Aksioma 2

PRESENTASI
GEOMETRI
NON EUCLID
7 SEPTEMBER 2010
KELOMPOK 1
• DIANA WAHYUNING FITAWATI
• AHMAD DZULFIKAR
• ARNASLI YAHYA
Geometri Empat Titik
•Aksioma 1: terdapat tepat empat
titik.
•Aksioma 2: sebarang dua titik
berbeda, pada tepat satu garis.
•Aksioma 3: setiap garis pada
tepat dua titik.
Interpretasi
Definisi
Dua garis pada titik yang sama dikatakan
berpotongan dan dua garis itu disebut garis-garis
berpotongan.
Contoh:
k dan g, l dan g, l dan m, m dan n, n dan g, h dan l,
h dan m, k dan n adalah garis-garis berpotongan.
Sedangkan garis h dan k tidak berpotongan.
Definisi
Dua garis yang tidak berpotongan
dikatakan sejajar.
Contoh:
garis h sejajar k, l sejajar n, dan m sejajar
g.
Teorema 1
Jika dua garis berbeda berpotongan maka mereka
mempunyai satu titik sekutu.
Bukti:
Menurut definisi dua garis berpotongan mempunyai
minimal satu titik sekutu. Sebut garis itu g dan h, dan
titik sekutu itu A. Berarti A pada g dan A pada h. Andai
ada satu titik sekutu lain sebut titik B, berarti B pada g
dan B pada h. berarti melalui A dan B terdapat lebih dari
satu garis, hal ini kontradiksi dengan aksioma 2. Jadi
pengandaian salah . Terbukti 2 garis berpotongan
mempunyai tepat satu titik sekutu.
Teorema 2
Terdapat enam garis.
Bukti:
Menurut aksioma 1: ada empat titik.
Menurut aksioma 2: sebarang dua titik
berbeda terdapat satu garis, sehingga dari
kedua aksioma ini didapat banyaknya
garis ada kombinasi 2 dari 4, yaitu 6 garis.
Teorema 3
Setiap titik pada tepat tiga garis.
Bukti:
Menurut aksioma 1 ada tepat 4 titik, sebut titik-titik itu A, B,
C, dan D. Menurut aksioma 2: dua titik berbeda menentukan
tepat satu garis. Berarti dari satu titik ada minimal 3 garis.
Andaikan ada garis keempat, menurut aksioma 3 setiap garis
pada tepat 2 titik. Berarti garis keempat pasti melalui satu dari
ketiga titik lainnya, sehingga ada dua titik berbeda yang
mempunyai lebih dari satu garis pad keduanya. Hal ini
kontradiksi dengan aksioma 2. Jadi tidak ada garis keempat,
terbukti ada tepat 3 garis.
Teorema 4
Setiap garis mempunyai tepat satu garis yang sejajar
dengannya.
Bukti:
Menurut aksioma 1: ada tepat empat titik, sebut P, Q, R, dan
S. Menurut aksioma 2: melalui sebarang titik Q dan R ada
tepat satu garis, sebut l. Sedangkan menurut teorema 3, setiap
titik ada tepat tiga garis, berarti di suatu titik P tidak pada l
ada tepat 3 garis. Dua dari tiga garis ini pasti memotong l
(aksioma 2). Andaikan garis ketiga memotong l maka
perpotongannya adalah satu titik. Titik ini pasti berbeda
dengan dua titik pada l (karena aksioma 2), berarti ada titik
yang ketiga. Kontradiksi dengan aksioma 3, sehingga
pengandaian salah. Terbukti ada tepat satu garis yang sejajar l.
Geometri Fano
Inisiatif pertama dalam mempelajari geometri finite datang dari
Gino Fano. Pada tahun 1892, fano menemukan geometri finite 3
dimensi yang mempunyai 15 titik, 35 garis, dan 15 bidang. Satu dari
bidang-bidang tersebut adalah geometri fano. Sebagai undefined
terms ditetapkan titik, garis, dan pada. Aksioma-aksiomanya
adalah:
Aksioma 1: terdapat minimal satu garis
Aksioma 2: terdapat tepat tiga titik pada setiap garis
Aksioma 3: tidak semua titik segaris
Aksioma 4: terdapat tepat satu garis pada sebarang dua titik
berbeda
Aksioma 5: terdapat minimal satu titik pada sebarang dua garis
berbeda
Penyajian dari Suatu Model
Geometri Fano
A
B
C
A
G
F
A
E
D
B
G
D
C
G
E
C
F
D
E
B
F
l1
l2
l3
l4
l5
l6
l7
Teorema 1 Fano
Dua garis berbeda mempunyai tepat satu titik sekutu
Bukti:
Menurut aksioma ke 5 terdapat minimal satu titik pada
sebarang dua garis berbeda.
Sebut garis itu k dan g dengan titik sekutu P, andaikan ada
titik sekutu lain yaitu Q maka:
P pada k dan Q pada k, demikian pula P pada g dan Q pada
g.
Berarti untuk dua titik berbeda P dan Q terdapat dua garis.
