Cerdik Matematika

1. Himpunan
Himpunan adalah kumpulan obyek yang ciri keanggotaannya
terdefinisikan dengan jelas
2. Kumpulan angka yang membawa keberuntungan;
kumpulan angka pembawa sial; dsj., tak bisa disebut
himpunan, karena ciri keanggotaannya tidak jelas, karena
berbeda-beda antara orang satu dengan lainnya.
3. Kumpulan bilangan kelipatan dua bisa disebut himpunan,
karena ciri keanggotaannya jelas.
4. Kumpulan mahasiswa miskin tidak bisa disebut himpunan,
karena kriteria miskin tidak jelas. Tetapi jika kriteria miskin
sudah ditentukan secara jelas, maka dalam batasan
tertentu kumpulan ini bisa disebut himpunan.
5. Kumpulan mahasiswa cantik tidak bisa disebut himpunan,
karena kriteria cantik tidak jelas. Tetapi jika kriteria cantik
sudah ditentukan secara jelas, maka dalam batasan
tertentu kumpulan ini bisa disebut himpunan.
6. Batasan tertentu ini kemudian menghasilkan himpunan
universal.
7. Himpunan universal adalah himpunan yang menjadi topik
pembicaraan
8. Misalnya himpunan universal bagi bilangan bulat positif
ganjil yaitu 1, 3, 5, 7, . . . , dst.
Cerdik Matematika 2011
9. Himpunan universal untuk mahasiswa miskin misalnya
mahasiswa yang gaji orang tuanya kurang dari
Rp.1.000.000,- per bulan.
10.
Himpunan universal untuk mahasiswa cantik misalnya
yang memenuhi syarat: harus berjenis kelamin
perempuan, harus memiliki mata, harus memiliki mulut,
letak hidung harus di bawah mata, letak mulut harus di
bawah hidung, dst.
11.
Ciri keanggotaan himpunan bisa dinyatakan secara
verbal (dengan kata-kata) maupun dengan simbol.
12.
Misal himpunan kelompok belajar Alfa Omega
beranggotakan: Mirna, Ovie, Denis, Irfan, Cinta, Aisah,
Nurul, bisa dinyatakan sbb:
A = { Mirna, Ovie, Denis, Irfan, Cinta, Aisah, Nurul}
Mirna
 A (dibaca: Mirna anggota himpunan A).
tetapi M  A (dibaca: M bukan anggota himpunan A), karena
tak ada anggota bernama M.
13.
Mendeskripsikan himpunan secara verbal, misalnya:
 {a, b, c, . . . , z} bisa dideskripsikan sebagai himpunan
alfabet Inggris.
 {1, 2, 3, . . . } = himpunan bilangan dapat dihitung
(counting numbers). Bilangan dapat dihitung (counting
numbers) juga disebut bilangan asli (natural) oleh sebab
itu sering disimbolkan dengan N.
2
Cerdik Pustaka: e-mail: [email protected]
Cerdik Matematika 2011
 {1, 3, 5, . . . } = himpunan bilangan dapat dihitung ganjil
(odd counting numbers).
 {0, 1, 2, 3, . . . } = himpunan bilangan utuh (the whole
numbers).
 {. . . , -2, -1, 0, 1, 2, . . . } = himpunan bilangan bulat (the
integers}.

 2  2 0 1 3 4 5
, , , , , 
 ,
 3  2 5 3 2 3 4
adalah salah satu himpunan bagian dari
himpunan bilangan rasional.
14.
Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat
a
,
b
dinyatakan sebagai
dimana a maupun b anggota
bilangan bulat, tetapi b tak boleh = 0. Dengan demikian
himpunan bilangan rasional bisa dinyatakan sebagai Q = {x
=
a

b
a maupun b = bilangan bulat, tetapi b ≠ 0}.
4
merupakan anggota bilangan rasional, karena bisa
dinyatakan sebagai
2
1
atau 4 , tetapi
2
3=
1,732050808.......
menghasilkan desimal tak ada hentinya dan tak berulang.
Oleh sebab itu
3
tak dapat dinyatakan sebagai a , dimana
b
a maupun b = bilangan bulat, maka 3 bukan bilangan
rasional, tetapi 3 masuk bilangan irasional.
15.
Bilangan irasional adalah lawan dari bilangan rasional.
