SISTEM BILANGAN REAL

HIMPUNAN BILANGAN
• Bilangan Asli
1, 2, 3, 4, 5, 6, ….
• Bilangan Bulat
…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …
• Bilangan Rasional:
m
Bilangan yang dapat dituliskan dengan
, dengan
n
m dan n bilangan bulat dan m  0
3 7 21 19 16 17
, , , , ,
4 8 5 2 2 1
Tuesday, September 25,
2012
HIMPUNAN BILANGAN
Setiap bilangan rasional dapat dituliskan sebagai suatu desimal
berulang, dan setiap desimal yang berulang menyatakan suatu
bilangan rasional.
Contoh :
x  0,136136136...
Tunjukkan bahwa x adalah bilangan rasional!
1000 x  136,136136...
x  0,136136...

999x  136
136
x
999
Tuesday, September 25,
2012
HIMPUNAN BILANGAN
• Bilangan Irasional:
Bilangan yang tidak dapat dituliskan sebagai suatu
hasil bagi dari dua bilangan bulat
2, 3, 5, 3 7, 
2  1, 4142135623...
3  1, 7320508075...
  3,1415926535...
Tuesday, September 25,
2012
HIMPUNAN BILANGAN
• Bilangan Real
Adalah himpunan semua bilangan (rasional dan
irasional) yang dapat mengukur panjang, bersamasama dengan negatifnya dan nol.
SISTEM BILANGAN REAL
SIFAT-SIFAT OPERASI PADA
BILANGAN REAL
1.
2.
3.
4.
5.
Hukum Komutatif : x + y = y + x dan xy = yx
Hukum Asosiatif : x + (y + z) = (x + y) + z dan x(yz)
= (xy)z
Hukum Distribusi : x(y + z) = xy + xz
Elemen Identitas : terhadap penjumlahan : 0 , dan
terhadap perkalian : 1
Elemen Invers : terhadap penjumlahan adalah negatif
dari bilangan tersebut, dan terhadap perkalian adalah
kebalikan dari bilangan tersebut (kecuali nol)
SIFAT-SIFAT URUTAN
1.
Trikotomi
Jika x dan y bilangan, maka pasti berlaku salah satu dari
x  y atau x  y atau x  y
2.
Ketransitifan
3.
Penambahan
4.
Perkalian
x  y dan y  z  x  z
x y  xz  yz
x  y  xz  yz, bila z positif
x  y  xz  yz, bila z negatif
Tuesday, September 25,
2012
PERTIDAKSAMAAN
•
•
•
•
Contoh:
Menyelesaikan Pertidaksamaan: mencari semua
himpunan bilangan real yang membuat
petidaksamaan tersebut berlaku.
Biasanya himpunan penyelesaiannya terdiri dari
interval bilangan atau gabungan beberapa interval
Untuk menyelesaikan pertidaksamaan, gunakan
sifat-sifat urutan
Tuesday, September 25,
2012
CONTOH
Selesaikan 2 x  7  4 x  2 dan tunjukkan grafik Hp-nya!
Penyelesaian:
2x  7  4x  2
2x  4x  5
(tambahkan 7)
 2x  5
(tambahkan - 4 x)
5
1
x
(kalikan  )
2
2
(
-3 -2 -1
Tuesday, September 25,
2012
0
1
2
3

5
2
,     x : x  25
CONTOH
(1)  5  2 x  6  4, Hp  - 112 , 1
(2) x 2  x  6, Hp   -2,3
(3) 3 x 2  x  2  0, Hp   -, - 23   1,  
x 1
 0, Hp   -,-2   1,  
x2
2x  5
(5)
 1, Hp   2,3
x-2
(6) x3  5 x 2  4 x  0, Hp   , 0  1, 4
(4)
(7) ( x  1)( x  1) 2 ( x  3)  0, Hp  [ 1,3]
Tuesday, September 25,
2012
NILAI MUTLAK
• Definisi
x x
jika x  0
x   x jika x  0
• Sifat-sifat
1.
ab  a b
2.
a
a

b
b
x  x2
3.
ab  a  b
x  y  x2  y 2
4.
a b  a  b
2
• Pertidaksamaan yang melibatkan nilai mutlak
x  a  a  x  a
x  a  x  a atau x  a
Tuesday, September 25,
2012
CONTOH
Selesaikan | x  3 | 2
Jawab :
| x  3 | 2   2  x  3  2
1 x  5
Hp = (1, 5)
CONTOH
Selesaikan 3x  5  1
Penyelesaian:
3 x  5  1
atau
3x  4
atau
x
4
3
atau
Hp   , 43    2,  
Tuesday, September 25,
2012
3x  5  1
3x  6
x2
CONTOH
Selesaikan 3 x  1  2 x  6
Penyelesaian:
3x  1  2 x  6 


3x  1  2 x  12
 3x  1
2
  2 x  12 
9 x 2  6 x  1  4 x 2  48x  144
 5x 2  54 x  143  0
  5x-11 x  13  0
Hp  (13, 115 )
Tuesday, September 25,
2012
2