Hal ini kontradiksi dengan aksioma ke 4. Jadi dua garis
berbeda mempunyai tepat satu titik sekutu.
Teorema 2 Fano
Geometri Fano mempunyai tepat 7 titik dan 7 garis
Bukti:
Menurut aksioma -1, terdapat minimal 1 garis, garis itu kita sebut l.
Menurut aksioma -2, pada garis l ada tepat tiga titik, sebut titik A,
B, dan C.
Menurut aksioma -3, tidak semua titik pada garis l, berarti minimal
1 titik tidak pada l, sebut titik itu P.
Jadi ada minimal 4 titik, yaitu A, B, C, dan P.
Menurut aksioma -4, P dan setiap titik pada l menentukan garisgaris berbeda.
Menurut aksioma -2, garis-garis ini masing-masing memuat tiga
titik. Karena untuk setiap dua titik hanya ada 1 garis (aksioma -4)
maka 3 titik tadi pasti bukan A, B, C ataupun P.
Jadi minimal ada 7 titik, A, B, C, P, Q, R, dan S.
Teorema 2 Fano
Andaikan ada titik ke -8 yaitu K, maka P dan K
menentukan garis h=garis PQ (aksioma -4).
Menurut aksioma -5, h dan l pasti berpotongan.
Titik potong h dan l pasti bukan A, B, ataupun
C, karena setiap 2 titik menentukan garis
tunggal.
Karena ini berarti l memuat 4 titik.
Hal ini kontradiksi dengan aksioma -2.
Jadi tidak mungkin ada titik kedelapan, sehingga
tepat ada 7 titik.
Geometri Young
Geometri Young mempunyai lima
aksioma, empat aksioma pertama sama
dengan empat aksioma pertama
geometri Fano. Sedangkan aksioma ke 5 menyatakan:
”Untuk setiap garis l dan titik P tidak
pada l terdapat tepat 1 garis yang melalui
P dan tidak memuat titik pada l”.
Geometri Young
Teorema 1 Young
Di setiap titik terdapat minimal 4 garis.
Bukti:
Menurut aksioma -1: ada minimal satu garis,
sebut garis itu l. Menurut aksioma -2: ada
tepat 3 titik pada setiap garis.
Berarti di l ada 3 titik, sebut titik itu A, B, dan
C.
Menurut aksioma -3: tidak semua titik segaris.
Berarti ada titik tidak pada l, sebut P.
Teorema 1 Young
Menurut aksioma -4: ada tepat satu garis pada
sebarang dua titik berbeda.
Jadi ada minimal 3 garis melalui sebarang titik P.
Menurut aksioma -5: di P tidak pada l ada satu
garis yang tidak memuat titik pada l.
Jadi ada minimal 4 garis di P.
Teorema 2 Young
Terdapat tepat 9 titik.
Bukti:
Berdasarkan aksioma 1 dan 2 didapat ada minimal 3 titik pada
garis l.
sedang menurut aksioma 3 tidak semua titik segaris, berarti ada
minimal 1 titik yang tidak pada l, sebut titik P.
sehingga ada minimal 4 titik.
Aksioma -4 menyatakan setiap 2 titik menentukan garis.
Berarti P dan titik-titik pada l menentukan garis, yaitu l1, l2, dan
l3.
Di setiap garis ini ada tepat 3 titik (aksioma 2).
3 titik ini pasti bukan 4 titik tadi karena untuk setiap 2 titik ada
tepat 1 garis, sehingga minimal ada 7 titik.
Teorema 2 Young
Terdapat tepat 9 titik.
Bukti:
Menurut teorema 1: di P ada minimal 4 garis.
Menurut aksioma 5: l4 tidak memotong l.
Menurut aksioma 2: di l4 ada tepat 3 titik. Jadi ada minimal 9 titik.
Andai ada titik ke -10 yaitu Q.
Menurut aksioma 4: P dan Q menentukan 1 garis.
Titik Q pasti tidak pada l, karena kalau Q pada l berarti di l ada lebih
dari 3 titik. Kontradiksi dengan aksioma 2.
Sehingga di P ada lebih dari 1 garis yang tidak memuat titik pada l.
kontradiksi dengan aksioma 5.
Jadi tidak ada titik yang ke 10.
Terbukti ada tepat 9 titik.
Teorema 3 Young
Terdapat tepat 12 garis.
Bukti:
Menurut teorema -2 ada tepat 9 titik. Untuk
memudahkan kita sebut saja titik-titik itu A, B, C, D, E,
F, G, H, dan I.
Jadi di dapat:
A
A
A
B
B
B
C
C
D
D
G
H
B
D
E
E
D
F
F
E
E
H
H
F
C
G
I
H
I
G
I
G
F
C
I
A
l1
l2
l3
l4
l5
l6
l7
l8
l9
l10 l11 l12
Geometri Insidensi
Aksioma 1: setiap dua titik berbeda pada tepat
satu garis.
Aksioma 2: untuk setiap garis, minimal dua
titik berbeda pada garis itu.
