 . Ambil z = y − x > 0 . Dengan sifat archimedes, ∃n ∈ N
sehingga 1 < y − x = z . Jadi 1 < ny − nx atau nx + 1 < ny .
n
Untuk nx > 0 , maka ∃m ∈ N sehingga m −1 ≤ nx < m atau m ≤ nx + 1 < m + 1
Oleh karena itu : nx < m ≤ nx + 1 < ny . Jadi x <
m
< y.
n
Akibat 1.30 Jika x dan y bilangan real sehingga x < y , maka ∃ bilangan
irasional p sehingga x < p < y .
x
Bukti: Dari x < y maka
2
<
y
2
yang masing-masing di ℜ . Menurut
teorema kerapatan, ∃ bilangan rasional r sehingga
x
2
<r<
y
2
. Sehingga
x<r 2 < y.
Lembar Kerja 4.
{
}
1. Diberikan S = 1 ; n ∈ Ν . Buktikan inf S = 0
n
Bukti:
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
47 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
Analisis Real I 2012 {
}
2. Diberikan S = 1 + 1 ; m, n ∈ Ν . Buktikan sup S = 2 , inf S = 0
n
m
Bukti:
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
{
}
3. Diberikan S = 1 − 1 ; m, n ∈ Ν . Buktikan 1 = sup S , -1 = inf S
m
n
Bukti:
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
48 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
Analisis Real I 2012 .................................................................................................................
.................................................................................................................
4. Diberikan S ⊆ ℜ, S ≠ φ , u ∈ ℜ .
Buktikan (i). u + 1
n
(ii). u − 1
n
batas atas S
bukan batas atas
Bukti:
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
5. Diberikan S ≠ φ , S terbatas ke atas. Didefinisikan, a ∈ ℜ ,
a + S = {a + s, s ∈ S } Buktikan : sup (a + S ) = a + sup S
Bukti:
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
49 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
Analisis Real I 2012 .................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
Pada saat membahas himpunan bilangan real R kurang lengkap rasanya
apabila belum membahas tentang interval. Interval adalah suatu
himpunan bagian dari R yang dikonstruksi berdasarkan sifat terurut
dari R .
Definisi 1.31 Misalkan a, b ∈ R dengan a < b .
a. Interval terbuka yang dibentuk dari elemen
a
dan
b
adalah
a
dan
b
adalah
himpunan (a, b ) := {x ∈ R : a < x < b} .
b. Interval tertutup yang dibentuk dari elemen
himpunan [a, b] := {x ∈ R : a ≤ x ≤ b} .
c. Interval setengah terbuka (atau setengah tertutup) yang dibentuk dari
elemen
a
dan b adalah
himpunan
[a, b) := {x ∈ R : a ≤ x < b}
atau
(a, b] := {x ∈ R : a < x ≤ b}.
Semua jenis interval pada Definisi 1.34 merupakan himpunan yang
terbatas dan memiliki panjang interval yang didefinisikan sebagai b − a .
Jika
a =b
maka himpunan buka
( a, a ) = { }
dan himpunan tutup
[ a, a ] = {a} , yang dinamakan dengan himpunan singleton. Elemen
a dan b
disebut titik ujung interval. Selain interval terbatas, terdapat pula interval
tak terbatas.
Pada interval tak terbatas ini, kita dikenalkan dengan
simbol ∞ dan −∞ yang berkaitan dengan ketak terbatasannya.
50 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
Analisis Real I 2012 Definisi 1.32 Misalkan a ∈ R .
a. Interval buka tak terbatas adalah himpunan (a, ∞ ) := {x ∈ R : x > a} atau
(− ∞, a ) := {x ∈ R : x < a}.
b. Interval tutup tak terbatas adalah himpunan [a, ∞ ) := {x ∈ R : x ≥ a} atau
(− ∞, a] := {x ∈ R : x ≤ a} .
Himpunan bilangan real R merupakan himpunan yang tak terbatas dan
dapat dinotasikan dengan
( −∞, ∞ ) .
Perlu diperhatikan bahwa simbol ∞
atau −∞ bukanlah bilangan real. Karenanya, dapat dikatakan bahwa R
ini tidak mempunyai titik-titik ujung. Berikut akan diberikan definisi
berbagai himpunan terkait dengan cacah keanggotaannya.
Definisi 1.33 Diberikan himpunan tidak kosong
1.
2.
dikatakan berhingga (infinite) jika terdapat
Himpunan
sehingga
.
terdiri dari
Himpunan
elemen.
dikatakan denumerable jika himpunan tersebut
ekuivalen dengan himpunan bilangan asli.
3.
Himpunan
dikatakan tak berhingga apabila keanggotaannya tidak
dapat dipadankan dengan bilangan asli. Himpunan tak berhingga
ada dua jenis yaitu tak berhingga denumerable dan tak berhingga
non denumerable.
Lembar Kerja 5.
1. Berikan 2 contoh himpunan berhingga
Jawab:
...........................................................................................................
...........................................................................................................
...........................................................................................................
...........................................................................................................
...........................................................................................................
...........................................................................................................
...........................................................................................................
...........................................................................................................
...........................................................................................................
...........................................................................................................
51 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
Analisis Real I 2012 2. Berikan 2 contoh himpunan denumerable
Jawab:
...........................................................................................................
...........................................................................................................
...........................................................................................................
...........................................................................................................
...........................................................................................................
...........................................................................................................
...........................................................................................................
...........................................................................................................
...........................................................................................................
...........................................................................................................
3. Berikan contoh himpunan tak berhingga denumerable.
Jawab:
...........................................................................................................
...........................................................................................................
...........................................................................................................
...........................................................................................................
...........................................................................................................
...........................................................................................................
...........................................................................................................
...........................................................................................................
3. Berikan contoh himpunan tak berhingga non denumerable.
Jawab:
...........................................................................................................
...........................................................................................................
...........................................................................................................
...........................................................................................................
...........................................................................................................
...........................................................................................................
...........................................................................................................
52 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
Analisis Real I 2012 ...........................................................................................................
...........................................................................................................
...........................................................................................................
53 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
Analisis Real I 2012 BAB II
BARISAN BILANGAN REAL
KOMPETENSI DASAR
Memahami konsep kekonvergenan barisan bilangan real dan
sifat-sifatnya serta dapat menerapkannya pada masalah yang
memuat limit barisan.
INDIKATOR:
Setelah melakukan proses belajar mengajar mahasiswa mampu :
1. Memahami definisi barisan bilangan real.
2. Memahami definisi kekonvergenan barisan dan limitnya.
3. Memahami maksud, bukti dan penggunaan TKD
4. Memahami hubungan keterbatasan dan kekonvergenan
barisan
5. Memahami sifat-aljabar barisan konvergen
6. Memahami teorema kekonvergenan terjepit
7. Mengidentifikasi barisan monoton dan terbatas (BMT).
8. Memahami sifat konvergensi BMT dan barisan bagian.
SUB POKOK BAHASAN :
2.1. Barisan Bilangan Real
2.2. Barisan Cauchy
2.3. Barisan Monoton
2.4. Barisan Bagian
2.1. Barisan Bilangan Real
Definisi 2.1 Barisan bilangan real X adalah fs dari N ke ℜ . Notasi
barisan : X , (xn ) atau ( xn : n ∈ N ) . Bilangan-bilangan real yang dihasilkan
disebut unsur barisan, ditulis xn (atau α n atau z n ) .
Contoh 2.2 (Contoh barisan)
1). a ∈ ℜ, A = (a, a,.......) → barisan konstan a (semua unsurnya a ).
52 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
Analisis Real I 2012 (
) (
)
2). S = 1 : n ∈ N = 1, 1 , 1 ,....... .
n
2 3
3). Y = ( y n ),
y n = (− 1) , n ∈ N ;
4). W = (wn ),
wn =
n
( y n ) = (− 1,1,−1,......., (− 1)n ,.......).
5n + 1
5n + 1
⎛ 6 11 16.
⎞
,....... ⎟
, n ∈ N ; (wn ) = ⎜ , , ,......,
5
7
9
2
n
+
3
2n + 3
⎝
⎠
Berikan contoh lain:
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
Definisi 2.3 Jika X = ( xn ) dan Y = ( yn ) barisan bilangan real. Didefiniskan :
•
Jumlah barisan X + Y = ( xn + yn ; n ∈ N )
•
Selisih barisan X − Y = (xn − yn ; n ∈ N )
•
Hasil kali barisan X ⋅ Y = (xn ⋅ yn ; n ∈ N )
Jika c ∈ ℜ, cX = (cxn ; n ∈ N )
•
Jika Z = ( zn ; n ∈ Ν ), zn ≠ 0, ∀n ∈ N , maka hasil bagi X dan Z adalah barisan
⎞
X ⎛ xn
= ⎜⎜ ; n ∈ N ⎟⎟
Z ⎝ zn
⎠
Definisi 2.4 Barisan bilangan real X = ( xn ) dikatakan konvergen dalam
ℜ , jika terdapat
x ∈ℜ
sehingga
∀ε > 0, ∃k = k (ε ) ∈ N ∋ ∀n ≥ k
xn − x < ε . Notasi: xn → x, lim xn = x .
Note:
xn − x < ε ⇔ −ε < xn − x < ε
⇔ x − ε < xn < x + ε
⇔ xn ∈ ( x − ε , x + ε )
53 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
berlaku
Analisis Real I 2012 Contoh 2.5.
1). xn =
1
, n ∈ N . xn → 0
n
Bukti: xn − 0 =
1
n
− 0 = 1 . Diberikan sebarang bilangan ε > 0. Dengan sifat
n
archimedes, ∃ k ∈ N sehingga
1
< ε . Untuk n ≥ k , berlaku
k
xn − 0 =
1 1
≤ <ε
n k
Q xn → 0
2). xn = 3 +
1
, n ∈ N . xn → 3
2n
xn − 3 = 3 +
Bukti
1
1
−3 =
2n
2n
Diberikan sebarang bilangan ε > 0. Dengan
sifat archimedes, ∃ k ∈ Ν sehingga
1
1
< 2ε atau
< ε , untuk n ≥ k , diperoleh
k
2k
xn − 3 =
1
1
≤
<ε .
2n 2k
Q xn → 3
3). xn =
5n + 1
, n ∈ N.
2n + 3
xn → 5
2
Bukti :
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
54 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
Analisis Real I 2012 Definisi 2.6
Barisan bilangan real
(xn )
dikatakan terbatas jika
∃M > 0 sehingga
xn ≤ M , ∀n ∈ N
Contoh 2.7
1. x n = 1 , n ∈ N
n
xn = 1 = 1 ≤ 1, ∀n ∈ N
n
n
Q (x n ) terbatas.
2. x n = (− 1)n , n ∈ N
xn ≤ 1, n ∈ N
3. y n =
n+2
,n∈ N
2n + 1
=
n+ 1 + 3
2
2 = 1 + 3 ≤ 1 + 3 =1
2 4n + 2 2 4 + 2
2n+ 1
2
(
)
Q yn ≤ 1, ∀nN
Berikan contoh lain!
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
55 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
Analisis Real I 2012 Catatan:
(xn ) tidak terbatas jika
∀M > 0, ∃n ∈ N , xn > M
Contoh 2.8
1)
xn = 2 n , n ∈ N
x n = 2 n = 2 n = (1 + 1) ≥ 1 + n ≥ n
n
∀M > 0, ∃n ∈ N ∋ n > M (sifat archimedes)
Jadi ∀M > 0, ∃n ∈ N sehingga
xn ≥ n > M
Dengan kata lain (x n ) tak terbatas.
2)
xn = n 2 , n ∈ N
xn = n 2
Tidak ada M > 0 sehingga xn = n 2 ≤ M , ∀n ∈ N
Jadi ( xn ) tidak terbatas.
Teorema 2.9 Jika ( x n ) konvergen, maka ( xn ) terbatas.