Bilangan irasional adalah bilangan yang tak dapat
dinyatakan sebagai
a
,
b
dimana a maupun b anggota
bilangan bulat. Bilangan irasional bila dinyatakan dengan
3
Cerdik Pustaka: e-mail: [email protected]
Cerdik Matematika 2011
desimal menghasilkan angka di belakang koma yang tak
ada habisnya dan tak berulang, misalnya
=
2
1,414213562........
tetapi jika desimalnya berulang,
bilangan termasuk ke dalam bilangan rasional, misal
0,666666..... merupakan hasil dari 2 , maka masuk bilangan
3
rasional, demikian pula 0,33333.... =
1
.
3
Himpunan
bilangan irasional bisa dinyatakan sebagai: P = {x ≠
a

b
a
maupun b bilangan bulat (the whole numbers)} misal {..., 5 , 3 , 2 , ...}.
16.
Gabungan
bilangan
rasional
dan
irasional
dikelompokkan ke dalam bilangan riil. Maka himpunan
bilangan riil bisa dinyatakan sebagai R = semua bilangan
rasional maupun irasional.
17.
Bilangan kompleks: Jika - 5 bisa dinyatakan sebagai 2,236067977, tidak demikian dengan  5 . Bilangan  5
tidak dikelompokkan riil, karena tidak ada bilangan yang
kalau dikuadratkan menghasilkan bilangan negativ. Maka
 5 kemudian disederhanakan menjadi 5(1) = ( 5 )(  1 ).
Selanjutnya  1 disimbolkan sebagai i, sedang 5
diselesaikan menjadi 2.236067977........, sehingga akhirnya
menjadi (2.236067977....) i. Oleh sebab itu bilangan
kompleks bisa dinyatakan sebagai C = {a + bi  a maupun b
anggota bilangan riil, sedangkan i =  1 .
4
Cerdik Pustaka: e-mail: [email protected]
Cerdik Matematika 2011
Gambar 1
18.
Himpunan bilangan asli (N) = himpunan bagian dari
himpunan bilangan utuh (W), ditulis dalam simbol: N 
W. Bilangan 0 bukan anggota himpunan bilangan asli (N),
ditulis dengan simbol: 0  N, tetapi 0 anggota himpunan
bilangan utuh (W), ditulis dengan simbol: 0  W.
19.
Himpunan bilangan utuh (W) = himpunan bagian
sejati dari himpunan bulat (I), ditulis W  I. Bilangan bulat
5
Cerdik Pustaka: e-mail: [email protected]
Cerdik Matematika 2011
negativ (I-) bukan anggota himpunan bilangan utuh (W),
misal -3  W, tetapi bilangan -3 anggota himpunan
bilangan bulat (I), simbolnya -3  I.
20.
Himpunan bilangan bulat (I) = himpunan bagian sejati
dari himpunan bilangan rasional (Q).
21.
Himpunan bilangan rasional = himpunan bagian sejati
dari himpunan bilangan riil (R). Himpunan bilangan riil (R)
= himpunan bagian sejati dari himpunan bilangan
kompleks (C).
22.
Dengan demikian: N  W  I  Q  R  C.
23.
Contoh penerapan: {3, 6, 9, . . . , 27} bisa
dideskripsikan sebagai himpunan bilangan asli (atau
bilangan dapat dihitung) kelipatan 3 dan kurang dari 28
(atau kurang dari 29, atau kurang dari 30).
24.
Mengubah penulisan himpunan dari bentuk simbol ke
dalam bentuk daftar bisa sbb:
25.
Misal A = {x  x adalah simbol digit pembentuk
bilangan 1896},
dibaca: A adalah himpunan
beranggotakan x dimana x adalah simbol dari bilangan
1896, maka anggota himpunan A terdiri dari: 1, 8, 9, dan 6
dan dituliskan sebagai {1, 8, 9, 6}.
 B = {x  x > 5, x bilangan bulat ganjil}, dibaca: B adalah
himpunan beranggotakan x dimana nilai x lebih besar dari
5, sedangkan x bilangan bulat ganjil, maka anggota
himpunan B adalah {7, 9, 11, . . . }
6
Cerdik Pustaka: e-mail: [email protected]
Cerdik Matematika 2011
 C = {x  0 < x < 1, x bilangan dapat dihitung (counting
numbers)}, dibaca: C adalah himpunan beranggotakan x
dimana nilai-nilai x berada pada kisaran lebih dari 0 tetapi
kurang dari 1, maka himpunan C tidak memiliki anggota
sama sekali. Dengan demikian C adalah himpunan kosong,
ditulis C = { } atau C = .
 D = {x  x = 4n, n bilangan dapat dihitung (counting
numbers)} maka D = {4, 8, 12, . . . }.
