Catatan Kuliah 2

Aturan Inferensi (1)
Aturan inferensi
p____
 p q
p q_
p
Tautologi
Nama
p  (p  q)
Addition
(p q)  q
Simplification
p
q____
 p q
[(p) (q)]  (p q)
Conjunction
p
pq_
q
[p (pq)]  q
Modus ponens
q
pq_
 p
[q  (pq)]  p
Modus tollens
pq
q r_
 pr
[(pq)  ( qr)]  (pr)
Hypothetical Syllogism
[(p q)  p ] q
Disjunctive Syllogism
[(p q) (p r)](q r)
Resolution
p q
p__
q
p q
p r_
 q r
1
Aturan Inferensi (2)
x P(x)
P(c)
Universal instantiation
P(c) utk setiap c
 x P(x)
Universal generalization
x P(x)
P(c) utk suatu c
Existential instantiation
P(c) utk suatu c
 x P(x)
Existential generalization
2
Metode Pembuktian (1)
Bukti langsung dan Tak langsung
1. Bukti Langsung
Implikasi p  q dapat dibuktikan dengan menunjukkan
jika p benar maka q juga harus benar.
Soal 9. Berikan bukti langsung dari
“Jika n bilangan bulat ganjil maka n2 ganjil.”
2. Bukti Tak langsung
Karena p  q ekivalen dengan q  p maka
p q dapat dibuktikan dengan menunjukkan bhw
q  p benar.
Soal 10. Berikan bukti dari
“Jika n2 ganjil maka n ganjil.”
3
Bukti kosong dan bukti trivial
Bukti kosong
Jika hipotesis p dari implikasi p  q salah, maka p  q
selalu benar, apapun nilai kebenaran dari q.
Contoh.
P(n): Jika n > 1, maka n2 > 1.
Tunjukkan P(0) benar.
Bukti trivial
Jika konklusi q dari implikasi p  q benar, maka p  q
selalu benar, apapun nilai kebenaran dari p.
Contoh.
P(n): Jika a, b integer positif dengan a  b,
maka an  bn.
Tunjukkan P(0) benar.
4
Metode Pembuktian (2)
Bukti dengan kontradiksi
1. Tunjukkan bahwa sedikitnya ada 4 hari
yang sama dari pilihan 22 hari sebarang.
2. Buktikan bahwa 2 irasional.
bukti tak langsung
bukti dg kontradiksi
3. Tunjukkan bahwa jika n2 ganjil maka n
ganjil.
5
Metode Pembuktian (3)
Bukti eksistensi
1. Bukti Eksistensi Konstruktif
1. Tunjukkan bahwa ada bilangan bulat positif yang dapat
dituliskan sebagai jumlah dua bilangan pangkat 3.
Solusi. 1729 = 103 + 93 = 123 + 13.
2. Tunjukkan bahwa ada bilangan bulat positif yg sama
dengan jumlah bilangan-bilangan bulat positif yg tidak
melebihinya.
2. Bukti Eksistensi Nonkonstruktif
Tunjukkan bhw ada bilangan irrasional x dan y sehingga xy
rasional.
Solusi. Kita tahu bahwa 2 irrasional. Pandang 22. Jika ia
rasional maka terbukti.
Jika tidak, perhatikan (22)2= 22=2.
Jadi terbukti ada pasangan (x=2, y =2) atau (x= 22 dan
y= 2) yg salah satunya memenuhi xy rasional.
6
Metode Pembuktian (4)
Bukti ketunggalan
Ada 2 bagian dalam bukti ketunggalan:
• Menunjukkan bahwa ada elemen x yg memenuhi
sifat yg diinginkan. (existence)
• Menunjukkan bahwa jika y  x maka y tidak
memenuhi sifat yg diinginkan. (uniqueness)
Contoh. Tunjukkan bahwa setiap bilangan bulat mempunyai
invers penjumlahan yang tunggal.
Solusi. Jika p bulat maka p+q = 0 ketika q = -p, dan q juga
bulat.
Untuk menunjukkan ketunggalan, misalkan ada r bulat
dengan r  q dan p+r=0. Maka p+q = p+r.
Dengan mengurangi kedua ruas dgn p didapat q=r,
kontradiksi dgn r  q. Jadi ada bilangan bulat q yang tunggal
sehingga p+q=0.
7
Metode Pembuktian (5)
Contoh Penyangkal (Counter Example).
Tunjukkan bahwa pernyataan
“setiap bilangan bulat positif adalah hasil tambah dari
tiga bilangan kuadrat”
adalah salah.
Solusi. Pernyataan ini benar untuk beberapa nilai, mis.
1=02+02+12; 2=02+12+12 ; 3=12+12+12 ; 4=02+02+22 ;
5=02+12+22 ; 6=12+12+22 .
Tapi kita tidak dapat mengekspresikan seperti di atas
untuk bilangan 7.
Jadi bilangan 7 merupakan contoh penyangkal dari
pernyataan di atas.
8