10 M - Universitas Mercu Buana

P. X
VEKTOR-VEKTOR DALAM RUANG BERDIMENSI 2 DAN RUANG
BERDIMENSI 3
Pengantar Vektor (Geometris)
Vektor Geometris
Vektor bisa disajikan secara geometris sebagai ruas garis berarah atau panah dalam ruang
berdimensi 2 dan ruang berdimensi 3.
Arah panah menentukan arah vektor. Panjang panah menentukan besar vektor.
A: titik pangkal vektor
A
B
B: titik ujung vektor
-
Vektor dituliskan dengan huruf kecil tebal (a, k, v, w)
-
Bilangan pada vektor disebut skalar (bilangan real) ditulis dengan huruf kecil miring
(a, v, w)
B
A
-
V = AB
Vektor ekuivalen adalah vektor-vektor yang panjang dan arahnya sama, walaupun
posisinya berbeda.
v
w
Jika v dan w adalah vektor ekuivalen, maka v = w
w
v+w
v
v+w
w
v
v+w
Penjumlahan 2 vektor sebarang
v+w=w+v
v
w
-
Vektor nol adalah vektor yang panjangnya nol. 0 + v = v + 0 = v
-
Vektor negatif adalah vektor tak nol dimana mempunyai arah terbalik dengan vektor
positif.
v
v + (- v) = 0
-v
v-w
v
-w
-
v
w
v-w
w
Jika v adalah vektor tak nol, dan k adalah bilangan real tak nol, maka hasil kali kv
adalah vektor yang panjangnya k kali.
Panjang v, jika k > 0 arahnya sama dengan arah vektor v
k < 0 arahnya berlawanan dengan arah vektor v
http://www.mercubuana.ac.id
http://www.mercubuana.ac.id
Jika v = (v1, v2, v3) dan w = (w1, w2, w3)
v + w = (v1+w1, v2+w2, v3+w3)
kv = (kv1, kv2, kv3)
contoh:
v = (1, -3, 2) dan w = (4, 2, 1), maka
v + w = (5, -1, 3)
2v = (2, -6, 4)
v – w = v + (-w) = (-3, -5, 1)
Jika vektor P1 P2 mempunyai titik pangkal P1 (x1, y1, z1) dan titik ujung P2 (x2, y2, z2), maka
P1 P2 = (x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1)
P1 P2
P1 (x1, y1, z1)
OP1
P2 (x2, y2, z2)
 P1 P2 OP2 OP1
OP2
Pergeseran Sumbu
y
O' P
y’
pada sistem xy, titik pangkal (k, l)
titik ujungnya (x, y), sehingga O' P = (x-k, y-l)
O' P
(x, y)
P (x’, y’)
0’
x’
(k, l)
0
x
Pada sistem x’y’, titik pangkalnya (0,0), titik
ujungnya (x’, y’), sehingga
O' P
= (x’, y’)
x’ = x – k, y’ = y – l persamaan pergeseran
Norma Suatu Vektor; Aritmetika Vektor
Sifat-sifat Operasi Vektor
Jika u, v, dan w adalah vektor-vektor dalam ruang berdimensi 2 dan ruang berdimensi 3 dan
k dan l adalah skalar, maka:
a. u + v = v + u
e. k (lu) = (kl) u
b. (u + v) + w = u + (v + w)
f.
c. u + 0 = 0 + u = u
g. (k + l) u = ku + lu
d. u + (-u) = 0
h. 1u = u
k (u + v) = ku + kv
Rumus Komponen untuk Hasil Kali Titik
u
P (u1, u2, u3)
u.v = u1v1 + u2v2 + u3v3 pada ruang berdimensi 3
v
u.v = u1v1 + u2v3 pada ruang berdimensi 2
Q (v1, v2, v3)
Mencari Sudut Antar Vektor
Jika u dan v adalah vektor-vektor tak nol, maka: cos
u.v
uv
Vektor-vektor Ortogonal
Vektor-vektor yang tegak lurus disebut juga vektor-vektor ortogonal. Dinyatakan bahwa 2
vektor u dan v ortogonal jika dan hanya jika uv = 0 dan biasa ditulis u v.
Teorema:
a. u.v = v.u
c. k (u.v) = (ku)v = u (kv)
b. u.(v + w) = u.v + u.w
d. u.v > 0, jika v 0 dan v.v = 0, jika v = 0
Proyeksi Ortogonal
w2
Q
u
a
w1
w2
Q
u
u
a
w1
w1
w2
Q
a
Pada gambar di atas ditunjukkan bahwa vektor w1 sejajar dengan a, vektor w2 tegak lurus
dengan a dan w1 + w2 = w1 + (u – w1) = u
Vektor w1 disebut proyeksi ortogonal dari u pada a atau komponen vektor dari u yang sejajar
dengan a dan ditulis: proyr u.
Vektor w2 disebut komponen vektor u yang ortogonal terhadap a.
w2 = u – proya u
Teorema
proy a u
u.a
a
2
u proy a u
.a (komponen vektor u yang sejajar dengan a)
u ua
a
2
a (komponen vektor u yang ortogonal terhadap a)
http://www.mercubuana.ac.id