26.
Dua himpunan disebut sama (equal) jika banyak
maupun macam anggota-anggotanya sama, meskipun
urutan penulisannya tidak sama. Misal: Himpunan { 1, 2, 3
} = { 3, 1, 2 } = { 3, 2, 1 }.
27.
Diagram Venn: Jika himpunan universal U = {a, b, c,
d, e}, A = {a, b, c}, dan B = {a, e}, gambarkan diagram Venn
untuk situasi ini.
Jawab:
Gambar 2
7
Cerdik Pustaka: e-mail: [email protected]
Cerdik Matematika 2011
28.
Perpotongan (intersection) antara A dan B
disimbolkan: A  B = {a}. Kesimpulan: A  B = {x  x  A
dan x  B}.
29.
Gabungan (union) antara A dan B disimbolkan: A  B
= {a, b, c, e}, boleh juga = {a, c, e, b}, boleh juga = {c, a, b,
e}. Kesimpulan: A  B = {x  x  A dan/atau x  B}.
30.
Komplemen A atau disimbolkan A’ (dibaca A prime) =
{e, d} = {d, e}. Kesimpulan : A’ {x  x  U dan x  A }. Bisa
juga A’ = U-A.
31.
Komplemen B disimbolkan B’ = {b, c, d} = {b, d, c} = {c,
d, b} (urutan tidak mempengaruhi).
32.
Diketahui A = {a, b, c}, dan B = {a, e}, maka A - B = {b,
c}, sedang B - A = {e},
33.
Diketahui U = {a, b, c, d, e}; sedang A  B = {a, b, c,
e}, maka U – (A  B) = {d},
 Kesimpulan : A-B = {x  x  A dan x  B}
 (A  B)’ = {d}.
34.
Jika U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, sedang A = {1, 3, 5},
sementara B = {2, 4}, tentukan : A’, B’, A’  B’, dan A  B.
Gambarkan
pula
diagram Venn-nya.
Jawab:
A’ = {2, 4, 6};
B’ = {1, 3, 5, 6};
A’  B’ = { 6 };
8
Cerdik Pustaka: e-mail: [email protected]
Gambar 3
Cerdik Matematika 2011
sedangkan A  B = { } atau 
35.
Himpunan bagian (subset) (simbol  : Misal jika A =
{a, b, c}, sedang B = {a, b}, lalu C = {b}, maka B merupakan
himpunan bagian dari A, simbolnya : B  A; demikian pula
C  A; juga C  B. Kesimpulan: B  A jika setiap anggota
dari B juga merupakan anggota dari A.
36.
Menghitung banyaknya himpunan bagian.
 Jika A = { } maka A mempunyai 1 himpunan bagian yaitu { }
atau .
 Jika A = { a } maka A mempunyai 2 himpunan bagian yaitu
, dan { a}.
 Jika A = { a, b } maka A mempunyai 4 himpunan bagian
yaitu , { a }, { b }, dan {a, b}.
 Maka   A; juga {a}  A, juga {b}  A, juga {a, b}  A.
Tabel 1
Banyaknya anggota
Banyaknya himpunan bagian
dalam himpunan
induk
0
2 pangkat 0
1
1
2 pangkat 1
2
2
2 pangkat 2
4
3
2 pangkat 3
8
n
2 pangkat n
2n
Teori himpunan bagian di atas membuktikan bahwa segala
bilangan jika dipangkatkan NOL menghasilkan SATU.
9
Cerdik Pustaka: e-mail: [email protected]
Cerdik Matematika 2011
37.
Banyaknya himpunan
sebanyak tertentu:
Tabel 2
Banyaknya anggota
dalam himpunan induk
0
{ } atau
bagian
dengan
anggota
Banyaknya himpunan bagian
beranggotakan:
0
1
2
3
{}

1
{a}
2
{a, b}
1
{}
1
{}
1
{}
{a}
1
{a};
{b}
2
{a};
{b};
{c}
{a, b}
1
3
{a,b,c}
{a,
{a, b,
b};
c}
{a,
c};
{b, c}
1
3
3
1
38.
Banyaknya himpunan bagian dengan anggota
sebanyak tertentu ini menghasilkan segita yang dikenal
sebagai Segitiga Pascal (untuk menghormati Blaise Pascal,
1623-1662).
39.
