Interpretasi dan Semantik Formula Logika

Logika Proposisi 2: Interpretasi dan Semantik Formula
Logika Proposisi – Hukum-hukum Ekuivalensi Logika
Kuliah Logika Matematika Semester Ganjil 2015-2016
MZI
Fakultas Informatika
Telkom University
FIF Tel-U
Agustus 2015
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
1 / 43
Acknowledgements
Slide ini disusun berdasarkan materi yang terdapat pada sumber-sumber berikut:
1
Discrete Mathematics and Its Applications (Bab 1), Edisi 7, 2012, oleh K. H.
Rosen (acuan utama).
2
Discrete Mathematics with Applications (Bab 2), Edisi 4, 2010, oleh S. S.
Epp.
3
Logic in Computer Science: Modelling and Reasoning about Systems (Bab
1), Edisi 2, 2004, oleh M. Huth dan M. Ryan.
4
Mathematical Logic for Computer Science (Bab 2, 3, 4), Edisi 2, 2000, oleh
M. Ben-Ari.
5
Slide kuliah Matematika Diskret 1 (2012) di Fasilkom UI oleh B. H. Widjaja.
6
Slide kuliah Logika Matematika di Telkom University oleh A. Rakhmatsyah,
B. Purnama.
Beberapa gambar dapat diambil dari sumber-sumber di atas. Slide ini ditujukan
untuk keperluan akademis di lingkungan FIF Telkom University. Jika Anda
memiliki saran/ pendapat/ pertanyaan terkait materi dalam slide ini, silakan kirim
email ke <pleasedontspam>@telkomuniversity.ac.id.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
2 / 43
Bahasan
1
Interpretasi dan Semantik Formula Logika Proposisi
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
3 / 43
Bahasan
1
Interpretasi dan Semantik Formula Logika Proposisi
2
Sifat-sifat Formula Logika Proposisi Berdasarkan Semantiknya
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
3 / 43
Bahasan
1
Interpretasi dan Semantik Formula Logika Proposisi
2
Sifat-sifat Formula Logika Proposisi Berdasarkan Semantiknya
3
Skema Formula, Konsekuensi Logis, dan Kesetaraan Logika
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
3 / 43
Bahasan
1
Interpretasi dan Semantik Formula Logika Proposisi
2
Sifat-sifat Formula Logika Proposisi Berdasarkan Semantiknya
3
Skema Formula, Konsekuensi Logis, dan Kesetaraan Logika
4
Hukum-hukum Ekuivalensi Logika
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
3 / 43
Interpretasi dan Semantik Formula Logika Proposisi
Bahasan
1
Interpretasi dan Semantik Formula Logika Proposisi
2
Sifat-sifat Formula Logika Proposisi Berdasarkan Semantiknya
3
Skema Formula, Konsekuensi Logis, dan Kesetaraan Logika
4
Hukum-hukum Ekuivalensi Logika
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
4 / 43
Interpretasi dan Semantik Formula Logika Proposisi
Interpretasi
Interpretasi
Interpretasi dari suatu formula logika proposisi adalah pemberian nilai kebenaran
terhadap proposisi tersebut. Proposisi yang ditinjau dapat berupa proposisi
majemuk. Untuk proposisi atom, interpretasi merupakan pemetaan antara suatu
variabel proposisi terhadap nilai kebenarannya. Interpretasi dilambangkan dengan
simbol I, I1 , I2 , . . . .
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
5 / 43
Interpretasi dan Semantik Formula Logika Proposisi
Interpretasi
Interpretasi
Interpretasi dari suatu formula logika proposisi adalah pemberian nilai kebenaran
terhadap proposisi tersebut. Proposisi yang ditinjau dapat berupa proposisi
majemuk. Untuk proposisi atom, interpretasi merupakan pemetaan antara suatu
variabel proposisi terhadap nilai kebenarannya. Interpretasi dilambangkan dengan
simbol I, I1 , I2 , . . . .
I (p) = T berarti p diinterpretasikan benar oleh interpretasi I
I (q) = F berarti
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
5 / 43
Interpretasi dan Semantik Formula Logika Proposisi
Interpretasi
Interpretasi
Interpretasi dari suatu formula logika proposisi adalah pemberian nilai kebenaran
terhadap proposisi tersebut. Proposisi yang ditinjau dapat berupa proposisi
majemuk. Untuk proposisi atom, interpretasi merupakan pemetaan antara suatu
variabel proposisi terhadap nilai kebenarannya. Interpretasi dilambangkan dengan
simbol I, I1 , I2 , . . . .
I (p) = T berarti p diinterpretasikan benar oleh interpretasi I
I (q) = F berarti q diinterpretasikan salah oleh interpretasi I
I3 (p) = F berarti
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
5 / 43
Interpretasi dan Semantik Formula Logika Proposisi
Interpretasi
Interpretasi
Interpretasi dari suatu formula logika proposisi adalah pemberian nilai kebenaran
terhadap proposisi tersebut. Proposisi yang ditinjau dapat berupa proposisi
majemuk. Untuk proposisi atom, interpretasi merupakan pemetaan antara suatu
variabel proposisi terhadap nilai kebenarannya. Interpretasi dilambangkan dengan
simbol I, I1 , I2 , . . . .
I (p) = T berarti p diinterpretasikan benar oleh interpretasi I
I (q) = F berarti q diinterpretasikan salah oleh interpretasi I
I3 (p) = F berarti p diinterpretasikan salah oleh interpretasi I3
I5 (q) = T berarti
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
5 / 43
Interpretasi dan Semantik Formula Logika Proposisi
Interpretasi
Interpretasi
Interpretasi dari suatu formula logika proposisi adalah pemberian nilai kebenaran
terhadap proposisi tersebut. Proposisi yang ditinjau dapat berupa proposisi
majemuk. Untuk proposisi atom, interpretasi merupakan pemetaan antara suatu
variabel proposisi terhadap nilai kebenarannya. Interpretasi dilambangkan dengan
simbol I, I1 , I2 , . . . .
I (p) = T berarti p diinterpretasikan benar oleh interpretasi I
I (q) = F berarti q diinterpretasikan salah oleh interpretasi I
I3 (p) = F berarti p diinterpretasikan salah oleh interpretasi I3
I5 (q) = T berarti q diinterpretasikan benar oleh interpretasi I5
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
5 / 43
Interpretasi dan Semantik Formula Logika Proposisi
Interpretasi Proposisi Majemuk
Interpretasi untuk sebuah proposisi dapat diperoleh cukup dengan
memberikan nilai kebenaran pada semua variabel proposisi atom yang
muncul pada proposisi itu.
Nilai kebenaran proposisi majemuk dapat ditentukan dari nilai kebenaran
proposisi atom yang menyusunnya.
Untuk formula yang kompleks, interpretasi (disebut juga sebagai semantik)
dapat ditentukan dengan meninjau interpretasi setiap subformula yang ada
pada formula tersebut.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
6 / 43
Interpretasi dan Semantik Formula Logika Proposisi
Aturan Semantik Logika Proposisi
Aturan Semantik Logika Proposisi
Misalkan A adalah sebuah formula dan I adalah interpretasi yang terde…nisi
untuk setiap proposisi atom yang muncul di A. Interpretasi untuk A dide…nisikan
sebagai berikut
Jika A = p (suatu proposisi atom), maka I (A) = I (p), dan nilainya sesuai
dengan de…nisi I untuk proposisi atom p yang bersesuaian.
Jika A = T, maka I (A) = I (T) =
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
7 / 43
Interpretasi dan Semantik Formula Logika Proposisi
Aturan Semantik Logika Proposisi
Aturan Semantik Logika Proposisi
Misalkan A adalah sebuah formula dan I adalah interpretasi yang terde…nisi
untuk setiap proposisi atom yang muncul di A. Interpretasi untuk A dide…nisikan
sebagai berikut
Jika A = p (suatu proposisi atom), maka I (A) = I (p), dan nilainya sesuai
dengan de…nisi I untuk proposisi atom p yang bersesuaian.
Jika A = T, maka I (A) = I (T) = T. Kemudian jika A = F, maka
I (A) = I (F) =
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
7 / 43
Interpretasi dan Semantik Formula Logika Proposisi
Aturan Semantik Logika Proposisi
Aturan Semantik Logika Proposisi
Misalkan A adalah sebuah formula dan I adalah interpretasi yang terde…nisi
untuk setiap proposisi atom yang muncul di A. Interpretasi untuk A dide…nisikan
sebagai berikut
Jika A = p (suatu proposisi atom), maka I (A) = I (p), dan nilainya sesuai
dengan de…nisi I untuk proposisi atom p yang bersesuaian.
Jika A = T, maka I (A) = I (T) = T. Kemudian jika A = F, maka
I (A) = I (F) = F.
Jika A = :B, untuk suatu formula B, maka
I (A) =
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
7 / 43
Interpretasi dan Semantik Formula Logika Proposisi
Aturan Semantik Logika Proposisi
Aturan Semantik Logika Proposisi
Misalkan A adalah sebuah formula dan I adalah interpretasi yang terde…nisi
untuk setiap proposisi atom yang muncul di A. Interpretasi untuk A dide…nisikan
sebagai berikut
Jika A = p (suatu proposisi atom), maka I (A) = I (p), dan nilainya sesuai
dengan de…nisi I untuk proposisi atom p yang bersesuaian.
Jika A = T, maka I (A) = I (T) = T. Kemudian jika A = F, maka
I (A) = I (F) = F.
Jika A = :B, untuk suatu formula B, maka
I (A) = I (:B) =
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
7 / 43
Interpretasi dan Semantik Formula Logika Proposisi
Aturan Semantik Logika Proposisi
Aturan Semantik Logika Proposisi
Misalkan A adalah sebuah formula dan I adalah interpretasi yang terde…nisi
untuk setiap proposisi atom yang muncul di A. Interpretasi untuk A dide…nisikan
sebagai berikut
Jika A = p (suatu proposisi atom), maka I (A) = I (p), dan nilainya sesuai
dengan de…nisi I untuk proposisi atom p yang bersesuaian.
Jika A = T, maka I (A) = I (T) = T. Kemudian jika A = F, maka
I (A) = I (F) = F.
Jika A = :B, untuk suatu formula B, maka
T,
I (A) = I (:B) = :I (B) =
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
7 / 43
Interpretasi dan Semantik Formula Logika Proposisi
Aturan Semantik Logika Proposisi
Aturan Semantik Logika Proposisi
Misalkan A adalah sebuah formula dan I adalah interpretasi yang terde…nisi
untuk setiap proposisi atom yang muncul di A. Interpretasi untuk A dide…nisikan
sebagai berikut
Jika A = p (suatu proposisi atom), maka I (A) = I (p), dan nilainya sesuai
dengan de…nisi I untuk proposisi atom p yang bersesuaian.
Jika A = T, maka I (A) = I (T) = T. Kemudian jika A = F, maka
I (A) = I (F) = F.
Jika A = :B, untuk suatu formula B, maka
T, jika I (B) = F
I (A) = I (:B) = :I (B) =
F,
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
7 / 43
Interpretasi dan Semantik Formula Logika Proposisi
Aturan Semantik Logika Proposisi
Aturan Semantik Logika Proposisi
Misalkan A adalah sebuah formula dan I adalah interpretasi yang terde…nisi
untuk setiap proposisi atom yang muncul di A. Interpretasi untuk A dide…nisikan
sebagai berikut
Jika A = p (suatu proposisi atom), maka I (A) = I (p), dan nilainya sesuai
dengan de…nisi I untuk proposisi atom p yang bersesuaian.
Jika A = T, maka I (A) = I (T) = T. Kemudian jika A = F, maka
I (A) = I (F) = F.
Jika A = :B, untuk suatu formula B, maka
T, jika I (B) = F
.
I (A) = I (:B) = :I (B) =
F, jika I (B) = T
Jika A = B ^ C, untuk suatu formula B dan C, maka
I (A) =
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
7 / 43
Interpretasi dan Semantik Formula Logika Proposisi
Aturan Semantik Logika Proposisi
Aturan Semantik Logika Proposisi
Misalkan A adalah sebuah formula dan I adalah interpretasi yang terde…nisi
untuk setiap proposisi atom yang muncul di A. Interpretasi untuk A dide…nisikan
sebagai berikut
Jika A = p (suatu proposisi atom), maka I (A) = I (p), dan nilainya sesuai
dengan de…nisi I untuk proposisi atom p yang bersesuaian.
Jika A = T, maka I (A) = I (T) = T. Kemudian jika A = F, maka
I (A) = I (F) = F.
Jika A = :B, untuk suatu formula B, maka
T, jika I (B) = F
.
I (A) = I (:B) = :I (B) =
F, jika I (B) = T
Jika A = B ^ C, untuk suatu formula B dan C, maka
I (A) = I (B ^ C) =
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
7 / 43
Interpretasi dan Semantik Formula Logika Proposisi
Aturan Semantik Logika Proposisi
Aturan Semantik Logika Proposisi
Misalkan A adalah sebuah formula dan I adalah interpretasi yang terde…nisi
untuk setiap proposisi atom yang muncul di A. Interpretasi untuk A dide…nisikan
sebagai berikut
Jika A = p (suatu proposisi atom), maka I (A) = I (p), dan nilainya sesuai
dengan de…nisi I untuk proposisi atom p yang bersesuaian.
Jika A = T, maka I (A) = I (T) = T. Kemudian jika A = F, maka
I (A) = I (F) = F.
Jika A = :B, untuk suatu formula B, maka
T, jika I (B) = F
.
I (A) = I (:B) = :I (B) =
F, jika I (B) = T
Jika A = B ^ C, untuk suatu formula B dan C, maka
T,
I (A) = I (B ^ C) = I (B) ^ I (C) =
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
7 / 43
Interpretasi dan Semantik Formula Logika Proposisi
Aturan Semantik Logika Proposisi
Aturan Semantik Logika Proposisi
Misalkan A adalah sebuah formula dan I adalah interpretasi yang terde…nisi
untuk setiap proposisi atom yang muncul di A. Interpretasi untuk A dide…nisikan
sebagai berikut
Jika A = p (suatu proposisi atom), maka I (A) = I (p), dan nilainya sesuai
dengan de…nisi I untuk proposisi atom p yang bersesuaian.
Jika A = T, maka I (A) = I (T) = T. Kemudian jika A = F, maka
I (A) = I (F) = F.
Jika A = :B, untuk suatu formula B, maka
T, jika I (B) = F
.
I (A) = I (:B) = :I (B) =
F, jika I (B) = T
Jika A = B ^ C, untuk suatu formula B dan C, maka
T, jika I (B) = I (C) = T
I (A) = I (B ^ C) = I (B) ^ I (C) =
F,
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
7 / 43
Interpretasi dan Semantik Formula Logika Proposisi
Aturan Semantik Logika Proposisi
Aturan Semantik Logika Proposisi
Misalkan A adalah sebuah formula dan I adalah interpretasi yang terde…nisi
untuk setiap proposisi atom yang muncul di A. Interpretasi untuk A dide…nisikan
sebagai berikut
Jika A = p (suatu proposisi atom), maka I (A) = I (p), dan nilainya sesuai
dengan de…nisi I untuk proposisi atom p yang bersesuaian.
Jika A = T, maka I (A) = I (T) = T. Kemudian jika A = F, maka
I (A) = I (F) = F.
Jika A = :B, untuk suatu formula B, maka
T, jika I (B) = F
.
I (A) = I (:B) = :I (B) =
F, jika I (B) = T
Jika A = B ^ C, untuk suatu formula B dan C, maka
T, jika I (B) = I (C) = T
I (A) = I (B ^ C) = I (B) ^ I (C) =
.
F, lainnya
Jika A = B _ C, untuk suatu formula B dan C, maka
I (A) =
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
7 / 43
Interpretasi dan Semantik Formula Logika Proposisi
Aturan Semantik Logika Proposisi
Aturan Semantik Logika Proposisi
Misalkan A adalah sebuah formula dan I adalah interpretasi yang terde…nisi
untuk setiap proposisi atom yang muncul di A. Interpretasi untuk A dide…nisikan
sebagai berikut
Jika A = p (suatu proposisi atom), maka I (A) = I (p), dan nilainya sesuai
dengan de…nisi I untuk proposisi atom p yang bersesuaian.
Jika A = T, maka I (A) = I (T) = T. Kemudian jika A = F, maka
I (A) = I (F) = F.
Jika A = :B, untuk suatu formula B, maka
T, jika I (B) = F
.
I (A) = I (:B) = :I (B) =
F, jika I (B) = T
Jika A = B ^ C, untuk suatu formula B dan C, maka
T, jika I (B) = I (C) = T
I (A) = I (B ^ C) = I (B) ^ I (C) =
.
F, lainnya
Jika A = B _ C, untuk suatu formula B dan C, maka
I (A) = I (B _ C) =
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
7 / 43
Interpretasi dan Semantik Formula Logika Proposisi
Aturan Semantik Logika Proposisi
Aturan Semantik Logika Proposisi
Misalkan A adalah sebuah formula dan I adalah interpretasi yang terde…nisi
untuk setiap proposisi atom yang muncul di A. Interpretasi untuk A dide…nisikan
sebagai berikut
Jika A = p (suatu proposisi atom), maka I (A) = I (p), dan nilainya sesuai
dengan de…nisi I untuk proposisi atom p yang bersesuaian.
Jika A = T, maka I (A) = I (T) = T. Kemudian jika A = F, maka
I (A) = I (F) = F.
Jika A = :B, untuk suatu formula B, maka
T, jika I (B) = F
.
I (A) = I (:B) = :I (B) =
F, jika I (B) = T
Jika A = B ^ C, untuk suatu formula B dan C, maka
T, jika I (B) = I (C) = T
I (A) = I (B ^ C) = I (B) ^ I (C) =
.
F, lainnya
Jika A = B _ C, untuk suatu formula B dan C, maka
F,
I (A) = I (B _ C) = I (B) _ I (C) =
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
7 / 43
Interpretasi dan Semantik Formula Logika Proposisi
Aturan Semantik Logika Proposisi
Aturan Semantik Logika Proposisi
Misalkan A adalah sebuah formula dan I adalah interpretasi yang terde…nisi
untuk setiap proposisi atom yang muncul di A. Interpretasi untuk A dide…nisikan
sebagai berikut
Jika A = p (suatu proposisi atom), maka I (A) = I (p), dan nilainya sesuai
dengan de…nisi I untuk proposisi atom p yang bersesuaian.
Jika A = T, maka I (A) = I (T) = T. Kemudian jika A = F, maka
I (A) = I (F) = F.
Jika A = :B, untuk suatu formula B, maka
T, jika I (B) = F
.
I (A) = I (:B) = :I (B) =
F, jika I (B) = T
Jika A = B ^ C, untuk suatu formula B dan C, maka
T, jika I (B) = I (C) = T
I (A) = I (B ^ C) = I (B) ^ I (C) =
.
F, lainnya
Jika A = B _ C, untuk suatu formula B dan C, maka
F, jika I (B) = I (C) = F
I (A) = I (B _ C) = I (B) _ I (C) =
T,
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
7 / 43
Interpretasi dan Semantik Formula Logika Proposisi
Aturan Semantik Logika Proposisi
Aturan Semantik Logika Proposisi
Misalkan A adalah sebuah formula dan I adalah interpretasi yang terde…nisi
untuk setiap proposisi atom yang muncul di A. Interpretasi untuk A dide…nisikan
sebagai berikut
Jika A = p (suatu proposisi atom), maka I (A) = I (p), dan nilainya sesuai
dengan de…nisi I untuk proposisi atom p yang bersesuaian.
Jika A = T, maka I (A) = I (T) = T. Kemudian jika A = F, maka
I (A) = I (F) = F.
Jika A = :B, untuk suatu formula B, maka
T, jika I (B) = F
.
I (A) = I (:B) = :I (B) =
F, jika I (B) = T
Jika A = B ^ C, untuk suatu formula B dan C, maka
T, jika I (B) = I (C) = T
I (A) = I (B ^ C) = I (B) ^ I (C) =
.
F, lainnya
Jika A = B _ C, untuk suatu formula B dan C, maka
F, jika I (B) = I (C) = F
I (A) = I (B _ C) = I (B) _ I (C) =
.
T, lainnya
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
7 / 43
Interpretasi dan Semantik Formula Logika Proposisi
Jika A = B
C, untuk suatu formula B dan C, maka
I (A) =
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
8 / 43
Interpretasi dan Semantik Formula Logika Proposisi
Jika A = B
I (A) = I (B
MZI (FIF Tel-U)
C, untuk suatu formula B dan C, maka
C) =
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
8 / 43
Interpretasi dan Semantik Formula Logika Proposisi
Jika A = B
C, untuk suatu formula B dan C, maka
T,
I (A) = I (B C) = I (B) I (C) =
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
8 / 43
Interpretasi dan Semantik Formula Logika Proposisi
Jika A = B
C, untuk suatu formula B dan C, maka
T, jika I (B) 6= I (C)
I (A) = I (B C) = I (B) I (C) =
F,
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
8 / 43
Interpretasi dan Semantik Formula Logika Proposisi
Jika A = B
C, untuk suatu formula B dan C, maka
T, jika I (B) 6= I (C)
.
I (A) = I (B C) = I (B) I (C) =
F, jika I (C) = I (C)
Jika A = B ! C, untuk suatu formula B dan C, maka I (A) =
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
8 / 43
Interpretasi dan Semantik Formula Logika Proposisi
Jika A = B
C, untuk suatu formula B dan C, maka
T, jika I (B) 6= I (C)
.
I (A) = I (B C) = I (B) I (C) =
F, jika I (C) = I (C)
Jika A = B ! C, untuk suatu formula B dan C, maka I (A) =
I (B ! C) =
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
8 / 43
Interpretasi dan Semantik Formula Logika Proposisi
Jika A = B
C, untuk suatu formula B dan C, maka
T, jika I (B) 6= I (C)
.
I (A) = I (B C) = I (B) I (C) =
F, jika I (C) = I (C)
Jika A = B ! C, untuk suatu formula B dan C, maka I (A) =
F,
I (B ! C) = I (B) ! I (C) =
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
8 / 43
Interpretasi dan Semantik Formula Logika Proposisi
Jika A = B
C, untuk suatu formula B dan C, maka
T, jika I (B) 6= I (C)
.
I (A) = I (B C) = I (B) I (C) =
F, jika I (C) = I (C)
Jika A = B ! C, untuk suatu formula B dan C, maka I (A) =
F, jika I (B) = T namun I (C) = F
I (B ! C) = I (B) ! I (C) =
T,
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
8 / 43
Interpretasi dan Semantik Formula Logika Proposisi
Jika A = B
C, untuk suatu formula B dan C, maka
T, jika I (B) 6= I (C)
.
I (A) = I (B C) = I (B) I (C) =
F, jika I (C) = I (C)
Jika A = B ! C, untuk suatu formula
F,
I (B ! C) = I (B) ! I (C) =
T,
Jika A = B $ C, untuk suatu formula
B dan C, maka I (A) =
jika I (B) = T namun I (C) = F
.
lainnya
B dan C, maka
I (A) =
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
8 / 43
Interpretasi dan Semantik Formula Logika Proposisi
Jika A = B
C, untuk suatu formula B dan C, maka
T, jika I (B) 6= I (C)
.
I (A) = I (B C) = I (B) I (C) =
F, jika I (C) = I (C)
Jika A = B ! C, untuk suatu formula
F,
I (B ! C) = I (B) ! I (C) =
T,
Jika A = B $ C, untuk suatu formula
B dan C, maka I (A) =
jika I (B) = T namun I (C) = F
.
lainnya
B dan C, maka
I (A) = I (B $ C) =
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
8 / 43
Interpretasi dan Semantik Formula Logika Proposisi
Jika A = B
C, untuk suatu formula B dan C, maka
T, jika I (B) 6= I (C)
.