Bukti Misal x n → x . Hal ini berarti untuk ε = 1 , terdapat k ∈ N sehingga
jika n ≥ k berakibat
xn − x < 1
Untuk n ≥ k :
xn = xn − x + x
≤ xn − x + x < 1 + x
Diambil M = maks { x1 , x2 ,....., xk −1 ,1 + x }, akibatnya:
xn ≤ M , ∀n ∈ N
Teorema 2.10 Jika (x n ) dan ( y n ) konvergen, maka
(1)
(α xn )
konvergen dan lim (α x n ) = α lim ( x n ), α skalar
(2)
(xn + y n ) konvergen dan
(3)
(xn y n )
lim ( x n + y n ) = lim (x n ) + lim ( y n )
konvergen dan lim ( x n y n ) = lim( x n ) ⋅ lim( y n )
56 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
Analisis Real I 2012 ⎛ xn
⎜⎜
⎝ yn
(4)
⎞
⎛ x ⎞ lim (xn )
⎟⎟ konvergen dan lim ⎜⎜ n ⎟⎟ =
, asal lim ( yn ) ≠ 0, yn ≠ 0
⎠
⎝ yn ⎠ lim ( yn )
Bukti
Misal x n → x dan y n → y
(1)
α xn − α x = α (xn − x ) = α xn − x , α skalar
Diambil sebarang bilangan ε > 0 . Karena x n → x , maka terdapat
bilangan k = k (ε ) ∈ N sehingga jika n ≥ k berlaku
xn − x <
ε
α +1
Akibatnya
α xn − α x = α xn − x < α
Q
(2)
ε
α +1
<ε
α x n konvergen ke α x .
(xn + y n ) − (x + y ) = (xn − x ) + ( y n − y ) ≤
xn − x + y n − y
Diberikan bilangan ε > 0 sebarang
•
Karena x n → x , maka terdapat k1 ∈ N sehingga jika n ≥ k1 berlaku
xn − x <
•
ε
2
y n → y , maka terdapat k 2 ∈ N
Karena
sehingga jika
berlaku
yn − y <
ε
2
Pilih k = maks {k1 , k 2 } , akibatnya untuk n ≥ k berlaku
(xn + y n ) − (x + y ) ≤
Q
(3)
xn − x + y n − y <
ε
2
+
ε
2
=ε
xn + y n → x + y .
xn y n − xy = xn y n − xn y + x n y − xy
= xn ( y n − y ) + (xn − x ) y
≤ xn ( y n − y ) + (xn − x ) y = xn y n − y + xn − x y
Diberikan ε > 0 sebarang
57 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
n ≥ k2
Analisis Real I 2012 Karena x n → x , maka terdapat k1 ∈ N sehingga untuk setiap n ≥ k1 :
xn − x <
(xn )
ε
2( y + 1)
.
konvergen, maka
(xn )
terbatas. Jadi ada M > 0 sehingga
xn ≤ M , ∀n ∈ N .
Karena y n → y maka terdapat k 2 ∈ N sehingga untuk setiap n ≥ k 2 :
ε
yn − y <
2M
.
Dipilih k = maks {k1 , k 2 } . Akibatnya jika n ≥ k :
xn yn − xy ≤ M
<
ε
2M
ε
2
+
ε
2
+
ε
2( y + 1)
y
=ε .
Contoh 2.11
xn = 2 +
yn =
1
→2
n
3n + 4
3
→
2n − 1
2
1⎞
4
⎛
4 x n = 4⎜ 2 + ⎟ = 8 + → 8
n⎠
n
⎝
xn + y n = 2 +
1 3n + 4 7n 2 + 4n − 1
7
+
=
→
2
n 2n − 1
2
2n − n
1⎞
⎛
1
1
⎜ 2 + ⎟(2n − 1) 4n −
xn
n
⎝
⎠
n =
n →4
=
=
y n 3n + 4
3n + 4
3n + 4
3
2n − 1
2
Berikan contoh lain!
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
58 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
Analisis Real I 2012 .................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
Teorema 2. 12 (Teorema Uji Rasio)
Diberikan
(xn )
xn +1
= L (ada).
n → ~ xn
barisan bilangan real positif sehingga lim
Jika L < 1 maka ( x n ) konvergen dan lim(x n ) = 0 .
n→ ~
Contoh 2.13
1).
(xn ), x n
=
n
,n ∈ N .
3n
xn +1
n + 1 3n
n +1 1
= lim n +1 ⋅
= lim
= <1
n → ~ xn
n→~ 3
3
n n → ~ 3n
lim
Jadi ( xn ) konvergen dan lim
n→ ~
n
= 0.
3n
z n = n + 1, n ∈ N
2).
zn + 1 n + 2
=
→1
zn
n +1
Jadi ( z n ) tidak konvergen.
Teorema 2.13
Jika x n → x, x n ≥ 0, ∀n ∈ N maka x ≥ 0
Bukti:
Andaikan
x < 0 , maka
− x > 0 . Diketahui
x n → x . Diambil bilangan
ε = − x > 0 , maka terdapat k ∈ N sehingga jika n ≥ k berlaku
xn − x < − x
⇔ x < xn − x < − x
⇔ 2 x < xn < 0
Kontradiksi dengan x n ≥ 0 .
59 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
Analisis Real I 2012 Teorema 2.14
Jika x n → x, y n → y, x n ≤ y n , ∀n ∈ N maka x ≤ y
Bukti:
Diketahui x n ≤ y n , maka y n − x n ≥ 0 . Akibatnya
lim( y n − x n ) ≥ 0
n→ ~
⇔ lim y n − lim x n ≥ 0
n→ ~
n→ ~
⇔ y−x≥0
⇔ y ≥ x atau x ≤ y .
Teorema 2.15 (Teorema Apit)
Jika xn ≤ yn ≤ z n , ∀n ∈ N , xn → x dan zn → x, maka yn → x .
Bukti: Dengan teorema sebelumnya:
x = lim xn ≤ lim yn dan lim yn ≤ lim z n = x
n→ ~
n→ ~
n→ ~
n→ ~
x ≤ lim yn dan lim yn ≤ x
n→ ~
n→ ~
Jadi lim y n = x .
n →~
Definisi 2.16
Barisan ( xn ) dikatakan :
(a) Naik monoton (monotonic increasing/non decreasing/tidak turun) jika
x n ≤ x n +1 , ∀n ∈ N .
(b) Turun monoton (monotonic decreasing/non increasing/tidak naik) jika
x n ≥ x n +1 , ∀n ∈ N .
(c) Monoton jika (x n ) naik monoton/turun monoton.
Contoh 2.17
1).
xn =
1
n
x n +1 =
1
n +1
x n ≥ x n +1 , ∀n ∈ N
Jadi ( xn ) turun monoton.
60 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
Analisis Real I 2012 2).
xn =
=
(
2n + 1
,n∈ N
3n + 5
)− 7 3 = 2 − 7
( 3 ) 3 9n + 15
2n+ 5
3
3n+ 5
x n +1 =
2
7
−
3 9n + 24
x n ≤ x n +1 , ∀n ∈ N . Jadi ( xn ) naik monoton.
3).
⎧⎪ 1 , n ≤ 100
yn = ⎨ n
⎪⎩ n + 1, n⟩100
( yn )
tidak monoton
Berikan contoh lain
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
Teorema 2.18 (Teorema Kekonvergenan Monoton)
Misal ( xn ) barisan monoton. Barisan ( xn ) konvergen jika dan hanya jika
(xn ) terbatas. Dalam hal ini:
(a).
Jika ( xn ) naik monoton, maka lim ( xn ) = sup ( xn ; n ∈ N ) .
(b).
Jika ( xn ) turun monoton, maka lim ( xn ) = inf ( xn ; n ∈ N ) .
n→ ~
n→ ~
61 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
Analisis Real I 2012 Bukti:
(⇒) Diketahui (xn )
konvergen.
Menurut
teorema
sebelumnya,
(xn )
terbatas.
(⇐)
Diketahui ( xn ) monoton dan terbatas. Misal ( x n ) naik monoton ,
jadi x n ≤ x n +1 , ∀n ∈ N Misalkan x = sup {x n : n ∈ N } , maka untuk setiap ε ⟩ 0 ,
terdapat k ∈ N sehingga
x − ε < xk
Karena ( xn ) naik monoton, maka untuk n ≥ k berlaku
x − ε < xk ≤ xn ≤ x < x + ε
Diperoleh untuk n ≥ k berlaku xn − x < ε
Jadi x n → x .
Catatan:
Untuk menyelidiki kekonvergenan suatu barisan, maka kita cukup
memperhatikan ekor dari barisan tersebut, yaitu barisan bagian dari
barisan tersebut yang dimulai dari suatu urutan tertentu.
Definisi 2.19
Misal Y = ( y1 , y 2 ,....., y n ,.....) barisan bilangan real. M : bilangan asli, Ekor –
M dari Y adalah barisan: YM = ( yM + n ; n ∈ N ) = ( y M +1, yM + 2 ,.....)
Contoh 2.20
Y = (1, 3, 5, 7, 9,11,13,....., 2n − 1,.....)
Y5 = ( y 5+ n : n ∈ N ) = ( y 6 , y 7 , y8 ,......) = (11,13,15, ....., 2n + 1,.....) .
Teorema 2.21
Misal Y = ( y n ; n ∈ N ) barisan bilangan real dan M ∈ N . Ekor – M dari Y, YM
konvergen ⇔ Y konvergen. Dalam hal ini Lim Y = Lim YM .
Contoh 2.22
1).
xn = 1 , n ∈ N
n
menurut TKM :
( xn )
terbatas
{
dan
turun
}
Lim x n = inf 1 ; n ∈ N = 0
n
62 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
monoton,
maka
Analisis Real I 2012 Diketahui barisan ( y n ) dengan y1 = 1, yn +1 =
2).
1
(2 yn + 3), n ∈ N
4
Tunjukkan ( y n ) konvergen.
Bukti: y1 = 1, y 2 =
1
(2 ⋅ 1 + 3) = 5 , y3 = 1 ⎛⎜ 2 ⋅ 5 + 3 ⎞⎟ = 11 ,.....
4⎝ 4
4
4
⎠ 8
Claim y n ≤ y n +1 (naik monoton).
Dibuktikan dengan induksi matematika
n = 1 → y1 = 1⟨ y2 = 5
4
(benar)
Dianggap benar untuk n = k. Jadi y k ≤ y k +1
Dibuktikan benar untuk n = k + 1
y k +1 =
1
(2 y k + 3) = 1 y k + 3 ≤ 1 yk +1 + 3 = 1 (2 yk +1 + 3) = yk + 2
4 4
2
4 2
4
Jadi ∀n ∈ N , y n ≤ y n +1 .
Claim 1 ≤ y n ≤ 2 (terbatas)
n = 1 → 1 ≤ y1 = 1 ≤ 2 (benar)
Dianggap benar untuk n = k. Jadi 1 ≤ y k ≤ 2
Dibuktikan benar untuk n = k + 1
y k +1 =
1
(2 y k + 3) = 1 y k + 3 4 ≤ 1 ⋅ 2 + 3 4 = 1 3 4
2
2
4
1 ≤ yk +1 ≤ 2 .
Q
Jadi ∀n ∈ N , 1 ≤ yn ≤ 2. Dengan kata lain ( y n ) terbatas.
Karena
( yn )
naik monoton dan terbatas, maka menurut TKM,
( yn )
konvergen dan y = Lim yn = sup {yn : n ∈ N } . Ekor – 1 dari Y = Y1 = ( y1+ n : n ∈ N ) .
Karena Y = ( y n ) konvergen ke y, maka Y1 = ( y n +1 ) juga konvergen ke y.
Jadi,
y = Lim ( yn ) = Lim ( yn +1 )
⎛1
⎞
= Lim ⎜ (2 yn + 3)⎟
4
⎝
⎠
= Lim
y=
3 1
3
1
yn + Lim = Lim yn + .
4 2
4
2
1
3
1
3
y+ → y= → y= 3 .