Selain himpunan bagian (  ), ada juga himpunan
bagian sejati (  ) atau the proper subset. Banyaknya
himpunan bagian sejati adalah 2n-1 karena semua
10
Cerdik Pustaka: e-mail: [email protected]
Cerdik Matematika 2011
merupakan himpunan bagian dari {a,b,c} kecuali {a,b,c} itu
sendiri. Jadi {a,b,c} bukan himpunan bagian sejati (  ) dari
{a,b,c}.
Segitiga Pascal:
1
1
1
1
2
1
1
3
3
1
1
4
6
4
1
1
5
10
10
5
1
Gambar 4
40.
Hukum-hukum operasi himpunan:
41.
Hukum yang melibatkan  dan  :
42.
Hukum komutativ:
 AB = BA
 AB = BA
43.
Hukum asosiativ:
 A  (B  C) = (A  B)  C
 A  (B  C) = (A  B)  C
44.
Hukum distributiv:
 A  (B  C) = (A  B)  (A  C)
 A  (B  C) = (A  B)  (A  C)
45.
Hukum yang melibatkan  dan U:
 A = A
A = 
 AU = U
AU = A
11
Cerdik Pustaka: e-mail: [email protected]
Cerdik Matematika 2011
 AA = A
AA = A
46.
Hukum yang melibatkan komplemen:
 A  A’ = U
A  A’ = 
U’ = 
 ’ = U
(A’)’ = A
47.
Hukum De Morgan:
 (A  B)’ = A’  B’
(A  B)’ = A’  B’
48.
Hukum yang melibatkan selisih himpunan:
 A-B = A  B’
U-A = A’
Gambar 5
Gambar 8
Gambar 6
Gambar 7
12
Cerdik Pustaka: e-mail: [email protected]
Cerdik Matematika 2011
Latihan:
1. Buatlah daftar anggota himpunan {xx adalah bilangan
bulat kurang dari 10}
2. Gambarlah diagram Venn A  B; A  B; A-B; A’-B; A’  B;
A'  B’.
3. Gambarlah diagram Venn untuk melukiskan himpunan
berikut: {x  x  A atau x  B}; {x   A atau x  B}; {x x  A dan
x  B}.
4. Dengan melihat gambar di
samping kanan, tentukan
himpunan berikut: a. B-A, b.
 A  B   A  C 
Gambar 9
5. Di antara 200 calon putri
Indonesia, 70 orang bisa berbahasa Perancis, 40 orang bisa
berbahasa Jerman, 75 orang bisa berbahasa Spanyol, 10
orang bisa berbahasa Perancis dan Jerman, 30 orang bisa
berbahasa Perancis dan Spanyol, 15 orang bisa berbahasa
Jerman dan Spanyol, sedangkan 70 orang tidak menguasai
satupun dari bahasa-bahasa itu. Jika diketahui bahwa tak
ada satupun calon yang menguasai tiga bahasa sekaligus:
13
Cerdik Pustaka: e-mail: [email protected]
Cerdik Matematika 2011
a. Berapa banyak calon yang menguasai dua bahasa?, b.
Berapa banyak calon yang menguasai bahasa Spanyol
saja?, c. Berapa banyak calon yang menguasai bahasa
Spanyol, tetapi tidak menguasai bahasa Perancis?
2. Logika
1. Pernyataan (statement) = kalimat yang dapat ditentukan
nilainya benar atau tidak.
2. Contoh pernyataan:
 Dua adalah bilangan genap. (Pernyataan yang nilai
kebenarannya = 1). Simbol angka 1 mewakili nilai benar.
Simbol lain yang sama nilainya adalah T (True).
 Dua adalah bilangan ganjil. (Pernyataan yang nilai
kebenarannya = 0). Simbol angka 0 mewakili nilai salah.
Simbol lain yang sama nilainya adalah F (False).
3. Contoh bukan pernyataan:
 Benarkah dua bilangan genap? (bukan pernyataan karena
tak dapat ditentukan benar tidaknya).
 Jam berapakah sekarang? (bukan pernyataan).
4. Menentukan nilai kebenaran dari gabungan (compound)
dua pernyataan:
 p = Semarang adalah ibukota Jawa Tengah.
14
Cerdik Pustaka: e-mail: [email protected]
Cerdik Matematika 2011
 Jika kenyataannya Semarang memang ibukota Jawa
Tengah, maka pernyataan p mempunyai nilai kebenaran =
1 atau T (True). Jika ternyata Semarang bukan ibukota
Jawa Tengah, maka pernyataan p nilainya = 0 atau F
(False).
 q = Jawa Tengah terletak di pulau Jawa.