I (A) = I (B C) = I (B) I (C) =
F, jika I (C) = I (C)
Jika A = B ! C, untuk suatu formula
F,
I (B ! C) = I (B) ! I (C) =
T,
Jika A = B $ C, untuk suatu formula
B dan C, maka I (A) =
jika I (B) = T namun I (C) = F
.
lainnya
B dan C, maka
T,
I (A) = I (B $ C) = I (B) $ I (C) =
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
8 / 43
Interpretasi dan Semantik Formula Logika Proposisi
Jika A = B
C, untuk suatu formula B dan C, maka
T, jika I (B) 6= I (C)
.
I (A) = I (B C) = I (B) I (C) =
F, jika I (C) = I (C)
Jika A = B ! C, untuk suatu formula
F,
I (B ! C) = I (B) ! I (C) =
T,
Jika A = B $ C, untuk suatu formula
B dan C, maka I (A) =
jika I (B) = T namun I (C) = F
.
lainnya
B dan C, maka
T, jika I (B) = I (C)
I (A) = I (B $ C) = I (B) $ I (C) =
F,
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
8 / 43
Interpretasi dan Semantik Formula Logika Proposisi
Jika A = B
C, untuk suatu formula B dan C, maka
T, jika I (B) 6= I (C)
.
I (A) = I (B C) = I (B) I (C) =
F, jika I (C) = I (C)
Jika A = B ! C, untuk suatu formula
F,
I (B ! C) = I (B) ! I (C) =
T,
Jika A = B $ C, untuk suatu formula
B dan C, maka I (A) =
jika I (B) = T namun I (C) = F
.
lainnya
B dan C, maka
T, jika I (B) = I (C)
I (A) = I (B $ C) = I (B) $ I (C) =
.
F, jika I (B) 6= I (C)
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
8 / 43
Interpretasi dan Semantik Formula Logika Proposisi
Contoh
Misalkan A adalah formula p ^ q ! r dan I adalah interpretasi dengan de…nisi:
I (p) = F, I (q) = T, dan I (r) = F. Maka interpretasi untuk A, yaitu I (A)
dapat ditentukan sebagai berikut
I (A)
MZI (FIF Tel-U)
=
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
9 / 43
Interpretasi dan Semantik Formula Logika Proposisi
Contoh
Misalkan A adalah formula p ^ q ! r dan I adalah interpretasi dengan de…nisi:
I (p) = F, I (q) = T, dan I (r) = F. Maka interpretasi untuk A, yaitu I (A)
dapat ditentukan sebagai berikut
I (A)
MZI (FIF Tel-U)
=
=
I (p ^ q ! r)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
9 / 43
Interpretasi dan Semantik Formula Logika Proposisi
Contoh
Misalkan A adalah formula p ^ q ! r dan I adalah interpretasi dengan de…nisi:
I (p) = F, I (q) = T, dan I (r) = F. Maka interpretasi untuk A, yaitu I (A)
dapat ditentukan sebagai berikut
I (A)
=
=
=
MZI (FIF Tel-U)
I (p ^ q ! r)
I ((p ^ q) ! r)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
9 / 43
Interpretasi dan Semantik Formula Logika Proposisi
Contoh
Misalkan A adalah formula p ^ q ! r dan I adalah interpretasi dengan de…nisi:
I (p) = F, I (q) = T, dan I (r) = F. Maka interpretasi untuk A, yaitu I (A)
dapat ditentukan sebagai berikut
I (A)
=
=
=
=
MZI (FIF Tel-U)
I (p ^ q ! r)
I ((p ^ q) ! r)
I (p ^ q) ! I (r)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
9 / 43
Interpretasi dan Semantik Formula Logika Proposisi
Contoh
Misalkan A adalah formula p ^ q ! r dan I adalah interpretasi dengan de…nisi:
I (p) = F, I (q) = T, dan I (r) = F. Maka interpretasi untuk A, yaitu I (A)
dapat ditentukan sebagai berikut
I (A)
=
=
=
=
=
MZI (FIF Tel-U)
I (p ^ q ! r)
I ((p ^ q) ! r)
I (p ^ q) ! I (r)
(I (p) ^ I (q)) ! I (r)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
9 / 43
Interpretasi dan Semantik Formula Logika Proposisi
Contoh
Misalkan A adalah formula p ^ q ! r dan I adalah interpretasi dengan de…nisi:
I (p) = F, I (q) = T, dan I (r) = F. Maka interpretasi untuk A, yaitu I (A)
dapat ditentukan sebagai berikut
I (A)
=
=
=
=
=
MZI (FIF Tel-U)
I (p ^ q ! r)
I ((p ^ q) ! r)
I (p ^ q) ! I (r)
(I (p) ^ I (q)) ! I (r)
(F ^ T) ! F =
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
9 / 43
Interpretasi dan Semantik Formula Logika Proposisi
Contoh
Misalkan A adalah formula p ^ q ! r dan I adalah interpretasi dengan de…nisi:
I (p) = F, I (q) = T, dan I (r) = F. Maka interpretasi untuk A, yaitu I (A)
dapat ditentukan sebagai berikut
I (A)
=
=
=
=
=
MZI (FIF Tel-U)
I (p ^ q ! r)
I ((p ^ q) ! r)
I (p ^ q) ! I (r)
(I (p) ^ I (q)) ! I (r)
(F ^ T) ! F = F ! F =
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
9 / 43
Interpretasi dan Semantik Formula Logika Proposisi
Contoh
Misalkan A adalah formula p ^ q ! r dan I adalah interpretasi dengan de…nisi:
I (p) = F, I (q) = T, dan I (r) = F. Maka interpretasi untuk A, yaitu I (A)
dapat ditentukan sebagai berikut
I (A)
=
=
=
=
=
I (p ^ q ! r)
I ((p ^ q) ! r)
I (p ^ q) ! I (r)
(I (p) ^ I (q)) ! I (r)
(F ^ T) ! F = F ! F = T.
Atau dapat pula dikerjakan secara ringkas sebagai berikut
I (p ^ q ! r) =
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
9 / 43
Interpretasi dan Semantik Formula Logika Proposisi
Contoh
Misalkan A adalah formula p ^ q ! r dan I adalah interpretasi dengan de…nisi:
I (p) = F, I (q) = T, dan I (r) = F. Maka interpretasi untuk A, yaitu I (A)
dapat ditentukan sebagai berikut
I (A)
=
=
=
=
=
I (p ^ q ! r)
I ((p ^ q) ! r)
I (p ^ q) ! I (r)
(I (p) ^ I (q)) ! I (r)
(F ^ T) ! F = F ! F = T.
Atau dapat pula dikerjakan secara ringkas sebagai berikut
I (p ^ q ! r) = (I (p) ^ I (q)) ! I (r) =
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
9 / 43
Interpretasi dan Semantik Formula Logika Proposisi
Contoh
Misalkan A adalah formula p ^ q ! r dan I adalah interpretasi dengan de…nisi:
I (p) = F, I (q) = T, dan I (r) = F. Maka interpretasi untuk A, yaitu I (A)
dapat ditentukan sebagai berikut
I (A)
=
=
=
=
=
I (p ^ q ! r)
I ((p ^ q) ! r)
I (p ^ q) ! I (r)
(I (p) ^ I (q)) ! I (r)
(F ^ T) ! F = F ! F = T.
Atau dapat pula dikerjakan secara ringkas sebagai berikut
I (p ^ q ! r) = (I (p) ^ I (q)) ! I (r) = (F ^ T) ! F =
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
9 / 43
Interpretasi dan Semantik Formula Logika Proposisi
Contoh
Misalkan A adalah formula p ^ q ! r dan I adalah interpretasi dengan de…nisi:
I (p) = F, I (q) = T, dan I (r) = F. Maka interpretasi untuk A, yaitu I (A)
dapat ditentukan sebagai berikut
I (A)
=
=
=
=
=
I (p ^ q ! r)
I ((p ^ q) ! r)
I (p ^ q) ! I (r)
(I (p) ^ I (q)) ! I (r)
(F ^ T) ! F = F ! F = T.
Atau dapat pula dikerjakan secara ringkas sebagai berikut
I (p ^ q ! r) = (I (p) ^ I (q)) ! I (r) = (F ^ T) ! F = F ! F =
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
9 / 43
Interpretasi dan Semantik Formula Logika Proposisi
Contoh
Misalkan A adalah formula p ^ q ! r dan I adalah interpretasi dengan de…nisi:
I (p) = F, I (q) = T, dan I (r) = F. Maka interpretasi untuk A, yaitu I (A)
dapat ditentukan sebagai berikut
I (A)
=
=
=
=
=
I (p ^ q ! r)
I ((p ^ q) ! r)
I (p ^ q) ! I (r)
(I (p) ^ I (q)) ! I (r)
(F ^ T) ! F = F ! F = T.
Atau dapat pula dikerjakan secara ringkas sebagai berikut
I (p ^ q ! r) = (I (p) ^ I (q)) ! I (r) = (F ^ T) ! F = F ! F = T.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
9 / 43
Interpretasi dan Semantik Formula Logika Proposisi
Latihan
Misalkan I dan J adalah dua interpretasi yang dide…nisikan untuk
proposisi-proposisi atom berikut: I (p) = T, I (q) = F, I (r) = F, J (p) = F,
J (q) = F, J (r) = T. Tentukan interpretasi dari formula p ! q _ r dan
(p ! q) _ (p ! r) terhadap interpretasi I dan J .
Solusi:
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
10 / 43
Interpretasi dan Semantik Formula Logika Proposisi
Latihan
Misalkan I dan J adalah dua interpretasi yang dide…nisikan untuk
proposisi-proposisi atom berikut: I (p) = T, I (q) = F, I (r) = F, J (p) = F,
J (q) = F, J (r) = T. Tentukan interpretasi dari formula p ! q _ r dan
(p ! q) _ (p ! r) terhadap interpretasi I dan J .
Solusi:
1
I (p ! q _ r) =
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
10 / 43
Interpretasi dan Semantik Formula Logika Proposisi
Latihan
Misalkan I dan J adalah dua interpretasi yang dide…nisikan untuk
proposisi-proposisi atom berikut: I (p) = T, I (q) = F, I (r) = F, J (p) = F,
J (q) = F, J (r) = T. Tentukan interpretasi dari formula p ! q _ r dan
(p ! q) _ (p ! r) terhadap interpretasi I dan J .
Solusi:
1
I (p ! q _ r) = I (p ! (q _ r)) = I (p) ! (I (q) _ I (r)) =
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
10 / 43
Interpretasi dan Semantik Formula Logika Proposisi
Latihan
Misalkan I dan J adalah dua interpretasi yang dide…nisikan untuk
proposisi-proposisi atom berikut: I (p) = T, I (q) = F, I (r) = F, J (p) = F,
J (q) = F, J (r) = T. Tentukan interpretasi dari formula p ! q _ r dan
(p ! q) _ (p ! r) terhadap interpretasi I dan J .
Solusi:
1
I (p ! q _ r) = I (p ! (q _ r)) = I (p) ! (I (q) _ I (r)) = T ! (F _ F) =
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
10 / 43
Interpretasi dan Semantik Formula Logika Proposisi
Latihan
Misalkan I dan J adalah dua interpretasi yang dide…nisikan untuk
proposisi-proposisi atom berikut: I (p) = T, I (q) = F, I (r) = F, J (p) = F,
J (q) = F, J (r) = T. Tentukan interpretasi dari formula p ! q _ r dan
(p ! q) _ (p ! r) terhadap interpretasi I dan J .
Solusi:
1
I (p ! q _ r) = I (p ! (q _ r)) = I (p) ! (I (q) _ I (r)) = T ! (F _ F) =
T!F=
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
10 / 43
Interpretasi dan Semantik Formula Logika Proposisi
Latihan
Misalkan I dan J adalah dua interpretasi yang dide…nisikan untuk
proposisi-proposisi atom berikut: I (p) = T, I (q) = F, I (r) = F, J (p) = F,
J (q) = F, J (r) = T. Tentukan interpretasi dari formula p ! q _ r dan
(p ! q) _ (p ! r) terhadap interpretasi I dan J .
Solusi:
1
I (p ! q _ r) = I (p ! (q _ r)) = I (p) ! (I (q) _ I (r)) = T ! (F _ F) =
T ! F = F.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
10 / 43
Interpretasi dan Semantik Formula Logika Proposisi
Latihan
Misalkan I dan J adalah dua interpretasi yang dide…nisikan untuk
proposisi-proposisi atom berikut: I (p) = T, I (q) = F, I (r) = F, J (p) = F,
J (q) = F, J (r) = T. Tentukan interpretasi dari formula p ! q _ r dan
(p ! q) _ (p ! r) terhadap interpretasi I dan J .
Solusi:
1
2
I (p ! q _ r) = I (p ! (q _ r)) = I (p) ! (I (q) _ I (r)) = T ! (F _ F) =
T ! F = F.
J (p ! q _ r) =
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
10 / 43
Interpretasi dan Semantik Formula Logika Proposisi
Latihan
Misalkan I dan J adalah dua interpretasi yang dide…nisikan untuk
proposisi-proposisi atom berikut: I (p) = T, I (q) = F, I (r) = F, J (p) = F,
J (q) = F, J (r) = T. Tentukan interpretasi dari formula p ! q _ r dan
(p ! q) _ (p ! r) terhadap interpretasi I dan J .
Solusi:
1
2
I (p ! q _ r) = I (p ! (q _ r)) = I (p) ! (I (q) _ I (r)) = T ! (F _ F) =
T ! F = F.
J (p ! q _ r) = J (p ! (q _ r)) = J (p) ! (J (q) _ J (r)) =
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
10 / 43
Interpretasi dan Semantik Formula Logika Proposisi
Latihan
Misalkan I dan J adalah dua interpretasi yang dide…nisikan untuk
proposisi-proposisi atom berikut: I (p) = T, I (q) = F, I (r) = F, J (p) = F,
J (q) = F, J (r) = T. Tentukan interpretasi dari formula p ! q _ r dan
(p ! q) _ (p ! r) terhadap interpretasi I dan J .
Solusi:
1
2
I (p ! q _ r) = I (p ! (q _ r)) = I (p) ! (I (q) _ I (r)) = T ! (F _ F) =
T ! F = F.
J (p ! q _ r) = J (p ! (q _ r)) = J (p) ! (J (q) _ J (r)) = F !
(F _ T) =
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
10 / 43
Interpretasi dan Semantik Formula Logika Proposisi
Latihan
Misalkan I dan J adalah dua interpretasi yang dide…nisikan untuk
proposisi-proposisi atom berikut: I (p) = T, I (q) = F, I (r) = F, J (p) = F,
J (q) = F, J (r) = T. Tentukan interpretasi dari formula p ! q _ r dan
(p ! q) _ (p ! r) terhadap interpretasi I dan J .
Solusi:
1
2
I (p ! q _ r) = I (p ! (q _ r)) = I (p) ! (I (q) _ I (r)) = T ! (F _ F) =
T ! F = F.
J (p ! q _ r) = J (p ! (q _ r)) = J (p) ! (J (q) _ J (r)) = F !
(F _ T) = F ! T =
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
10 / 43
Interpretasi dan Semantik Formula Logika Proposisi
Latihan
Misalkan I dan J adalah dua interpretasi yang dide…nisikan untuk
proposisi-proposisi atom berikut: I (p) = T, I (q) = F, I (r) = F, J (p) = F,
J (q) = F, J (r) = T. Tentukan interpretasi dari formula p ! q _ r dan
(p ! q) _ (p ! r) terhadap interpretasi I dan J .
Solusi:
1
2
I (p ! q _ r) = I (p ! (q _ r)) = I (p) ! (I (q) _ I (r)) = T ! (F _ F) =
T ! F = F.
J (p ! q _ r) = J (p ! (q _ r)) = J (p) ! (J (q) _ J (r)) = F !
(F _ T) = F ! T = T.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
10 / 43
Interpretasi dan Semantik Formula Logika Proposisi
Latihan
Misalkan I dan J adalah dua interpretasi yang dide…nisikan untuk
proposisi-proposisi atom berikut: I (p) = T, I (q) = F, I (r) = F, J (p) = F,
J (q) = F, J (r) = T. Tentukan interpretasi dari formula p ! q _ r dan
(p ! q) _ (p ! r) terhadap interpretasi I dan J .
Solusi:
1
2
3
I (p ! q _ r) = I (p ! (q _ r)) = I (p) ! (I (q) _ I (r)) = T ! (F _ F) =
T ! F = F.
J (p ! q _ r) = J (p ! (q _ r)) = J (p) ! (J (q) _ J (r)) = F !
(F _ T) = F ! T = T.
I ((p ! q) _ (p ! r)) =
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
10 / 43
Interpretasi dan Semantik Formula Logika Proposisi
Latihan
Misalkan I dan J adalah dua interpretasi yang dide…nisikan untuk
proposisi-proposisi atom berikut: I (p) = T, I (q) = F, I (r) = F, J (p) = F,
J (q) = F, J (r) = T. Tentukan interpretasi dari formula p ! q _ r dan
(p ! q) _ (p ! r) terhadap interpretasi I dan J .
Solusi:
1
2
3
I (p ! q _ r) = I (p ! (q _ r)) = I (p) ! (I (q) _ I (r)) = T ! (F _ F) =
T ! F = F.
J (p ! q _ r) = J (p ! (q _ r)) = J (p) ! (J (q) _ J (r)) = F !
(F _ T) = F ! T = T.
I ((p ! q) _ (p ! r)) = I (p ! q) _ I (p ! r) =
(I (p) ! I (q)) _ (I (p) ! I (r)) =
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
10 / 43
Interpretasi dan Semantik Formula Logika Proposisi
Latihan
Misalkan I dan J adalah dua interpretasi yang dide…nisikan untuk
proposisi-proposisi atom berikut: I (p) = T, I (q) = F, I (r) = F, J (p) = F,
J (q) = F, J (r) = T. Tentukan interpretasi dari formula p ! q _ r dan
(p ! q) _ (p ! r) terhadap interpretasi I dan J .
Solusi:
1
2
3
I (p ! q _ r) = I (p ! (q _ r)) = I (p) ! (I (q) _ I (r)) = T ! (F _ F) =
T ! F = F.
J (p ! q _ r) = J (p ! (q _ r)) = J (p) ! (J (q) _ J (r)) = F !
(F _ T) = F ! T = T.
I ((p ! q) _ (p ! r)) = I (p ! q) _ I (p ! r) =
(I (p) ! I (q)) _ (I (p) ! I (r)) = (T ! F) _ (T ! F) =
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
10 / 43
Interpretasi dan Semantik Formula Logika Proposisi
Latihan
Misalkan I dan J adalah dua interpretasi yang dide…nisikan untuk
proposisi-proposisi atom berikut: I (p) = T, I (q) = F, I (r) = F, J (p) = F,
J (q) = F, J (r) = T. Tentukan interpretasi dari formula p ! q _ r dan
(p ! q) _ (p ! r) terhadap interpretasi I dan J .
Solusi:
1
2
3
I (p ! q _ r) = I (p ! (q _ r)) = I (p) ! (I (q) _ I (r)) = T ! (F _ F) =
T ! F = F.
J (p ! q _ r) = J (p ! (q _ r)) = J (p) ! (J (q) _ J (r)) = F !
(F _ T) = F ! T = T.
I ((p ! q) _ (p ! r)) = I (p ! q) _ I (p ! r) =
(I (p) ! I (q)) _ (I (p) ! I (r)) = (T ! F) _ (T ! F) = F _ F =
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
10 / 43
Interpretasi dan Semantik Formula Logika Proposisi
Latihan
Misalkan I dan J adalah dua interpretasi yang dide…nisikan untuk
proposisi-proposisi atom berikut: I (p) = T, I (q) = F, I (r) = F, J (p) = F,
J (q) = F, J (r) = T. Tentukan interpretasi dari formula p ! q _ r dan
(p ! q) _ (p ! r) terhadap interpretasi I dan J .
Solusi:
1
2
3
I (p ! q _ r) = I (p ! (q _ r)) = I (p) ! (I (q) _ I (r)) = T ! (F _ F) =
T ! F = F.
J (p ! q _ r) = J (p ! (q _ r)) = J (p) ! (J (q) _ J (r)) = F !
(F _ T) = F ! T = T.
I ((p ! q) _ (p ! r)) = I (p ! q) _ I (p ! r) =
(I (p) ! I (q)) _ (I (p) ! I (r)) = (T ! F) _ (T ! F) = F _ F = F.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
10 / 43
Interpretasi dan Semantik Formula Logika Proposisi
Latihan
Misalkan I dan J adalah dua interpretasi yang dide…nisikan untuk
proposisi-proposisi atom berikut: I (p) = T, I (q) = F, I (r) = F, J (p) = F,
J (q) = F, J (r) = T. Tentukan interpretasi dari formula p ! q _ r dan
(p ! q) _ (p ! r) terhadap interpretasi I dan J .
Solusi:
1
2
3
4
I (p ! q _ r) = I (p ! (q _ r)) = I (p) ! (I (q) _ I (r)) = T ! (F _ F) =
T ! F = F.
J (p ! q _ r) = J (p ! (q _ r)) = J (p) ! (J (q) _ J (r)) = F !
(F _ T) = F ! T = T.
I ((p ! q) _ (p ! r)) = I (p ! q) _ I (p ! r) =
(I (p) ! I (q)) _ (I (p) ! I (r)) = (T ! F) _ (T ! F) = F _ F = F.
J ((p ! q) _ (p ! r)) =
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
10 / 43
Interpretasi dan Semantik Formula Logika Proposisi
Latihan
Misalkan I dan J adalah dua interpretasi yang dide…nisikan untuk
proposisi-proposisi atom berikut: I (p) = T, I (q) = F, I (r) = F, J (p) = F,
J (q) = F, J (r) = T. Tentukan interpretasi dari formula p ! q _ r dan
(p ! q) _ (p ! r) terhadap interpretasi I dan J .
Solusi:
1
2
3
4
I (p ! q _ r) = I (p ! (q _ r)) = I (p) ! (I (q) _ I (r)) = T ! (F _ F) =
T ! F = F.
J (p ! q _ r) = J (p ! (q _ r)) = J (p) ! (J (q) _ J (r)) = F !
(F _ T) = F ! T = T.
I ((p ! q) _ (p ! r)) = I (p ! q) _ I (p ! r) =
(I (p) ! I (q)) _ (I (p) ! I (r)) = (T ! F) _ (T ! F) = F _ F = F.
J ((p ! q) _ (p ! r)) = J (p ! q) _ J (p ! r) =
(J (p) ! J (q)) _ (J (p) ! J (r)) =
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
10 / 43
Interpretasi dan Semantik Formula Logika Proposisi
Latihan
Misalkan I dan J adalah dua interpretasi yang dide…nisikan untuk
proposisi-proposisi atom berikut: I (p) = T, I (q) = F, I (r) = F, J (p) = F,
J (q) = F, J (r) = T. Tentukan interpretasi dari formula p ! q _ r dan
(p ! q) _ (p ! r) terhadap interpretasi I dan J .
Solusi:
1
2
3
4
I (p ! q _ r) = I (p ! (q _ r)) = I (p) ! (I (q) _ I (r)) = T ! (F _ F) =
T ! F = F.
J (p ! q _ r) = J (p ! (q _ r)) = J (p) ! (J (q) _ J (r)) = F !
(F _ T) = F ! T = T.
I ((p ! q) _ (p ! r)) = I (p ! q) _ I (p ! r) =
(I (p) ! I (q)) _ (I (p) ! I (r)) = (T ! F) _ (T ! F) = F _ F = F.
J ((p ! q) _ (p ! r)) = J (p ! q) _ J (p ! r) =
(J (p) ! J (q)) _ (J (p) ! J (r)) = (F ! F) _ (F ! T) =
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
10 / 43
Interpretasi dan Semantik Formula Logika Proposisi
Latihan
Misalkan I dan J adalah dua interpretasi yang dide…nisikan untuk
proposisi-proposisi atom berikut: I (p) = T, I (q) = F, I (r) = F, J (p) = F,
J (q) = F, J (r) = T. Tentukan interpretasi dari formula p ! q _ r dan
(p ! q) _ (p ! r) terhadap interpretasi I dan J .
