Pengenalan Vektor - Anny Yuniarti @ Teknik Informatika ITS

03-Pemecahan Persamaan
Linier (2)
Dosen: Anny Yuniarti, M.Comp.Sc
Gasal 2011-2012
Anny2011
1
Agenda
• Bagian 1: Matriks Invers
• Bagian 2: Eliminasi = Faktorisasi: A = LU
• Bagian 3: Transpos dan Permutasi
Anny2011
2
Bagian 1
MATRIKS INVERS
Anny2011
3
Pendahuluan
• Matriks invers dari sebuah matriks persegi A
dinotasikan dengan A-1.
– A-1A = I
– A-1Ax = x
• Sebuah matriks A mungkin juga tidak memiliki
inversnya (A-1 tidak eksis)
• Perkalian A-1 dengan Ax = b menghasilkan
A-1Ax = A-1b
x = A-1b
Anny2011
4
Definisi
• Sebuah matriks dikatakan invertible jika terdapat
sebuah matriks A-1 sedemikian hingga A-1A = I dan
AA-1 = I.
• Tidak semua matriks memiliki invers
• Invers akan ada jika dan hanya jika eliminasi
menghasilkan n pivot (pertukaran baris dibolehkan).
• Eliminasi dapat menghasilkan solusi Ax = b tanpa
secara eksplisit menghitung A-1.
Anny2011
5
Definisi (2)
• Sebuah matriks tidak mungkin memiliki dua
matriks invers yang berbeda. Misal BA = I, AC =
I, maka B = C
B(AC) = (BA)C  BI = IC  B = C
• Jika A memiliki invers (invertible), maka satusatunya solusi Ax = b adalah x = A-1b.
• Misal terdapat vektor bukan nol x sedemikian
hingga Ax = 0, maka A tidak memiliki invers.
– Jika A invertible, maka Ax = 0 hanya memiliki solusi
x = A-10 = 0 (zero vector)
Anny2011
6
Definisi (3)
• Sebuah matriks 2x2 mempunyai invers
(invertible) jika dan hanya jika ad – bc tidak
sama dengan nol
– Nilai ad – bc adalah determinan matriks A.
• Sebuah matriks diagonal memiliki invers jika
tidak terdapat nilai nol pada diagonalnya.
Anny2011
7
Contoh 1
• Apakah matriks A berikut memiliki
invers? Sebutkan tiga alasannya.
A
• Tidak
1 2
1 2
1. Determinan A = 0
2. Jumlah pivot yang tidak sama dengan 0
hanya 1 (bukan 2)
3. Ax = 0 untuk x = (2, -1)
Anny2011
8
Invers Perkalian Matriks AB
• Hasil perkalian matriks AB memiliki invers
jika dan hanya jika matriks A dan B masingmasing memiliki invers dan ukurannya sama.
• Invers matriks AB: AB-1 = B-1A-1
– AA-1 = I
– (AB) B-1A-1 =A(BB-1)A-1 = AIA-1 =AA-1 = I
• Aturan reverse order :
Anny2011
9
Contoh 2
• Jika matriks eliminasi E mengurangi 5 kali
baris pertama dari baris kedua, invers matriks
E-1 menambahkan 5 kali baris pertama ke baris
kedua.
• Matriks persegi memiliki karakteristik
jika AB = I maka BA = I
Anny2011
10
Eliminasi Gauss-Jordan
• Meski persamaan Ax = b dapat dipecahkan dengan
x = A-1b, menghitung A-1 kemudian mengalikannya
dengan b kadang kurang efisien.
• Dengan eliminasi solusi x dapat langsung dicari.
• Dengan eliminasi juga, matriks invers A-1 juga dapat
dihasilkan
• Ide dasar Gauss-Jordan adalah mencari solusi
AA-1 = I, yakni dengan menentukan setiap kolom
matriks A-1.
Anny2011
11
Eliminasi Gauss-Jordan (2)
• Matriks A dikalikan kolom pertama matriks
A-1 (sebut kolom ini x1) menghasilkan kolom
pertama matriks I (sebut kolom ini e1)
• Persamaannya:
Ax1 = e1 = (1, 0, 0)
• Dua persamaan yang lain:
Ax2 = e2 = (0, 1, 0)
Ax3 = e3 = (0, 0, 1)
Anny2011
12
Eliminasi Gauss-Jordan (3)
• Metode Gauss-Jordan menghitung A-1 dengan mencari solusi
ketiga persamaan tsb (jika matriksnya 3x3), atau n persamaan
jika matriksnya nxn.