Aksioma 3: terdapat minimal tiga titik berbeda.
Aksioma 4: tidak semua titik segaris.
Suatu geometri yang memenuhi keempat
aksioma tersebut disebut Geometri Insidensi.
Padanan
Geometri empat titik adalah geometri insidensi. Hal ini
dapat dilihat dari padanan berikut ini.
Geometri Insidensi
Geometri 4 titik
Aksioma 1
Aksioma 2
Aksioma 2
Aksioma 3
Aksioma 3
Aksioma 1
Aksioma 4
Aksioma 1, Aksioma 2, Aksioma 3
Jelas semua aksioma-aksioma geometri Insidensi
dipenuhi oleh aksioma-aksioma geometri 4 titik.
Jadi geometri 4 titik merupakan geometri Insidensi.
Padanan
Geometri Fano dan Young adalah geometri insidensi.
Hal ini dapat dilihat dari padanan berikut ini.
Geometri Insidensi
Geometri Fano
Aksioma 1
Aksioma 4
Aksioma 2
Aksioma 2
Aksioma 3
Aksioma 1, aksioma 2
Aksioma 4
Aksioma 3
Jelas semua aksioma-aksioma geometri Insidensi
dipenuhi oleh aksioma-aksioma geometri Fano dan
young.
Jadi geometri Fano merupakan geometri Insidensi.
Padanan
Geometri Young adalah geometri insidensi. Hal ini dapat
dilihat dari padanan berikut ini.
Geometri Insidensi
Geometri Young
Aksioma 1
Aksioma 2, Aksioma 3
Aksioma 2
Aksioma 2
Aksioma 3
Aksioma 4
Aksioma 4
Aksioma 1
Aksioma 3, Aksioma 4
Jelas semua aksioma-aksioma geometri Insidensi
dipenuhi oleh aksioma-aksioma geometri Young.
Jadi geometri Young merupakan geometri Insidensi.
Teorema 1 Geometri Insidensi
Jika dua garis berbeda berpotongan maka perpotongannya
pada tepat satu titik.
Bukti:
Misalkan garis itu l dan m.
Jika l dan m berpotongan menurut definisi mereka
berpotongan pada minimal satu titik, sebut P.
Andaikan l dan m juga berpotongan di Q, maka melalui P
dan Q terdapat garis PQ, sehingga melalui P dan Q ada
lebih dari garis.
Kontradiksi dengan aksioma 1 insidensi.
Terbukti l dan m berpotongan pada tepat satu titik.
Teorema 2 Geometri Insidensi
Untuk setiap titik terdapat minimal dua garis yang memuat titik
itu.
Bukti:
Menurut aksioma 3: terdapat minimal 3 titik berbeda
Menurut aksioma 4: tak semua titik segaris
Berarti untuk setiap titik P terdapat minimal 1 garis yang tidak
memuat P.
Menurut aksioma 2: setiap garis memuat minimal 2 titik berbeda.
Sehingga garis yang tak memuat P tadi minimal memuat 2 titik
berbeda.
Menurut aksioma 1, P dan titik-titik pada garis tadi terdapat tepat 1
garis.
Jadi di setiap titik P ada minimal 2 garis.
Teorema 3 Geometri Insidensi
Terdapat tiga garis yang tidak bersekutu
di satu titik
Bukti:
Menurut aksioma 3 dan 4 berarti ada 3
titik yang tidak segaris.
Jadi minimal ada 3 garis (aksioma 1)
dan garis-garis tidak bersekutu di satu
titik.
Kesejajaran pada Geometri Insidensi
Jika l suatu garis dan P sebarang titik tidak pada l,
maka terdapat tiga kemungkinan (alternatif)
untuk aksioma kesejajaran, sebagai berikut:
• Tidak ada garis yang melalui P sejajar l.
• Ada tepat satu garis melalui P sejajar l.
• Ada lebih dari satu garis melalui P sejajar l.
Geometri insidensi yang memenuhi alternatif ke1 atau ke-3 disebut geometri non Euclid, sedang
yang memenuhi alternatif ke-2 disebut geometri
Euclid.
Kesimpulan
Geometri insidensi sebagai suatu sistem aksiomatik menetapkan titik,
garis, dan pada sebagai undefinied terms dengan 4 aksioma, yaitu:
• Aksioma 1: setiap dua titik berbeda pada tepat satu garis
• Aksioma 2: untuk setiap garis minimal 2 titik berbeda pada garis itu
• Aksioma 3: terdapat minimal tiga titik berbeda
• Aksioma 4: tidak semua titik segaris
Terdapat tiga alternatif kesejajaran pada geometri insidensi jika g suatu
garis dan P titik tidak pada garis g, maka:
• Tidak ada garis melalui P sejajar g
• Ada tepat satu garis melalui P sejajar garis g
• Ada lebih dari satu garis melalui P sejajar garis g
Geometri insidensi yang memenuhi alternatif kesejajaran i) atau iii)
disebut geometri non euclid, dan yang memenuhi alternatif iii)
disebut geometri euclid.