2
2
4
2
4
63 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
Analisis Real I 2012 Definisi 2.23
Diketahui X = ( x n ) barisan bilangan real dan (rn ) barisan bilangan asli
naik monoton, yaitu rn ≤ rn +1 , ∀n .
(
)
X 1 = x r1 , xr2 , x r3 ,......., x rn ,....... disebut barisan bagian dari X .
Contoh 2.24
(
)
X = 1, 1 , 1 , 1 , 1 ,......., 1 ,.......
2 3 4 5
n
(
)
= (1, 1 , 1 ,......., 1
,.......) barisan bagian X
3 5
2n − 1
= (1 ,1, 1 , 1 , 1 ,.......) bukan barisan bagian X
2
4 3 6
X 1 = 1 , 1 , 1 ,......., 1
,....... barisan bagian X
n+2
3 4 5
X1
X 11
Catatan: Ekor barisan merupakan barisan bagian.
Teorema 2.25
Jika X = ( x n ) konvergen ke x, maka sebarang barisan bagian X konvergen
ke x.
Bukti:
ε >0
Diambil
sebarang.
Karena
xn → x ,
maka
∃k ∈ N , ∀n ≥ k : xn − x < ε .Karena rn barisan bilangan asli naik, maka rn ≥ n .
Akibatnya ∀n ≥ k , rn ≥ n ≥ k sehingga xrn − x < ε .
Teorema 2.26 (Teorema Kriteria Divergen)
Jika X = ( x n ) barisan bilangan real, maka pernyataan-pernyataan berikut
ekuivalen:
(i). X = ( x n ) divergen (tidak konvergen ke x ∈ ℜ )
(ii). ∃ε o > 0, ∀k ∈ N , ∃rn ∈ N ∋ rn ≥ k dan xr n − x ≥ ε
( )
(iii). ∃ε o > 0 dan X ' = xrn ∋ xrn − x ≥ ε o , ∀n ∈ N
Contoh 2.27 Tunjukkan bahwa
Bukti: Andaikan
konvergen
((− 1) )
n
ke
((− 1) ) divergen
n
konvergen ke x, maka barisan bagian
x,
tetapi
(
n
n
X 1 = (− 1,−1,−1,−1,.......) → −1
sedangkan X 1 = (1,1,1,1,.......) → 1
Q (− 1)
((− 1) )
) divergen
64 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
Analisis Real I 2012 Ingat : ( xn ) konvergen ⇒ ( x n ) terbatas
(xn ) terbatas
⇒ ( xn ) belum tentu konvergen, contoh (− 1) terbatas
n
tetapi tidak konvergen.
Teorema 2.28 (Teorema Bolzano Weierstrass):
Setiap barisan bilangan real terbatas mempunyai barisan bagian
konvergen.
Contoh 2.29 X = (x n ) = (− 1) , n ∈ N , X terbatas, X 1 = (− 1,−1,−1,.......) → −1 .
n
Teorema 2.30 Diketahui ( x n ) terbatas. Jika x rn → x , maka x n → x .
2.2. Barisan Cauchy (BC)
Definisi 2.31 Barisan (x n ) disebut BC jika ∀ε > 0, ∃H ∈ N sehingga ∀m, n ≥ H
xm − xn < ε
Contoh 2.32
1).
xn = 1 , n ∈ N
n
Diambil ε > 0 sebarang
xm − xn = 1 − 1 ≤ 1 + 1 = 1 + 1
m
n
m
n
m
n
Dipilih H ∈ N sehingga 1
H
<ε
2
Akibatnya untuk m, n ≥ H :
xm − xn ≤ 1
H
+1
H
<ε +ε =ε .
2
2
Q ( x n )BC
2).
yn =
(
2n + 5
,n∈ N
3n + 1
)
2 n + 1 + 13
3
3 = 2 + 13
=
3 9n + 3
3n+ 1
3
(
)
Diambil ε > 0 sebarang
13 ⎞ ⎛ 2
13 ⎞
⎛2
ym − yn = ⎜ +
⎟−⎜ +
⎟
⎝ 3 9m + 3 ⎠ ⎝ 3 9n + 3 ⎠
=
13
13
−
9m + 3 9n + 3
65 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
Analisis Real I 2012 ≤
13
13
+
9m + 3 9n + 3
=
13
13
+
9m + 3 9n + 3
≤
13 13
+
9 m 9n
Dipilih H ∈ N sehingga
1 9ε
<
H 26
Akibatnya ∀m, n ≥ H :
ym − y n <
13 9ε 13 9ε
⋅
+ ⋅
=ε
9 26 9 26
Q ( y n )BC .
z n = (− 1) , n ∈ N
n
3).
z m − z n = (− 1) − (− 1)
m
n
Diambil ε = 1
∀H ∈ N , ∃m, n ∈ N , m genap, n ganjil sehingga m, n ≤ H
Diperoleh:
z m − z n = (− 1) − (− 1)
m
n
= 1 − (− 1) = 2 > ε
Q ( zn ) bukan BC
Teorema 2.33
(a). ( x n )BC ⇒ (x n ) terbatas
(b). (xn ) BC ⇒ (xn ) konvergen
Bukti:
(a).
Karena ( x n )BC , maka untuk ε = 1 , ∃H ∈ N , ∀m, n ≥ H
xm − xn < 1
Akibatnya ∀n ≥ H
xn = xn − x H + x H
≤ x n − x H + x H < 1 + xH
Diambil M = maks { x1 , x2 ,......., x H −1 , x H + 1}
Diperoleh ∀n ∈ N
xn ≤ M .
66 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
Analisis Real I 2012 (b). Diambil ε > 0 sebarang.
Karena ( xn )BC , maka ∃H ∈ N , ∀m, n ≥ H :
xm − xn < ε 2 .
(xn )BC ,
maka ( x n ) terbatas. Menurut teorema BW, ∃ barisan bagian
(x ) dari (x ) sehingga
n
rn
( )
x rn → x, x ∈ ℜ .
Karena xrn → x, maka ∃ k ∈ N , k ≥ H
dan k ∈ (r1, r2 ,.......) sehingga ∀rn ≥ k :
xrn − x < ε .
2
Akibatnya untuk n ≥ k :
xn − x = xn − xk + xk − x
≤ xn − xk + xk − x
<ε +ε =ε .
2
2
Contoh 2.34
Diketahui X = ( xn ) dengan x1 = 1, x2 = 2, xn =
1
(xn−2 + xn−1 ), n > 2
2
Tunjukkan ( xn ) konvergen dan selanjutnya tentukan konvergen ke mana.
Jawab:
x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3 , x4 = 7 , x5 = 13 dst
2
4
8
1 ≤ x n ≤ 2, ∀n ⇒ ( x n ) terbatas
TKM tidak dapat digunakan
(xn ) tidak monoton
Perhatikan bahwa:
x1 − x2 = 1 − 2 = 1
x 2 − x3 = 2 − 3
2
=1
2
x3 − x 4 = 3 − 7 = 1 = 1 2
2
4
4
2
:
:
x n − x n +1 =
1
2 n −1
(cek dengan induksi).
Diperoleh:
xn − xm = xn − xn+1 + xn+1 − xn+2 + xn+ 2 + ....... + xm−1 − xm
≤ xn − x n +1 + xn +1 − x n+ 2 + xn + 2 − xn +3 + ....... x m−1 − xm
67 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
Analisis Real I 2012 =
=
1
2
n −1
+
1
2
n +1−1
+
1
2
n + 2 −1
+ ....... +
1
2
m −1−1
1 ⎛ 1 1
1 ⎞
+ ....... + m − n −1 ⎟
⎜1 + +
2 n −1 ⎝ 2 2 2
2
⎠
1 ⎛⎜ 1 ⎞⎟ 4
= n −1 ⎜
= n
2
1− 1 ⎟ 2
2⎠
⎝
Diberikan ε > 0 sebarang. Pilih H ∈ N dengan
ε
1
< .
H
4
2
Akibatnya ∀m, n ≥ H :
xn − xm =
ε
4
4
≤ H < 4⋅ = ε
n
4
2
2
Q ( x n )BC . Menurut teorema sebelumnya, ( x n ) konvergen.
Perhatikan untuk barisan bagian suku ganjil ( x 2 n +1 )
x1 = 1
x3 = 3 = 1 + 1
2
2
x5 = 13 = 1 + 1 + 1 2
8
2
2
x7 = 53 = 1 + 1 + 1 3 + 1 5
32
2
2
2
:
:
1 1
1
+ 3 + ....... + 2 n −1
2 2
2
n
⎛
1 ⎞
1 ⎜1− 4 ⎟
= 1+ ⎜
2 ⎜ 1 − 1 ⎟⎟
4 ⎠
⎝
1 ⎞
1 4⎛
= 1 + ⋅ ⎜1 − n ⎟
2 3⎝ 4 ⎠
x 2 n +1 = 1 +
( )
2⎛
1 ⎞
2
= 1 + ⎜1 − n ⎟ → 1 + = 5
3
3⎝ 4 ⎠
3
Jadi x n → 5
3
menurut teorema (#)
2.3. Barisan Monoton
Berikut ini diberikan pengertian mengenai barisan naik dan turun
monoton.
68 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
Analisis Real I 2012 Definisi 2.35 Diberikan barisan bilangan real X = (xn)
(i) Barisan X dikatakan naik (increasing) jika xn
xn+1, untuk semua n
(ii) Barisan X dikatakan naik tegas (strictly increasing) jika xn
xn+1 ,
untuk semua n
(iii)Barisan X dikatakan turun (decreasing) jika xn
xn+1 , untuk semua
n
(iv) Barisan X dikatakan turun tegas (strictly decreasing) jika xn
xn+1 ,
untuk semua n
Definisi 2.36 Barisan dikatakan monoton jika berlaku salah satu X naik
atau X turun.
Contoh 2.37
a. Barisan berikut ini naik (monoton).
b. Barisan berikut ini turun (monoton).
c. Barisan berikut ini tidak monoton.
Definisi 2.38 Teorema Konvergensi Monoton
a. Jika X = (xn) naik (monoton) dan terbatas ke atas, maka X =(xn)
konvergen dengan
69 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
Analisis Real I 2012 b. Jika X = (
) Turun (monoton) dan terbatas ke bawah, maka X =(xn)
konvergen dengan
Bukti.
a) Karena X = (
) terbatas ke atas, maka terdapat
untuk semua
hingga
maka
Lengkap
sedemikian
. Namakan A =
,
R, terbatas ke atas dan tidak kosong. Menurut Sifat
maka supremum A ada, namakan x = sup A. Diambil
, maka terdapat
sedemikian hingga
Karena X naik monoton, maka untuk
.
berlaku
atau
Jadi, terbukti bahwa X = (
) konvergen ke x = lim(
)=
b) Gunakan cara yang hampir sama dengan pembuktian (a).
.............................................................................................................
.............................................................................................................
.............................................................................................................
.............................................................................................................
.............................................................................................................
.............................................................................................................
.............................................................................................................
.............................................................................................................
.............................................................................................................
.............................................................................................................
.............................................................................................................
.............................................................................................................
.............................................................................................................
.............................................................................................................
2.4. Barisan Bagian
Pada bagian ini akan diberikan konsep barisan bagian (subsequences)
dari suatu barisan bilangan real.
70 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
Analisis Real I 2012 Definisi 2.39 Diberikan barisan bilangan real X = (
naik tegas n1< n2<….. nk<…... Barisan X’ = (
) dan bilangan asli
) dengan
disebut dengan barisan bagian atau sub barisan (subsequences) dari X.
Contoh 2.40 Diberikan X :=
Teorema 2.41 Jika X = (
X’ = (
) konvergen ke x, maka setiap barisan bagian
) dari X juga konvergen ke x.
Bukti Diambil sebarang
. Karena
sedemikian hingga untuk setiap n
untuk setiap
berlaku nk+1
, maka terdapat K( )
K( ) berlaku
Karena
nk Maka untuk setiap
Sehingga
Terbukti bahwa X’ = (
) Konvergen ke x.
