Take Home Test: Dinamika Tak Linear dan

Take Home Test:
Dinamika Tak Linear dan Bifurkasi
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Institut Teknologi Bandung
(1) Persamaan Voltera. Pandang persamaan Voltera berikut ini:
(1)
Ṅ1 = αN1 − βN1 N2
Ṅ2 = −γN2 + δN1 N2 ,
dengan N1 dan N2 adalah banyaknya mangsa dan pemangsa. Konstanta α adalah
tingkat pertumbuhan dari mangsa, γ adalah tingkat kematian dari pemangsa, β
dan δ adalah tingkat pemangsaan.
(a) Pandang transformasi penskalaan: x = k1 N1 dan y = k2 N2 di rung fase.
Lebih lanjut, pandang t = k3 τ sebagai penskalaan waktu. Pilih nilai yang
tepat untuk k1 , k2 dan k3 sehingga persamaan (1) ditransformasikan menjadi:
(2)
ẋ = x − xy
ẏ = −γy + xy,
dengan notasi ”dot” menyatakan turunan terhadap τ .
(b) Tentukan semua equilibrium dari (2).
(c) Tunjukkan bahwa x = 0 adlah manifold invarian dari (2). Tunjukkan bahwa
y = 0 adalah manifold invarian dari (2).
(d) Misalkan γ(τ ) = (x(τ ), y(τ )) adalah solusi dari (2) dengan: x(0) = x◦ > 0 dan
y(0) = y◦ > 0. Tunjukkan bahwa x(τ ) > 0 dan y(τ ) > 0, untuk setiap τ ∈ R.
(e) Pandang persamaan:
1
−1
v
γ
v̇ = − + 1.
u
Tunjukkan bahwa orbit dari (2) berimpit dengan (3). (Petunjuk: Orbit dari
sistem dinamik adalah himpunan:
u̇ =
(3)
O(x◦ , y◦ ){(x(t), y(t)) | t ∈ R},
yang adalah sebuah kurva di R2 . Tunjukkan bahwa untuk setiap (x, y) vektor
singgung dari orbit dari (2) dan vektor singgung dari orbit dari (3) sejajar.
(f) Cari sebuah fungsi H : R2 −→ R, sehingga:
γ
∂H
1
∂H
= − 1 and
=− − +1 .
∂v
v
∂u
u
Apa artinya fungsi ini buat solusi dari (3)? Dapatkah fungsi H ini digunakan
untuk menurunkan kestabilan dari equilibriumum dari (2)? Jelaskan jawaban
anda.
1
(2) Persamaan FitzHugh-Nagumo. Pandang persamaan diferensial parsial berikut
ini:
∂ 2u
∂u
=
− fa (u) − v
∂t
∂x2
(4)
∂v
= bu.
∂t
Sistem persamaan ini adalah simplifikasi dari model Hodgkin-Huxley yang menerangkan dinamika dari propagasi impuls syaraf sepanjang axon. u(x, t) menyatakan potensial membran, sedangkan v(x, t) adalah variabel ”pemulihan”, t > 0,
and
fa (u) = u(u − a)(u − 1), 0 < a < 1, b > 0, −∞ < x < ∞.
Untuk mempelajari traveling wave solution, seperti biasa, misalkan ξ = x + ct dan
definisikan:
u(x, t) = U (ξ), v(x, t) = V (ξ)
dengan c laju perambatan gelombang, dan fungsi
U : R −→ R and V : R −→ R.
disebut profil gelombang.
(a) Tuliskan:
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
∂u ∂u ∂ 2 u
∂v
,
,
, and
2
∂t ∂x ∂x
∂t
di dalam turunan-turunan U dan V terhadap ξ.
Dengan menggunakan ξ sebagai variable waktu, tuliskan sistem persamaan
diferensial biasa di R3 . (Petunjuk: Definisikan variabel: W = U̇ )
Jika c > 0, buktikan bahwa equilibrium dari sistem persamaan diferensial biasa
tersebut tunggal.