Solusi:
1
2
3
4
I (p ! q _ r) = I (p ! (q _ r)) = I (p) ! (I (q) _ I (r)) = T ! (F _ F) =
T ! F = F.
J (p ! q _ r) = J (p ! (q _ r)) = J (p) ! (J (q) _ J (r)) = F !
(F _ T) = F ! T = T.
I ((p ! q) _ (p ! r)) = I (p ! q) _ I (p ! r) =
(I (p) ! I (q)) _ (I (p) ! I (r)) = (T ! F) _ (T ! F) = F _ F = F.
J ((p ! q) _ (p ! r)) = J (p ! q) _ J (p ! r) =
(J (p) ! J (q)) _ (J (p) ! J (r)) = (F ! F) _ (F ! T) = T _ T =
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
10 / 43
Interpretasi dan Semantik Formula Logika Proposisi
Latihan
Misalkan I dan J adalah dua interpretasi yang dide…nisikan untuk
proposisi-proposisi atom berikut: I (p) = T, I (q) = F, I (r) = F, J (p) = F,
J (q) = F, J (r) = T. Tentukan interpretasi dari formula p ! q _ r dan
(p ! q) _ (p ! r) terhadap interpretasi I dan J .
Solusi:
1
2
3
4
I (p ! q _ r) = I (p ! (q _ r)) = I (p) ! (I (q) _ I (r)) = T ! (F _ F) =
T ! F = F.
J (p ! q _ r) = J (p ! (q _ r)) = J (p) ! (J (q) _ J (r)) = F !
(F _ T) = F ! T = T.
I ((p ! q) _ (p ! r)) = I (p ! q) _ I (p ! r) =
(I (p) ! I (q)) _ (I (p) ! I (r)) = (T ! F) _ (T ! F) = F _ F = F.
J ((p ! q) _ (p ! r)) = J (p ! q) _ J (p ! r) =
(J (p) ! J (q)) _ (J (p) ! J (r)) = (F ! F) _ (F ! T) = T _ T = T.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
10 / 43
Interpretasi dan Semantik Formula Logika Proposisi
Interpretasi dan Tabel Kebenaran
Satu baris tabel kebenaran bersesuaian dengan satu interpretasi dari proposisi.
Misalkan A adalah formula (p _ :q) ! (p ^ q), tabel kebenaran untuk A dapat
diperoleh sebagai berikut
Interpretasi
I1 (p) = T, I1 (q) = T
MZI (FIF Tel-U)
Ik (:q)
Ik (p _ :q)
Logika Proposisi 2
Ik (p ^ q)
Ik (A)
Agustus 2015
11 / 43
Interpretasi dan Semantik Formula Logika Proposisi
Interpretasi dan Tabel Kebenaran
Satu baris tabel kebenaran bersesuaian dengan satu interpretasi dari proposisi.
Misalkan A adalah formula (p _ :q) ! (p ^ q), tabel kebenaran untuk A dapat
diperoleh sebagai berikut
Interpretasi
I1 (p) = T, I1 (q) = T
MZI (FIF Tel-U)
Ik (:q)
F
Ik (p _ :q)
Logika Proposisi 2
Ik (p ^ q)
Ik (A)
Agustus 2015
11 / 43
Interpretasi dan Semantik Formula Logika Proposisi
Interpretasi dan Tabel Kebenaran
Satu baris tabel kebenaran bersesuaian dengan satu interpretasi dari proposisi.
Misalkan A adalah formula (p _ :q) ! (p ^ q), tabel kebenaran untuk A dapat
diperoleh sebagai berikut
Interpretasi
I1 (p) = T, I1 (q) = T
MZI (FIF Tel-U)
Ik (:q)
F
Ik (p _ :q)
T
Logika Proposisi 2
Ik (p ^ q)
Ik (A)
Agustus 2015
11 / 43
Interpretasi dan Semantik Formula Logika Proposisi
Interpretasi dan Tabel Kebenaran
Satu baris tabel kebenaran bersesuaian dengan satu interpretasi dari proposisi.
Misalkan A adalah formula (p _ :q) ! (p ^ q), tabel kebenaran untuk A dapat
diperoleh sebagai berikut
Interpretasi
I1 (p) = T, I1 (q) = T
MZI (FIF Tel-U)
Ik (:q)
F
Ik (p _ :q)
T
Logika Proposisi 2
Ik (p ^ q)
T
Ik (A)
Agustus 2015
11 / 43
Interpretasi dan Semantik Formula Logika Proposisi
Interpretasi dan Tabel Kebenaran
Satu baris tabel kebenaran bersesuaian dengan satu interpretasi dari proposisi.
Misalkan A adalah formula (p _ :q) ! (p ^ q), tabel kebenaran untuk A dapat
diperoleh sebagai berikut
Interpretasi
I1 (p) = T, I1 (q) = T
I2 (p) = T, I2 (q) = F
MZI (FIF Tel-U)
Ik (:q)
F
Ik (p _ :q)
T
Logika Proposisi 2
Ik (p ^ q)
T
Ik (A)
T
Agustus 2015
11 / 43
Interpretasi dan Semantik Formula Logika Proposisi
Interpretasi dan Tabel Kebenaran
Satu baris tabel kebenaran bersesuaian dengan satu interpretasi dari proposisi.
Misalkan A adalah formula (p _ :q) ! (p ^ q), tabel kebenaran untuk A dapat
diperoleh sebagai berikut
Interpretasi
I1 (p) = T, I1 (q) = T
I2 (p) = T, I2 (q) = F
MZI (FIF Tel-U)
Ik (:q)
F
T
Ik (p _ :q)
T
Logika Proposisi 2
Ik (p ^ q)
T
Ik (A)
T
Agustus 2015
11 / 43
Interpretasi dan Semantik Formula Logika Proposisi
Interpretasi dan Tabel Kebenaran
Satu baris tabel kebenaran bersesuaian dengan satu interpretasi dari proposisi.
Misalkan A adalah formula (p _ :q) ! (p ^ q), tabel kebenaran untuk A dapat
diperoleh sebagai berikut
Interpretasi
I1 (p) = T, I1 (q) = T
I2 (p) = T, I2 (q) = F
MZI (FIF Tel-U)
Ik (:q)
F
T
Ik (p _ :q)
T
T
Logika Proposisi 2
Ik (p ^ q)
T
Ik (A)
T
Agustus 2015
11 / 43
Interpretasi dan Semantik Formula Logika Proposisi
Interpretasi dan Tabel Kebenaran
Satu baris tabel kebenaran bersesuaian dengan satu interpretasi dari proposisi.
Misalkan A adalah formula (p _ :q) ! (p ^ q), tabel kebenaran untuk A dapat
diperoleh sebagai berikut
Interpretasi
I1 (p) = T, I1 (q) = T
I2 (p) = T, I2 (q) = F
MZI (FIF Tel-U)
Ik (:q)
F
T
Ik (p _ :q)
T
T
Logika Proposisi 2
Ik (p ^ q)
T
F
Ik (A)
T
Agustus 2015
11 / 43
Interpretasi dan Semantik Formula Logika Proposisi
Interpretasi dan Tabel Kebenaran
Satu baris tabel kebenaran bersesuaian dengan satu interpretasi dari proposisi.
Misalkan A adalah formula (p _ :q) ! (p ^ q), tabel kebenaran untuk A dapat
diperoleh sebagai berikut
Interpretasi
I1 (p) = T, I1 (q) = T
I2 (p) = T, I2 (q) = F
I3 (p) = F, I3 (q) = T
MZI (FIF Tel-U)
Ik (:q)
F
T
Ik (p _ :q)
T
T
Logika Proposisi 2
Ik (p ^ q)
T
F
Ik (A)
T
F
Agustus 2015
11 / 43
Interpretasi dan Semantik Formula Logika Proposisi
Interpretasi dan Tabel Kebenaran
Satu baris tabel kebenaran bersesuaian dengan satu interpretasi dari proposisi.
Misalkan A adalah formula (p _ :q) ! (p ^ q), tabel kebenaran untuk A dapat
diperoleh sebagai berikut
Interpretasi
I1 (p) = T, I1 (q) = T
I2 (p) = T, I2 (q) = F
I3 (p) = F, I3 (q) = T
MZI (FIF Tel-U)
Ik (:q)
F
T
F
Ik (p _ :q)
T
T
Logika Proposisi 2
Ik (p ^ q)
T
F
Ik (A)
T
F
Agustus 2015
11 / 43
Interpretasi dan Semantik Formula Logika Proposisi
Interpretasi dan Tabel Kebenaran
Satu baris tabel kebenaran bersesuaian dengan satu interpretasi dari proposisi.
Misalkan A adalah formula (p _ :q) ! (p ^ q), tabel kebenaran untuk A dapat
diperoleh sebagai berikut
Interpretasi
I1 (p) = T, I1 (q) = T
I2 (p) = T, I2 (q) = F
I3 (p) = F, I3 (q) = T
MZI (FIF Tel-U)
Ik (:q)
F
T
F
Ik (p _ :q)
T
T
F
Logika Proposisi 2
Ik (p ^ q)
T
F
Ik (A)
T
F
Agustus 2015
11 / 43
Interpretasi dan Semantik Formula Logika Proposisi
Interpretasi dan Tabel Kebenaran
Satu baris tabel kebenaran bersesuaian dengan satu interpretasi dari proposisi.
Misalkan A adalah formula (p _ :q) ! (p ^ q), tabel kebenaran untuk A dapat
diperoleh sebagai berikut
Interpretasi
I1 (p) = T, I1 (q) = T
I2 (p) = T, I2 (q) = F
I3 (p) = F, I3 (q) = T
MZI (FIF Tel-U)
Ik (:q)
F
T
F
Ik (p _ :q)
T
T
F
Logika Proposisi 2
Ik (p ^ q)
T
F
F
Ik (A)
T
F
Agustus 2015
11 / 43
Interpretasi dan Semantik Formula Logika Proposisi
Interpretasi dan Tabel Kebenaran
Satu baris tabel kebenaran bersesuaian dengan satu interpretasi dari proposisi.
Misalkan A adalah formula (p _ :q) ! (p ^ q), tabel kebenaran untuk A dapat
diperoleh sebagai berikut
Interpretasi
I1 (p) = T, I1 (q) = T
I2 (p) = T, I2 (q) = F
I3 (p) = F, I3 (q) = T
I4 (p) = F, I4 (q) = F
MZI (FIF Tel-U)
Ik (:q)
F
T
F
Ik (p _ :q)
T
T
F
Logika Proposisi 2
Ik (p ^ q)
T
F
F
Ik (A)
T
F
T
Agustus 2015
11 / 43
Interpretasi dan Semantik Formula Logika Proposisi
Interpretasi dan Tabel Kebenaran
Satu baris tabel kebenaran bersesuaian dengan satu interpretasi dari proposisi.
Misalkan A adalah formula (p _ :q) ! (p ^ q), tabel kebenaran untuk A dapat
diperoleh sebagai berikut
Interpretasi
I1 (p) = T, I1 (q) = T
I2 (p) = T, I2 (q) = F
I3 (p) = F, I3 (q) = T
I4 (p) = F, I4 (q) = F
MZI (FIF Tel-U)
Ik (:q)
F
T
F
T
Ik (p _ :q)
T
T
F
Logika Proposisi 2
Ik (p ^ q)
T
F
F
Ik (A)
T
F
T
Agustus 2015
11 / 43
Interpretasi dan Semantik Formula Logika Proposisi
Interpretasi dan Tabel Kebenaran
Satu baris tabel kebenaran bersesuaian dengan satu interpretasi dari proposisi.
Misalkan A adalah formula (p _ :q) ! (p ^ q), tabel kebenaran untuk A dapat
diperoleh sebagai berikut
Interpretasi
I1 (p) = T, I1 (q) = T
I2 (p) = T, I2 (q) = F
I3 (p) = F, I3 (q) = T
I4 (p) = F, I4 (q) = F
MZI (FIF Tel-U)
Ik (:q)
F
T
F
T
Ik (p _ :q)
T
T
F
T
Logika Proposisi 2
Ik (p ^ q)
T
F
F
Ik (A)
T
F
T
Agustus 2015
11 / 43
Interpretasi dan Semantik Formula Logika Proposisi
Interpretasi dan Tabel Kebenaran
Satu baris tabel kebenaran bersesuaian dengan satu interpretasi dari proposisi.
Misalkan A adalah formula (p _ :q) ! (p ^ q), tabel kebenaran untuk A dapat
diperoleh sebagai berikut
Interpretasi
I1 (p) = T, I1 (q) = T
I2 (p) = T, I2 (q) = F
I3 (p) = F, I3 (q) = T
I4 (p) = F, I4 (q) = F
MZI (FIF Tel-U)
Ik (:q)
F
T
F
T
Ik (p _ :q)
T
T
F
T
Logika Proposisi 2
Ik (p ^ q)
T
F
F
F
Ik (A)
T
F
T
Agustus 2015
11 / 43
Interpretasi dan Semantik Formula Logika Proposisi
Interpretasi dan Tabel Kebenaran
Satu baris tabel kebenaran bersesuaian dengan satu interpretasi dari proposisi.
Misalkan A adalah formula (p _ :q) ! (p ^ q), tabel kebenaran untuk A dapat
diperoleh sebagai berikut
Interpretasi
I1 (p) = T, I1 (q) = T
I2 (p) = T, I2 (q) = F
I3 (p) = F, I3 (q) = T
I4 (p) = F, I4 (q) = F
dengan k = 1; 2; 3; 4.
Ik (:q)
F
T
F
T
Ik (p _ :q)
T
T
F
T
Ik (p ^ q)
T
F
F
F
Ik (A)
T
F
T
F
Permasalahan
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
11 / 43
Interpretasi dan Semantik Formula Logika Proposisi
Interpretasi dan Tabel Kebenaran
Satu baris tabel kebenaran bersesuaian dengan satu interpretasi dari proposisi.
Misalkan A adalah formula (p _ :q) ! (p ^ q), tabel kebenaran untuk A dapat
diperoleh sebagai berikut
Interpretasi
I1 (p) = T, I1 (q) = T
I2 (p) = T, I2 (q) = F
I3 (p) = F, I3 (q) = T
I4 (p) = F, I4 (q) = F
dengan k = 1; 2; 3; 4.
Ik (:q)
F
T
F
T
Ik (p _ :q)
T
T
F
T
Ik (p ^ q)
T
F
F
F
Ik (A)
T
F
T
F
Permasalahan
Berapa banyak baris dalam tabel kebenaran yang diperlukan untuk memeriksa
kebenaran proposisi yang terdiri atas:
1
3 proposisi atom berbeda;
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
11 / 43
Interpretasi dan Semantik Formula Logika Proposisi
Interpretasi dan Tabel Kebenaran
Satu baris tabel kebenaran bersesuaian dengan satu interpretasi dari proposisi.
Misalkan A adalah formula (p _ :q) ! (p ^ q), tabel kebenaran untuk A dapat
diperoleh sebagai berikut
Interpretasi
I1 (p) = T, I1 (q) = T
I2 (p) = T, I2 (q) = F
I3 (p) = F, I3 (q) = T
I4 (p) = F, I4 (q) = F
dengan k = 1; 2; 3; 4.
Ik (:q)
F
T
F
T
Ik (p _ :q)
T
T
F
T
Ik (p ^ q)
T
F
F
F
Ik (A)
T
F
T
F
Permasalahan
Berapa banyak baris dalam tabel kebenaran yang diperlukan untuk memeriksa
kebenaran proposisi yang terdiri atas:
1
3 proposisi atom berbeda;
2
4 proposisi atom berbeda;
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
11 / 43
Interpretasi dan Semantik Formula Logika Proposisi
Interpretasi dan Tabel Kebenaran
Satu baris tabel kebenaran bersesuaian dengan satu interpretasi dari proposisi.
Misalkan A adalah formula (p _ :q) ! (p ^ q), tabel kebenaran untuk A dapat
diperoleh sebagai berikut
Interpretasi
I1 (p) = T, I1 (q) = T
I2 (p) = T, I2 (q) = F
I3 (p) = F, I3 (q) = T
I4 (p) = F, I4 (q) = F
dengan k = 1; 2; 3; 4.
Ik (:q)
F
T
F
T
Ik (p _ :q)
T
T
F
T
Ik (p ^ q)
T
F
F
F
Ik (A)
T
F
T
F
Permasalahan
Berapa banyak baris dalam tabel kebenaran yang diperlukan untuk memeriksa
kebenaran proposisi yang terdiri atas:
1
3 proposisi atom berbeda;
2
4 proposisi atom berbeda;
3
n proposisi atom berbeda.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
11 / 43
Sifat-sifat Formula Logika Proposisi Berdasarkan Semantiknya
Bahasan
1
Interpretasi dan Semantik Formula Logika Proposisi
2
Sifat-sifat Formula Logika Proposisi Berdasarkan Semantiknya
3
Skema Formula, Konsekuensi Logis, dan Kesetaraan Logika
4
Hukum-hukum Ekuivalensi Logika
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
12 / 43
Sifat-sifat Formula Logika Proposisi Berdasarkan Semantiknya
Keabsahan (Validity), Keterpenuhan (Satis…ability), dan
Kontradiksi
De…nisi
Misalkan A adalah sebuah formula logika proposisi
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
13 / 43
Sifat-sifat Formula Logika Proposisi Berdasarkan Semantiknya
Keabsahan (Validity), Keterpenuhan (Satis…ability), dan
Kontradiksi
De…nisi
Misalkan A adalah sebuah formula logika proposisi
1
A dikatakan absah (valid) jikka A benilai benar (T) untuk setiap interpretasi
yang diberikan pada A. Dalam hal ini A juga dikatakan sebagai suatu
tautologi.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
13 / 43
Sifat-sifat Formula Logika Proposisi Berdasarkan Semantiknya
Keabsahan (Validity), Keterpenuhan (Satis…ability), dan
Kontradiksi
De…nisi
Misalkan A adalah sebuah formula logika proposisi
1
A dikatakan absah (valid) jikka A benilai benar (T) untuk setiap interpretasi
yang diberikan pada A. Dalam hal ini A juga dikatakan sebagai suatu
tautologi.
2
A dikatakan terpenuhi (satis…able) jikka terdapat setidaknya sebuah
interpretasi I untuk A yang membuat A bernilai benar (T).
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
13 / 43
Sifat-sifat Formula Logika Proposisi Berdasarkan Semantiknya
Keabsahan (Validity), Keterpenuhan (Satis…ability), dan
Kontradiksi
De…nisi
Misalkan A adalah sebuah formula logika proposisi
1
A dikatakan absah (valid) jikka A benilai benar (T) untuk setiap interpretasi
yang diberikan pada A. Dalam hal ini A juga dikatakan sebagai suatu
tautologi.
2
A dikatakan terpenuhi (satis…able) jikka terdapat setidaknya sebuah
interpretasi I untuk A yang membuat A bernilai benar (T).
3
A dikatakan kontradiksi/ tak dapat terpenuhi (contradictory/ unsatis…able)
jikka A benilai salah (F) untuk setiap interpretasi yang diberikan pada A.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
13 / 43
Sifat-sifat Formula Logika Proposisi Berdasarkan Semantiknya
Keabsahan (Validity), Keterpenuhan (Satis…ability), dan
Kontradiksi
De…nisi
Misalkan A adalah sebuah formula logika proposisi
1
A dikatakan absah (valid) jikka A benilai benar (T) untuk setiap interpretasi
yang diberikan pada A. Dalam hal ini A juga dikatakan sebagai suatu
tautologi.
2
A dikatakan terpenuhi (satis…able) jikka terdapat setidaknya sebuah
interpretasi I untuk A yang membuat A bernilai benar (T).
3
4
A dikatakan kontradiksi/ tak dapat terpenuhi (contradictory/ unsatis…able)
jikka A benilai salah (F) untuk setiap interpretasi yang diberikan pada A.
A dikatakan contingency jikka A tidak absah dan tidak juga kontradiksi.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
13 / 43
Sifat-sifat Formula Logika Proposisi Berdasarkan Semantiknya
Koleksi Formula yang Konsisten
Misalkan fA1 ; A2 ; : : : ; An g adalah suatu koleksi/ kumpulan formula. Koleksi
formula fA1 ; A2 ; : : : ; An g dikatakan konsisten (consistent) bila terdapat suatu
interpretasi I yang mengakibatkan
I (A1 ) = I (A2 ) =
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
I (An ) = T.
Agustus 2015
14 / 43
Sifat-sifat Formula Logika Proposisi Berdasarkan Semantiknya
Koleksi Formula yang Konsisten
Misalkan fA1 ; A2 ; : : : ; An g adalah suatu koleksi/ kumpulan formula. Koleksi
formula fA1 ; A2 ; : : : ; An g dikatakan konsisten (consistent) bila terdapat suatu
interpretasi I yang mengakibatkan
I (A1 ) = I (A2 ) =
I (An ) = T.
Pernyataan bahwa koleksi formula fA1 ; A2 ; : : : ; An g konsisten setara dengan
mengatakan bahwa formula yang merupakan konjungsi dari
A1 ^ A2 ^
^ An
bersifat terpenuhi (satis…able).