• Misal terdapat sebuah matriks K:
• Matriks identitas I:
2
1
0
1 0 0
0 1 0
1
2
1
0
1
2
0 0 1
• Untuk mencari K-1:
– Matriks gabungan [K I]:
2
1
1
2
0
1
0 1 0 0
1 0 1 0
2
0 0 1
– Lakukan eliminasi dengan meng-nol-kan elemen dibawah pivot
pertama: 2 1 0 1 0 0
0
3
2
1
1
2
1 0
0
1
2
0 0 1
2
1
0
1 0 0
– Lakukan eliminasi dengan meng-nol-kan elemen dibawah pivot kedua:
0
0
3
2
0
1
4
3
1
2
1
3
1 0 Anny2011
2
1
3
13
Eliminasi Gauss-Jordan (4)
2
1
0
3
2
0
0
0
1
4
3
1 0 0
1
2
1
3
1 0
2
3
1
• Matriks diatas 3 kolom pertamanya adalah U (upper
triangular), pivot pada diagonalnya adalah 2, 3/2,
dan 4/3.
• Selanjutnya metode Gauss-Jordan menghasilkan
bentuk reduksi (nilai nol diatas pivot:
2
0
1 0 1 0 0
3
0 34 32 34
2
0
0
4
3
1
3
2
3
2 0 0
0 32 0
0 0
1
Anny2011
4
3
3
2
3
4
1
3
1
3
2
2
3
1
2
3
4
1
14
Eliminasi Gauss-Jordan (5)
3
2
3
4
1
3
2 0 0
0 32 0
0 0
4
3
1
2
3
4
1
3
2
2
3
1
• Langkah terakhir metode Gauss-Jordan adalah
membagi setiap baris dengan nilai pivot pada baris
yang bersangkutan, sehingga pivot yang baru adalah
1:
1 0 0
0 1 0
0 0 1
3
4
1
2
1
4
1
2
1
1
2
1
4
1
2
3
4
• Tiga kolom terakhir matriks diatas adalah K-1 yang
dicari
Anny2011
15
Karakteristik Matriks K dan K-1
2
K
1
0
1
2
1
0
1
2
K
1
3
4
1
2
1
4
1
2
1
1
2
1
4
1
2
3
4
3 2 1
1
2 4 2
4
1 2 3
• Matriks K symmetric pada diagonal utamanya, begitu pula
matriks K-1.
• Matriks K tridiagonal (hanya tiga nilai bukan nol pada
diagonalnya). Matriks K-1 adalah dense matrix tanpa ada
nilai nol.
• Hasil perkalian pivot matriks U: 2*(3/2)*(4/3) = 4. Nilai 4
ini merupakan determinan dari K.
Anny2011
16
Contoh 1
•
2 3
Untuk matriks A = 4 7 ,
tentukan A-1 dengan eliminasi Gauss-Jordan.
• [A I] = 2 3 1 0
4 7 0 1
2 3
• Langkah 1 Eliminasi:
0 1
• Langkah 2 Eliminasi:
2 0
0 1
• Dibagi dengan pivot:
• A-1 =
7
2
2
3
2
1
1 0
0 1
1
0
2 1
7
3
2
1
7
2
2
3
2
1
Anny2011
17
Contoh 2
• Untuk matriks L =
1 0 0
3 1 0
4 5 1
,
tentukan L-1 dengan eliminasi Gauss-Jordan.
1 0 0 1 0 0
• [L I] =
3 1 0 0 1 0
4 5 1 0 0 1
• Langkah 1 Eliminasi:
• Langkah 2 Eliminasi:
• Langkah 3 Eliminasi :
• L-1 =
1
3
11
0
0
1
0
1 0 0
1
0 1 0
4 5 1
1 0 0
0 0
3 1 0
0
1
0 1
0 0
0 1 0
3 1 0
0 5 1
1 0 0
4 0 1
1
0 0
0 1 0
3
0 0 1
11
1
0
5 1
5 1
Anny2011
18
Bagian 2
ELIMINASI =
FAKTORISASI: A = LU
Anny2011
19
Faktorisasi Matriks
• Matriks A merupakan hasil perkalian dua atau tiga
matriks spesial yang lain.
• Dari eliminasi, faktor matriks A adalah matriks
triangular L dan U: A = LU.
– U: matriks upper triangular dengan nilai-nilai pivot pada
diagonalnya.
Dengan eliminasi matriks A dapat diubah menjadi U.
– L: matriks lower triangular yang dapat digunakan untuk
mengubah matriks U kembali menjadi A.
Anny2011
20
Faktorisasi Matriks (2)
• Matriks A berukuran 2x2:
2 1
6 8
• Baris kedua diatas adalah faktorisasi matriks A: LU = A
• Untuk matriks 3x3, matriks A akan dikalikan dengan E21,
E31, dan E32 untuk menjadi matriks U.