 Pernyataan gabungan p dan q disimbolkan p  q
dinyatakan benar jika dan hanya jika p benar dan q juga
benar. Tabel kebenaran p dan q sbb:
Tabel 3
p
q
1
1
1
0
0
1
0
0
Jika ditulis dengan cara lain sbb:
Tabel 4
pq
1
0
0
0
p
q
pq
T
T
T
T
F
F
F
T
F
F
F
F
5. Gabungan pernyataan p dan q disebut konjungsi,
sedangkan gabungan pernyataan p atau q disebut
disjungsi seperti berikut ini:
15
Cerdik Pustaka: e-mail: [email protected]
Cerdik Matematika 2011
p = Menurunkan harga minyak.
q = Menaikkan gaji pegawai.
p atau q disimbolkan p  q memiliki tabel kebenaran sbb:
Tabel 5
p
q
pq
1
1
1
1
0
1
0
1
1
0
0
0
6. Penyangkalan (negasi): p = Menurunkan harga minyak.
Negasi dari p disimbolkan p = Bukan menurunkan harga
minyak. Jika p nilainya 1 atau T (True), maka p nilainya 0
atau F (False). q = Menaikkan gaji pegawai. Negasi dari q
disimbolkan q = Bukan menaikkan gaji pegawai:
Tabel 6
p
q
p
q
1
0
0
1
0
1
1
0
7. Contoh: Buatlah tabel kebenaran pernyataan  (p  Q).
Tabel 7
p
1
1
0
0
q
1
0
1
0
q
0
1
0
1

p  q
0
1
0
0

(p  q)
1
0
1
1
16
Cerdik Pustaka: e-mail: [email protected]
Cerdik Matematika 2011
8. Jika dua pernyataan memiliki kesamaan nilai pada tabel
kebenaran, maka dua pernyataan tersebut disebut
ekuivalen (disimbolkan ). Contoh: Buktikan dengan tabel
kebenaran bahwa pernyataan p  (q  r)  (p  q)  (p  r).
Jawab:
Tabel 8
p q r qr
p(qr)
pq pr
(p  q)  (p  r)
1 1 1
1
1
1
1
1
1 1 0
1
1
1
0
1
1 0 1
1
1
0
1
1
0 1 1
1
0
0
0
0
0 0 1
1
0
0
0
0
0 1 0
1
0
0
0
0
1 0 0
0
0
0
0
0
0 0 0
0
0
0
0
0
Hasil menunjukkan bahwa isian pada kolom p  (q  r) identik
dengan kolom (p  q)  (p  r), membuktikan bahwa p  (q  r)
ekuivalen dengan (p  q)  (p  r).
9. Pernyataan Kondisional:satu arah dan
dua arah.
p = Pernyataan penyebab (antecedent);
q = Pernyataan akibat (consequent).
Misal:
p = Saya lupa lupa mengisi bensin;
q = Motor saya mogok.
17
Cerdik Pustaka: e-mail: [email protected]
Cerdik Matematika 2011
10.
Jika p maka q disimbolkan p  q (Kondisional 1 arah)
Jika saya lupa mengisi bensin, maka motor saya mogok, tetapi
tidak berarti bahwa mogoknya motor saya selalu disebabkan
oleh kelupaan saya mengisi bensin. Juga tak masuk akal bila
saya lupa mengisi bensin, tetapi motor saya tetap jalan. Oleh
sebab itu tabel kebenaran p  q sbb:
Tabel 9
p
1
1
0
0
q
1
0
1
0
pq
1
0
1
1
11.
Pernyataan kondisional dua arah sbb:
p = Tuhan sudah berkehendak mengambil nyawa seseorang.
q = Seseorang pasti mati.
q jika dan hanya jika P, disimbolkan p  q (kondisional 2 arah).
Seseorang pasti mati, jika dan hanya jika Tuhan sudah
berkehendak menyambil nyawa orang itu.
Pernyataan: “Tuhan sudah berkehendak mengambil nyawa
seseorang, tetapi ternyata orang itu tidak mati”, pasti tidak
mengandung kebenaran.
Demikian pula pernyataan: “Seseorang telah mati, tetapi
setelah dicheck ternyata Tuhan tidak berkehendak mengambil
18
Cerdik Pustaka: e-mail: [email protected]
Cerdik Matematika 2011
nyawa orang itu”, pasti tidak mengandung kebenaran. Oleh
sebab itu tabel kebenaran p  q sbb:
Tabel 10
p
1
1
0
0
12.