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
14 / 43
Sifat-sifat Formula Logika Proposisi Berdasarkan Semantiknya
Contoh formula absah, terpenuhi, dan kontradiksi (1)
Latihan
Periksa apakah formula A yang berupa (p
terpenuhi, atau kontradiksi.
q) _ (p
:q) bersifat absah,
Solusi:
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
15 / 43
Sifat-sifat Formula Logika Proposisi Berdasarkan Semantiknya
Contoh formula absah, terpenuhi, dan kontradiksi (1)
Latihan
Periksa apakah formula A yang berupa (p
terpenuhi, atau kontradiksi.
q) _ (p
:q) bersifat absah,
Solusi: dengan tabel kebenaran, perhatikan bahwa
p
T
MZI (FIF Tel-U)
q
T
:q
p
q
Logika Proposisi 2
p
:q
A
Agustus 2015
15 / 43
Sifat-sifat Formula Logika Proposisi Berdasarkan Semantiknya
Contoh formula absah, terpenuhi, dan kontradiksi (1)
Latihan
Periksa apakah formula A yang berupa (p
terpenuhi, atau kontradiksi.
q) _ (p
:q) bersifat absah,
Solusi: dengan tabel kebenaran, perhatikan bahwa
p
T
MZI (FIF Tel-U)
q
T
:q
F
p
q
Logika Proposisi 2
p
:q
A
Agustus 2015
15 / 43
Sifat-sifat Formula Logika Proposisi Berdasarkan Semantiknya
Contoh formula absah, terpenuhi, dan kontradiksi (1)
Latihan
Periksa apakah formula A yang berupa (p
terpenuhi, atau kontradiksi.
q) _ (p
:q) bersifat absah,
Solusi: dengan tabel kebenaran, perhatikan bahwa
p
T
MZI (FIF Tel-U)
q
T
:q
F
p
q
F
Logika Proposisi 2
p
:q
A
Agustus 2015
15 / 43
Sifat-sifat Formula Logika Proposisi Berdasarkan Semantiknya
Contoh formula absah, terpenuhi, dan kontradiksi (1)
Latihan
Periksa apakah formula A yang berupa (p
terpenuhi, atau kontradiksi.
q) _ (p
:q) bersifat absah,
Solusi: dengan tabel kebenaran, perhatikan bahwa
p
T
MZI (FIF Tel-U)
q
T
:q
F
p
q
F
Logika Proposisi 2
p
:q
T
A
Agustus 2015
15 / 43
Sifat-sifat Formula Logika Proposisi Berdasarkan Semantiknya
Contoh formula absah, terpenuhi, dan kontradiksi (1)
Latihan
Periksa apakah formula A yang berupa (p
terpenuhi, atau kontradiksi.
q) _ (p
:q) bersifat absah,
Solusi: dengan tabel kebenaran, perhatikan bahwa
p
T
T
MZI (FIF Tel-U)
q
T
F
:q
F
p
q
F
Logika Proposisi 2
p
:q
T
A
T
Agustus 2015
15 / 43
Sifat-sifat Formula Logika Proposisi Berdasarkan Semantiknya
Contoh formula absah, terpenuhi, dan kontradiksi (1)
Latihan
Periksa apakah formula A yang berupa (p
terpenuhi, atau kontradiksi.
q) _ (p
:q) bersifat absah,
Solusi: dengan tabel kebenaran, perhatikan bahwa
p
T
T
MZI (FIF Tel-U)
q
T
F
:q
F
T
p
q
F
Logika Proposisi 2
p
:q
T
A
T
Agustus 2015
15 / 43
Sifat-sifat Formula Logika Proposisi Berdasarkan Semantiknya
Contoh formula absah, terpenuhi, dan kontradiksi (1)
Latihan
Periksa apakah formula A yang berupa (p
terpenuhi, atau kontradiksi.
q) _ (p
:q) bersifat absah,
Solusi: dengan tabel kebenaran, perhatikan bahwa
p
T
T
MZI (FIF Tel-U)
q
T
F
:q
F
T
p
q
F
T
Logika Proposisi 2
p
:q
T
A
T
Agustus 2015
15 / 43
Sifat-sifat Formula Logika Proposisi Berdasarkan Semantiknya
Contoh formula absah, terpenuhi, dan kontradiksi (1)
Latihan
Periksa apakah formula A yang berupa (p
terpenuhi, atau kontradiksi.
q) _ (p
:q) bersifat absah,
Solusi: dengan tabel kebenaran, perhatikan bahwa
p
T
T
MZI (FIF Tel-U)
q
T
F
:q
F
T
p
q
F
T
Logika Proposisi 2
p
:q
T
F
A
T
Agustus 2015
15 / 43
Sifat-sifat Formula Logika Proposisi Berdasarkan Semantiknya
Contoh formula absah, terpenuhi, dan kontradiksi (1)
Latihan
Periksa apakah formula A yang berupa (p
terpenuhi, atau kontradiksi.
q) _ (p
:q) bersifat absah,
Solusi: dengan tabel kebenaran, perhatikan bahwa
p
T
T
F
MZI (FIF Tel-U)
q
T
F
T
:q
F
T
p
q
F
T
Logika Proposisi 2
p
:q
T
F
A
T
T
Agustus 2015
15 / 43
Sifat-sifat Formula Logika Proposisi Berdasarkan Semantiknya
Contoh formula absah, terpenuhi, dan kontradiksi (1)
Latihan
Periksa apakah formula A yang berupa (p
terpenuhi, atau kontradiksi.
q) _ (p
:q) bersifat absah,
Solusi: dengan tabel kebenaran, perhatikan bahwa
p
T
T
F
MZI (FIF Tel-U)
q
T
F
T
:q
F
T
F
p
q
F
T
Logika Proposisi 2
p
:q
T
F
A
T
T
Agustus 2015
15 / 43
Sifat-sifat Formula Logika Proposisi Berdasarkan Semantiknya
Contoh formula absah, terpenuhi, dan kontradiksi (1)
Latihan
Periksa apakah formula A yang berupa (p
terpenuhi, atau kontradiksi.
q) _ (p
:q) bersifat absah,
Solusi: dengan tabel kebenaran, perhatikan bahwa
p
T
T
F
MZI (FIF Tel-U)
q
T
F
T
:q
F
T
F
p
q
F
T
T
Logika Proposisi 2
p
:q
T
F
A
T
T
Agustus 2015
15 / 43
Sifat-sifat Formula Logika Proposisi Berdasarkan Semantiknya
Contoh formula absah, terpenuhi, dan kontradiksi (1)
Latihan
Periksa apakah formula A yang berupa (p
terpenuhi, atau kontradiksi.
q) _ (p
:q) bersifat absah,
Solusi: dengan tabel kebenaran, perhatikan bahwa
p
T
T
F
MZI (FIF Tel-U)
q
T
F
T
:q
F
T
F
p
q
F
T
T
Logika Proposisi 2
p
:q
T
F
F
A
T
T
Agustus 2015
15 / 43
Sifat-sifat Formula Logika Proposisi Berdasarkan Semantiknya
Contoh formula absah, terpenuhi, dan kontradiksi (1)
Latihan
Periksa apakah formula A yang berupa (p
terpenuhi, atau kontradiksi.
q) _ (p
:q) bersifat absah,
Solusi: dengan tabel kebenaran, perhatikan bahwa
p
T
T
F
F
MZI (FIF Tel-U)
q
T
F
T
F
:q
F
T
F
p
q
F
T
T
Logika Proposisi 2
p
:q
T
F
F
A
T
T
T
Agustus 2015
15 / 43
Sifat-sifat Formula Logika Proposisi Berdasarkan Semantiknya
Contoh formula absah, terpenuhi, dan kontradiksi (1)
Latihan
Periksa apakah formula A yang berupa (p
terpenuhi, atau kontradiksi.
q) _ (p
:q) bersifat absah,
Solusi: dengan tabel kebenaran, perhatikan bahwa
p
T
T
F
F
MZI (FIF Tel-U)
q
T
F
T
F
:q
F
T
F
T
p
q
F
T
T
Logika Proposisi 2
p
:q
T
F
F
A
T
T
T
Agustus 2015
15 / 43
Sifat-sifat Formula Logika Proposisi Berdasarkan Semantiknya
Contoh formula absah, terpenuhi, dan kontradiksi (1)
Latihan
Periksa apakah formula A yang berupa (p
terpenuhi, atau kontradiksi.
q) _ (p
:q) bersifat absah,
Solusi: dengan tabel kebenaran, perhatikan bahwa
p
T
T
F
F
MZI (FIF Tel-U)
q
T
F
T
F
:q
F
T
F
T
p
q
F
T
T
F
Logika Proposisi 2
p
:q
T
F
F
A
T
T
T
Agustus 2015
15 / 43
Sifat-sifat Formula Logika Proposisi Berdasarkan Semantiknya
Contoh formula absah, terpenuhi, dan kontradiksi (1)
Latihan
Periksa apakah formula A yang berupa (p
terpenuhi, atau kontradiksi.
q) _ (p
:q) bersifat absah,
Solusi: dengan tabel kebenaran, perhatikan bahwa
p
T
T
F
F
MZI (FIF Tel-U)
q
T
F
T
F
:q
F
T
F
T
p
q
F
T
T
F
Logika Proposisi 2
p
:q
T
F
F
T
A
T
T
T
Agustus 2015
15 / 43
Sifat-sifat Formula Logika Proposisi Berdasarkan Semantiknya
Contoh formula absah, terpenuhi, dan kontradiksi (1)
Latihan
Periksa apakah formula A yang berupa (p
terpenuhi, atau kontradiksi.
q) _ (p
:q) bersifat absah,
Solusi: dengan tabel kebenaran, perhatikan bahwa
p
T
T
F
F
MZI (FIF Tel-U)
q
T
F
T
F
:q
F
T
F
T
p
q
F
T
T
F
Logika Proposisi 2
p
:q
T
F
F
T
A
T
T
T
T
Agustus 2015
15 / 43
Sifat-sifat Formula Logika Proposisi Berdasarkan Semantiknya
Contoh formula absah, terpenuhi, dan kontradiksi (1)
Latihan
Periksa apakah formula A yang berupa (p
terpenuhi, atau kontradiksi.
q) _ (p
:q) bersifat absah,
Solusi: dengan tabel kebenaran, perhatikan bahwa
p
T
T
F
F
q
T
F
T
F
:q
F
T
F
T
p
q
F
T
T
F
p
:q
T
F
F
T
A
T
T
T
T
Karena terdapat sebuah interpretasi yang mengakibatkan A bernilai benar, maka
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
15 / 43
Sifat-sifat Formula Logika Proposisi Berdasarkan Semantiknya
Contoh formula absah, terpenuhi, dan kontradiksi (1)
Latihan
Periksa apakah formula A yang berupa (p
terpenuhi, atau kontradiksi.
q) _ (p
:q) bersifat absah,
Solusi: dengan tabel kebenaran, perhatikan bahwa
p
T
T
F
F
q
T
F
T
F
:q
F
T
F
T
p
q
F
T
T
F
p
:q
T
F
F
T
A
T
T
T
T
Karena terdapat sebuah interpretasi yang mengakibatkan A bernilai benar, maka
A merupakan formula yang terpenuhi.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
15 / 43
Sifat-sifat Formula Logika Proposisi Berdasarkan Semantiknya
Contoh formula absah, terpenuhi, dan kontradiksi (1)
Latihan
Periksa apakah formula A yang berupa (p
terpenuhi, atau kontradiksi.
q) _ (p
:q) bersifat absah,
Solusi: dengan tabel kebenaran, perhatikan bahwa
p
T
T
F
F
q
T
F
T
F
:q
F
T
F
T
p
q
F
T
T
F
p
:q
T
F
F
T
A
T
T
T
T
Karena terdapat sebuah interpretasi yang mengakibatkan A bernilai benar, maka
A merupakan formula yang terpenuhi.
Kemudian, karena setiap interpretasi yang diberikan pada A mengakibatkan A
bernilai benar, maka
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
15 / 43
Sifat-sifat Formula Logika Proposisi Berdasarkan Semantiknya
Contoh formula absah, terpenuhi, dan kontradiksi (1)
Latihan
Periksa apakah formula A yang berupa (p
terpenuhi, atau kontradiksi.
q) _ (p
:q) bersifat absah,
Solusi: dengan tabel kebenaran, perhatikan bahwa
p
T
T
F
F
q
T
F
T
F
:q
F
T
F
T
p
q
F
T
T
F
p
:q
T
F
F
T
A
T
T
T
T
Karena terdapat sebuah interpretasi yang mengakibatkan A bernilai benar, maka
A merupakan formula yang terpenuhi.
Kemudian, karena setiap interpretasi yang diberikan pada A mengakibatkan A
bernilai benar, maka A merupakan formula yang absah.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
15 / 43
Sifat-sifat Formula Logika Proposisi Berdasarkan Semantiknya
Contoh formula absah, terpenuhi, dan kontradiksi (2)
Latihan
Periksa apakah formula A yang berupa (p _ q) ^ (:p ^ :q) bersifat absah,
terpenuhi, atau kontradiksi.
Solusi:
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
16 / 43
Sifat-sifat Formula Logika Proposisi Berdasarkan Semantiknya
Contoh formula absah, terpenuhi, dan kontradiksi (2)
Latihan
Periksa apakah formula A yang berupa (p _ q) ^ (:p ^ :q) bersifat absah,
terpenuhi, atau kontradiksi.
Solusi: dengan tabel kebenaran, perhatikan bahwa
p
T
MZI (FIF Tel-U)
q
T
:p
:q
p_q
Logika Proposisi 2
:p ^ :q
A
Agustus 2015
16 / 43
Sifat-sifat Formula Logika Proposisi Berdasarkan Semantiknya
Contoh formula absah, terpenuhi, dan kontradiksi (2)
Latihan
Periksa apakah formula A yang berupa (p _ q) ^ (:p ^ :q) bersifat absah,
terpenuhi, atau kontradiksi.
Solusi: dengan tabel kebenaran, perhatikan bahwa
p
T
MZI (FIF Tel-U)
q
T
:p
F
:q
p_q
Logika Proposisi 2
:p ^ :q
A
Agustus 2015
16 / 43
Sifat-sifat Formula Logika Proposisi Berdasarkan Semantiknya
Contoh formula absah, terpenuhi, dan kontradiksi (2)
Latihan
Periksa apakah formula A yang berupa (p _ q) ^ (:p ^ :q) bersifat absah,
terpenuhi, atau kontradiksi.
Solusi: dengan tabel kebenaran, perhatikan bahwa
p
T
MZI (FIF Tel-U)
q
T
:p
F
:q
F
p_q
Logika Proposisi 2
:p ^ :q
A
Agustus 2015
16 / 43
Sifat-sifat Formula Logika Proposisi Berdasarkan Semantiknya
Contoh formula absah, terpenuhi, dan kontradiksi (2)
Latihan
Periksa apakah formula A yang berupa (p _ q) ^ (:p ^ :q) bersifat absah,
terpenuhi, atau kontradiksi.
Solusi: dengan tabel kebenaran, perhatikan bahwa
p
T
MZI (FIF Tel-U)
q
T
:p
F
:q
F
p_q
T
Logika Proposisi 2
:p ^ :q
A
Agustus 2015
16 / 43
Sifat-sifat Formula Logika Proposisi Berdasarkan Semantiknya
Contoh formula absah, terpenuhi, dan kontradiksi (2)
Latihan
Periksa apakah formula A yang berupa (p _ q) ^ (:p ^ :q) bersifat absah,
terpenuhi, atau kontradiksi.
Solusi: dengan tabel kebenaran, perhatikan bahwa
p
T
MZI (FIF Tel-U)
q
T
:p
F
:q
F
p_q
T
Logika Proposisi 2
:p ^ :q
F
A
Agustus 2015
16 / 43
Sifat-sifat Formula Logika Proposisi Berdasarkan Semantiknya
Contoh formula absah, terpenuhi, dan kontradiksi (2)
Latihan
Periksa apakah formula A yang berupa (p _ q) ^ (:p ^ :q) bersifat absah,
terpenuhi, atau kontradiksi.
Solusi: dengan tabel kebenaran, perhatikan bahwa
p
T
T
MZI (FIF Tel-U)
q
T
F
:p
F
:q
F
p_q
T
Logika Proposisi 2
:p ^ :q
F
A
F
Agustus 2015
16 / 43
Sifat-sifat Formula Logika Proposisi Berdasarkan Semantiknya
Contoh formula absah, terpenuhi, dan kontradiksi (2)
Latihan
Periksa apakah formula A yang berupa (p _ q) ^ (:p ^ :q) bersifat absah,
terpenuhi, atau kontradiksi.
Solusi: dengan tabel kebenaran, perhatikan bahwa
p
T
T
MZI (FIF Tel-U)
q
T
F
:p
F
F
:q
F
p_q
T
Logika Proposisi 2
:p ^ :q
F
A
F
Agustus 2015
16 / 43
Sifat-sifat Formula Logika Proposisi Berdasarkan Semantiknya
Contoh formula absah, terpenuhi, dan kontradiksi (2)
Latihan
Periksa apakah formula A yang berupa (p _ q) ^ (:p ^ :q) bersifat absah,
terpenuhi, atau kontradiksi.
Solusi: dengan tabel kebenaran, perhatikan bahwa
p
T
T
MZI (FIF Tel-U)
q
T
F
:p
F
F
:q
F
T
p_q
T
Logika Proposisi 2
:p ^ :q
F
A
F
Agustus 2015
16 / 43
Sifat-sifat Formula Logika Proposisi Berdasarkan Semantiknya
Contoh formula absah, terpenuhi, dan kontradiksi (2)
Latihan
Periksa apakah formula A yang berupa (p _ q) ^ (:p ^ :q) bersifat absah,
terpenuhi, atau kontradiksi.
Solusi: dengan tabel kebenaran, perhatikan bahwa
p
T
T
MZI (FIF Tel-U)
q
T
F
:p
F
F
:q
F
T
p_q
T
T
Logika Proposisi 2
:p ^ :q
F
A
F
Agustus 2015
16 / 43
Sifat-sifat Formula Logika Proposisi Berdasarkan Semantiknya
Contoh formula absah, terpenuhi, dan kontradiksi (2)
Latihan
Periksa apakah formula A yang berupa (p _ q) ^ (:p ^ :q) bersifat absah,
terpenuhi, atau kontradiksi.
Solusi: dengan tabel kebenaran, perhatikan bahwa
p
T
T
MZI (FIF Tel-U)
q
T
F
:p
F
F
:q
F
T
p_q
T
T
Logika Proposisi 2
:p ^ :q
F
F
A
F
Agustus 2015
16 / 43
Sifat-sifat Formula Logika Proposisi Berdasarkan Semantiknya
Contoh formula absah, terpenuhi, dan kontradiksi (2)
Latihan
Periksa apakah formula A yang berupa (p _ q) ^ (:p ^ :q) bersifat absah,
terpenuhi, atau kontradiksi.
Solusi: dengan tabel kebenaran, perhatikan bahwa
p
T
T
F
MZI (FIF Tel-U)
q
T
F
T
:p
F
F
:q
F
T
p_q
T
T
Logika Proposisi 2
:p ^ :q
F
F
A
F
F
Agustus 2015
16 / 43
Sifat-sifat Formula Logika Proposisi Berdasarkan Semantiknya
Contoh formula absah, terpenuhi, dan kontradiksi (2)
Latihan
Periksa apakah formula A yang berupa (p _ q) ^ (:p ^ :q) bersifat absah,
terpenuhi, atau kontradiksi.
Solusi: dengan tabel kebenaran, perhatikan bahwa
p
T
T
F
MZI (FIF Tel-U)
q
T
F
T
:p
F
F
T
:q
F
T
p_q
T
T
Logika Proposisi 2
:p ^ :q
F
F
A
F
F
Agustus 2015
16 / 43
Sifat-sifat Formula Logika Proposisi Berdasarkan Semantiknya
Contoh formula absah, terpenuhi, dan kontradiksi (2)
Latihan
Periksa apakah formula A yang berupa (p _ q) ^ (:p ^ :q) bersifat absah,
terpenuhi, atau kontradiksi.
Solusi: dengan tabel kebenaran, perhatikan bahwa
p
T
T
F
MZI (FIF Tel-U)
q
T
F
T
:p
F
F
T
:q
F
T
F
p_q
T
T
Logika Proposisi 2
:p ^ :q
F
F
A
F
F
Agustus 2015
16 / 43
Sifat-sifat Formula Logika Proposisi Berdasarkan Semantiknya
Contoh formula absah, terpenuhi, dan kontradiksi (2)
Latihan
Periksa apakah formula A yang berupa (p _ q) ^ (:p ^ :q) bersifat absah,
terpenuhi, atau kontradiksi.
Solusi: dengan tabel kebenaran, perhatikan bahwa
p
T
T
F
MZI (FIF Tel-U)
q
T
F
T
:p
F
F
T
:q
F
T
F
p_q
T
T
T
Logika Proposisi 2
:p ^ :q
F
F
A
F
F
Agustus 2015
16 / 43
Sifat-sifat Formula Logika Proposisi Berdasarkan Semantiknya
Contoh formula absah, terpenuhi, dan kontradiksi (2)
Latihan
Periksa apakah formula A yang berupa (p _ q) ^ (:p ^ :q) bersifat absah,
terpenuhi, atau kontradiksi.
Solusi: dengan tabel kebenaran, perhatikan bahwa
p
T
T
F
MZI (FIF Tel-U)
q
T
F
T
:p
F
F
T
:q
F
T
F
p_q
T
T
T
Logika Proposisi 2
:p ^ :q
F
F
F
A
F
F
Agustus 2015
16 / 43
Sifat-sifat Formula Logika Proposisi Berdasarkan Semantiknya
Contoh formula absah, terpenuhi, dan kontradiksi (2)
Latihan
Periksa apakah formula A yang berupa (p _ q) ^ (:p ^ :q) bersifat absah,
terpenuhi, atau kontradiksi.
Solusi: dengan tabel kebenaran, perhatikan bahwa
p
T
T
F
F
MZI (FIF Tel-U)
q
T
F
T
F
:p
F
F
T
:q
F
T
F
p_q
T
T
T
Logika Proposisi 2
:p ^ :q
F
F
F
A
F
F
F
Agustus 2015
16 / 43
Sifat-sifat Formula Logika Proposisi Berdasarkan Semantiknya
Contoh formula absah, terpenuhi, dan kontradiksi (2)
Latihan
Periksa apakah formula A yang berupa (p _ q) ^ (:p ^ :q) bersifat absah,
terpenuhi, atau kontradiksi.
Solusi: dengan tabel kebenaran, perhatikan bahwa
p
T
T
F
F
MZI (FIF Tel-U)
q
T
F
T
F
:p
F
F
T
T
:q
F
T
F
p_q
T
T
T
Logika Proposisi 2
:p ^ :q
F
F
F
A
F
F
F
Agustus 2015
16 / 43
Sifat-sifat Formula Logika Proposisi Berdasarkan Semantiknya
Contoh formula absah, terpenuhi, dan kontradiksi (2)
Latihan
Periksa apakah formula A yang berupa (p _ q) ^ (:p ^ :q) bersifat absah,
terpenuhi, atau kontradiksi.
Solusi: dengan tabel kebenaran, perhatikan bahwa
p
T
T
F
F
MZI (FIF Tel-U)
q
T
F
T
F
:p
F
F
T
T
:q
F
T
F
T
p_q
T
T
T
Logika Proposisi 2
:p ^ :q
F
F
F
A
F
F
F
Agustus 2015
16 / 43
Sifat-sifat Formula Logika Proposisi Berdasarkan Semantiknya
Contoh formula absah, terpenuhi, dan kontradiksi (2)
Latihan
Periksa apakah formula A yang berupa (p _ q) ^ (:p ^ :q) bersifat absah,
terpenuhi, atau kontradiksi.
Solusi: dengan tabel kebenaran, perhatikan bahwa
p
T
T
F
F
MZI (FIF Tel-U)
q
T
F
T
F
:p
F
F
T
T
:q
F
T
F
T
p_q
T
T
T
F
Logika Proposisi 2
:p ^ :q
F
F
F
A
F
F
F
Agustus 2015
16 / 43
Sifat-sifat Formula Logika Proposisi Berdasarkan Semantiknya
Contoh formula absah, terpenuhi, dan kontradiksi (2)
Latihan
Periksa apakah formula A yang berupa (p _ q) ^ (:p ^ :q) bersifat absah,
terpenuhi, atau kontradiksi.
Solusi: dengan tabel kebenaran, perhatikan bahwa
p
T
T
F
F
MZI (FIF Tel-U)
q
T
F
T
F
:p
F
F
T
T
:q
F
T
F
T
p_q
T
T
T
F
Logika Proposisi 2
:p ^ :q
F
F
F
T
A
F
F
F
Agustus 2015
16 / 43
Sifat-sifat Formula Logika Proposisi Berdasarkan Semantiknya
Contoh formula absah, terpenuhi, dan kontradiksi (2)
Latihan
Periksa apakah formula A yang berupa (p _ q) ^ (:p ^ :q) bersifat absah,
terpenuhi, atau kontradiksi.
Solusi: dengan tabel kebenaran, perhatikan bahwa
p
T
T
F
F
MZI (FIF Tel-U)
q
T
F
T
F
:p
F
F
T
T
:q
F
T
F
T
p_q
T
T
T
F
Logika Proposisi 2
:p ^ :q
F
F
F
T
A
F
F
F
F
Agustus 2015
16 / 43
Sifat-sifat Formula Logika Proposisi Berdasarkan Semantiknya
Contoh formula absah, terpenuhi, dan kontradiksi (2)
Latihan
Periksa apakah formula A yang berupa (p _ q) ^ (:p ^ :q) bersifat absah,
terpenuhi, atau kontradiksi.
Solusi: dengan tabel kebenaran, perhatikan bahwa
p
T
T
F
F
q
T
F
T
F
:p
F
F
T
T
:q
F
T
F
T
p_q
T
T
T
F
:p ^ :q
F
F
F
T
A
F
F
F
F
Karena setiap interpretasi yang diberikan pada A mengakibatkan A bernilai salah,
maka A merupakan formula yang bersifat kontradiksi.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
16 / 43
Sifat-sifat Formula Logika Proposisi Berdasarkan Semantiknya
Latihan
Periksa apakah formula A yang berupa (p _ q) ^ :r bersifat terpenuhi. Apakah A
bersifat absah? Apakah A bersifat kontradiksi? Apakah A merupakan
contingency ?