– asumsi tidak ada pertukaran baris pada matriks A
• Jika invers dari matriks-matriks eliminasi dikalikan dengan
sistem, dihasilkan A = (E21-1E31-1E32-1)U = LU.
Anny2011
21
Faktorisasi Matriks (3)
•
•
•
•
•
A = LU adalah eliminasi tanpa ada pertukaran baris pada A.
Matriks U memiliki nilai-nilai pivot pada diagonalnya.
Matriks L memiliki nilai 1 pada diagonalnya.
Pengali lij berada di bawah diagonal matriks L.
Misal, matriks A = 2 1 0
1 2 1
0 1 2
• Eliminasi akan mengurangkan ½ kali baris 1 dari baris 2, l21
= ½, kemudian mengurangkan 2/3 kali baris 2 dari baris 3,
l32 = 2/3.
• Berapa L? Berapa U?
• Perkalian LU menghasilkan A:
Anny2011
22
Contoh
• Sebuah matriks 4x4:
• Tentukan matriks L dan U!
• Pola spesial:
– Jika sebuah baris pada A berawal dengan nol,
begitu pula baris pada L
– Jika sebuah kolom pada A berawal dengan nol,
begitu pula kolom pada U
Anny2011
23
A = LDU
• Diagonal matriks L bernilai 1
• Diagonal matriks U berisi nilai pivot
• Jika matriks U dibagi dengan pivotnya, akan
dihasilkan matriks U yang diagonalnya bernilai 1
Anny2011
24
Bagian 3
TRANSPOS DAN PERMUTASI
Anny2011
25
Transpos
• Transpos matriks lower triangular adalah
matriks upper triangular
• Transpos A + B = (A + B)T = AT + BT
• Transpos AB = (AB)T = BTAT
Jika A = LDU, berapa AT?
• Transpos A-1 = (A-1)T = (AT)-1
Anny2011
26
Inner Product
• Jika ada dua vektor x dan y, berapa inner
product dari x dan y?
• Nilai tsb dapat juga diperoleh menggunakan
perkalian matriks: xTy
• AT adalah matriks yang menjadikan dua nilai
inner product dari x dan y sama:
Anny2011
27
Matriks Simetrik
• Matriks simetrik: AT = A
• Contoh:
• Invers matriks simetrik menghasilkan
matriks simetrik juga
• Contoh:
Anny2011
28
Matriks Simetrik
• Sebuah matriks berukuran m x n jika ditranspos
kemudian dikalikan dengan matriks tsb
menghasilkan matriks persegi simetrik
– (m x n)T  n x m
– (n x m)(m x n)  (n x n)
• Menggunakan karakteristik transpos perkalian
matriks, berapa transpos dari RTR?
• (RTR)T = RT(RT)T = RTR
Anny2011
29
Matriks Simetri pada Eliminasi
• Jika A matriks simetrik, bentuk A = LDU
berubah menjadi A = LDLT
• Perhatikan transpos dari LDLT!
• (LDLT)T = (LT)TDTLT
= LDLT
Anny2011
30
Matriks Permutasi
• Karakteristik matriks permutasi P:
– Memiliki satu nilai “1” di setiap baris dan di
setiap kolom
– Jika ditranspos akan menghasilkan matriks
permutasi juga
– Perkalian antar matriks permutasi
menghasilkan matriks permutasi juga
– Dibentuk dari matriks identitas I, kemudian
baris-barisnya ditukar
Anny2011
31
Matriks Permutasi 3x3
• Terdapat 6 matriks permutasi 3x3:
– I, P21, P31, P32, P32P21, P21P32
• Untuk matriks dengan orde n, ada berapa matriks permutasi?
n!
• P-1 juga matriks permutasi
• P-1 = PT
Anny2011
32
PA = LU
• Pada eliminasi, kadang pertukaran baris
diperlukan, sehingga
P…E…P…E…A = U
A = (E-1…P-1…E-1…P-1…)U
• Jika pertukaran baris direpresentasikan
menggunakan sebuah matriks permutasi P, ada
dua kemungkinan cara melakukan semua
pertukaran baris yang diperlukan:
– sebelum eliminasi, sehingga PA = LU
– sesudah eliminasi, sehingga A = L1P1U1
MATLAB menggunakan PA = LU
Anny2011
33
Latihan Pertemuan 3
• Chapter 2.5
– Problem 3, 4, 25, 27
• Chapter 2.6
– Problem 1, 2, 5
• Chapter 2.7
– Problem 20, 24, 31
Anny2011
34