Buktikan bahwa p
(qp):
Tabel 11
q
1
0
1
0

pq
1
0
0
1
q ekuivalen dengan (pq)
p q
pq
pq
qp
1 1
1
1
1
1 0
0
0
1
0 1
0
1
0
0 0
1
1
1
Terbukti p  q (pq)  (qp).

(pq)  (qp)
1
0
0
1
13.
Buktikan bahwa pernyataan “Jika saya lupa mengisi
bensin, maka motor saya mogok” ekuivalen dengan
pernyataan “Saya tak boleh lupa mengisi bensin atau
motor saya mogok”.
p = Saya lupa mengisi bensin;
q = Motor saya mogok.
19
Cerdik Pustaka: e-mail: [email protected]
Cerdik Matematika 2011
Tabel 12
p
q
pq
p
1
1
1
0
1
0
0
0
0
1
1
1
0
0
1
1
Terbukti (pq)  (pq).
14.
Variasi kondisional
q  p merupakan converse dari p  q
q p merupakan contrapositive dari p  q
p  q merupakan inverse dari p  q
Tabel 13
q
1
0
1
0
p q
1
0
1
1

conditional
contrapositive
converse
Inverse
p q
pq
qp
qp
pq
1 1
1
1
1
1
1 0
0
0
1
1
0 1
1
1
0
0
0 0
1
1
1
1
Perhatikan bahwa (p  q)  (q p)
15.
Misal buktikan bahwa jika n2 adalah ganjil, maka n
juga ganjil. Jawab:
p = n2 ganjil; q = n ganjil; (pq)  (qp)
2
2
2
q = n genap; p = n genap; misal n = 2k, maka n = 4k = 2
(2k2). Karena 2k = genap; maka 2 (2k2) = genap.
terbukti bahwa “jika n genap, maka n2 juga genap”.
20
Cerdik Pustaka: e-mail: [email protected]
Cerdik Matematika 2011
Karena kontrapositiv ekuivalen dengan kondisional, maka
terbukti bahwa “jika n2 ganjil, maka n juga ganjil”.
16.
Buktikan dengan tabel kebenaran bahwa pernyataan
“Jika dia teman saya, maka dia pasti mengenali saya”
ekuivalen dengan “Ternyata dia tidak mengenali saya,
maka dia bukan teman saya”. Jawab:
p = dia teman saya; q = dia mengenali saya.
Tabel 14
p
q
pq
q
p
qp
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
0
0
0
1
1
0
1
1
0
0
1
1
1
1
Terbukti bahwa (pq)(qp).
17.
Pernyataan yang kesimpulannya selalu benar disebut
tautologi. Misal : Buktikan dengan tabel kebenaran bahwa
pernyataan p atau bukan p adalah tautologi.
Tabel 15
p
p
p p
1
0
1
0
1
1
terbukti bahwa pp selalu menghasilkan nilai 1, jadi p
suatu tautologi.
p

21
Cerdik Pustaka: e-mail: [email protected]
Cerdik Matematika 2011
18.
Pernyataan yang kesimpulannya selalu salah disebut
kontradiksi. Misal: Buktikan dengan tabel kebenaran
bahwa pernyataan p dan bukan p adalah kontradiksi.
Tabel 16
p
p
p p
1
0
0
0
1
0
terbukti bahwa p p selalu menghasilkan nilai 0, jadi p
suatu kontradiksi.
19.
pq jika dan hanya jika pq suatu tautologi.Misal:
Buktikan bahwa pernyataan (pq)  pq.
Tabel 17
p

p q pq (pq) p q pq
[(pq)]( pq)
1 1 1
0
0 0
0
1
1 0 0
1
0 1
1
1
0 1 0
1
1 0
1
1
0 0 0
1
1 1
1
1
terbukti bahwa [(pq)]( pq) suatu tautologi.
20.
Implikasi: Pernyataan p dikatakan berimplikasi
terhadap pernyataan q (simbolnya p  q) jika dan hanya
jika kondisional jika p maka q (simbolnya p  q) tautologi.
Contoh: Buktikan bahwa [(p  q)  p]  q.
Jawab:
22
Cerdik Pustaka: e-mail: [email protected]
Cerdik Matematika 2011
Tabel 18
p q
pq
[(p  q)  p]
[(p  q)  p]  q
1 1
1
1
1
1 0
0
0
1
0 1
1
0
1
0 0
1
0
1
terbukti bahwa [(p  q)  p]  q tautologi.
21.
Hukum-hukum yang melibatkan pernyataan:
 Hukum commutative :
(p  q)  (q  p), dibaca: p atau q ekuivalen dengan q atau p.