Solusi:
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
17 / 43
Sifat-sifat Formula Logika Proposisi Berdasarkan Semantiknya
Latihan
Periksa apakah formula A yang berupa (p _ q) ^ :r bersifat terpenuhi. Apakah A
bersifat absah? Apakah A bersifat kontradiksi? Apakah A merupakan
contingency ?
Solusi:
1
Perhatikan bahwa jika I (p) = I (q) = T dan I (r) = F, maka diperoleh
I ((p _ q) ^ :r) =
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
17 / 43
Sifat-sifat Formula Logika Proposisi Berdasarkan Semantiknya
Latihan
Periksa apakah formula A yang berupa (p _ q) ^ :r bersifat terpenuhi. Apakah A
bersifat absah? Apakah A bersifat kontradiksi? Apakah A merupakan
contingency ?
Solusi:
1
Perhatikan bahwa jika I (p) = I (q) = T dan I (r) = F, maka diperoleh
I ((p _ q) ^ :r) = T.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
17 / 43
Sifat-sifat Formula Logika Proposisi Berdasarkan Semantiknya
Latihan
Periksa apakah formula A yang berupa (p _ q) ^ :r bersifat terpenuhi. Apakah A
bersifat absah? Apakah A bersifat kontradiksi? Apakah A merupakan
contingency ?
Solusi:
1
2
Perhatikan bahwa jika I (p) = I (q) = T dan I (r) = F, maka diperoleh
I ((p _ q) ^ :r) = T.
Karena terdapat suatu interpretasi yang mengakibatkan A bernilai benar,
maka A
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
17 / 43
Sifat-sifat Formula Logika Proposisi Berdasarkan Semantiknya
Latihan
Periksa apakah formula A yang berupa (p _ q) ^ :r bersifat terpenuhi. Apakah A
bersifat absah? Apakah A bersifat kontradiksi? Apakah A merupakan
contingency ?
Solusi:
1
2
Perhatikan bahwa jika I (p) = I (q) = T dan I (r) = F, maka diperoleh
I ((p _ q) ^ :r) = T.
Karena terdapat suatu interpretasi yang mengakibatkan A bernilai benar,
maka A merupakan formula yang terpenuhi.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
17 / 43
Sifat-sifat Formula Logika Proposisi Berdasarkan Semantiknya
Latihan
Periksa apakah formula A yang berupa (p _ q) ^ :r bersifat terpenuhi. Apakah A
bersifat absah? Apakah A bersifat kontradiksi? Apakah A merupakan
contingency ?
Solusi:
1
Perhatikan bahwa jika I (p) = I (q) = T dan I (r) = F, maka diperoleh
I ((p _ q) ^ :r) = T.
2
Karena terdapat suatu interpretasi yang mengakibatkan A bernilai benar,
maka A merupakan formula yang terpenuhi.
3
Kemudian apabila I (p) = I (q) = F dan I (r) = T, maka diperoleh
I ((p _ q) ^ :r) =
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
17 / 43
Sifat-sifat Formula Logika Proposisi Berdasarkan Semantiknya
Latihan
Periksa apakah formula A yang berupa (p _ q) ^ :r bersifat terpenuhi. Apakah A
bersifat absah? Apakah A bersifat kontradiksi? Apakah A merupakan
contingency ?
Solusi:
1
Perhatikan bahwa jika I (p) = I (q) = T dan I (r) = F, maka diperoleh
I ((p _ q) ^ :r) = T.
2
Karena terdapat suatu interpretasi yang mengakibatkan A bernilai benar,
maka A merupakan formula yang terpenuhi.
3
Kemudian apabila I (p) = I (q) = F dan I (r) = T, maka diperoleh
I ((p _ q) ^ :r) = F.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
17 / 43
Sifat-sifat Formula Logika Proposisi Berdasarkan Semantiknya
Latihan
Periksa apakah formula A yang berupa (p _ q) ^ :r bersifat terpenuhi. Apakah A
bersifat absah? Apakah A bersifat kontradiksi? Apakah A merupakan
contingency ?
Solusi:
1
Perhatikan bahwa jika I (p) = I (q) = T dan I (r) = F, maka diperoleh
I ((p _ q) ^ :r) = T.
2
Karena terdapat suatu interpretasi yang mengakibatkan A bernilai benar,
maka A merupakan formula yang terpenuhi.
3
Kemudian apabila I (p) = I (q) = F dan I (r) = T, maka diperoleh
I ((p _ q) ^ :r) = F.
4
Karena terdapat suatu interpretasi yang mengakibatkan A bernilai salah,
maka A
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
17 / 43
Sifat-sifat Formula Logika Proposisi Berdasarkan Semantiknya
Latihan
Periksa apakah formula A yang berupa (p _ q) ^ :r bersifat terpenuhi. Apakah A
bersifat absah? Apakah A bersifat kontradiksi? Apakah A merupakan
contingency ?
Solusi:
1
Perhatikan bahwa jika I (p) = I (q) = T dan I (r) = F, maka diperoleh
I ((p _ q) ^ :r) = T.
2
Karena terdapat suatu interpretasi yang mengakibatkan A bernilai benar,
maka A merupakan formula yang terpenuhi.
3
Kemudian apabila I (p) = I (q) = F dan I (r) = T, maka diperoleh
I ((p _ q) ^ :r) = F.
4
Karena terdapat suatu interpretasi yang mengakibatkan A bernilai salah,
maka A tidak bersifat absah.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
17 / 43
Sifat-sifat Formula Logika Proposisi Berdasarkan Semantiknya
Latihan
Periksa apakah formula A yang berupa (p _ q) ^ :r bersifat terpenuhi. Apakah A
bersifat absah? Apakah A bersifat kontradiksi? Apakah A merupakan
contingency ?
Solusi:
1
Perhatikan bahwa jika I (p) = I (q) = T dan I (r) = F, maka diperoleh
I ((p _ q) ^ :r) = T.
2
Karena terdapat suatu interpretasi yang mengakibatkan A bernilai benar,
maka A merupakan formula yang terpenuhi.
3
Kemudian apabila I (p) = I (q) = F dan I (r) = T, maka diperoleh
I ((p _ q) ^ :r) = F.
4
5
Karena terdapat suatu interpretasi yang mengakibatkan A bernilai salah,
maka A tidak bersifat absah.
Karena A bersifat terpenuhi maka A tidak bersifat kontradiksi.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
17 / 43
Sifat-sifat Formula Logika Proposisi Berdasarkan Semantiknya
Latihan
Periksa apakah formula A yang berupa (p _ q) ^ :r bersifat terpenuhi. Apakah A
bersifat absah? Apakah A bersifat kontradiksi? Apakah A merupakan
contingency ?
Solusi:
1
Perhatikan bahwa jika I (p) = I (q) = T dan I (r) = F, maka diperoleh
I ((p _ q) ^ :r) = T.
2
Karena terdapat suatu interpretasi yang mengakibatkan A bernilai benar,
maka A merupakan formula yang terpenuhi.
3
Kemudian apabila I (p) = I (q) = F dan I (r) = T, maka diperoleh
I ((p _ q) ^ :r) = F.
4
Karena terdapat suatu interpretasi yang mengakibatkan A bernilai salah,
maka A tidak bersifat absah.
5
Karena A bersifat terpenuhi maka A tidak bersifat kontradiksi.
6
Karena A adalah formula yang tidak absah dan bukan kontradiksi, maka A
merupakan contigency.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
17 / 43
Sifat-sifat Formula Logika Proposisi Berdasarkan Semantiknya
Catatan
Jika diberikan suatu formula A dan kita diminta untuk memeriksa apakah A
terpenuhi atau tidak, maka kita tidak selalu memerlukan tabel kebenaran.
Permasalahan
Apakah setiap formula yang absah juga bersifat terpenuhi?
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
18 / 43
Sifat-sifat Formula Logika Proposisi Berdasarkan Semantiknya
Pembuktian Keabsahan tanpa Tabel Kebenaran
Permasalahan
Diberikan formula A := : (p ^ q ^ r ^ s) ! (:p _ :q _ :r _ :s). Untuk
memeriksa apakah A bersifat absah (valid), apakah kita harus menggunakan tabel
kebenaran?
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
19 / 43
Sifat-sifat Formula Logika Proposisi Berdasarkan Semantiknya
Pembuktian Keabsahan tanpa Tabel Kebenaran
Permasalahan
Diberikan formula A := : (p ^ q ^ r ^ s) ! (:p _ :q _ :r _ :s). Untuk
memeriksa apakah A bersifat absah (valid), apakah kita harus menggunakan tabel
kebenaran?
Penggunaan tabel kebenaran untuk memeriksa keabsahan formula tidak
selamanya e…sien.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
19 / 43
Sifat-sifat Formula Logika Proposisi Berdasarkan Semantiknya
Pembuktian Keabsahan tanpa Tabel Kebenaran
Permasalahan
Diberikan formula A := : (p ^ q ^ r ^ s) ! (:p _ :q _ :r _ :s). Untuk
memeriksa apakah A bersifat absah (valid), apakah kita harus menggunakan tabel
kebenaran?
Penggunaan tabel kebenaran untuk memeriksa keabsahan formula tidak
selamanya e…sien. Formula A di atas memerlukan tabel kebenaran yang
memuat 24 = 16 baris.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
19 / 43
Sifat-sifat Formula Logika Proposisi Berdasarkan Semantiknya
Pembuktian Keabsahan tanpa Tabel Kebenaran
Permasalahan
Diberikan formula A := : (p ^ q ^ r ^ s) ! (:p _ :q _ :r _ :s). Untuk
memeriksa apakah A bersifat absah (valid), apakah kita harus menggunakan tabel
kebenaran?
Penggunaan tabel kebenaran untuk memeriksa keabsahan formula tidak
selamanya e…sien. Formula A di atas memerlukan tabel kebenaran yang
memuat 24 = 16 baris.
Suatu formula yang absah (valid) dapat dibuktikan keabsahannya melalui
falsi…kasi (falsi…cation) atau metode kontradiksi.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
19 / 43
Sifat-sifat Formula Logika Proposisi Berdasarkan Semantiknya
Pembuktian Keabsahan tanpa Tabel Kebenaran
Permasalahan
Diberikan formula A := : (p ^ q ^ r ^ s) ! (:p _ :q _ :r _ :s). Untuk
memeriksa apakah A bersifat absah (valid), apakah kita harus menggunakan tabel
kebenaran?
Penggunaan tabel kebenaran untuk memeriksa keabsahan formula tidak
selamanya e…sien. Formula A di atas memerlukan tabel kebenaran yang
memuat 24 = 16 baris.
Suatu formula yang absah (valid) dapat dibuktikan keabsahannya melalui
falsi…kasi (falsi…cation) atau metode kontradiksi.
Dalam metode ini, suatu formula diasumsikan tidak absah, selanjutnya kita
berusaha untuk menunjukkan bahwa hal ini akan mengakibatkan suatu
kontradiksi (tidak mungkin benar).
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
19 / 43
Sifat-sifat Formula Logika Proposisi Berdasarkan Semantiknya
Contoh
Kita akan membuktikan bahwa (:p _ :q) ! : (p ^ q) adalah formula yang absah.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
20 / 43
Sifat-sifat Formula Logika Proposisi Berdasarkan Semantiknya
Contoh
Kita akan membuktikan bahwa (:p _ :q) ! : (p ^ q) adalah formula yang absah.
1
Andaikan (:p _ :q) ! : (p ^ q) tidak absah, maka
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
20 / 43
Sifat-sifat Formula Logika Proposisi Berdasarkan Semantiknya
Contoh
Kita akan membuktikan bahwa (:p _ :q) ! : (p ^ q) adalah formula yang absah.
1
Andaikan (:p _ :q) ! : (p ^ q) tidak absah, maka terdapat suatu
interpretasi I yang mengakibatkan I ((:p _ :q) ! : (p ^ q)) =
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
20 / 43
Sifat-sifat Formula Logika Proposisi Berdasarkan Semantiknya
Contoh
Kita akan membuktikan bahwa (:p _ :q) ! : (p ^ q) adalah formula yang absah.
1
Andaikan (:p _ :q) ! : (p ^ q) tidak absah, maka terdapat suatu
interpretasi I yang mengakibatkan I ((:p _ :q) ! : (p ^ q)) = F.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
20 / 43
Sifat-sifat Formula Logika Proposisi Berdasarkan Semantiknya
Contoh
Kita akan membuktikan bahwa (:p _ :q) ! : (p ^ q) adalah formula yang absah.
1
2
Andaikan (:p _ :q) ! : (p ^ q) tidak absah, maka terdapat suatu
interpretasi I yang mengakibatkan I ((:p _ :q) ! : (p ^ q)) = F.
Misalkan A := :p _ :q dan B := : (p ^ q). Formula yang akan diperiksa
dapat ditulis sebagai A ! B.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
20 / 43
Sifat-sifat Formula Logika Proposisi Berdasarkan Semantiknya
Contoh
Kita akan membuktikan bahwa (:p _ :q) ! : (p ^ q) adalah formula yang absah.
1
2
3
Andaikan (:p _ :q) ! : (p ^ q) tidak absah, maka terdapat suatu
interpretasi I yang mengakibatkan I ((:p _ :q) ! : (p ^ q)) = F.
Misalkan A := :p _ :q dan B := : (p ^ q). Formula yang akan diperiksa
dapat ditulis sebagai A ! B.
Ingat kembali bahwa I (A ! B) = F tepat ketika
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
20 / 43
Sifat-sifat Formula Logika Proposisi Berdasarkan Semantiknya
Contoh
Kita akan membuktikan bahwa (:p _ :q) ! : (p ^ q) adalah formula yang absah.
1
2
3
Andaikan (:p _ :q) ! : (p ^ q) tidak absah, maka terdapat suatu
interpretasi I yang mengakibatkan I ((:p _ :q) ! : (p ^ q)) = F.
Misalkan A := :p _ :q dan B := : (p ^ q). Formula yang akan diperiksa
dapat ditulis sebagai A ! B.
Ingat kembali bahwa I (A ! B) = F tepat ketika I (A) =
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
20 / 43
Sifat-sifat Formula Logika Proposisi Berdasarkan Semantiknya
Contoh
Kita akan membuktikan bahwa (:p _ :q) ! : (p ^ q) adalah formula yang absah.
1
2
3
Andaikan (:p _ :q) ! : (p ^ q) tidak absah, maka terdapat suatu
interpretasi I yang mengakibatkan I ((:p _ :q) ! : (p ^ q)) = F.
Misalkan A := :p _ :q dan B := : (p ^ q). Formula yang akan diperiksa
dapat ditulis sebagai A ! B.
Ingat kembali bahwa I (A ! B) = F tepat ketika I (A) = T dan I (B) =
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
20 / 43
Sifat-sifat Formula Logika Proposisi Berdasarkan Semantiknya
Contoh
Kita akan membuktikan bahwa (:p _ :q) ! : (p ^ q) adalah formula yang absah.
1
2
3
Andaikan (:p _ :q) ! : (p ^ q) tidak absah, maka terdapat suatu
interpretasi I yang mengakibatkan I ((:p _ :q) ! : (p ^ q)) = F.
Misalkan A := :p _ :q dan B := : (p ^ q). Formula yang akan diperiksa
dapat ditulis sebagai A ! B.
Ingat kembali bahwa I (A ! B) = F tepat ketika I (A) = T dan I (B) = F,
akibatnya diperoleh
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
20 / 43
Sifat-sifat Formula Logika Proposisi Berdasarkan Semantiknya
Contoh
Kita akan membuktikan bahwa (:p _ :q) ! : (p ^ q) adalah formula yang absah.
1
2
3
Andaikan (:p _ :q) ! : (p ^ q) tidak absah, maka terdapat suatu
interpretasi I yang mengakibatkan I ((:p _ :q) ! : (p ^ q)) = F.
Misalkan A := :p _ :q dan B := : (p ^ q). Formula yang akan diperiksa
dapat ditulis sebagai A ! B.
Ingat kembali bahwa I (A ! B) = F tepat ketika I (A) = T dan I (B) = F,
akibatnya diperoleh I (:p _ :q) =
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
20 / 43
Sifat-sifat Formula Logika Proposisi Berdasarkan Semantiknya
Contoh
Kita akan membuktikan bahwa (:p _ :q) ! : (p ^ q) adalah formula yang absah.
1
2
3
Andaikan (:p _ :q) ! : (p ^ q) tidak absah, maka terdapat suatu
interpretasi I yang mengakibatkan I ((:p _ :q) ! : (p ^ q)) = F.
Misalkan A := :p _ :q dan B := : (p ^ q). Formula yang akan diperiksa
dapat ditulis sebagai A ! B.
Ingat kembali bahwa I (A ! B) = F tepat ketika I (A) = T dan I (B) = F,
akibatnya diperoleh I (:p _ :q) = T dan I (: (p ^ q)) =
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
20 / 43
Sifat-sifat Formula Logika Proposisi Berdasarkan Semantiknya
Contoh
Kita akan membuktikan bahwa (:p _ :q) ! : (p ^ q) adalah formula yang absah.
1
2
3
Andaikan (:p _ :q) ! : (p ^ q) tidak absah, maka terdapat suatu
interpretasi I yang mengakibatkan I ((:p _ :q) ! : (p ^ q)) = F.
Misalkan A := :p _ :q dan B := : (p ^ q). Formula yang akan diperiksa
dapat ditulis sebagai A ! B.
Ingat kembali bahwa I (A ! B) = F tepat ketika I (A) = T dan I (B) = F,
akibatnya diperoleh I (:p _ :q) = T dan I (: (p ^ q)) = F.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
20 / 43
Sifat-sifat Formula Logika Proposisi Berdasarkan Semantiknya
Contoh
Kita akan membuktikan bahwa (:p _ :q) ! : (p ^ q) adalah formula yang absah.
1
2
3
4
Andaikan (:p _ :q) ! : (p ^ q) tidak absah, maka terdapat suatu
interpretasi I yang mengakibatkan I ((:p _ :q) ! : (p ^ q)) = F.
Misalkan A := :p _ :q dan B := : (p ^ q). Formula yang akan diperiksa
dapat ditulis sebagai A ! B.
Ingat kembali bahwa I (A ! B) = F tepat ketika I (A) = T dan I (B) = F,
akibatnya diperoleh I (:p _ :q) = T dan I (: (p ^ q)) = F.
Karena I (: (p ^ q)) = F, maka I (p ^ q) =
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
20 / 43
Sifat-sifat Formula Logika Proposisi Berdasarkan Semantiknya
Contoh
Kita akan membuktikan bahwa (:p _ :q) ! : (p ^ q) adalah formula yang absah.
1
2
3
4
Andaikan (:p _ :q) ! : (p ^ q) tidak absah, maka terdapat suatu
interpretasi I yang mengakibatkan I ((:p _ :q) ! : (p ^ q)) = F.
Misalkan A := :p _ :q dan B := : (p ^ q). Formula yang akan diperiksa
dapat ditulis sebagai A ! B.
Ingat kembali bahwa I (A ! B) = F tepat ketika I (A) = T dan I (B) = F,
akibatnya diperoleh I (:p _ :q) = T dan I (: (p ^ q)) = F.
Karena I (: (p ^ q)) = F, maka I (p ^ q) = T, akibatnya haruslah I (p) =
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
20 / 43
Sifat-sifat Formula Logika Proposisi Berdasarkan Semantiknya
Contoh
Kita akan membuktikan bahwa (:p _ :q) ! : (p ^ q) adalah formula yang absah.
1
2
3
4
Andaikan (:p _ :q) ! : (p ^ q) tidak absah, maka terdapat suatu
interpretasi I yang mengakibatkan I ((:p _ :q) ! : (p ^ q)) = F.
Misalkan A := :p _ :q dan B := : (p ^ q). Formula yang akan diperiksa
dapat ditulis sebagai A ! B.
Ingat kembali bahwa I (A ! B) = F tepat ketika I (A) = T dan I (B) = F,
akibatnya diperoleh I (:p _ :q) = T dan I (: (p ^ q)) = F.
Karena I (: (p ^ q)) = F, maka I (p ^ q) = T, akibatnya haruslah I (p) = T
dan I (q) =
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
20 / 43
Sifat-sifat Formula Logika Proposisi Berdasarkan Semantiknya
Contoh
Kita akan membuktikan bahwa (:p _ :q) ! : (p ^ q) adalah formula yang absah.
1
2
3
4
5
Andaikan (:p _ :q) ! : (p ^ q) tidak absah, maka terdapat suatu
interpretasi I yang mengakibatkan I ((:p _ :q) ! : (p ^ q)) = F.
Misalkan A := :p _ :q dan B := : (p ^ q). Formula yang akan diperiksa
dapat ditulis sebagai A ! B.
Ingat kembali bahwa I (A ! B) = F tepat ketika I (A) = T dan I (B) = F,
akibatnya diperoleh I (:p _ :q) = T dan I (: (p ^ q)) = F.
Karena I (: (p ^ q)) = F, maka I (p ^ q) = T, akibatnya haruslah I (p) = T
dan I (q) = T.
Sehingga diperoleh I (:p) =
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
20 / 43
Sifat-sifat Formula Logika Proposisi Berdasarkan Semantiknya
Contoh
Kita akan membuktikan bahwa (:p _ :q) ! : (p ^ q) adalah formula yang absah.
1
2
3
4
5
Andaikan (:p _ :q) ! : (p ^ q) tidak absah, maka terdapat suatu
interpretasi I yang mengakibatkan I ((:p _ :q) ! : (p ^ q)) = F.
Misalkan A := :p _ :q dan B := : (p ^ q). Formula yang akan diperiksa
dapat ditulis sebagai A ! B.
Ingat kembali bahwa I (A ! B) = F tepat ketika I (A) = T dan I (B) = F,
akibatnya diperoleh I (:p _ :q) = T dan I (: (p ^ q)) = F.
Karena I (: (p ^ q)) = F, maka I (p ^ q) = T, akibatnya haruslah I (p) = T
dan I (q) = T.
Sehingga diperoleh I (:p) = F dan I (:q) =
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
20 / 43
Sifat-sifat Formula Logika Proposisi Berdasarkan Semantiknya
Contoh
Kita akan membuktikan bahwa (:p _ :q) ! : (p ^ q) adalah formula yang absah.
1
2
3
4
5
Andaikan (:p _ :q) ! : (p ^ q) tidak absah, maka terdapat suatu
interpretasi I yang mengakibatkan I ((:p _ :q) ! : (p ^ q)) = F.
Misalkan A := :p _ :q dan B := : (p ^ q). Formula yang akan diperiksa
dapat ditulis sebagai A ! B.
Ingat kembali bahwa I (A ! B) = F tepat ketika I (A) = T dan I (B) = F,
akibatnya diperoleh I (:p _ :q) = T dan I (: (p ^ q)) = F.
Karena I (: (p ^ q)) = F, maka I (p ^ q) = T, akibatnya haruslah I (p) = T
dan I (q) = T.
Sehingga diperoleh I (:p) = F dan I (:q) = F, yang juga berakibat
I (:p _ :q) =
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
20 / 43
Sifat-sifat Formula Logika Proposisi Berdasarkan Semantiknya
Contoh
Kita akan membuktikan bahwa (:p _ :q) ! : (p ^ q) adalah formula yang absah.
1
2
3
4
5
Andaikan (:p _ :q) ! : (p ^ q) tidak absah, maka terdapat suatu
interpretasi I yang mengakibatkan I ((:p _ :q) ! : (p ^ q)) = F.
Misalkan A := :p _ :q dan B := : (p ^ q). Formula yang akan diperiksa
dapat ditulis sebagai A ! B.
Ingat kembali bahwa I (A ! B) = F tepat ketika I (A) = T dan I (B) = F,
akibatnya diperoleh I (:p _ :q) = T dan I (: (p ^ q)) = F.