Teorema 2.42 Diberikan barisan bilangan real
pernyataan berikut ini ekuivalen.
Bukti
71 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
X = (
), maka
Analisis Real I 2012 (i)
(ii) Jika
tidak konvergen ke , maka untuk suatu
tidak
sedemikian hingga untuk setiap
mungkin ditemukan
berlaku
Akibatnya tidak benar bahwa untuk setiap
memenuhi
Dengan kata lain, untuk setiap
terdapat
(ii)
sedemikian hingga
(iii) Diberikan
sedemikian
(iii)
dan
Selanjutnya, diberikan
dan
hingga
diperoleh
berlaku
dan
sehingga memenuhi (ii) dan diberikan
sedemikian hingga
sehingga
,
suatu
.
barisan
bagian
Demikian
X’
=
(
seterusnya
)
sehingga
untuk semua
(i) Misalkan X = (
) mempunyai barisan bagian X’ = (
) yang
memenuhi sifat (iii). Maka X tidak konvergen ke x, sebab jika konvergen
ke x, maka X’ = (
=(
) juga konvergen ke x. Hal ini tidak mungkin, sebab X’
) tidak berada dalam persekitaran
Teorema 2.43 (Kriteria Divergensi) jika barisan bilangan real X =
)
memenuhi salah satu dari sifat berikut, maka barisan X divergen.
(i) X mempunyai dua barisan bagian konvergen X’ = (
(
) dan X ’’ =
) dengan limit keduanya tidak sama.
(ii) X tidak terbatas.
divergen.
Contoh 2.44 Tunjukkan bahwa barisan
Jawab. Namakan barisan di atas dengan
, dengan
jika n genap,
jika n ganjil. Jelas bahwa Y tidak terbatas. Jadi, barisan
dan
, divergen.
Berikut ini diberikan sebuah teorema yang menyatakan bahwa
barisan bilangan real X =
)
pasti mempunyai barisan bagian yang
monoton. Untuk membuktikan teorema ini, diberikan pengertian puncak
(peak),
disebut puncak jika
. Titik
untuk semua n sedemikian hingga
tidak pernah didahului oleh sebarang elemen barisan
setelahnya. Perhatikan bahwa pada barisan yang menurun, setiap
elemen adalah puncak, tetapi pada barisan yang naik, tidak ada elemen
yang menjadi puncak.
72 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
Analisis Real I 2012 Teorema 2.45 (Teorema Barisan Bagian Monoton) Jika X =
) barisan
bilangan real, maka terdapat barisan bagian dari X yang monoton.
Bukti. Pembuktian dibagi menjadi dua kasus, yaitu X mempunyai tak
hingga banyak puncak, dan X mempunyai berhingga banyak puncak.
Kasus I: X mempunyai tak hingga banyak puncak. Tulis semua puncak
berurutan
naik,
yaitu
Oleh
Maka
karena
itu,
(
merupakan
barisan
bagian yang turun (monoton).
Kasus II: X mempunyai berhingga banyak puncak. Tulis semua puncak
berurutan naik, yaitu
. Misalkan
indeks pertama dari puncak yang terakhir. Karena
sedemikian hingga
maka terdapat
puncak, maka terdapat
adalah
bukan puncak,
. Karena
sedemikian hingga
bukan
.. Jika proses
yang naik (monoton).
ini diteruskan, diperoleh barisan bagian
Teorema 2.46 (Teorema Bolzano-Weiertrass) Setiap barisan bilangan
real yang terbatas pasti memuat barisan bagian yang konvergen.
Bukti. Diberikan barisan bilangan real terbatas X =
)
. Namakan
range barisan, maka S mungkin berhingga atau tak
berhingga.
Kasus I: Diketahui S berhingga. Misalkan,
dengan
maka terdapat
dan barisan
dengan
. Hal ini berarti terdapat barisan bagian
sehingga
yang konvergen ke
Kasus II: Karena S tak berhingga dan terbatas, maka S mempunyai titik
cluster
atau
titik
limit,
namakan
x
titik
limit
persekitaran titik x.
Untuk k = 1, maka terdapat
,
sehingga
Untuk k = 2, maka terdapat
,
sehingga
Untuk k = 3, maka terdapat
,
sehingga
Demikian seterusnya, sehingga diperoleh:
73 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
S.
Misalkan
Analisis Real I 2012 Untuk k = n, maka terdapat
,
sehingga
. Menurut Sifat Archimedes, maka terdapat
Ambil
Maka untuk setiap
hingga
berlaku
konvergen ke x dengan
Terbukti bahwa
sedemikian
barisan bagian
Teorema 2.47 Diberikan barisan bilangan real terbatas X =
diberikan
)
dan
yang mempunyai sifat bahwa setiap barisan bagian dari X
konvergen ke x. Maka barisan X konvergen ke x.
adalah batas dari barisan X sehingga
Bukti. Misalkan
untuk
.
semua
Andaikan
X
menggunakan Teorema 2.4.4 terdapat
sedemikian hingga
tidak
konvergen
ke
x,
maka
dan barisan bagian X’ = (
untuk semua
)
. Karena X’ barisan
bagian dari X, maka M juga batas dari X’. MenggunakanTeorema
Bolzano-Weierstrass berakibat bahwa X’memuat barisan bagian X’’.
Karena X’’ juga barisan bagian dari X, maka X’’uga konvergen ke x.
Dengan demikian, akan selalu berada dalam persekitaran
. Timbul
kontradiksi, yang benar adalah X selalu konvergen ke x.
Lembar Kerja 6
1. Buktikan
barisan
{(− 1) }
n
n ≥1
divergen
dengan
metode
bukti
pengandaian.
Bukti:
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
74 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
Analisis Real I 2012 .................................................................................................................
.................................................................................................................
2. Tuliskan definisi barisan Cauchy dengan definisi tersebut buktikan
setiap barisan Cauchy pasti terbatas.
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
3. Tuliskan definisi himpunan terbuka dan himpunan tertutup dalam ℜ .
n
Dengan definisi tersebut buktikan jika A1 , A2 ,...., An terbuka maka U Ai
i =1
n
terbuka dan I Ai
i =1
C
tertutup.
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
75 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
Analisis Real I 2012 .................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
⎧ 2n ⎫
4. Buktikan barisan bilangan real ⎨ 2 ⎬ konvergen ke 0.
⎩ n + 1⎭n ≥1
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
76 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
Analisis Real I 2012 5. Jika barisan {xn }n ≥1 konvergen ke x dan barisan {yn }n ≥1 konvergen ke y ,
buktikan barisan xn yn konvergen ke xy .
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
77 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
Analisis Real I 2012 BAB III
LIMIT FUNGSI
KOMPETENSI DASAR
Memahami konsep limit fungsi dan dapat menggunakannya
untuk menyelesaikan masalah yang memuat limit fungsi.
INDIKATOR:
Setelah melakukan proses belajar mengajar mahasiswa mampu :
1. Memahami pengertian titik limit, titik terasing suatu
himpunan.
2. Memahami pengertian limit fungsi dan ilustrasinya.
3. Memahami kriteria sekuensial limit dan penggunaannya.
4. Memahami hubungan konvergen dan keterbatasan fungsi
5. Memahami beberapa teorema limit fungsi dan penggunaannya
SUB POKOK BAHASAN :
3.1. Topologi pada bilangan real
3.2. Pengertian limit fungsi
3.3. Beberapa teorema limit fungsi
3.1. Topologi pada Bilangan Real
Sebelum membicarakan tentang limit suatu fungsi ada baiknya
kita mengenal terlebih dahulu tentang topologi pada bilangan real.
Topologi pada Bilangan Real meliputi
persekitaran, titik dalam, titik
limit, titik batas, titik terasing, himpunan terbuka dan tertutup serta
definisi topologi pada R.
Definisi 3.1 Setiap anggota R disebut titik (point) dan jarak (distance)
antara dua titik
rumus
dan
pada R dilambangkan dengan
dengan
.
Definisi 3.2 Diberikan
dan bilangan
.
,
Himpunan
persekitaran (neighberhood) titik
. Dalam hal ini
(radius) persekitaran tersebut.
78 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
disebut
disebut jari-jari
Analisis Real I 2012 Contoh 3.3
1.
merupakan persekitaran di titik 1 dengan jari-jari
2.
merupakan persekitaran di titik ...... dengan jari-jari
3.
.
.
merupakan persekitaran di titik ........................ dengan jari-jari
.
Definisi 3.4
Diberikan A ⊆ R dan c ∈ R , dengan c tidak harus di
. Titik
di sebut
titik limit A jika ∀δ > 0,Vδ (C ) = (c − δ , c + δ ) memuat paling sedikit satu
anggota A yang tidak sama dengan c, atau (Vδ (c) /{c}) ∩ A ≠ ∅ .
Contoh 3.5.
1. Diberikan A = ( 2 , 3 ), tentukan titik limit A.
Penyelesaian:
2 titik limit A, karena dengan mengambil sebarang δ = ½ , dimana
V1 / 2 (2) = (1 12 ,2 12 ) maka (V1 / 2 (2) /{2}) ∩ A ≠ ∅ . Sehingga dengan mengambil
δ > 0 dapat disimpulkan (Vδ (2) /{2}) ∩ A ≠ ∅ .
2 ½ juga titik limit A, karena ∀δ > 0, (Vδ (2 12 ) /{2 12 }) ∩ A ≠ ∅ .
3 juga titik limit A, karena ∀δ > 0, (Vδ (3) /{3}) ∩ A ≠ ∅ .
Jadi dapat disimpulkan bahwa setiap titik pada interval [2 , 3]
merupakan titik limit A.
2. Diberikan B = {1, 2, 3, 4, 5 }, tentukan titik limit B.
Penyelesaian:
Ambil δ = ½ , sehingga V1 / 2 (1) = ( 12 ,1 12 ) . Tetapi (V1 / 2 (1) /{1}) ∩ B = ∅ .
Jadi 1 bukan titik limit B. Begitu juga dengan titik yang
lain.
Jadi dapat disimpulkan bahwa B = {1, 2, 3, 4, 5 } tidak mempunyai
titik limit.
Definisi 3.6
Diberikan A ⊆ R dan c ∈ R , dengan c harus di
dalam (interior point) A jika
himpunan
. Titik
sehingga
di sebut titik
. Selanjutnya
dikatakan terbuka (open) jika setiap anggotanya merupakan
titik dalam. Himpunan
dikatakan tertutup (closed) jika
79 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
terbuka.
Analisis Real I 2012 Definisi 3.7
Diberikan A ⊆ R dan c ∈ R , dengan c harus di .
1. Titik
disebut titik batas (boundary point) A jika
dan
2. Titik
.
disebut titik luar (exterior point) A jika ada bilangan
sehingga
3. Titik
berlaku
.
disebut titik terasing (isolated point) A jika ada bilangan
sehingga
.
Selanjutnya himpunan titik-titik tersebut dilambangkan dengan lambang
berikut:
1.
2.
adalah himpunan semua titik dalam himpunan .
adalah himpunan semua titik limit himpunan .
3.
adalah himpunan semua titik luar himpunan .
4.
adalah himpunan semua titik batas himpunan .
5.
adalah irisan semua himpunan tertutup yang memuat .
Latihan Diberikan himpunan
.
1. Tentukan titik dalam .
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
2. Tentukan titik limit .
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
3. Tentukan titik batas .
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
80 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
Analisis Real I 2012 4. Tentukan titik luar .
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
5. Tentukan titik terasing .
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
6. Apakah
merupakan himpunan terbuka atau tertutup?
.................................................................................................................
Alasan:......................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
Teorema 3.8
Diberikan
A⊆R
dan
c ∈ R , c titik limit A jika dan hanya jika
∃(an ), an ≠ c, ∀n ∈ N ∋ lim ( an ) = c .
n→∞
Bukti:
(⇒ ) Misal c titik limit A. Sehingga V 1 (c ) memuat sedikitnya satu titik di A
n
yang berbeda
dari
c.