Asumsikan semua nilai eigen dari linearisasi di sekitar equilibrium para nom or
(3) real. Tunjukkan bahwa equilibrium tersebut haruslah tips sadel. Berapakah
dimensi dari manifold stabile dan manifold tak stabilnya?
Tunjukkan bahwa eigenvalue di atas, tidak mungkin berada di sumbu imajiner.
Buktikan bahwa equilibrium diatas senantiasa berbentuk sadel atau sadelfokus. Bagaimana dengan dimensi dari manifold stabil dan tak stabilnya?
Coba gambarkan di ruang parameter (a, c) untuk beberapa nilai b, batas yang
membedakan kasus-kasus tersebut diatas. Jika dapat, gambarkan di ruang
(a, c, b).
(3) Kerjakan soal pada buku text, hal 105, no (4): Hopf bifurcation in the Brusselator.
2
(4) (Quadratic map). Pandang sistem dinamik:
x0 = f (x, α), x ∈ R, dan α ∈ R.
(a) Tunjukkan bahwa coefficient c(0) pada bifurkasi flip
2
1 ∂ 2f
1 ∂ 3f
(0, 0) +
(0, 0) ,
c(0) =
4 ∂x2
6 ∂x3
sama dengan:
1 ∂3 2
−
f
(x,
α)
12 ∂x3
(x,α)=(0,0)
dimana f 2 = f ◦ f .
(b) Misalkan:
x0 = f (x, α) = αx (1 − x) .
(5)
Tentukan semua α agar f mendefinisikan sebuah sistem dinamik diskrit pada
interval [0, 1].
(c) Tentukan semua titik tetap dari pemetaan ini.
(d) Tunjukkan bahwa untuk α = 3, salah satu titik tetap di atas mengalami bifurkasi flip.
√
(e) Tunjukkan bahwa untuk α = 1 + 8, sistem (5) yang dikomposisikan mengalami bifurkasi fold dari limit cycle berperiode tiga.
(5) Pandang
ÿ + y = ε −λẏ − κy 3 + cos ((1 + εω)t)
dengan syarat awal: y(0) = ẏ(0) = 0. Gunakan: dua skala waktu: t1 = t dan
t2 = εα t, dan solusi:
y = εβ y 0 + εγ y 1 + . . .
dengan β < α dan β < 1.
(a) Berikan sebuah argumentasi mengapa: γ = 1, β = 0, dan α = 1.
(b) Jika solusi: y0 = R cos(t1 + θ), sketsalah grafik dari R terhadap ω.
(6) A satellite moves in the atmosphere of a spherically symmetric, homogeneous
planet. The forces are gravitation and the resisting force (friction) of the atmosphere; putting the origin of coordinates at the center of the planet, the motion of
the satellite is described by the equation:
d2
1
d
r
=
−
r
−
ε
r,
dt2
r
dt
where r = (x, y, z) and r =k r k.
3
(a) Prove that the motion of the satellite takes place on a plane through the origin
(depending on the initial condition).
(b) By (a), we can assume with loss of generality that z = 0; then introduce polar
coordinate: x = R cos θ and y = R sin θ to derive:
1
R̈ − Rθ̇2 = − 2 − εṘ
R
2Ṙθ̇ + Rθ̈ = −εRθ̇.
(c) Using temporary variable: η = θ̇; integrate the second equation with respect
to t to find:
1
1
R̈
= c2 3 e−2εt − 2 − εṘ
R
R
R2 θ̇ = ce−εt .
(d) Using ρ = R1 , show that:
d2
ρ+ρ = f
dθ2
df
dθ
f 2/3
= 2ε 2 ,
ρ
with f = c12 e2εt .
(e) Apply: (ρ, dρ
) 7−→ (A, B) with: ρ = f + A cos θ + B sin θ and dρ
= −A sin θ +
dθ
dθ
B cos θ to derive the Lagrange standard form.
(f) Construct an approximate solution using averaging, with initial condition θ(0) =
0, r(0) = c2 and ṙ(0) = 0. Discuss this solution.
Serahkan jawaban anda dalam bentuk hard copy selambat-lambatnya, 19 Desember 2016 jam 09:00, di mailbox saya.
4