Karena I (: (p ^ q)) = F, maka I (p ^ q) = T, akibatnya haruslah I (p) = T
dan I (q) = T.
Sehingga diperoleh I (:p) = F dan I (:q) = F, yang juga berakibat
I (:p _ :q) = F.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
20 / 43
Sifat-sifat Formula Logika Proposisi Berdasarkan Semantiknya
Contoh
Kita akan membuktikan bahwa (:p _ :q) ! : (p ^ q) adalah formula yang absah.
1
2
3
4
5
Andaikan (:p _ :q) ! : (p ^ q) tidak absah, maka terdapat suatu
interpretasi I yang mengakibatkan I ((:p _ :q) ! : (p ^ q)) = F.
Misalkan A := :p _ :q dan B := : (p ^ q). Formula yang akan diperiksa
dapat ditulis sebagai A ! B.
Ingat kembali bahwa I (A ! B) = F tepat ketika I (A) = T dan I (B) = F,
akibatnya diperoleh I (:p _ :q) = T dan I (: (p ^ q)) = F.
Karena I (: (p ^ q)) = F, maka I (p ^ q) = T, akibatnya haruslah I (p) = T
dan I (q) = T.
Sehingga diperoleh I (:p) = F dan I (:q) = F, yang juga berakibat
I (:p _ :q) = F. Hal ini bertentangan dengan I (:p _ :q) = T yang telah
diperoleh sebelumnya di nomor (3).
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
20 / 43
Sifat-sifat Formula Logika Proposisi Berdasarkan Semantiknya
Contoh
Kita akan membuktikan bahwa (:p _ :q) ! : (p ^ q) adalah formula yang absah.
1
2
3
4
5
6
Andaikan (:p _ :q) ! : (p ^ q) tidak absah, maka terdapat suatu
interpretasi I yang mengakibatkan I ((:p _ :q) ! : (p ^ q)) = F.
Misalkan A := :p _ :q dan B := : (p ^ q). Formula yang akan diperiksa
dapat ditulis sebagai A ! B.
Ingat kembali bahwa I (A ! B) = F tepat ketika I (A) = T dan I (B) = F,
akibatnya diperoleh I (:p _ :q) = T dan I (: (p ^ q)) = F.
Karena I (: (p ^ q)) = F, maka I (p ^ q) = T, akibatnya haruslah I (p) = T
dan I (q) = T.
Sehingga diperoleh I (:p) = F dan I (:q) = F, yang juga berakibat
I (:p _ :q) = F. Hal ini bertentangan dengan I (:p _ :q) = T yang telah
diperoleh sebelumnya di nomor (3).
Jadi pengandaian bahwa (:p _ :q) ! : (p ^ q) tidak absah keliru.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
20 / 43
Sifat-sifat Formula Logika Proposisi Berdasarkan Semantiknya
Contoh
Kita akan membuktikan bahwa (:p _ :q) ! : (p ^ q) adalah formula yang absah.
1
2
3
4
5
6
7
Andaikan (:p _ :q) ! : (p ^ q) tidak absah, maka terdapat suatu
interpretasi I yang mengakibatkan I ((:p _ :q) ! : (p ^ q)) = F.
Misalkan A := :p _ :q dan B := : (p ^ q). Formula yang akan diperiksa
dapat ditulis sebagai A ! B.
Ingat kembali bahwa I (A ! B) = F tepat ketika I (A) = T dan I (B) = F,
akibatnya diperoleh I (:p _ :q) = T dan I (: (p ^ q)) = F.
Karena I (: (p ^ q)) = F, maka I (p ^ q) = T, akibatnya haruslah I (p) = T
dan I (q) = T.
Sehingga diperoleh I (:p) = F dan I (:q) = F, yang juga berakibat
I (:p _ :q) = F. Hal ini bertentangan dengan I (:p _ :q) = T yang telah
diperoleh sebelumnya di nomor (3).
Jadi pengandaian bahwa (:p _ :q) ! : (p ^ q) tidak absah keliru.
Dengan demikian (:p _ :q) ! : (p ^ q) adalah formula yang absah.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
20 / 43
Sifat-sifat Formula Logika Proposisi Berdasarkan Semantiknya
Latihan
Tunjukkan bahwa (p ! q) $ (:p _ q) adalah formula yang absah tanpa memakai
tabel kebenaran.
Solusi:
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
21 / 43
Sifat-sifat Formula Logika Proposisi Berdasarkan Semantiknya
Latihan
Tunjukkan bahwa (p ! q) $ (:p _ q) adalah formula yang absah tanpa memakai
tabel kebenaran.
Solusi:
Misalkan (p ! q) $ (:p _ q) adalah formula yang tidak absah,
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
21 / 43
Sifat-sifat Formula Logika Proposisi Berdasarkan Semantiknya
Latihan
Tunjukkan bahwa (p ! q) $ (:p _ q) adalah formula yang absah tanpa memakai
tabel kebenaran.
Solusi:
Misalkan (p ! q) $ (:p _ q) adalah formula yang tidak absah, maka terdapat
suatu interpretasi I yang mengakibatkan I ((p ! q) $ (:p _ q)) =
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
21 / 43
Sifat-sifat Formula Logika Proposisi Berdasarkan Semantiknya
Latihan
Tunjukkan bahwa (p ! q) $ (:p _ q) adalah formula yang absah tanpa memakai
tabel kebenaran.
Solusi:
Misalkan (p ! q) $ (:p _ q) adalah formula yang tidak absah, maka terdapat
suatu interpretasi I yang mengakibatkan I ((p ! q) $ (:p _ q)) = F.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
21 / 43
Sifat-sifat Formula Logika Proposisi Berdasarkan Semantiknya
Latihan
Tunjukkan bahwa (p ! q) $ (:p _ q) adalah formula yang absah tanpa memakai
tabel kebenaran.
Solusi:
Misalkan (p ! q) $ (:p _ q) adalah formula yang tidak absah, maka terdapat
suatu interpretasi I yang mengakibatkan I ((p ! q) $ (:p _ q)) = F.
Untuk mempermudah, misalkan A := p ! q dan B := :p _ q.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
21 / 43
Sifat-sifat Formula Logika Proposisi Berdasarkan Semantiknya
Latihan
Tunjukkan bahwa (p ! q) $ (:p _ q) adalah formula yang absah tanpa memakai
tabel kebenaran.
Solusi:
Misalkan (p ! q) $ (:p _ q) adalah formula yang tidak absah, maka terdapat
suatu interpretasi I yang mengakibatkan I ((p ! q) $ (:p _ q)) = F.
Untuk mempermudah, misalkan A := p ! q dan B := :p _ q.
Mengingat I (A $ B) = F tepat ketika
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
21 / 43
Sifat-sifat Formula Logika Proposisi Berdasarkan Semantiknya
Latihan
Tunjukkan bahwa (p ! q) $ (:p _ q) adalah formula yang absah tanpa memakai
tabel kebenaran.
Solusi:
Misalkan (p ! q) $ (:p _ q) adalah formula yang tidak absah, maka terdapat
suatu interpretasi I yang mengakibatkan I ((p ! q) $ (:p _ q)) = F.
Untuk mempermudah, misalkan A := p ! q dan B := :p _ q.
Mengingat I (A $ B) = F tepat ketika I (A) 6= I (B), maka kita memiliki dua
kemungkinan, yaitu I (A) =
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
21 / 43
Sifat-sifat Formula Logika Proposisi Berdasarkan Semantiknya
Latihan
Tunjukkan bahwa (p ! q) $ (:p _ q) adalah formula yang absah tanpa memakai
tabel kebenaran.
Solusi:
Misalkan (p ! q) $ (:p _ q) adalah formula yang tidak absah, maka terdapat
suatu interpretasi I yang mengakibatkan I ((p ! q) $ (:p _ q)) = F.
Untuk mempermudah, misalkan A := p ! q dan B := :p _ q.
Mengingat I (A $ B) = F tepat ketika I (A) 6= I (B), maka kita memiliki dua
kemungkinan, yaitu I (A) = T dan I (B) =
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
21 / 43
Sifat-sifat Formula Logika Proposisi Berdasarkan Semantiknya
Latihan
Tunjukkan bahwa (p ! q) $ (:p _ q) adalah formula yang absah tanpa memakai
tabel kebenaran.
Solusi:
Misalkan (p ! q) $ (:p _ q) adalah formula yang tidak absah, maka terdapat
suatu interpretasi I yang mengakibatkan I ((p ! q) $ (:p _ q)) = F.
Untuk mempermudah, misalkan A := p ! q dan B := :p _ q.
Mengingat I (A $ B) = F tepat ketika I (A) 6= I (B), maka kita memiliki dua
kemungkinan, yaitu I (A) = T dan I (B) = F, atau
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
21 / 43
Sifat-sifat Formula Logika Proposisi Berdasarkan Semantiknya
Latihan
Tunjukkan bahwa (p ! q) $ (:p _ q) adalah formula yang absah tanpa memakai
tabel kebenaran.
Solusi:
Misalkan (p ! q) $ (:p _ q) adalah formula yang tidak absah, maka terdapat
suatu interpretasi I yang mengakibatkan I ((p ! q) $ (:p _ q)) = F.
Untuk mempermudah, misalkan A := p ! q dan B := :p _ q.
Mengingat I (A $ B) = F tepat ketika I (A) 6= I (B), maka kita memiliki dua
kemungkinan, yaitu I (A) = T dan I (B) = F, atau I (A) = F dan I (B) = T.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
21 / 43
Sifat-sifat Formula Logika Proposisi Berdasarkan Semantiknya
Latihan
Tunjukkan bahwa (p ! q) $ (:p _ q) adalah formula yang absah tanpa memakai
tabel kebenaran.
Solusi:
Misalkan (p ! q) $ (:p _ q) adalah formula yang tidak absah, maka terdapat
suatu interpretasi I yang mengakibatkan I ((p ! q) $ (:p _ q)) = F.
Untuk mempermudah, misalkan A := p ! q dan B := :p _ q.
Mengingat I (A $ B) = F tepat ketika I (A) 6= I (B), maka kita memiliki dua
kemungkinan, yaitu I (A) = T dan I (B) = F, atau I (A) = F dan I (B) = T.
Untuk mempermudah kita misalkan I1 (A) = T dan I1 (B) = F, serta I2 (A) = F
dan I2 (B) = T.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
21 / 43
Sifat-sifat Formula Logika Proposisi Berdasarkan Semantiknya
Untuk kasus I1 , kita memiliki I1 (A) = T dan I1 (B) = F.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
22 / 43
Sifat-sifat Formula Logika Proposisi Berdasarkan Semantiknya
Untuk kasus I1 , kita memiliki I1 (A) = T dan I1 (B) = F.
1
Dari I1 (B) = I1 (:p _ q) = F diperoleh I1 (:p) =
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
22 / 43
Sifat-sifat Formula Logika Proposisi Berdasarkan Semantiknya
Untuk kasus I1 , kita memiliki I1 (A) = T dan I1 (B) = F.
1
Dari I1 (B) = I1 (:p _ q) = F diperoleh I1 (:p) = I1 (q) =
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
22 / 43
Sifat-sifat Formula Logika Proposisi Berdasarkan Semantiknya
Untuk kasus I1 , kita memiliki I1 (A) = T dan I1 (B) = F.
1
Dari I1 (B) = I1 (:p _ q) = F diperoleh I1 (:p) = I1 (q) = F, akibatnya
I1 (p) =
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
22 / 43
Sifat-sifat Formula Logika Proposisi Berdasarkan Semantiknya
Untuk kasus I1 , kita memiliki I1 (A) = T dan I1 (B) = F.
1
Dari I1 (B) = I1 (:p _ q) = F diperoleh I1 (:p) = I1 (q) = F, akibatnya
I1 (p) = T. Dari hasil ini didapat I1 (p ! q) =
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
22 / 43
Sifat-sifat Formula Logika Proposisi Berdasarkan Semantiknya
Untuk kasus I1 , kita memiliki I1 (A) = T dan I1 (B) = F.
1
Dari I1 (B) = I1 (:p _ q) = F diperoleh I1 (:p) = I1 (q) = F, akibatnya
I1 (p) = T. Dari hasil ini didapat I1 (p ! q) = F.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
22 / 43
Sifat-sifat Formula Logika Proposisi Berdasarkan Semantiknya
Untuk kasus I1 , kita memiliki I1 (A) = T dan I1 (B) = F.
1
2
Dari I1 (B) = I1 (:p _ q) = F diperoleh I1 (:p) = I1 (q) = F, akibatnya
I1 (p) = T. Dari hasil ini didapat I1 (p ! q) = F.
Hal ini bertentangan dengan asumsi bahwa I1 (A) = I1 (p ! q) = T untuk
kasus I1 .
Untuk kasus I2 , kita memiliki I2 (A) = F dan I2 (B) = T.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
22 / 43
Sifat-sifat Formula Logika Proposisi Berdasarkan Semantiknya
Untuk kasus I1 , kita memiliki I1 (A) = T dan I1 (B) = F.
1
2
Dari I1 (B) = I1 (:p _ q) = F diperoleh I1 (:p) = I1 (q) = F, akibatnya
I1 (p) = T. Dari hasil ini didapat I1 (p ! q) = F.
Hal ini bertentangan dengan asumsi bahwa I1 (A) = I1 (p ! q) = T untuk
kasus I1 .
Untuk kasus I2 , kita memiliki I2 (A) = F dan I2 (B) = T.
1
Dari I2 (A) = I2 (p ! q) = F diperoleh I2 (p) =
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
22 / 43
Sifat-sifat Formula Logika Proposisi Berdasarkan Semantiknya
Untuk kasus I1 , kita memiliki I1 (A) = T dan I1 (B) = F.
1
2
Dari I1 (B) = I1 (:p _ q) = F diperoleh I1 (:p) = I1 (q) = F, akibatnya
I1 (p) = T. Dari hasil ini didapat I1 (p ! q) = F.
Hal ini bertentangan dengan asumsi bahwa I1 (A) = I1 (p ! q) = T untuk
kasus I1 .
Untuk kasus I2 , kita memiliki I2 (A) = F dan I2 (B) = T.
1
Dari I2 (A) = I2 (p ! q) = F diperoleh I2 (p) = T dan I2 (q) =
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
22 / 43
Sifat-sifat Formula Logika Proposisi Berdasarkan Semantiknya
Untuk kasus I1 , kita memiliki I1 (A) = T dan I1 (B) = F.
1
2
Dari I1 (B) = I1 (:p _ q) = F diperoleh I1 (:p) = I1 (q) = F, akibatnya
I1 (p) = T. Dari hasil ini didapat I1 (p ! q) = F.
Hal ini bertentangan dengan asumsi bahwa I1 (A) = I1 (p ! q) = T untuk
kasus I1 .
Untuk kasus I2 , kita memiliki I2 (A) = F dan I2 (B) = T.
1
Dari I2 (A) = I2 (p ! q) = F diperoleh I2 (p) = T dan I2 (q) = F,
akibatnya I2 (:p) =
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
22 / 43
Sifat-sifat Formula Logika Proposisi Berdasarkan Semantiknya
Untuk kasus I1 , kita memiliki I1 (A) = T dan I1 (B) = F.
1
2
Dari I1 (B) = I1 (:p _ q) = F diperoleh I1 (:p) = I1 (q) = F, akibatnya
I1 (p) = T. Dari hasil ini didapat I1 (p ! q) = F.
Hal ini bertentangan dengan asumsi bahwa I1 (A) = I1 (p ! q) = T untuk
kasus I1 .
Untuk kasus I2 , kita memiliki I2 (A) = F dan I2 (B) = T.
1
Dari I2 (A) = I2 (p ! q) = F diperoleh I2 (p) = T dan I2 (q) = F,
akibatnya I2 (:p) = F. Dari hasil ini didapat I2 (:p _ q) =
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
22 / 43
Sifat-sifat Formula Logika Proposisi Berdasarkan Semantiknya
Untuk kasus I1 , kita memiliki I1 (A) = T dan I1 (B) = F.
1
2
Dari I1 (B) = I1 (:p _ q) = F diperoleh I1 (:p) = I1 (q) = F, akibatnya
I1 (p) = T. Dari hasil ini didapat I1 (p ! q) = F.
Hal ini bertentangan dengan asumsi bahwa I1 (A) = I1 (p ! q) = T untuk
kasus I1 .
Untuk kasus I2 , kita memiliki I2 (A) = F dan I2 (B) = T.
1
Dari I2 (A) = I2 (p ! q) = F diperoleh I2 (p) = T dan I2 (q) = F,
akibatnya I2 (:p) = F. Dari hasil ini didapat I2 (:p _ q) = F.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
22 / 43
Sifat-sifat Formula Logika Proposisi Berdasarkan Semantiknya
Untuk kasus I1 , kita memiliki I1 (A) = T dan I1 (B) = F.
1
2
Dari I1 (B) = I1 (:p _ q) = F diperoleh I1 (:p) = I1 (q) = F, akibatnya
I1 (p) = T. Dari hasil ini didapat I1 (p ! q) = F.
Hal ini bertentangan dengan asumsi bahwa I1 (A) = I1 (p ! q) = T untuk
kasus I1 .
Untuk kasus I2 , kita memiliki I2 (A) = F dan I2 (B) = T.
1
2
Dari I2 (A) = I2 (p ! q) = F diperoleh I2 (p) = T dan I2 (q) = F,
akibatnya I2 (:p) = F. Dari hasil ini didapat I2 (:p _ q) = F.
Hal ini bertentangan dengan asumsi bahwa I2 (B) = I2 (:p _ q) = T untuk
kasus I2 .
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
22 / 43
Sifat-sifat Formula Logika Proposisi Berdasarkan Semantiknya
Untuk kasus I1 , kita memiliki I1 (A) = T dan I1 (B) = F.
1
2
Dari I1 (B) = I1 (:p _ q) = F diperoleh I1 (:p) = I1 (q) = F, akibatnya
I1 (p) = T. Dari hasil ini didapat I1 (p ! q) = F.
Hal ini bertentangan dengan asumsi bahwa I1 (A) = I1 (p ! q) = T untuk
kasus I1 .
Untuk kasus I2 , kita memiliki I2 (A) = F dan I2 (B) = T.
1
2
Dari I2 (A) = I2 (p ! q) = F diperoleh I2 (p) = T dan I2 (q) = F,
akibatnya I2 (:p) = F. Dari hasil ini didapat I2 (:p _ q) = F.
Hal ini bertentangan dengan asumsi bahwa I2 (B) = I2 (:p _ q) = T untuk
kasus I2 .
Jadi tidak ada interpretasi I yang mengakibatkan I ((p ! q) $ (:p _ q)) = F.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
22 / 43
Sifat-sifat Formula Logika Proposisi Berdasarkan Semantiknya
Untuk kasus I1 , kita memiliki I1 (A) = T dan I1 (B) = F.
1
2
Dari I1 (B) = I1 (:p _ q) = F diperoleh I1 (:p) = I1 (q) = F, akibatnya
I1 (p) = T. Dari hasil ini didapat I1 (p ! q) = F.
Hal ini bertentangan dengan asumsi bahwa I1 (A) = I1 (p ! q) = T untuk
kasus I1 .
Untuk kasus I2 , kita memiliki I2 (A) = F dan I2 (B) = T.
1
2
Dari I2 (A) = I2 (p ! q) = F diperoleh I2 (p) = T dan I2 (q) = F,
akibatnya I2 (:p) = F. Dari hasil ini didapat I2 (:p _ q) = F.
Hal ini bertentangan dengan asumsi bahwa I2 (B) = I2 (:p _ q) = T untuk
kasus I2 .
Jadi tidak ada interpretasi I yang mengakibatkan I ((p ! q) $ (:p _ q)) = F.
Dengan demikian (p ! q) $ (:p _ q) bersifat absah.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
22 / 43
Sifat-sifat Formula Logika Proposisi Berdasarkan Semantiknya
Latihan
Tunjukkan bahwa : (p ^ q ^ r ^ s) ! (:p _ :q _ :r _ :s) adalah formula yang
absah tanpa memakai tabel kebenaran.
Solusi:
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
23 / 43
Sifat-sifat Formula Logika Proposisi Berdasarkan Semantiknya
Latihan
Tunjukkan bahwa : (p ^ q ^ r ^ s) ! (:p _ :q _ :r _ :s) adalah formula yang
absah tanpa memakai tabel kebenaran.
Solusi:
Misalkan : (p ^ q ^ r ^ s) ! (:p _ :q _ :r _ :s) adalah formula yang tidak
absah,
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
23 / 43
Sifat-sifat Formula Logika Proposisi Berdasarkan Semantiknya
Latihan
Tunjukkan bahwa : (p ^ q ^ r ^ s) ! (:p _ :q _ :r _ :s) adalah formula yang
absah tanpa memakai tabel kebenaran.
Solusi:
Misalkan : (p ^ q ^ r ^ s) ! (:p _ :q _ :r _ :s) adalah formula yang tidak
absah, maka terdapat suatu interpretasi I sehingga
I (: (p ^ q ^ r ^ s) ! (:p _ :q _ :r _ :s)) =
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
23 / 43
Sifat-sifat Formula Logika Proposisi Berdasarkan Semantiknya
Latihan
Tunjukkan bahwa : (p ^ q ^ r ^ s) ! (:p _ :q _ :r _ :s) adalah formula yang
absah tanpa memakai tabel kebenaran.
Solusi:
Misalkan : (p ^ q ^ r ^ s) ! (:p _ :q _ :r _ :s) adalah formula yang tidak
absah, maka terdapat suatu interpretasi I sehingga
I (: (p ^ q ^ r ^ s) ! (:p _ :q _ :r _ :s)) = F.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
23 / 43
Sifat-sifat Formula Logika Proposisi Berdasarkan Semantiknya
Latihan
Tunjukkan bahwa : (p ^ q ^ r ^ s) ! (:p _ :q _ :r _ :s) adalah formula yang
absah tanpa memakai tabel kebenaran.
Solusi:
Misalkan : (p ^ q ^ r ^ s) ! (:p _ :q _ :r _ :s) adalah formula yang tidak
absah, maka terdapat suatu interpretasi I sehingga
I (: (p ^ q ^ r ^ s) ! (:p _ :q _ :r _ :s)) = F.
Untuk mempermudah, misalkan A := : (p ^ q ^ r ^ s) dan
B := (:p _ :q _ :r _ :s).
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
23 / 43
Sifat-sifat Formula Logika Proposisi Berdasarkan Semantiknya
Latihan
Tunjukkan bahwa : (p ^ q ^ r ^ s) ! (:p _ :q _ :r _ :s) adalah formula yang
absah tanpa memakai tabel kebenaran.
Solusi:
Misalkan : (p ^ q ^ r ^ s) ! (:p _ :q _ :r _ :s) adalah formula yang tidak
absah, maka terdapat suatu interpretasi I sehingga
I (: (p ^ q ^ r ^ s) ! (:p _ :q _ :r _ :s)) = F.
Untuk mempermudah, misalkan A := : (p ^ q ^ r ^ s) dan
B := (:p _ :q _ :r _ :s). Mengingat I (A ! B) = F
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
23 / 43
Sifat-sifat Formula Logika Proposisi Berdasarkan Semantiknya
Latihan
Tunjukkan bahwa : (p ^ q ^ r ^ s) ! (:p _ :q _ :r _ :s) adalah formula yang
absah tanpa memakai tabel kebenaran.
Solusi:
Misalkan : (p ^ q ^ r ^ s) ! (:p _ :q _ :r _ :s) adalah formula yang tidak
absah, maka terdapat suatu interpretasi I sehingga
I (: (p ^ q ^ r ^ s) ! (:p _ :q _ :r _ :s)) = F.