Jika
a n titik
tersebut,
maka
an ∈ A, an ≠ c, ∀n ∈ N ∋ lim ( an ) = c .
n→∞
(⇐) Diserahkan kepada pembaca sebagai latihan.
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
...............................................................................................
81 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
■
Analisis Real I 2012 3.2 Pengertian Limit Fungsi
Definisi 3.9 Diberikan A ⊆ R , f : A → R dan c ∈ R , dengan c titik limit A.
Diberikan L limit dari f di titik c, ditulis lim f ( x) = L jika ∀ε > 0, ∃δ > 0, ∋
x →c
untuk x ∈ (Vδ (c) /{c}) ∩ A berlaku f ( x) ∈ Vε ( L) .
Definisi
limit
di
atas
dapat
ditulis
lim f ( x) = L
jika
x →c
dan
hanya
jika ∀ε > 0, ∃δ > 0, ∋ untuk 0 < x − c < δ dan x ∈ A berlaku f ( x) − L < ε .
Contoh 3.10
⎫
⎧1
1. Diberikan A = ⎨ : n ∈ R ⎬, f : A → R , f ( x) = 2 x . Buktikan lim f ( x) = 0 .
x →0
⎭
⎩n
Bukti:
Ambil
ε >0
sebarang.
Pilih
δ =
ε
2
,
Sehingga
jika
ε
0 < x − 0 = x < δ dan x ∈ A berlaku f ( x) − L = 2x − 0 = 2x = 2 x < 2δ = 2 = ε .
2
Jadi terbukti lim 2 x = 0 .
x →0
2. Buktikan lim x 2 = c 2 .
x →c
Analisa pendahuluan: Tujuan pembuktian ini mencari δ > 0 sehingga
untuk ∀ε > 0, 0 < x − c < δ , x ∈ A berlaku x 2 − c 2 < ε .
Perhatikan bahwa x 2 − c 2 = ( x + c)( x − c) = x + c x − c .
Jika diambil δ = 1 maka x − c < 1 .
Menurut pertidaksamaan segitiga x − c < x − c < 1 atau x < 1 + c .
Sehingga x 2 − c 2 = x + c x − c < (1 + 2 c ) x − c ,
Dengan mengambil δ =
ε
1+ 2c
maka diperoleh x 2 − c 2 < ε .
⎧⎪
ε ⎫⎪
Bukti: Ambil ε > 0 sebarang. Pilih δ = min ⎨1,
⎬,
⎪⎩ 1 + 2 c ⎪⎭
Sehingga jika 0 < x − c < δ dan x ∈ R berlaku
x 2 − c 2 = x + c x − c ≤ (1 + 2 c ) x − c < ε
Jadi terbukti lim x 2 = c 2 .
x →c
82 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
■
Analisis Real I 2012 Teorema 3.11
Jika f : A → R dan c titik limit A , c ∈ R maka f hanya mempunyai satu
limit di titik c. Selanjutnya akan dibicarakan kaitan antara barisan
dengan limit fungsi dan kriteria kedivergenan.
Teorema 3.12 (Kriteria Barisan untuk Limit).
Diberikan f : A → R dan c titik limit A , maka lim f ( x) = L jika dan hanya
x →c
jika untuk setiap barisan (xn) di A yang konvergen ke c dimana
xn ≠ c, ∀n ∈ N, ( f ( xn ) ) konvergen ke L.
Contoh 3.13
Buktikan lim x 2 = 4 dengan menggunakan kriteria barisan.
x →2
1
Bukti: Ambil ( x n ) = 2 − , n ∈ ℵ . Akan ditunjukkan ( f ( x n ) ) konvergen ke 4.
n
4 1
⎛
Perhatikan bahwa lim f ( x n ) = lim⎜ 4 − + 2
x→2
x→2
n n
⎝
⎞
⎟ = 4.
⎠
Jadi terbukti bahwa lim x 2 = 4 .
■
x →2
Teorema 3.14 (Kriteria Kedivergenan).
Diberikan A ⊆ R , f : A → R dan c ∈ R , dengan c titik limit A.
a) Jika L ∈ R maka f tidak punya limit L di c jika dan hanya jika ada
barisan (xn) di A yang konvergen ke c dimana x n ≠ c, ∀n ∈ ℵ, tetapi
( f ( xn )) tidak konvergen ke L.
b) f tidak punya limit di c jika dan hanya jika ada barisan (xn) di A yang
konvergen ke c dimana xn ≠ c, ∀n ∈ N, tetapi
( f ( xn ))
tidak konvergen ke
.
Contoh 3.15.
1. Buktikan lim sgn( x) tidak ada.
x→ 0
Bukti:
⎧ 1, x > 0
⎪
Diberikan f(x) = sgn (x). Perhatikan bahwa sgn( x) = ⎨ 0, x = 0 .
⎪− 1, x < 0
⎩
83 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
Analisis Real I 2012 Sehingga fungsi sgn (x) dapat ditulis menjadi sgn( x) =
Ambil ( xn ) =
x
,x ≠ 0.
x
(−1) n
, n ∈ N . Tetapi
n
(−1) n
xn
n = (−1) n ,
=
f ( x n ) = sgn( x n ) =
n
xn
(−1)
n
sehingga ( f ( x n ) ) divergen.
■
1
tidak ada di R .
x→0 x
2. Buktikan lim
Bukti:
f ( xn ) =
Diberikan
1
= n2
1 2
n
f ( x) =
,sehingga
1
.
x
( xn ) =
Ambil
( f ( xn ))
1
,n ∈ N .
n2
Tetapi
tidak konvergen karena tidak
1
tidak ada di R .
x→0 x
terbatas di ℜ . Jadi terbukti bahwa lim
3.3 Beberapa Teorema Limit Fungsi
Definisi 3.16.
Diberikan A ⊆ R , f : A → R dan c ∈ R , dengan c titik limit A. f dikatakan
terbatas pada persekitaran c jika ada persekitaran δ
dari c, yaitu
Vδ (c) dan konstanta M > 0 sehingga f ( x) ≤ M , ∀x ∈ A ∩ Vδ (c).
Teorema 3.17.
Diberikan A ⊆ R , f : A → R dan f mempunyai limit di c ∈ R , maka f
terbatas pada suatu persekitaran dari c.
Definisi 3.18
Diberikan A ⊆ R , f : A → R , g : A → R . Definisikan
( f + g )( x) = f ( x) + g ( x ) ( f − g )( x ) = f ( x) − g ( x)
(bf )( x) = bf ( x), b ∈ ℜ
f ( x)
⎛f ⎞
, h( x ) ≠ 0
⎜ ⎟( x ) =
h( x )
⎝h⎠
, ( fg )( x ) = f ( x) g ( x )
, ∀x ∈ A
84 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
Analisis Real I 2012 Teorema 3.19.
Diberikan A ⊆ R , f : A → R , g : A → R dan c ∈ R , dengan c titik limit A.
Jika lim f ( x ) = L dan lim g (x ) = M , maka
x→c
x →c
(1)
lim( f + g )( x ) = L + M
(2)
lim(α f )( x ) = α L, α ∈ ℜ
(3)
lim( fg )(x ) = LM
(4)
⎛f⎞
L
lim⎜⎜ ⎟⎟(x ) =
,M ≠ 0
x →c g
M
⎝ ⎠
x →c
x →c
x →c
Bukti:
1. Ambil ε > 0 sebarang.
Misal lim f ( x) = L , artinya ∃δ 1 > 0, ∋ untuk 0 < x − c < δ 1 dan
x →c
berlaku
f ( x) − L <
ε
2
x∈ A
.
Misal lim g ( x ) = M , artinya ∃δ 2 > 0, ∋ untuk 0 < x − c < δ 2 dan x ∈ A
x→c
berlaku g ( x ) − M <
ε
2
.
Akan ditunjukkan lim( f + g )( x) = L + M .
x →c
Pilih δ = min(δ 1 , δ 2 ) , sehingga untuk 0 < x − c < δ dan x ∈ A berlaku
( f + g )( x) − ( L + M ) = ( f ( x) − L) + ( g ( x) − M )
≤ f ( x) − L + g ( x) − M <
ε
2
+
ε
2
=ε
Jadi terbukti lim( f + g )( x) = L + M .
x →c
■
Bukti selanjutnya diserahkan kepada pembaca sebagai latihan.
2. .............................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
85 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
Analisis Real I 2012 .................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
3. .............................................................................................................
...........................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
4. .............................................................................................................
...........................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
86 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
Analisis Real I 2012 .................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
Contoh 3.20
⎛ x2 − 4 ⎞
⎛ x + 4⎞
⎟
Hitung a). lim⎜ 2 ⎟ b). lim⎜⎜
x →2
x →2 3 x − 6 ⎟
⎝ x ⎠
⎝
⎠
Jawab.
a) Misalkan f(x) = x + 4 dan h(x) = x2 , h( x) ≠ 0, ∀x ∈ ℜ, lim h( x ) = H ≠ 0 maka
x→2
⎛ x + 4 ⎞ lim( x + 4) 6 3
diperoleh lim⎜ 2 ⎟ = x→2
= =
x→2
4 2
lim x 2
⎝ x ⎠
x→2
b) Tidak dapat menggunakan teorema 3.19 (4), karena jika dimisalkan
f ( x) = x 2 − 4, h( x) = 3 x − 6, ∀x ∈ ℜ
H = lim h( x ) = lim(3 x − 6) = 0 maka
tetapi
x→2
(
x→2
)
⎛ x2 − 4 ⎞
1
1
1
4
⎟ = lim ( x + 2) = lim x + 2 = (2 + 2) = .
untuk x ≠ 2, lim⎜⎜
x→2 3x − 6 ⎟
x→2 3
x
→
2
3
3
3
⎝
⎠
87 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
■
Analisis Real I 2012 Teorema 3.21
A ⊆ R, f : A → R
Diberikan
a ≤ f ( x) ≤ b
dan c ∈ R , dengan c titik limit A. Jika
∀x ∈ A, x ≠ c dan jika lim f ( x) ada maka a ≤ lim f ( x) ≤ b .
x →c
x→ c
Teorema Apit 3.22
Diberikan A ⊆ R , f , g , h : A → R dan c ∈ R , dengan c titik limit A. Jika
f ( x ) ≤ g ( x ) ≤ h( x )
∀x ∈ A, x ≠ c
dan
lim f ( x) = L = lim h( x)
jika
x →c
maka
x →c
lim g ( x ) = L .
x →c
Contoh 3.23
⎛1⎞
⎛1⎞
Buktikan bahwa lim cos⎜ ⎟ tidak ada tetapi lim x cos⎜ ⎟ = 0 .
x →0
x
→
0
⎝ x⎠
⎝ x⎠
⎛1⎞
⎛1⎞
Bukti. Akan dibuktikan lim cos⎜ ⎟ tidak ada . Misalkan f ( x) = cos⎜ ⎟ .
x →0
⎝ x⎠
⎝ x⎠
Ambil subbarisan
(xn ) =
1
, n ∈ ℵ dan subbarisan
2 nπ
1
1
= 0 , lim
=0
n →∞ 2nπ
n →∞ ( 2n − 1)π
dimana
lim
.Tetapi
( yn ) =
1
, n ∈ℵ ,
(2n − 1)π
f ( x n ) = cos 2nπ = 1
dan
f ( y n ) = cos(2n − 1)π = −1 , sehingga lim ( f ( x n )) ≠ lim ( f ( y n )) .
n →∞
n →∞
⎛1⎞
⎛1⎞
Jadi lim cos⎜ ⎟ tidak ada. Akan dibuktikan lim x cos⎜ ⎟ = 0 .
x→0
x
→
0
⎝x⎠
⎝ x⎠
⎛1⎞
Perhatikan bahwa − x ≤ x cos⎜ ⎟ ≤ x
⎝ x⎠
dan lim x = 0 = lim − x maka menurut
x →0
x→0
⎛1⎞
teorema apit lim x cos⎜ ⎟ = 0 .
x →0
⎝ x⎠
■
Teorema 3.24
Diberikan
A ⊆ R, f : A → R
dan c ∈ R , dengan c titik limit A. Jika
lim f ( x) > 0 maka ∃Vδ (c) ∋ f ( x) > 0, ∀x ∈ A ∩ Vδ (c), x ≠ c .
x→c
Bukti: Diberikan
definisi
f ( x) − L <
limit
L = lim f ( x ) > 0 . Pilih
fungsi
x →c
ε=
L
> 0 , sehingga menurut
2
∃δ > 0 ∋ 0 < x − c < δ , x ∈ A ⇒ f ( x ) − L <
L
.