(p  q)  (q  p), dibaca: p dan q ekuivalen dengan q dan p.
 Hukum assosiative:
(p  q)  r  p  (q  r)
(p  q)  r  p  (q  r)
 Hukum distributive:
p  (q  r)  (p  q)  (p  r)
p  (q  r)  (p q)  (p  r)
Jika t adalah tautologi (pernyataan yang nilainya selalu benar),
dan c adalah kontradiksi (pernyataan yang nilainya selalu
salah), maka:
(p  c)  p
(p  c)  c
(p  t)  t
(p  t)  p
(p  p)  p
(p  p)  p
 Hukum-hukum yang melibatkan negasi:
Jika t adalah tautologi, sedang c adalah kontradiksi, maka:
23
Cerdik Pustaka: e-mail: [email protected]
Cerdik Matematika 2011
(p  p)  t
(p  p)  c
t  c
c  t
 Hukum-hukum De Morgan:
(p  q)  p  q
(p  q)  p  q
pp

22.
Penerapan logika:
Himpunan universal U = {1, 2, 3, 4, 5, 6].
p = pernyataan “bilangannya adalah genap”.
Himpunan yang sesuai dengan pernyataan p adalah
P = {2, 4, 6}. P adalah himpunan bagian dari U, yang mana P
merupakan himpunan kebenaran dari p, yaitu himpunan yang
menyatakan bahwa p bernilai benar.
Jika q adalah pernyataan “bilangannya ganjil”, maka himpunan
yang sesuai dengan pernyataan q adalah Q = {1, 3, 5}. Q adalah
himpunan kebenaran dari q.
23.
Argumen:
 Premis adalah pernyataan sebelumnya yang mendahului
kesimpulan.
 Kesimpulan (conclusion) adalah pernyataan yang dibuat
berdasarkan premis.
 Argumen adalah klaim bahwa suatu kesimpulan dibuat
sudah berdasarkan premis-premis yang ada sebelumnya.
 Argumen ada yang valid dan ada yang invalid.
24
Cerdik Pustaka: e-mail: [email protected]
Cerdik Matematika 2011
24.
Argumen yang valid adalah argumen yang ketika
semua premis benar, maka semua kesimpulannya juga
benar. Contoh kesimpulan yang valid sbb:
p = saya lupa mengisi bensin; q = motor saya mogok
Jika saya lupa mengisi bensin, maka motor saya mogok.
Sesampainya di tengah perjalanan, ternyata motor saya mogok.
Kesimpulan: kemungkinan karena saya lupa mengisi bensin
atau karena penyebab lain, alias bukan karena lupa mengisi
bensin. Bukti bahwa kesimpulan ini valid sbb:
Tabel 19
Premis Premis
Kesimpulan
1
2
p q
p
pq
q
p  p
1 1
0
1
1
1
1 0
0
0
0
1
0 1
1
1
1
1
0 0
1
1
0
1
Jadi
Simbol argumennya sbb:
pq
q
-------------------------- p  p valid.
Pemeriksaan
kevalidan
1 dan 1 hasil 1
1 dan 1 hasil 1
Kesimpulan valid
25
Cerdik Pustaka: e-mail: [email protected]
Cerdik Matematika 2011
25.
Jika ketika semua premis benar, kesimpulannya tidak
semuanya benar, maka argumen yang dibentuk tidak valid.
Contoh kesimpulan yang tidak valid:
p = saya lupa mengisi bensin.
q = motor saya mogok.
Premis 1 = jika saya lupa mengisi bensin, maka motor saya
mogok, disimbolkan: p  q
Premis 2 = ternyata motor saya mogok, disimbolkan q
Kesimpulan :Saya lupa mengisi bensin, disimbolkan p. Kita akan
membuktikan bahwa kesimpulan ini tidak valid sbb:
Tabel 20
Premis 1 Premis 2 Kesimpulan
Pemeriksaan kevalidan
p q pq
q
p
1 1
1
1
1
1 dan 1 hasil 1
1 0
0
0
1
0 1
1
1
0
1 dan 1 hasil 0
0 0
1
0
0
Jadi
Kesimpulan tidak valid
Simbol argumennya sbb:
pq
q
--------------------------p, tidak valid.
26
Cerdik Pustaka: e-mail: [email protected]
Cerdik Matematika 2011
26.
“Jika dia ayah saya, maka dia tahu nama kecil saya.