Untuk mempermudah, misalkan A := : (p ^ q ^ r ^ s) dan
B := (:p _ :q _ :r _ :s). Mengingat I (A ! B) = F tepat ketika I (A) =
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
23 / 43
Sifat-sifat Formula Logika Proposisi Berdasarkan Semantiknya
Latihan
Tunjukkan bahwa : (p ^ q ^ r ^ s) ! (:p _ :q _ :r _ :s) adalah formula yang
absah tanpa memakai tabel kebenaran.
Solusi:
Misalkan : (p ^ q ^ r ^ s) ! (:p _ :q _ :r _ :s) adalah formula yang tidak
absah, maka terdapat suatu interpretasi I sehingga
I (: (p ^ q ^ r ^ s) ! (:p _ :q _ :r _ :s)) = F.
Untuk mempermudah, misalkan A := : (p ^ q ^ r ^ s) dan
B := (:p _ :q _ :r _ :s). Mengingat I (A ! B) = F tepat ketika I (A) = T
dan I (B) =
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
23 / 43
Sifat-sifat Formula Logika Proposisi Berdasarkan Semantiknya
Latihan
Tunjukkan bahwa : (p ^ q ^ r ^ s) ! (:p _ :q _ :r _ :s) adalah formula yang
absah tanpa memakai tabel kebenaran.
Solusi:
Misalkan : (p ^ q ^ r ^ s) ! (:p _ :q _ :r _ :s) adalah formula yang tidak
absah, maka terdapat suatu interpretasi I sehingga
I (: (p ^ q ^ r ^ s) ! (:p _ :q _ :r _ :s)) = F.
Untuk mempermudah, misalkan A := : (p ^ q ^ r ^ s) dan
B := (:p _ :q _ :r _ :s). Mengingat I (A ! B) = F tepat ketika I (A) = T
dan I (B) = F, diperoleh
1
I (B) = I (:p _ :q _ :r _ :s) =
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
23 / 43
Sifat-sifat Formula Logika Proposisi Berdasarkan Semantiknya
Latihan
Tunjukkan bahwa : (p ^ q ^ r ^ s) ! (:p _ :q _ :r _ :s) adalah formula yang
absah tanpa memakai tabel kebenaran.
Solusi:
Misalkan : (p ^ q ^ r ^ s) ! (:p _ :q _ :r _ :s) adalah formula yang tidak
absah, maka terdapat suatu interpretasi I sehingga
I (: (p ^ q ^ r ^ s) ! (:p _ :q _ :r _ :s)) = F.
Untuk mempermudah, misalkan A := : (p ^ q ^ r ^ s) dan
B := (:p _ :q _ :r _ :s). Mengingat I (A ! B) = F tepat ketika I (A) = T
dan I (B) = F, diperoleh
1
I (B) = I (:p _ :q _ :r _ :s) = F, akibatnya
I (:p) = I (:q) = I (:r) = I (:s) =
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
23 / 43
Sifat-sifat Formula Logika Proposisi Berdasarkan Semantiknya
Latihan
Tunjukkan bahwa : (p ^ q ^ r ^ s) ! (:p _ :q _ :r _ :s) adalah formula yang
absah tanpa memakai tabel kebenaran.
Solusi:
Misalkan : (p ^ q ^ r ^ s) ! (:p _ :q _ :r _ :s) adalah formula yang tidak
absah, maka terdapat suatu interpretasi I sehingga
I (: (p ^ q ^ r ^ s) ! (:p _ :q _ :r _ :s)) = F.
Untuk mempermudah, misalkan A := : (p ^ q ^ r ^ s) dan
B := (:p _ :q _ :r _ :s). Mengingat I (A ! B) = F tepat ketika I (A) = T
dan I (B) = F, diperoleh
1
I (B) = I (:p _ :q _ :r _ :s) = F, akibatnya
I (:p) = I (:q) = I (:r) = I (:s) = F, sehingga diperoleh
I (p) = I (q) = I (r) = I (s) =
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
23 / 43
Sifat-sifat Formula Logika Proposisi Berdasarkan Semantiknya
Latihan
Tunjukkan bahwa : (p ^ q ^ r ^ s) ! (:p _ :q _ :r _ :s) adalah formula yang
absah tanpa memakai tabel kebenaran.
Solusi:
Misalkan : (p ^ q ^ r ^ s) ! (:p _ :q _ :r _ :s) adalah formula yang tidak
absah, maka terdapat suatu interpretasi I sehingga
I (: (p ^ q ^ r ^ s) ! (:p _ :q _ :r _ :s)) = F.
Untuk mempermudah, misalkan A := : (p ^ q ^ r ^ s) dan
B := (:p _ :q _ :r _ :s). Mengingat I (A ! B) = F tepat ketika I (A) = T
dan I (B) = F, diperoleh
1
2
I (B) = I (:p _ :q _ :r _ :s) = F, akibatnya
I (:p) = I (:q) = I (:r) = I (:s) = F, sehingga diperoleh
I (p) = I (q) = I (r) = I (s) = T.
Akibatnya I (p ^ q ^ r ^ s) =
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
23 / 43
Sifat-sifat Formula Logika Proposisi Berdasarkan Semantiknya
Latihan
Tunjukkan bahwa : (p ^ q ^ r ^ s) ! (:p _ :q _ :r _ :s) adalah formula yang
absah tanpa memakai tabel kebenaran.
Solusi:
Misalkan : (p ^ q ^ r ^ s) ! (:p _ :q _ :r _ :s) adalah formula yang tidak
absah, maka terdapat suatu interpretasi I sehingga
I (: (p ^ q ^ r ^ s) ! (:p _ :q _ :r _ :s)) = F.
Untuk mempermudah, misalkan A := : (p ^ q ^ r ^ s) dan
B := (:p _ :q _ :r _ :s). Mengingat I (A ! B) = F tepat ketika I (A) = T
dan I (B) = F, diperoleh
1
2
I (B) = I (:p _ :q _ :r _ :s) = F, akibatnya
I (:p) = I (:q) = I (:r) = I (:s) = F, sehingga diperoleh
I (p) = I (q) = I (r) = I (s) = T.
Akibatnya I (p ^ q ^ r ^ s) = T, sehingga I (A) = I (: (p ^ q ^ r ^ s)) =
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
23 / 43
Sifat-sifat Formula Logika Proposisi Berdasarkan Semantiknya
Latihan
Tunjukkan bahwa : (p ^ q ^ r ^ s) ! (:p _ :q _ :r _ :s) adalah formula yang
absah tanpa memakai tabel kebenaran.
Solusi:
Misalkan : (p ^ q ^ r ^ s) ! (:p _ :q _ :r _ :s) adalah formula yang tidak
absah, maka terdapat suatu interpretasi I sehingga
I (: (p ^ q ^ r ^ s) ! (:p _ :q _ :r _ :s)) = F.
Untuk mempermudah, misalkan A := : (p ^ q ^ r ^ s) dan
B := (:p _ :q _ :r _ :s). Mengingat I (A ! B) = F tepat ketika I (A) = T
dan I (B) = F, diperoleh
1
2
I (B) = I (:p _ :q _ :r _ :s) = F, akibatnya
I (:p) = I (:q) = I (:r) = I (:s) = F, sehingga diperoleh
I (p) = I (q) = I (r) = I (s) = T.
Akibatnya I (p ^ q ^ r ^ s) = T, sehingga I (A) = I (: (p ^ q ^ r ^ s)) = F.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
23 / 43
Sifat-sifat Formula Logika Proposisi Berdasarkan Semantiknya
Latihan
Tunjukkan bahwa : (p ^ q ^ r ^ s) ! (:p _ :q _ :r _ :s) adalah formula yang
absah tanpa memakai tabel kebenaran.
Solusi:
Misalkan : (p ^ q ^ r ^ s) ! (:p _ :q _ :r _ :s) adalah formula yang tidak
absah, maka terdapat suatu interpretasi I sehingga
I (: (p ^ q ^ r ^ s) ! (:p _ :q _ :r _ :s)) = F.
Untuk mempermudah, misalkan A := : (p ^ q ^ r ^ s) dan
B := (:p _ :q _ :r _ :s). Mengingat I (A ! B) = F tepat ketika I (A) = T
dan I (B) = F, diperoleh
1
2
3
I (B) = I (:p _ :q _ :r _ :s) = F, akibatnya
I (:p) = I (:q) = I (:r) = I (:s) = F, sehingga diperoleh
I (p) = I (q) = I (r) = I (s) = T.
Akibatnya I (p ^ q ^ r ^ s) = T, sehingga I (A) = I (: (p ^ q ^ r ^ s)) = F.
Hasil nomor (2) bertentangan dengan asumsi I (A) = T yang kita miliki.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
23 / 43
Sifat-sifat Formula Logika Proposisi Berdasarkan Semantiknya
Jadi tidak mungkin ada interpretasi I yang mengakibatkan
I (: (p ^ q ^ r ^ s) ! (:p _ :q _ :r _ :s)) = F.
Dengan demikian : (p ^ q ^ r ^ s) ! (:p _ :q _ :r _ :s) adalah formula yang
absah.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
24 / 43
Sifat-sifat Formula Logika Proposisi Berdasarkan Semantiknya
Latihan
Periksa apakah formula-formula berikut bersifat absah (valid), terpenuhi
(satis…able), kontradiksi, atau merupakan contingency.
1
2
3
4
5
6
(p ! q _ p ! r) $ (p ! q ^ r)
(p ^ q _ :r) ! (: (p $ r) ^ :q)
((:p ^ q) ^ (r ! p) ^ (r ! s) ^ (s ! t)) ! t
((p ! q) ^ (:p ! r) ^ (r ! s)) ! (:q ! s)
((p ! q) ^ (r ! s) ^ (:p ! :s)) ! (r ! q)
p
q ! (p ^ :q) _ (:p ^ q)
7
p
8
p
9
: (p $ q) $ (p ^ :q) _ (:p ^ q)
10
q ! (p _ q) ^ (:p ^ :q)
q ! : (p $ q)
(p _ q) ^ (:p ^ :q) $ (p ^ :q) _ (:p ^ q)
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
25 / 43
Skema Formula, Konsekuensi Logis, dan Kesetaraan Logika
Bahasan
1
Interpretasi dan Semantik Formula Logika Proposisi
2
Sifat-sifat Formula Logika Proposisi Berdasarkan Semantiknya
3
Skema Formula, Konsekuensi Logis, dan Kesetaraan Logika
4
Hukum-hukum Ekuivalensi Logika
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
26 / 43
Skema Formula, Konsekuensi Logis, dan Kesetaraan Logika
Skema Formula
Melalui tabel kebenaran, kita dapat melihat bahwa ketiga formula berikut
merupakan formula yang absah:
1
A1 := p _ :p
2
A2 := q _ :q
3
A3 := (p ! q) _ : (p ! q)
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
27 / 43
Skema Formula, Konsekuensi Logis, dan Kesetaraan Logika
Skema Formula
Melalui tabel kebenaran, kita dapat melihat bahwa ketiga formula berikut
merupakan formula yang absah:
1
A1 := p _ :p
2
A2 := q _ :q
3
A3 := (p ! q) _ : (p ! q)
Terlihat bahwa ketiga formula di atas memiliki bentuk yang “serupa”.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
27 / 43
Skema Formula, Konsekuensi Logis, dan Kesetaraan Logika
Skema Formula
Melalui tabel kebenaran, kita dapat melihat bahwa ketiga formula berikut
merupakan formula yang absah:
1
A1 := p _ :p
2
A2 := q _ :q
3
A3 := (p ! q) _ : (p ! q)
Terlihat bahwa ketiga formula di atas memiliki bentuk yang “serupa”.
Agar tidak perlu tiga kali membuktikan keabsahan tiga formula tersebut, kita
dapat memakai skema formula A _ :A.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
27 / 43
Skema Formula, Konsekuensi Logis, dan Kesetaraan Logika
Skema Formula
Melalui tabel kebenaran, kita dapat melihat bahwa ketiga formula berikut
merupakan formula yang absah:
1
A1 := p _ :p
2
A2 := q _ :q
3
A3 := (p ! q) _ : (p ! q)
Terlihat bahwa ketiga formula di atas memiliki bentuk yang “serupa”.
Agar tidak perlu tiga kali membuktikan keabsahan tiga formula tersebut, kita
dapat memakai skema formula A _ :A.
Pada A1 diambil p sebagai A, pada A2 diambil q sebagai A, dan pada A3 diambil
p ! q sebagai A.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
27 / 43
Skema Formula, Konsekuensi Logis, dan Kesetaraan Logika
Skema Formula
Melalui tabel kebenaran, kita dapat melihat bahwa ketiga formula berikut
merupakan formula yang absah:
1
A1 := p _ :p
2
A2 := q _ :q
3
A3 := (p ! q) _ : (p ! q)
Terlihat bahwa ketiga formula di atas memiliki bentuk yang “serupa”.
Agar tidak perlu tiga kali membuktikan keabsahan tiga formula tersebut, kita
dapat memakai skema formula A _ :A.
Pada A1 diambil p sebagai A, pada A2 diambil q sebagai A, dan pada A3 diambil
p ! q sebagai A.
Formula A1 , A2 , dan A3 yang diperoleh dengan mengganti A menjadi formula
tertentu disebut sebagai formula nyata/ kalimat nyata (instance) dari skema
formula A _ :A.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
27 / 43
Skema Formula, Konsekuensi Logis, dan Kesetaraan Logika
Skema Formula
Melalui tabel kebenaran, kita dapat melihat bahwa ketiga formula berikut
merupakan formula yang absah:
1
A1 := p _ :p
2
A2 := q _ :q
3
A3 := (p ! q) _ : (p ! q)
Terlihat bahwa ketiga formula di atas memiliki bentuk yang “serupa”.
Agar tidak perlu tiga kali membuktikan keabsahan tiga formula tersebut, kita
dapat memakai skema formula A _ :A.
Pada A1 diambil p sebagai A, pada A2 diambil q sebagai A, dan pada A3 diambil
p ! q sebagai A.
Formula A1 , A2 , dan A3 yang diperoleh dengan mengganti A menjadi formula
tertentu disebut sebagai formula nyata/ kalimat nyata (instance) dari skema
formula A _ :A.
Apabila skema formula A _ :A terbukti absah, maka setiap formula nyata dari
skema formula ini juga absah.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
27 / 43
Skema Formula, Konsekuensi Logis, dan Kesetaraan Logika
Latihan
Tunjukkan bahwa formula-formula berikut:
1
2
3
: (p ^ q) ! :p _ :q
: (p ^ q ^ r ^ s) ! : (p ^ q) _ : (r ^ s)
: (p ^ q ^ r ^ s ^ t ^ u) ! : (p ^ q ^ r) _ : (s ^ t ^ u)
adalah formula-formula yang absah.
Solusi:
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
28 / 43
Skema Formula, Konsekuensi Logis, dan Kesetaraan Logika
Latihan
Tunjukkan bahwa formula-formula berikut:
1
2
3
: (p ^ q) ! :p _ :q
: (p ^ q ^ r ^ s) ! : (p ^ q) _ : (r ^ s)
: (p ^ q ^ r ^ s ^ t ^ u) ! : (p ^ q ^ r) _ : (s ^ t ^ u)
adalah formula-formula yang absah.
Solusi:
Perhatikan bahwa setiap formula di atas dapat dipandang sebagai formula dengan
skema
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
28 / 43
Skema Formula, Konsekuensi Logis, dan Kesetaraan Logika
Latihan
Tunjukkan bahwa formula-formula berikut:
1
2
3
: (p ^ q) ! :p _ :q
: (p ^ q ^ r ^ s) ! : (p ^ q) _ : (r ^ s)
: (p ^ q ^ r ^ s ^ t ^ u) ! : (p ^ q ^ r) _ : (s ^ t ^ u)
adalah formula-formula yang absah.
Solusi:
Perhatikan bahwa setiap formula di atas dapat dipandang sebagai formula dengan
skema : (A ^ B) ! :A _ :B. Pada formula pertama A = p dan B = q, pada
formula kedua A =
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
28 / 43
Skema Formula, Konsekuensi Logis, dan Kesetaraan Logika
Latihan
Tunjukkan bahwa formula-formula berikut:
1
2
3
: (p ^ q) ! :p _ :q
: (p ^ q ^ r ^ s) ! : (p ^ q) _ : (r ^ s)
: (p ^ q ^ r ^ s ^ t ^ u) ! : (p ^ q ^ r) _ : (s ^ t ^ u)
adalah formula-formula yang absah.
Solusi:
Perhatikan bahwa setiap formula di atas dapat dipandang sebagai formula dengan
skema : (A ^ B) ! :A _ :B. Pada formula pertama A = p dan B = q, pada
formula kedua A = p ^ q dan B =
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
28 / 43
Skema Formula, Konsekuensi Logis, dan Kesetaraan Logika
Latihan
Tunjukkan bahwa formula-formula berikut:
1
2
3
: (p ^ q) ! :p _ :q
: (p ^ q ^ r ^ s) ! : (p ^ q) _ : (r ^ s)
: (p ^ q ^ r ^ s ^ t ^ u) ! : (p ^ q ^ r) _ : (s ^ t ^ u)
adalah formula-formula yang absah.
Solusi:
Perhatikan bahwa setiap formula di atas dapat dipandang sebagai formula dengan
skema : (A ^ B) ! :A _ :B. Pada formula pertama A = p dan B = q, pada
formula kedua A = p ^ q dan B = r ^ s, serta pada formula terakhir A =
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
28 / 43
Skema Formula, Konsekuensi Logis, dan Kesetaraan Logika
Latihan
Tunjukkan bahwa formula-formula berikut:
1
2
3
: (p ^ q) ! :p _ :q
: (p ^ q ^ r ^ s) ! : (p ^ q) _ : (r ^ s)
: (p ^ q ^ r ^ s ^ t ^ u) ! : (p ^ q ^ r) _ : (s ^ t ^ u)
adalah formula-formula yang absah.
Solusi:
Perhatikan bahwa setiap formula di atas dapat dipandang sebagai formula dengan
skema : (A ^ B) ! :A _ :B. Pada formula pertama A = p dan B = q, pada
formula kedua A = p ^ q dan B = r ^ s, serta pada formula terakhir A = p ^ q ^ r
dan B =
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
28 / 43
Skema Formula, Konsekuensi Logis, dan Kesetaraan Logika
Latihan
Tunjukkan bahwa formula-formula berikut:
1
2
3
: (p ^ q) ! :p _ :q
: (p ^ q ^ r ^ s) ! : (p ^ q) _ : (r ^ s)
: (p ^ q ^ r ^ s ^ t ^ u) ! : (p ^ q ^ r) _ : (s ^ t ^ u)
adalah formula-formula yang absah.
Solusi:
Perhatikan bahwa setiap formula di atas dapat dipandang sebagai formula dengan
skema : (A ^ B) ! :A _ :B. Pada formula pertama A = p dan B = q, pada
formula kedua A = p ^ q dan B = r ^ s, serta pada formula terakhir A = p ^ q ^ r
dan B = s ^ t ^ u.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
28 / 43
Skema Formula, Konsekuensi Logis, dan Kesetaraan Logika
Latihan
Tunjukkan bahwa formula-formula berikut:
1
2
3
: (p ^ q) ! :p _ :q
: (p ^ q ^ r ^ s) ! : (p ^ q) _ : (r ^ s)
: (p ^ q ^ r ^ s ^ t ^ u) ! : (p ^ q ^ r) _ : (s ^ t ^ u)
adalah formula-formula yang absah.
Solusi:
Perhatikan bahwa setiap formula di atas dapat dipandang sebagai formula dengan
skema : (A ^ B) ! :A _ :B. Pada formula pertama A = p dan B = q, pada
formula kedua A = p ^ q dan B = r ^ s, serta pada formula terakhir A = p ^ q ^ r
dan B = s ^ t ^ u.
Akibatnya, untuk membuktikan bahwa ketiga formula di atas absah maka kita
cukup menunjukkan bahwa skema formula : (A ^ B) ! :A _ :B juga absah.
Pembuktian dapat dilakukan dengan metode falsi…kasi.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
28 / 43
Skema Formula, Konsekuensi Logis, dan Kesetaraan Logika
1
Misalkan : (A ^ B) ! :A _ :B tidak absah, maka terdapat interpretasi I
sehingga I (: (A ^ B) ! :A _ :B) =
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
29 / 43
Skema Formula, Konsekuensi Logis, dan Kesetaraan Logika
1
2
Misalkan : (A ^ B) ! :A _ :B tidak absah, maka terdapat interpretasi I
sehingga I (: (A ^ B) ! :A _ :B) = F.
Akibatnya diperoleh I (: (A ^ B)) =
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
29 / 43
Skema Formula, Konsekuensi Logis, dan Kesetaraan Logika
1
2
Misalkan : (A ^ B) ! :A _ :B tidak absah, maka terdapat interpretasi I
sehingga I (: (A ^ B) ! :A _ :B) = F.
Akibatnya diperoleh I (: (A ^ B)) = T dan I (:A _ :B) =
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
29 / 43
Skema Formula, Konsekuensi Logis, dan Kesetaraan Logika
1
2
3
Misalkan : (A ^ B) ! :A _ :B tidak absah, maka terdapat interpretasi I
sehingga I (: (A ^ B) ! :A _ :B) = F.
Akibatnya diperoleh I (: (A ^ B)) = T dan I (:A _ :B) = F.
Dari I (:A _ :B) = F diperoleh
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
29 / 43
Skema Formula, Konsekuensi Logis, dan Kesetaraan Logika
1
2
3
Misalkan : (A ^ B) ! :A _ :B tidak absah, maka terdapat interpretasi I
sehingga I (: (A ^ B) ! :A _ :B) = F.
Akibatnya diperoleh I (: (A ^ B)) = T dan I (:A _ :B) = F.
Dari I (:A _ :B) = F diperoleh I (:A) = I (:B) =
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
29 / 43
Skema Formula, Konsekuensi Logis, dan Kesetaraan Logika
1
2
3
Misalkan : (A ^ B) ! :A _ :B tidak absah, maka terdapat interpretasi I
sehingga I (: (A ^ B) ! :A _ :B) = F.
Akibatnya diperoleh I (: (A ^ B)) = T dan I (:A _ :B) = F.
Dari I (:A _ :B) = F diperoleh I (:A) = I (:B) = F, sehingga
I (A) = I (B) =
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
29 / 43
Skema Formula, Konsekuensi Logis, dan Kesetaraan Logika
1
2
3
4
Misalkan : (A ^ B) ! :A _ :B tidak absah, maka terdapat interpretasi I
sehingga I (: (A ^ B) ! :A _ :B) = F.
Akibatnya diperoleh I (: (A ^ B)) = T dan I (:A _ :B) = F.
Dari I (:A _ :B) = F diperoleh I (:A) = I (:B) = F, sehingga
I (A) = I (B) = T.
Dari hasil nomor (3) diperoleh I (A ^ B) =
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
29 / 43
Skema Formula, Konsekuensi Logis, dan Kesetaraan Logika
1
2
3
4
Misalkan : (A ^ B) ! :A _ :B tidak absah, maka terdapat interpretasi I
sehingga I (: (A ^ B) ! :A _ :B) = F.
Akibatnya diperoleh I (: (A ^ B)) = T dan I (:A _ :B) = F.
Dari I (:A _ :B) = F diperoleh I (:A) = I (:B) = F, sehingga
I (A) = I (B) = T.
Dari hasil nomor (3) diperoleh I (A ^ B) = T, sehingga I (: (A ^ B)) =
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
29 / 43
Skema Formula, Konsekuensi Logis, dan Kesetaraan Logika
1
2
3
4
Misalkan : (A ^ B) ! :A _ :B tidak absah, maka terdapat interpretasi I
sehingga I (: (A ^ B) ! :A _ :B) = F.
Akibatnya diperoleh I (: (A ^ B)) = T dan I (:A _ :B) = F.
Dari I (:A _ :B) = F diperoleh I (:A) = I (:B) = F, sehingga
I (A) = I (B) = T.