2
Karena
L
L
L
L
maka − < f ( x ) − L <
atau f ( x) > > 0, ∀x ∈ A ∩ Vδ (c ), x ≠ c ■
2
2
2
2
88 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
Analisis Real I 2012 Lembar Kerja 7
1. Diberikan fungsi f : A ⊆ ℜ → ℜ dan lim f ( x) = l ada dengan c titik limit
x →c
di A. Buktikan bahwa jika lim f ( x) = l ada maka lim f ( x) = l .
x →c
x →c
Bukti
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
2. Sesuai definisi dan menggunakan dasar logika matematika buktikan
bahwa
i. A - b(A) terbuka.
ii. A ∩ B ⊂ A ∩ B
Bukti
89 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
Analisis Real I 2012 .................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
3. Tentukanlah titik dalam, titik batas, titik luar, titik limit dan sifat
himpunan (terbuka atau tertutup) dari himpunan A berikut!
{
A = ( x1 , x2 ) ∈ ℜ 2 x1 − a1 + x2 − a 2 < r
}
Jawaban
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
90 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
Analisis Real I 2012 .................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
4. Buktikan bahwa
( x 2 − 5 x + 4)
= −3 dengan menggunakan definisi
x →c
( x − 1)
lim
limit.
Bukti
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
91 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
Analisis Real I 2012 .................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
92 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
Analisis Real I 2012 BAB IV
KEKONTINUAN FUNGSI
KOMPETENSI DASAR
Memahami konsep fungsi kontinu dan sifat-sifatnya serta dapat
menggunakannya untuk menyelesaikan masalah yang memuat
fungsi kontinu.
INDIKATOR:
Setelah melakukan proses belajar mengajar mahasiswa mampu :
1. Memahami pengertian kontinu titik, kontinu pada himpunan.
2. Menggunakan konsep limit pada fungsi kontinu.
3. Menggunakan kriteria diskontinuitas.
4. Mengkonstruksi fungsi kontinu
5. Memahami sifat-sifat aljabar fungsi kontinu.
6. Memahami pengertian fungsi terbatas, dan ekstrim mutlak.
7. Memahami sifat-sifat fungsi yang kontinu pada interval.
SUB POKOK BAHASAN :
4.1 Definisi Fungsi Kontinu
4.2 Sifat-Sifat Fungsi Kontinu
4.3 Fungsi Kontinu pada Interval
4.4 Kekontinuan Seragam
4.5 Fungsi Monoton
4.6 Fungsi Invers
4.1 Definisi Fungsi Kontinu
Definisi 4.1.
Diberikan A ⊆ R , f : A → R dan c ∈ A . f dikatakan kontinu di titik c jika
untuk setiap persekitaran Vε ( f (c)) dari f(c) terdapat persekitaran Vδ (c)
dari c sehingga jika x ∈ A ∩ Vδ (c) maka f ( x) ∈ Vε ( f (c)) .
Berikut ini ada beberapa hal yang perlu diperhatikan dalam
pengambilan titik c;
93 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
Analisis Real I 2012 1. Jika c ∈ A , dimana c titik limit A, maka dari definisi limit dan definisi
fungsi
f
kontinu
kontinu
dapat
disimpulkan
bahwa
di c ⇔ f (c) = lim f ( x ) .
x→ c
Dengan kata lain, jika c titik limit A maka f dikatakan kontinu di titik
c jika memenuhi syarat
•
f terdefinisi di titik c
•
lim f ( x ) ada
•
f (c) = lim f ( x)
x→ c
x→ c
2. Jika c ∈ A , dimana c bukan titik limit A, maka ada persekitaran Vδ (c)
dari c sehingga A ∩ Vδ (c) = {c} . Jadi dapat disimpulkan bahwa fungsi f
jelas kontinu di titik c ∈ A walaupun c bukan titik limit A. Seperti yang
telah dibahas pada bab III, titik ini disebut ”titik terisolasi dari A”.
Definisi selanjutnya akan membicarakan kekontinuan fungsi pada suatu
himpunan.
Definisi 4.2.
Diberikan A ⊆ R , f : A → R Jika B ⊆ A , f dikatakan kontinu pada B jika f
kontinu di setiap titik pada B.
Teorema 4.3
Diberikan A ⊆ R , f : A → R dan c ∈ A . Pernyataan berikut ekuivalen :
1) f dikatakan kontinu di titik c jika untuk setiap persekitaran Vε ( f (c))
dari f(c) terdapat persekitaran Vδ (c) dari c sehingga jika x ∈ A ∩ Vδ (c)
maka f ( x) ∈ Vε ( f (c)) .
2) Untuk ∀ε > 0, ∃δ > 0 ∋ ∀x ∈ A, x − c < δ ⇒ f ( x) − f (c) < ε .
3) Jika (xn) barisan bilangan riil, ∋ xn ∈ A, ∀n ∈ R dan (xn) konvergen ke-c
maka barisan f((xn)) konvergen ke f(c).
Dengan kata lain dapat disajikan sebagai berikut:
f kontinu di c ⇔ ∀(x n ) ⊆ A, x n → c ⇒ f (x n ) → f (c ) .
•
f : A → ℜ dan c ∈ A ;
•
f : A → ℜ dan c ∈ A ; f diskontinu di c ⇔ ∃( x n ) ⊆ A, x n → c ⇒ f ( x n ) → f (c )
94 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
Analisis Real I 2012 Contoh 4.4
1).
⎧1, x rasional
f (x ) = ⎨
⎩0, x irrasional
Untuk c rasional, f (c ) = 1
Diambil barisan bilangan irrasional (x n ) dengan x n → c
x n irrasional ⇒ f ( x n ) = 0, ∀n ∈ N . Akibatnya f ( x n ) → 0 ≠ f (c )
Jadi f diskontinu di c rasional.
Untuk c irrasional, f (c ) = 0
Diambil barisan bilangan rasional ( y n ) dengan y n → c
y n rasional ⇒ f ( y n ) = 1, ∀n ∈ N . Akibatnya f ( y n ) → 1 ≠ f (c )
Jadi f diskontinu di c irrasional.
2).
f : ℜ → ℜ kontinu
f (r ) = 0, ∀r rasional
Buktikan f ( x ) = 0, ∀x ∈ ℜ
Bukti:
Cukup dibuktikan f (x ) = 0, ∀x irrasional
Diambil sebarang x irrasional. Karena f kontinu pada ℜ , maka f
kontinu di x.
Diambil barisan bilangan rasional
Akibatnya f (rn ) → f ( x ) .
Di lain pihak, f (rn ) = 0
∀n . Jadi f (rn ) → 0
Dengan ketunggalan limit, maka f ( x ) = 0 , x irrasional.
3).
f :ℜ → ℜ
⎧ x + 3, x rasional
f (x ) = ⎨
⎩8 − 3 x, x irrasional
Tentukan titik-titik kekontinuan dari f
Jawab:
Misal f kontinu di c.
Diambil sebarang barisan ( x n ) ⊆ ℜ, x n → c
95 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
(rn ), rn → x .
Analisis Real I 2012 ⎧ x + 3, x n rasional
f (xn ) = ⎨ n
⎩8 − 3x n , x n irrasional
Karena
xn → c
maka
konvergen ke c.
(xn )
rasional dan
(xn )
irrasional juga
Dengan demikian:
y n = xn + 3 → c + 3
z n = 8 − 3 x n → 8 − 3c
Di lain pihak, ( y n ) dan ( z n ) barisan bagian dari
( f (xn )) .
Karena f
kontinu di c, maka y n → f (c ) dan z n → f (c )
Dengan ketunggalan limit barisan :
f (c ) = c + 3 = 8 − 3c sehingga c = 5 .
4
Teorema 4.5 (Kriteria Ketakkontinuan)
Diberikan A ⊆ R , f : A → R dan c ∈ A . f tidak kontinu di titik c jika dan
hanya jika ∃( x n ) ∈ A ∋ ( x n ) konvergen ke c, f((xn)) tidak konvergen ke f(c).
Contoh 4.6
1. Diberikan f(x) = 2x. Buktikan f(x) kontinu pada R .
Bukti:
Ambil ε > 0 sebarang dan c ∈ R sebarang.
Pilih δ =
ε
2
∋ x − c < δ , x ∈ D f ⇒ f ( x) − f (c ) = 2 x − 2c = 2 x − c < 2δ = ε .
Sehingga menurut definisi kekontinuan f(x) kontinu pada R .
2. Diberikan A = R , dan f ”fungsi Di richlet” yang didefinisikan sebagai
, x ∈Q
⎧1
berikut: f ( x) = ⎨
⎩0 , x ∈ ℜ \ Q
Buktikan bahwa f(x) tidak kontinu di R .
Bukti:
•
Diberikan
c∈Q ,
Karena f ( xn ) = 0, ∀n ∈ N
ambil
maka
( xn ) ∈ ℜ \ Q, ( xn ) → c, ∀n ∈ N .
lim ( f ( x n )) = 0 , tetapi
n →∞
Akibatnya f tidak kontinu pada c ∈ Q .
96 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
f(c) = 1.
Analisis Real I 2012 •
Diberikan
b∈R \ Q,
Karena f ( yn ) = 1, ∀n ∈ N
ambil
maka
( yn ) ∈ Q, ( yn ) → b, ∀n ∈ N .
lim ( f ( y n )) = 1 ,
tetapi f(b) = 0.
n →∞
Akibatnya f tidak kontinu pada b ∈ R \ Q .
Dari kedua kasus di atas dapat disimpulkan f tidak kontinu pada R .
Selanjutnya ada beberapa hal tentang perluasan fungsi kontinu.
Terkadang ada fungsi f : A → R yang tidak kontinu di titik c karena f(c)
tidak terdefinisi.Tetapi, jika fungsi f mempunyai limit L di titik c maka
dapat didefinisaikan fungsi baru
F : A ∪ {c} → R
yang didefinisikan
sebagai berikut:
,x = c
⎧ L
F( x ) = ⎨
⎩ f ( x ) ,x ∈ A
Maka F kontinu di titik c.
Contoh 4.7
⎛1⎞
1) Diberikan f ( x ) = x sin⎜ ⎟ , x ≠ 0 . Karena f(0) tidak terdefinisi dan f
⎝ x⎠
⎛1⎞
tidak kontinu di titik x = 0 tetapi lim x sin⎜ ⎟ = 0 , maka kita dapat
x→0
⎝x⎠
memperluas fungsi f(x) menjadi
F :R →R
yang didefinisikan
sebagai berikut:
,x = 0
⎧ 0
⎪
⎛1⎞
F( x ) = ⎨
.
x sin⎜ ⎟ , x ≠ 0
⎪⎩
⎝ x⎠
Sehingga F kontinu di x = 0.
⎛1⎞
2) Diberikan g ( x ) = sin⎜ ⎟ , x ≠ 0 . Karena lim g ( x ) tidak ada, maka kita
x →0
⎝ x⎠
tidak dapat memperluas fungsi g(x) di titik x = 0.
4.2 Sifat-sifat Fungsi Kontinu
Pada sub bab ini akan membahas penjumlahan, selisih, perkalian
dua fungsi, dan perkalian fungsi dengan skalar serta pembagian fungsi
kontinu.