Kenyataannya dia tidak tahu nama kecil saya, jadi saya
pastikan bahwa dia bukan ayah saya”,
buktikan
kesimpulan ini valid.
p = dia ayah saya; q = dia tahu nama kecil saya;
pq
q
--------------------------p
Pembuktian sbb:
Tabel 21
p
1
1
0
0
q
1
0
1
0
Premis 1
pq
1
0
1
1
Premis 2
q
0
1
0
1
Kesimpulan
p
0
0
1
1
Kevalidan
1 dan 1 hasil 1
Valid
27.
Buktikan bahwa kesimpulan argumen berikut valid.
Komputer adalah alat yang penting.
Alat penting biasanya harganya mahal.
---------------------------------------------Komputer biasanya harganya mahal.
27
Cerdik Pustaka: e-mail: [email protected]
Cerdik Matematika 2011
JAWAB: Premis 1 “Jika barang yang dimaksud adalah komputer
(k), maka barang tersebut adalah alat yang penting (t)”.
Premis 2 “Jika suatu barang adalah alat yang penting (t), maka
biasanya harganya mahal (h)”.
Kesimpulan : “Komputer biasanya harganya mahal”.
kt
th
----------kh
Pembuktian:
Tabel 22
k
1
1
1
0
0
0
1
0
t
1
1
0
1
0
1
0
0
h
1
0
1
1
1
0
0
0
Premis 1 Premis 2
kt
th
1
1
1
0
0
1
1
1
1
1
1
0
0
1
1
1
Kesimpulan
kh
1
0
1
1
1
1
0
1
kevalidan
1 dan 1 hasil 1
1 dan 1 hasil 1
1 dan 1 hasil 1
1 dan 1 hasil 1
Kesimpulan valid
28
Cerdik Pustaka: e-mail: [email protected]
Cerdik Matematika 2011
Bentuk-bentuk argumen yang umum:
Modus
Modus
Hypothetical
Ponens
Tollens
Syllogism
pq
pq
pq
p
q
qr
---------------------------q
 p
pr
Disjunctive
Syllogism
pq
p
---------q
LATIHAN:
1. Buktikan apakah kedua pasangan pernyataan ini ekuivalen
apa tidak:
(p  q); p  q
p  q; p  q
p  q; p  q
p  (p  q); p
p  (p  q); p
p  q ; p  q
(p  q)  r; p  q  r
2. Buktikan bahwa pasangan-pasangan pernyataan ini
ekuivalen satu sama lain:
p  (p  q)  (p  q)
p  (p  q)  p  q
(p  q)  (p  q)  p
[(p  q)  (p  r)]  r [p  (q  r)]
p  (p  q)  p
29
Cerdik Pustaka: e-mail: [email protected]
Cerdik Matematika 2011
3. Berikan kesimpulan yang benar terhadap premis-premis
ini:
pq
qr
s  r
-------- ......................................
4. Buktikan validitas argumen ini. Jika Anda sudah
menyelesaikan tugas (t), maka Anda boleh pulang (p).
Anda belum menyelesaikan tugas: jadi Anda belum boleh
pulang.
5. Premis 1: Jika Agus sedang belajar, maka Beni juga ikut
belajar. Premis 2: Cinta akan belajar, jika dan hanya jika
Beni belajar. Premis 3: Devi tak pernah belajar, jika Cinta
sedang belajar. Premis 4: Devi selalu ikut belajar, jika Edi
sedang belajar. Buktikan kesimpulan bahwa Agus tak
pernah belajar, jika Edi sedang belajar.
30
Cerdik Pustaka: e-mail: [email protected]
Cerdik Matematika 2011
3. Sistem Bilangan
ab x ac = ....
ab / ac = ....
Tulislah bilangan decimal berikut ke dalam bilangan biner:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16,17
Tulislah bilangan basis non sepuluh berikut ini ke dalam basis
sepuluh (decimal): 11012
1435
4678
Selesaikan operasi bilangan-bilangan basis dua dan lima ini:
1101 dua
1101 dua
342 lima
342 lima
+ 101 dua
- 111 dua
+ 213 lima
-123 lima
-------------------------------------
31
Cerdik Pustaka: e-mail: [email protected]
Cerdik Matematika 2011
32
Cerdik Pustaka: e-mail: [email protected]
Cerdik Matematika 2011
33
Cerdik Pustaka: e-mail: [email protected]
Cerdik Matematika 2011
34
Cerdik Pustaka: e-mail: [email protected]
Cerdik Matematika 2011
35
Cerdik Pustaka: e-mail: [email protected]