97 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
Analisis Real I 2012 Teorema 4.8
Diberikan A ⊆ R , f , g : A → R , b ∈ R . Diberikan c ∈ A dan f dan g kontinu di
titik c,
(i) f ± g kontinu di c
(ii) b f kontinu di c, b skalar
(iii) fg kontinu di c
(iv)
f
kontinu di c, g (c ) ≠ 0
g
Bukti: (hampir sama dengan limit. Coba dilanjutkan sebagai latihan).
(i). Bukti
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
98 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
Analisis Real I 2012 .................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
(ii) Bukti
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
99 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
Analisis Real I 2012 .................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
(iii) Bukti
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
100 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
Analisis Real I 2012 .................................................................................................................
(iv) Bukti
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
101 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
Analisis Real I 2012 Teorema 4.9.
Diberikan A ⊆ R , f : A → R , dan diberikan | f | didefinisikan sebagai
f ( x) = f ( x) , ∀x ∈ A .
a) Jika f kontinu di titik c ∈ A maka | f | kontinu di titik c.
b) Jika f kontinu pada A maka | f | kontinu pada A.
Bukti
a)...............................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
102 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
Analisis Real I 2012 .................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
Bukti
b)..............................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
103 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
Analisis Real I 2012 Teorema 4.10.
Diberikan A ⊆ R, f : A → R, f ( x) ≥ 0 ∀x ∈ A , dan diberikan
sebagai ( f )( x) =
f didefinisikan
f ( x) , ∀x ∈ A
a) Jika f kontinu di titik c ∈ A maka
b) Jika f kontinu pada A maka
f kontinu di titik c.
f kontinu pada A.
Bukti.
a) Ambil ε > 0 sebarang. Diberikan c ∈ A . Jika f (c ) = 0 maka
f (c ) = 0 .
Karena f kontinu di c ∈ A maka
∃δ > 0 ∋ ∀x ∈ A, x − c < δ ⇒ f ( x) = f (x ) < ε 2 atau
f (x ) − 0 =
f (x ) −
f (c ) < ε .
Sekarang diberikan c ∈ A dan f (c ) ≠ 0 . Karena Karena f kontinu di
c ∈ A maka ∃δ > 0 ∋ ∀x ∈ A, x − c < δ ⇒ f ( x) − f (c ) < ε f (c ) .
Perhatikan bahwa ∀x ∈ A, x − c < δ berlaku
f ( x) −
f (c ) =
=
Jadi terbukti
(
f ( x) −
(
f (c )
f ( x) +
f ( x ) − f (c )
f ( x) +
)(
f (c )
<
f ( x) +
f (c )
)
f (c )
f ( x ) − f (c )
f (c )
)=
<
(
( f ( x ) − f (c ) )
f ( x) +
ε f (c )
f (c )
f (c )
)
=ε
f kontinu di titik c.
■
Selanjutnya akan dibahas tentang komposisi fungsi kontinu.
Komposisi Fungsi Kontinu
Teorema 4.11.
Misal A, B ⊆ R , f : A → R , g : B → R , ∋ f ( A) ⊆ B . Jika f kontinu di titik c ∈ A
dan g kontinu pada b = f ( c ) ∈ B maka g o f : A → R kontinu di titik c.
Bukti
.................................................................................................................
.................................................................................................................
104 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
Analisis Real I 2012 .................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
Teorema 4.12.
Misal A, B ⊆ R , f : A → R , g : B → R , ∋ f ( A) ⊆ B . Diberikan f kontinu pada A
dan g kontinu pada B . Jika f ( A) ⊆ B maka g o f : A → R kontinu pada A.
105 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
Analisis Real I 2012 Bukti
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
106 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
Analisis Real I 2012 4.3 Fungsi Kontinu pada Interval
Definisi 4.13.
Misal f : A → R .f dikatakan terbatas pada A jika ∃M > 0 ∋ f ( x) ≤ M , ∀x ∈ A .
Dari definisi di atas dapat disimpulkan bahwa suatu fungsi dikatakan
terbatas jika range fungsi tersebut terbatas di R . Ingat bahwa fungsi
kontinu tidak selalu terbatas, contohnya pada f ( x) =
1
, A = {x ∈ R : x > 0} , f
x
kontinu pada A tetapi tidak terbatas pada A.
Jika f ( x) =
1
, B = {x ∈ R : 0 < x < 1} juga f kontinu pada B tetapi
x
terbatas pada B. Sedangkan jika f ( x) =
f
tidak
1
, C = { x ∈ R : x ≥ 1} f kontinu pada
x
C dan f terbatas pada C, meskipun C tidak terbatas.
Teorema 4.14 (Keterbatasan).
Misal I = [a,b] interval tertutup terbatas dan diberikan f : I → R kontinu
pada I. Maka f terbatas pada I.
Bukti:
Andaikan f tidak terbatas pada I, maka ∃xn ∈ I ∋ f ( xn ) > n, ∀n ∈ N . Karena
I terbatas maka X = (xn) terbatas, sehingga menurut teorema BolzanoWeistrass
ada
subbarisan
yang
konvergen,
sebut
X ′ = ( x nr )
yang
konvergen ke x. Karena X ′ ∈ I maka menurut teorema x ∈ I .
Dari hipotesis di atas diketahui
f
kontinu pada I, sehingga menurut
teorema 4.3 ( f ( x nr )) konvergen ke f(x). Menurut teorema suatu barisan
konvergen adalah terbatas, maka ( f ( x nr )) terbatas. Hal ini bertentangan
dengan kenyataan bahwa f ( xn r ) > nr ≥ r
, r ∈ R . Jadi pengandaian salah
haruslah f terbatas pada I.■
Definisi 4.15
Diberikan A ⊆ R , f : A → R . f mempunyai maksimum absolut pada A jika
ada x* ∈ A ∋ f ( x*) ≥ f ( x ), ∀x ∈ A dan f mempunyai minimum absolut pada
A jika ada x* ∈ A ∋ f ( x* ) ≤ f ( x), ∀x ∈ A .
107 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
Analisis Real I 2012 Note: x* disebut titik maksimum absolut dan x* disebut titik minimum
absolut.
Teorema 4.16 (Maksimum-Minimum).
Misal I = [a,b] interval tertutup terbatas dan diberikan f : I → R kontinu
pada I. Maka f
mempunyai maksimum absolut dan minimum absolut
pada I.
Bukti :
Diberikan f ( I ) = { f ( x), x ∈ I } . Karena I interval tertutup terbatas maka f(I)
juga terbatas pada R , sehingga f(I) mempunyai supremum dan infimum,
sebut
s*
=
sup
f(I)
dan
s* = inf f ( I ) .
Akan
dibuktikan
∃x*, x* ∈ I ∋ s* = f ( x*) & s* = f ( x* ) .
Karena
1
s* = sup f(I) maka s * − , n ∈ N bukan batas atas f(I). Sehingga
n
∃xn ∈ I ∋ s * −
1
< f ( xn ) ≤ s*, n ∈ N .
n
Karena I terbatas maka X = (xn) juga terbatas, sehingga menurut Teorema
Bolzano-Weistrass ada subbarisan
X ′ = ( x nr )
Karena
maka
s*−
f
kontinu
di
x*
yang konvergen ke x*.
lim f ( x nr ) = f ( x*)
n→∞
sehingga
1
< f ( x nr ) ≤ s*, r ∈ ℵ .
nr
Karena
⎛
1
lim⎜⎜ s * −
n →∞
nr
⎝
⎞
⎟⎟ = s* = lim s *
n →∞
⎠
maka
menurut
teorema
apit
lim ( f ( x nr )) = s * . Sehingga f ( x*) = lim ( f ( x nr )) = s* = sup f ( I ) .
n→∞
n→∞
Akibatnya f(x) mempunyai absolut maksimum.
■
Teorema 4.17 (Lokasi Akar).
Misal I = [a,b] interval tertutup terbatas dan diberikan f : I → R kontinu
pada I. Jika α < β , α , β ∈ I ∋ f (α ) < 0 < f ( β ) atau
f (α ) > 0 > f ( β ) maka
∃c ∈ (α , β ) ∋ f (c ) = 0 .
Bukti
.................................................................................................................
.................................................................................................................
108 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
Analisis Real I 2012 .................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
Teorema 4.18 (Niai Tengah Bolzano’s).
Misal I = [a,b] interval dan diberikan f : I → R kontinu pada I. Jika
a, b ∈ I
dan
jika
k ∈R
yang
memenuhi f (a) < k < f (b)
∃c ∈ (a, b) ∋ f (c) = k .
Bukti:
109 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
maka
Analisis Real I 2012 Misal a, b ∈ I dan f (a) < k < f (b) , k ∈ R .
•
Diberikan a < b dan diberikan g(x) = f(x) – k. Karena f (a) < k < f (b)
maka g (a) < 0 < g (b) . Karena
kontinu
pada
I,
f(x) kontinu pada I maka g(x) juga
sehingga
menurut
teorema
lokasi
akar
∃c ∈ (a, b), a < c < b ∋ 0 = g (c) = f (c) − k .Jadi f(c) = k.
•
Diberikan b < a dan diberikan h(x) = k - f(x). Karena f (a) < k < f (b)
maka h(b) < 0 < h(a) . Karena
kontinu
pada
I,
f(x) kontinu pada I maka h(x) juga
sehingga
menurut
teorema
lokasi
∃c ∈ (a, b), b < c < a ∋ 0 = h(c) = k − f (c) .Jadi f(c) = k.
akar
■
Akibat 4.19.
Misal I = [a,b] interval tertutup terbatas dan diberikan f : I → R kontinu
pada
I.
Jika
k ∈ℜ
yang
memenuhi inf f ( I ) ≤ k ≤ sup f ( I )
maka
∃c ∈ I ∋ f (c) = k .
4.4 Kekontinuan Seragam
Definisi 4.20.
Diberikan A ⊆ R, f : A → R. f dikatakan kontinu seragam pada A jika
untuk ∀ε > 0, ∃δ (ε ) > 0 ∋ ∀x, u ∈ A, x − u < δ (ε ) ⇒ f ( x ) − f (u ) < ε .
Selanjutnya akan dibicarakan beberapa kriteria ketakkontinuan
seragam, salah satunya dengan menggunakan barisan.
Definisi 4.21 (Ketak Kontinuan Seragam).
Diberikan A ⊆ R, f : A → R. Pernyataan berikut ekuivalen :
1) f tidak kontinu seragam pada A
2) ∀δ > 0, ∃ε 0 > 0, ∃xδ , u δ ∈ A ∋ xδ − u δ < δ ⇒ f ( xδ ) − f (u δ ) ≥ ε 0
3) ∃ε 0 > 0, ∃( xn ), (un ) ∈ A ∋ lim ( xδ − uδ ) = 0 & f ( xn ) − f (un ) ≥ ε 0 , ∀n ∈ N
n →∞
Dari definisi kekontinuan fungsi jelas bahwa jika f kontinu seragam pada
A maka f kontinu di setiap titik dari A. Tetapi jika f kontinu di setiap titik
dari A tidak mengakibatkan f
diberikan g ( x) =
kontinu seragam pada A. Contohnya
1
, A = {x ∈ R : x > 0} . Fungsi g kontinu pada A ( lihat
x
110 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
Analisis Real I 2012 contoh ), tetapi g tidak kontinu seragam pada A karena dengan
mengambil ε 0 = 12 , x n =
1
1
, un =
∋ lim( x n − u n ) = 0 dan
n
n + 1 n →∞
g ( xn ) − g (u n ) =| n − ( n + 1) |= 1 ≥
1
2
= ε 0 , ∀n ∈ R .
Selanjutnya jika f kontinu pada suatu interval tertutup terbatas,
sebut I maka f kontinu seragam pada I.
Teorema 4.22 (Kekontinuan Seragam).
Diberikan I
adalah interval tertutup terbatas, dan
f : I → R kontinu
pada I maka f kontinu seragam pada I.
Bukti
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
111 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
Analisis Real I 2012 .................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
Pada teorema 4.22 suatu fungsi kontinu akan kontinu seragam jika
intervalnya tertutup dan terbatas. Apabila intrervalnya tidak tertutup dan
terbatas akan sulit menentukan kekontinuan seragam. Untuk itu
diperlukan kondisi lain, yaitu kondisi Lipschitz .
Definisi 4.23 (Fungsi Lipschitz).
Diberikan A ⊆ R, f : A → R. Jika ∃K > 0 ∋ f ( x ) − f (u ) ≤ K x − u , ∀x, u ∈ A maka f
dikatakan fungsi Lipschitz pada A atau memenuhi kondisi Lipschitz.
Teorema 4.24.
Jika f : A → R dan f fungsi Lipschitz maka f kontinu seragam pada A.
Bukti:
Ambil ε > 0 sebarang.
Diberikan f fungsi Lipschitz maka ∃K > 0 ∋ f ( x ) − f (u ) ≤ K x − u , ∀x, u ∈ A .
Akan
ditunjukkan
f
kontinu
seragam
pada
A
atau
∃δ > 0 ∋ ∀x, u ∈ A, x − u < δ ⇒ f ( x ) − f (u ) < ε .
Pilih δ =
ε
K
f ( x) − f (u ) ≤ K x − u < Kδ = K
, sehingga ∀x, u ∈ A,
ε
K
=ε .
Jadi f kontinu seragam pada A.
■
Kebalikan dari teorema di atas tidak benar, artinya tidak setiap fungsi
kontinu
seragam
adalah
g : I → ℜ, I = [0,2], g ( x ) =
fungsi
Lipschitz.
Contohnya,
diberikan
x . Menurut teorema 4.10 g kontinu pada I,
sehingga menurut teorema 4.22 g kontinu seragam pada I. Tetapi g
bukan
fungsi
Lipschitz
karena
K > 0 ∋ g ( x ) − g (u ) ≤ K x − u , ∀ x , u ∈ I .
112 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
tidak
ada
Analisis Real I 2012 Contoh 4.25.
1. Diberikan f(x) = x2 pada A = [0,b] dengan b konstanta positif.
Tunjukkan bahwa f kon tinu seragam.
Jawab:
Ambil x, u ∈ [0, b] sebarang. Perhatikan bahwa
f ( x) − f (u ) = x 2 − u 2 = x + u x − u ≤ 2b x − u .
Sehingga dengan mengambil K = 2b , f merupakan fungsi Lipschitz.
Menurut teorema 4.24 f kontinu seragam.
2. Diberikan g ( x ) = x ,
A = [1, ∞ ) . Tunjukkan bahwa g kon tinu seragam.
Jawab:
Ambil x, u ∈ A sebarang. Perhatikan bahwa
g ( x) − g (u ) =
x− u =
x−u
x+ u
≤
1
x−u .
2
Sehingga dengan mengambil K = ½ , g merupakan fungsi Lipschitz.
Menurut teorema 4.24 g kontinu seragam.
4.5 Fungsi Monoton dan Fungsi Invers
Definisi 4.26.
1. Diberikan
f : A → R, f dikatakan naik pada A jika ∀x1 , x 2 ∈ A dan
x1 ≤ x2 maka f ( x1 ) ≤ f ( x2 ) . Fungsi f dikatakan naik sejati pada A jika
∀x1 , x 2 ∈ A dan x1 < x2 maka f ( x1 ) < f ( x2 ) .
2. Diberikan f : A → R, f dikatakan turun pada A jika ∀x1 , x 2 ∈ A dan
x1 ≤ x2 maka f ( x1 ) ≥ f ( x2 ) . Fungsi f dikatakan naik sejati pada A jika
∀x1 , x 2 ∈ A dan x1 < x2 maka f ( x1 ) > f ( x2 ) .
Selanjutnya jika f : A → R, naik pada A maka g = -f
turun pada A,
sedangkan jika f : A → R, turun pada A maka g = -f naik pada A.
Fungsi yang monoton belum tentu konitnu, sebagai contoh
⎧0 , x ∈ [ 0 ,1 ]
Diberikan f ( x ) = ⎨
⎩1, x ∈ ( 1,2 ]
Pada fungsi di atas, f naik pada [0,2] tetapi tidak kontinu di x = 1.
113 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
Analisis Real I 2012 Teorema 4.27.
Misal I ⊆ R, f : I → R, f naik pada I. Misal
c ∈ I dimana c bukan titik
ujung dari I, maka
( i ). lim− f ( x ) = sup{ f ( x ) : x ∈ I , x < c }
x →c
( ii ). lim+ f ( x ) = inf{ f ( x ) : x ∈ I , x > c }
x →c
Bukti:
(i). Ambil ε > 0 sebarang.
Diberikan x ∈ I dan x < c. Karena f naik maka f ( x ) ≤ f ( c ) . Sehingga
{ f ( x ) : x ∈ I , x < c } terbatas di atas oleh f(c). Karena { f ( x ) : x ∈ I , x < c }
terbatas
di
atas
maka
mempunyai
supremum,sebut
L = sup{ f ( x ) : x ∈ I , x < c } .
Maka ∀ε > 0, L − ε bukan batas atas { f ( x ) : x ∈ I , x < c } , sehingga ∃y ε ∈ I
dimana y ε < c ∋ L − ε < f ( y ε ) ≤ L.
Pilih δ = c − y ε ∋ 0 < c − y < δ maka
Akibatnya
y ε < y < c dan L − ε < f ( y ε ) ≤ f ( y ) ≤ L .
f( x)− L < ε
jika
0<c− y <δ
atau
f ( x ) − sup{ f ( x ) : x ∈ I , x < c} < ε untuk 0 < c − y < δ .
Karena
ε >0
sebarang,
maka
dapat
disimpulkan
lim f ( x) = sup{ f ( x) : x ∈ I , x < c} .
x →c −
(ii). Bukti
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
114 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
Analisis Real I 2012 .................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
Akibat 4.28.
Misal I ⊆ R, f : I → R, f naik pada I. Misal
c ∈ I dimana c bukan titik
ujung dari I, maka pernyataan berikut equivalent:
a) f kontinu di c
b) lim− f ( x ) = f ( c ) = lim+ f ( x )
x →c
x →c
c) sup{ f ( x ) : x ∈ I , x < c } = f ( c ) = inf{ f ( x ) : x ∈ I , x > c }
Misal I interval dan
f : I → R, f fungsi naik. Misal a titik ujung kiri dari
I, dan f kontinu di a jika dan hanya jika f ( a ) = inf{ f ( x ) : x ∈ I , x > a }, atau
f kontinu pada a jika dan hanya jika f ( a ) = lim+ f ( x ) .
x→a
115 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
Analisis Real I 2012 Misal I interval dan
f : I → R, f fungsi naik. Misal b titik ujung kanan
dari I, dan f kontinu di b jika dan hanya jika f ( b ) = sup{ f ( x ) : x ∈ I , x 
0
yang
memenuhi
, x, y ∈ R . Buktikan bahwa f kontinu di setiap
titik c ∈ R .
Bukti
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
116 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
Analisis Real I 2012 .................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
Diberikan A ⊆ R, f : A → R , dan diberikan | f | didefinisikan sebagai
2.
f ( x ) = f ( x ) , ∀x ∈ A . Buktikan jika f kontinu di titik c ∈ A maka |f|
kontinu di titik c.
Bukti
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
117 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
Analisis Real I 2012 .................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
3.
Berikan contoh fungsi f dan g yang tidak kontinu di titik c, tetapi
(f + g) dan (fg) kontinu di titik c.
Bukti
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
118 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
Analisis Real I 2012 .................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
Berikan contoh fungsi f : [0,1] → R yang tidak kontinu di setiap titik
4.
dari [0,1], tetapi |f| kontinu pada [0,1].
Bukti
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
119 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
Analisis Real I 2012 .................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
5.
Misal I = [a,b] dan diberikan
f : I → R kontinu pada I , dan
diberikan f (a) < 0, f (b) > 0 . Diberikan W = {x ∈ I : f ( x) < 0} dan w =
sup{W}. Buktikan f(w) = 0.
Bukti
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
120 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
Analisis Real I 2012 .................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
6.
Diberikan
g ( x) =
x,
A = [0, ∞) .
Tunjukkan
bahwa
g
kontinu
seragam pada A.
Bukti
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
121 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
Analisis Real I 2012 .................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
7.
Diberikan
g ( x) =
1
, A = [a, ∞) dengan
x
a
konstanta
positif.
Tunjukkan bahwa g kon tinu seragam pada A.
Bukti
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
122 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
Analisis Real I 2012 .................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
8.
Buktikan jika f kontinu seragam pada A maka f terbatas pada A.
Bukti
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
123 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
Analisis Real I 2012 .................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
9.
Diberikan f(x) = x dan g(x) = sin x, tunjukkan bahwa f(x) dan g(x)
kontinu seragam pada ℜ , tetapi (fg)(x) tidak kontinu seragam pada
ℜ.
Bukti
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
124 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
Analisis Real I 2012 .................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
10.
Diberikan
g ( x) =
1
, A = [1, ∞) . Tunjukkan bahwa g kon tinu
x2
seragam pada A, tetapi g tidak kontinu seragam pada B = (0, ∞) .
Bukti
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
125 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
Analisis Real I 2012 .................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
11.
Buktikan jika f dan g kontinu seragam pada R maka f o g kontinu
seragam pada R .
Bukti
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
126 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
Analisis Real I 2012 .................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
12.
Diberikan A ⊆ R, f : A → R, g : A → R, b ∈ R . Diberikan c ∈ A dan f dan
g kontinu di titik c, buktikan (f + g), f - g, fg, bf kontinu di c dengan
menggunakan definisi fungsi kontinu.
Bukti
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
127 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
Analisis Real I 2012 .................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
128 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
Analisis Real I 2012 DAFTAR PUSTAKA
Apostol, T.M, 1957, Mathematical Analysis, Addison-Wesley Publishing
Company.
Bartle, R.G., 2001, A Modern Theory of Integration,
Mathematical Society, Vol. 32., Providence, Rhode Island.
American
Burk, F.E., 2007, A Garden of Integrals, The Mathematical Association of
America, Number Thirty-One.
Burkill,J.C. & Burkill, H, 1970, A Second Course in Mathematical
Analysis, Cambridge University Press, London.
Darmawijaya, Soeparna, Pengantar Analisis Real, UGM, Yogyakarta,
2006.
DePree, J., Swartz, C., Introduction to Real Analysis, John Wilwey & Sons,
Inc., 1988.
Goldberg, R. R., Methods of Real Analysis, John Wiley & Sons, Second
Edition.
Guswanto, B.H, & Siti, R.N, Lecture Note Analisis Real, Jurusan MIPA,
Universitas Jenderal Soedirman, Purwokerto, 2006.
Julan H, 2007. Materi kuliah Logika Matematika, jurusan matematika
FMIPA, UAD, Yogyakarta.
http:/www2.edc.org/makingmath
http:/www.cut-the-knot.org
129 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
DAFTAR PUSTAKA
Apostol, T.M, 1957, Mathematical
Publishing Company.
Analysis,
Addison-Wesley
Bartle, R.G., 2001, A Modern Theory of Integration, American
Mathematical Society, Vol. 32., Providence, Rhode Island.
Burk, F.E., 2007, A Garden of Integrals, The Mathematical
Association of America, Number Thirty-One.
Burkill,J.C. & Burkill, H, 1970, A Second Course in Mathematical
Analysis, Cambridge University Press, London.
DePree, J., Swartz, C., Introduction to Real Analysis, John Wilwey &
Sons, Inc., 1988.
Goldberg, R. R., Methods of Real Analysis, John Wiley & Sons,
Second Edition.
Julan H, 2007. Materi kuliah Logika Matematika, jurusan
matematika FMIPA, UAD, Yogyakarta.
http:/www2.edc.org/makingmath
http:/www.cut-the-knot.org

analisis real i - Universitas Udayana Repository

Related documents

Products

Support

analisis real i - Universitas Udayana Repository

Related documents

Add this document to collection(s)

Add this document to saved

Suggest us how to improve StudyLib