Dari hasil nomor (3) diperoleh I (A ^ B) = T, sehingga I (: (A ^ B)) = F.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
29 / 43
Skema Formula, Konsekuensi Logis, dan Kesetaraan Logika
1
2
3
4
Misalkan : (A ^ B) ! :A _ :B tidak absah, maka terdapat interpretasi I
sehingga I (: (A ^ B) ! :A _ :B) = F.
Akibatnya diperoleh I (: (A ^ B)) = T dan I (:A _ :B) = F.
Dari I (:A _ :B) = F diperoleh I (:A) = I (:B) = F, sehingga
I (A) = I (B) = T.
Dari hasil nomor (3) diperoleh I (A ^ B) = T, sehingga I (: (A ^ B)) = F.
Hal ini bertentangan dengan asumsi I (: (A ^ B)) = T yang diperoleh pada
nomor (2).
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
29 / 43
Skema Formula, Konsekuensi Logis, dan Kesetaraan Logika
1
2
3
4
5
Misalkan : (A ^ B) ! :A _ :B tidak absah, maka terdapat interpretasi I
sehingga I (: (A ^ B) ! :A _ :B) = F.
Akibatnya diperoleh I (: (A ^ B)) = T dan I (:A _ :B) = F.
Dari I (:A _ :B) = F diperoleh I (:A) = I (:B) = F, sehingga
I (A) = I (B) = T.
Dari hasil nomor (3) diperoleh I (A ^ B) = T, sehingga I (: (A ^ B)) = F.
Hal ini bertentangan dengan asumsi I (: (A ^ B)) = T yang diperoleh pada
nomor (2).
Akibatnya tidak mungkin ada interpretasi I yang mengakibatkan
I (: (A ^ B) ! :A _ :B) = F.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
29 / 43
Skema Formula, Konsekuensi Logis, dan Kesetaraan Logika
1
2
3
4
5
6
Misalkan : (A ^ B) ! :A _ :B tidak absah, maka terdapat interpretasi I
sehingga I (: (A ^ B) ! :A _ :B) = F.
Akibatnya diperoleh I (: (A ^ B)) = T dan I (:A _ :B) = F.
Dari I (:A _ :B) = F diperoleh I (:A) = I (:B) = F, sehingga
I (A) = I (B) = T.
Dari hasil nomor (3) diperoleh I (A ^ B) = T, sehingga I (: (A ^ B)) = F.
Hal ini bertentangan dengan asumsi I (: (A ^ B)) = T yang diperoleh pada
nomor (2).
Akibatnya tidak mungkin ada interpretasi I yang mengakibatkan
I (: (A ^ B) ! :A _ :B) = F.
Jadi skema formula : (A ^ B) ! :A _ :B absah.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
29 / 43
Skema Formula, Konsekuensi Logis, dan Kesetaraan Logika
Konsekuensi Logis dan Kesetaraan Logika
De…nisi
Misalkan A dan B adalah dua formula logika proposisi:
Formula A dan B dikatakan setara atau ekuivalen (logically equivalent) jika
formula
A$B
merupakan tautologi. Hal ini dituliskan dengan A B atau A , B.
Formula B dikatakan sebagai konsekuensi logis (logical consequence) dari A jika
formula
A!B
merupakan tautologi. Hal ini dituliskan dengan A ) B.
Untuk menunjukkan konsekuensi logis maupun kesetaraan logika antar dua
formula, maka kita dapat:
menggunakan tabel kebenararan
menggunakan hukum-hukum ekuivalensi logika
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
30 / 43
Skema Formula, Konsekuensi Logis, dan Kesetaraan Logika
Contoh Konsekuensi Logis (1)
Latihan
Tunjukkan bahwa ((p ! q) ^ p) ) q.
Solusi:
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
31 / 43
Skema Formula, Konsekuensi Logis, dan Kesetaraan Logika
Contoh Konsekuensi Logis (1)
Latihan
Tunjukkan bahwa ((p ! q) ^ p) ) q.
Solusi: dengan tabel kebenaran akan ditunjukkan bahwa ((p ! q) ^ p) ! q
adalah tautologi, tinjau bahwa
p
T
MZI (FIF Tel-U)
q
T
p!q
(p ! q) ^ p
Logika Proposisi 2
((p ! q) ^ p) ! q
Agustus 2015
31 / 43
Skema Formula, Konsekuensi Logis, dan Kesetaraan Logika
Contoh Konsekuensi Logis (1)
Latihan
Tunjukkan bahwa ((p ! q) ^ p) ) q.
Solusi: dengan tabel kebenaran akan ditunjukkan bahwa ((p ! q) ^ p) ! q
adalah tautologi, tinjau bahwa
p
T
T
F
F
MZI (FIF Tel-U)
q
T
F
T
F
p!q
T
F
T
T
(p ! q) ^ p
T
F
F
F
Logika Proposisi 2
((p ! q) ^ p) ! q
T
T
T
T
Agustus 2015
31 / 43
Skema Formula, Konsekuensi Logis, dan Kesetaraan Logika
Contoh Konsekuensi Logis (1)
Latihan
Tunjukkan bahwa ((p ! q) ^ p) ) q.
Solusi: dengan tabel kebenaran akan ditunjukkan bahwa ((p ! q) ^ p) ! q
adalah tautologi, tinjau bahwa
p
T
T
F
F
q
T
F
T
F
p!q
T
F
T
T
(p ! q) ^ p
T
F
F
F
((p ! q) ^ p) ! q
T
T
T
T
Konsekuensi logis ((p ! q) ^ p) ) q juga dinamakan sebagai modus ponens
(dibahas lebih lanjut pada bahasan inferensi).
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
31 / 43
Skema Formula, Konsekuensi Logis, dan Kesetaraan Logika
Contoh Konsekuensi Logis (2)
Latihan
Tunjukkan bahwa ((p ! q) ^ :q) ) :p.
Solusi:
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
32 / 43
Skema Formula, Konsekuensi Logis, dan Kesetaraan Logika
Contoh Konsekuensi Logis (2)
Latihan
Tunjukkan bahwa ((p ! q) ^ :q) ) :p.
Solusi: dengan tabel kebenaran akan ditunjukkan bahwa ((p ! q) ^ :q) ! :p
adalah tautologi, tinjau bahwa
p
T
q
T
:p
MZI (FIF Tel-U)
:q
p!q
(p ! q) ^ :q
Logika Proposisi 2
((p ! q) ^ :q) ! :p
Agustus 2015
32 / 43
Skema Formula, Konsekuensi Logis, dan Kesetaraan Logika
Contoh Konsekuensi Logis (2)
Latihan
Tunjukkan bahwa ((p ! q) ^ :q) ) :p.
Solusi: dengan tabel kebenaran akan ditunjukkan bahwa ((p ! q) ^ :q) ! :p
adalah tautologi, tinjau bahwa
p
T
T
F
F
q
T
F
T
F
:p
F
F
T
T
MZI (FIF Tel-U)
:q
F
T
F
T
p!q
T
F
T
T
(p ! q) ^ :q
F
F
F
T
Logika Proposisi 2
((p ! q) ^ :q) ! :p
T
T
T
T
Agustus 2015
32 / 43
Skema Formula, Konsekuensi Logis, dan Kesetaraan Logika
Contoh Konsekuensi Logis (2)
Latihan
Tunjukkan bahwa ((p ! q) ^ :q) ) :p.
Solusi: dengan tabel kebenaran akan ditunjukkan bahwa ((p ! q) ^ :q) ! :p
adalah tautologi, tinjau bahwa
p
T
T
F
F
q
T
F
T
F
:p
F
F
T
T
:q
F
T
F
T
p!q
T
F
T
T
(p ! q) ^ :q
F
F
F
T
((p ! q) ^ :q) ! :p
T
T
T
T
Konsekuensi logis ((p ! q) ^ :q) ) :p juga dinamakan sebagai modus tollens
(dibahas lebih lanjut pada bahasan inferensi).
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
32 / 43
Skema Formula, Konsekuensi Logis, dan Kesetaraan Logika
Contoh Kesetaraan Logika (1)
Latihan
Tunjukkan bahwa p ! q
:p _ q.
Solusi:
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
33 / 43
Skema Formula, Konsekuensi Logis, dan Kesetaraan Logika
Contoh Kesetaraan Logika (1)
Latihan
Tunjukkan bahwa p ! q
:p _ q.
Solusi: dengan tabel kebenaran akan ditunjukkan bahwa (p ! q) $ (:p _ q)
adalah tautologi, tinjau bahwa
p
T
MZI (FIF Tel-U)
q
T
:p
p!q
:p _ q
Logika Proposisi 2
(p ! q) $ (:p _ q)
Agustus 2015
33 / 43
Skema Formula, Konsekuensi Logis, dan Kesetaraan Logika
Contoh Kesetaraan Logika (1)
Latihan
Tunjukkan bahwa p ! q
:p _ q.
Solusi: dengan tabel kebenaran akan ditunjukkan bahwa (p ! q) $ (:p _ q)
adalah tautologi, tinjau bahwa
p
T
T
F
F
MZI (FIF Tel-U)
q
T
F
T
F
:p
F
F
T
T
p!q
T
F
T
T
:p _ q
T
F
T
T
Logika Proposisi 2
(p ! q) $ (:p _ q)
T
T
T
T
Agustus 2015
33 / 43
Skema Formula, Konsekuensi Logis, dan Kesetaraan Logika
Contoh Kesetaraan Logika (1)
Latihan
Tunjukkan bahwa p ! q
:p _ q.
Solusi: dengan tabel kebenaran akan ditunjukkan bahwa (p ! q) $ (:p _ q)
adalah tautologi, tinjau bahwa
p
T
T
F
F
q
T
F
T
F
:p
F
F
T
T
p!q
T
F
T
T
:p _ q
T
F
T
T
(p ! q) $ (:p _ q)
T
T
T
T
Perhatikan bahwa p ! q dan :p _ q memiliki nilai kebenaran yang sama pada
setiap baris tabel kebenaran di atas.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
33 / 43
Skema Formula, Konsekuensi Logis, dan Kesetaraan Logika
Contoh Kesetaraan Logika (2)
Latihan
Tunjukkan bahwa : (p ^ q)
:p _ :q.
Solusi:
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
34 / 43
Skema Formula, Konsekuensi Logis, dan Kesetaraan Logika
Contoh Kesetaraan Logika (2)
Latihan
Tunjukkan bahwa : (p ^ q)
:p _ :q.
Solusi: dengan tabel kebenaran akan ditunjukkan bahwa : (p ^ q) $ :p _ :q
adalah tautologi, tinjau bahwa
p
T
q
T
:p
MZI (FIF Tel-U)
:q
p^q
: (p ^ q)
:p _ :q
Logika Proposisi 2
: (p ^ q) $ :p _ :q
Agustus 2015
34 / 43
Skema Formula, Konsekuensi Logis, dan Kesetaraan Logika
Contoh Kesetaraan Logika (2)
Latihan
Tunjukkan bahwa : (p ^ q)
:p _ :q.
Solusi: dengan tabel kebenaran akan ditunjukkan bahwa : (p ^ q) $ :p _ :q
adalah tautologi, tinjau bahwa
p
T
T
F
F
q
T
F
T
F
:p
F
F
T
T
MZI (FIF Tel-U)
:q
F
T
F
T
p^q
T
F
F
F
: (p ^ q)
F
T
T
T
:p _ :q
F
T
T
T
Logika Proposisi 2
: (p ^ q) $ :p _ :q
T
T
T
T
Agustus 2015
34 / 43
Skema Formula, Konsekuensi Logis, dan Kesetaraan Logika
Contoh Kesetaraan Logika (2)
Latihan
Tunjukkan bahwa : (p ^ q)
:p _ :q.
Solusi: dengan tabel kebenaran akan ditunjukkan bahwa : (p ^ q) $ :p _ :q
adalah tautologi, tinjau bahwa
p
T
T
F
F
q
T
F
T
F
:p
F
F
T
T
:q
F
T
F
T
p^q
T
F
F
F
: (p ^ q)
F
T
T
T
:p _ :q
F
T
T
T
: (p ^ q) $ :p _ :q
T
T
T
T
Perhatikan bahwa : (p ^ q) dan :p _ :q memiliki nilai kebenaran yang sama pada
setiap baris tabel kebenaran di atas. Kesetaraan : (p ^ q) :p _ :q juga
diistilahkan sebagai hukum De Morgan.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
34 / 43
Hukum-hukum Ekuivalensi Logika
Bahasan
1
Interpretasi dan Semantik Formula Logika Proposisi
2
Sifat-sifat Formula Logika Proposisi Berdasarkan Semantiknya
3
Skema Formula, Konsekuensi Logis, dan Kesetaraan Logika
4
Hukum-hukum Ekuivalensi Logika
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
35 / 43
Hukum-hukum Ekuivalensi Logika
Ekuivalensi Logika yang Melibatkan :, ^, dan _
p^T p
p_F p
p_T T
p^F F
p_p p
p^p p
: (:p) p
p_q q_p
p^q q^p
MZI (FIF Tel-U)
Sifat identitas
Sifat dominasi
Sifat idempoten
Sifat negasi ganda
Sifat komutatif
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
36 / 43
Hukum-hukum Ekuivalensi Logika
(p ^ q) ^ r p ^ (q ^ r)
(p _ q) _ r p _ (q _ r)
p _ (q ^ r) (p _ q) ^ (p _ r)
p ^ (q _ r) (p ^ q) _ (p ^ r)
: (p ^ q) :p _ :q
: (p _ q) :p ^ :q
p _ (p ^ q) p
p ^ (p _ q) p
p _ :p T
p ^ :p F
Sifat asosiatif
Sifat distributif
Hukum De Morgan
Sifat absorpsi (penyerapan)
Sifat negasi
Berdasarkan sifat distributif, maka tanda kurung pada formula (p ^ q) ^ r,
p ^ (q ^ r), (p _ q) _ r, maupun p _ (q _ r) dapat dihilangkan dan ditulis sebagai
p ^ q ^ r (untuk bentuk konjungtif) dan p _ q _ r (untuk bentuk disjungtif).
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
37 / 43
Hukum-hukum Ekuivalensi Logika
Ekivalensi Logika yang Melibatkan ! dan $
p!q
:p _ q
: (p ! q)
p ^ :q
p!q
(p ! q) ^ (p ! r)
(p ! r) ^ (q ! r)
(p ! r) _ (q ! r)
(p ! q) _ (p ! r)
p$q
p$q
p$q
: (p $ q)
MZI (FIF Tel-U)
:q ! :p
p ! (q ^ r)
(p ^ q) ! r
(p _ q) ! r
p ! (q _ r)
(p ! q) ^ (q ! p)
:p $ :q
(p ^ q) _ (:p ^ :q)
p $ :q
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
38 / 43
Hukum-hukum Ekuivalensi Logika
Pembuktian Ekuivalensi dengan Hukum Ekuivalensi (1)
Latihan
Tunjukkan bahwa p ^ q ! r
ekuivalensi yang ada.
p ! (q ! r) menggunakan hukum-hukum
Solusi:
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
39 / 43
Hukum-hukum Ekuivalensi Logika
Pembuktian Ekuivalensi dengan Hukum Ekuivalensi (1)
Latihan
Tunjukkan bahwa p ^ q ! r
ekuivalensi yang ada.
p ! (q ! r) menggunakan hukum-hukum
Solusi:
p^q !r
MZI (FIF Tel-U)
(p ^ q) ! r
(berdasarkan presedens ^ dan !)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
39 / 43
Hukum-hukum Ekuivalensi Logika
Pembuktian Ekuivalensi dengan Hukum Ekuivalensi (1)
Latihan
Tunjukkan bahwa p ^ q ! r
ekuivalensi yang ada.
p ! (q ! r) menggunakan hukum-hukum
Solusi:
p^q !r
MZI (FIF Tel-U)
(p ^ q) ! r
: (p ^ q) _ r
(berdasarkan presedens ^ dan !)
(ekuivalensi A ! B :A _ B)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
39 / 43
Hukum-hukum Ekuivalensi Logika
Pembuktian Ekuivalensi dengan Hukum Ekuivalensi (1)
Latihan
Tunjukkan bahwa p ^ q ! r
ekuivalensi yang ada.
p ! (q ! r) menggunakan hukum-hukum
Solusi:
p^q !r
MZI (FIF Tel-U)
(p ^ q) ! r
: (p ^ q) _ r
(:p _ :q) _ r
(berdasarkan presedens ^ dan !)
(ekuivalensi A ! B :A _ B)
(berdasarkan hukum De Morgan)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
39 / 43
Hukum-hukum Ekuivalensi Logika
Pembuktian Ekuivalensi dengan Hukum Ekuivalensi (1)
Latihan
Tunjukkan bahwa p ^ q ! r
ekuivalensi yang ada.
p ! (q ! r) menggunakan hukum-hukum
Solusi:
p^q !r
MZI (FIF Tel-U)
(p ^ q) ! r
: (p ^ q) _ r
(:p _ :q) _ r
:p _ (:q _ r)
(berdasarkan presedens ^ dan !)
(ekuivalensi A ! B :A _ B)
(berdasarkan hukum De Morgan)
(berdasarkan sifat asosiatif _)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
39 / 43
Hukum-hukum Ekuivalensi Logika
Pembuktian Ekuivalensi dengan Hukum Ekuivalensi (1)
Latihan
Tunjukkan bahwa p ^ q ! r
ekuivalensi yang ada.
p ! (q ! r) menggunakan hukum-hukum
Solusi:
p^q !r
MZI (FIF Tel-U)
(p ^ q) ! r
: (p ^ q) _ r
(:p _ :q) _ r
:p _ (:q _ r)
:p _ (q ! r)
(berdasarkan presedens ^ dan !)
(ekuivalensi A ! B :A _ B)
(berdasarkan hukum De Morgan)
(berdasarkan sifat asosiatif _)
(ekuivalensi :A _ B A ! B)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
39 / 43
Hukum-hukum Ekuivalensi Logika
Pembuktian Ekuivalensi dengan Hukum Ekuivalensi (1)
Latihan
Tunjukkan bahwa p ^ q ! r
ekuivalensi yang ada.
p ! (q ! r) menggunakan hukum-hukum
Solusi:
p^q !r
(p ^ q) ! r
: (p ^ q) _ r
(:p _ :q) _ r
:p _ (:q _ r)
:p _ (q ! r)
p ! (q ! r)
(berdasarkan presedens ^ dan !)
(ekuivalensi A ! B :A _ B)
(berdasarkan hukum De Morgan)
(berdasarkan sifat asosiatif _)
(ekuivalensi :A _ B A ! B)
(ekuivalensi :A _ B A ! B)
Ekuivalensi skema formula A ! B :A _ B dapat dibuktikan dengan mudah
dengan metode falsi…kasi terhadap keabsahan skema formula
(A ! B) $ (:A _ B).
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
39 / 43
Hukum-hukum Ekuivalensi Logika
Pembuktian Ekuivalensi dengan Hukum Ekuivalensi (1)
Latihan
Tunjukkan bahwa p ^ q ! r
ekuivalensi yang ada.
p ! (q ! r) menggunakan hukum-hukum
Solusi:
p^q !r
(p ^ q) ! r
: (p ^ q) _ r
(:p _ :q) _ r
:p _ (:q _ r)
:p _ (q ! r)
p ! (q ! r)
(berdasarkan presedens ^ dan !)
(ekuivalensi A ! B :A _ B)
(berdasarkan hukum De Morgan)
(berdasarkan sifat asosiatif _)
(ekuivalensi :A _ B A ! B)
(ekuivalensi :A _ B A ! B)
Ekuivalensi skema formula A ! B :A _ B dapat dibuktikan dengan mudah
dengan metode falsi…kasi terhadap keabsahan skema formula
(A ! B) $ (:A _ B).
Sifat ekuivalensi p ^ q ! r
eksportasi.
MZI (FIF Tel-U)
p ! (q ! r) juga diistilahkan sebagai sifat
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
39 / 43
Hukum-hukum Ekuivalensi Logika
Pembuktian Ekuivalensi dengan Hukum Ekuivalensi (2)
Latihan
Tunjukkan bahwa : (p _ (:p ^ q)) dan :p ^ :q ekuivalen menggunakan
hukum-hukum ekuivalensi yang ada.
Solusi:
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
40 / 43
Hukum-hukum Ekuivalensi Logika
Pembuktian Ekuivalensi dengan Hukum Ekuivalensi (2)
Latihan
Tunjukkan bahwa : (p _ (:p ^ q)) dan :p ^ :q ekuivalen menggunakan
hukum-hukum ekuivalensi yang ada.
Solusi:
: (p _ (:p ^ q))
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
40 / 43
Hukum-hukum Ekuivalensi Logika
Pembuktian Ekuivalensi dengan Hukum Ekuivalensi (2)
Latihan
Tunjukkan bahwa : (p _ (:p ^ q)) dan :p ^ :q ekuivalen menggunakan
hukum-hukum ekuivalensi yang ada.
Solusi:
: (p _ (:p ^ q))
MZI (FIF Tel-U)
:p ^ : (:p ^ q)
Logika Proposisi 2
(berdasarkan hukum De Morgan)
Agustus 2015
40 / 43
Hukum-hukum Ekuivalensi Logika
Pembuktian Ekuivalensi dengan Hukum Ekuivalensi (2)
Latihan
Tunjukkan bahwa : (p _ (:p ^ q)) dan :p ^ :q ekuivalen menggunakan
hukum-hukum ekuivalensi yang ada.
Solusi:
: (p _ (:p ^ q))
MZI (FIF Tel-U)
:p ^ : (:p ^ q)
:p ^ (: (:p) _ :q)
Logika Proposisi 2
(berdasarkan hukum De Morgan)
(berdasarkan hukum De Morgan)
Agustus 2015
40 / 43
Hukum-hukum Ekuivalensi Logika
Pembuktian Ekuivalensi dengan Hukum Ekuivalensi (2)
Latihan
Tunjukkan bahwa : (p _ (:p ^ q)) dan :p ^ :q ekuivalen menggunakan
hukum-hukum ekuivalensi yang ada.
Solusi:
: (p _ (:p ^ q))
MZI (FIF Tel-U)
:p ^ : (:p ^ q)
:p ^ (: (:p) _ :q)
:p ^ (p _ :q)
Logika Proposisi 2
(berdasarkan hukum De Morgan)
(berdasarkan hukum De Morgan)
(berdasarkan sifat negasi ganda)
Agustus 2015
40 / 43
Hukum-hukum Ekuivalensi Logika
Pembuktian Ekuivalensi dengan Hukum Ekuivalensi (2)
Latihan
Tunjukkan bahwa : (p _ (:p ^ q)) dan :p ^ :q ekuivalen menggunakan
hukum-hukum ekuivalensi yang ada.
Solusi:
: (p _ (:p ^ q))
MZI (FIF Tel-U)
:p ^ : (:p ^ q)
:p ^ (: (:p) _ :q)
:p ^ (p _ :q)
(:p ^ p) _ (:p ^ :q)
Logika Proposisi 2
(berdasarkan
(berdasarkan
(berdasarkan
(berdasarkan
hukum De Morgan)
hukum De Morgan)
sifat negasi ganda)
sifat distributif)
Agustus 2015
40 / 43
Hukum-hukum Ekuivalensi Logika
Pembuktian Ekuivalensi dengan Hukum Ekuivalensi (2)
Latihan
Tunjukkan bahwa : (p _ (:p ^ q)) dan :p ^ :q ekuivalen menggunakan
hukum-hukum ekuivalensi yang ada.
Solusi:
: (p _ (:p ^ q))
MZI (FIF Tel-U)
:p ^ : (:p ^ q)
:p ^ (: (:p) _ :q)
:p ^ (p _ :q)
(:p ^ p) _ (:p ^ :q)
F _ (:p ^ :q)
Logika Proposisi 2
(berdasarkan
(berdasarkan
(berdasarkan
(berdasarkan
(berdasarkan
hukum De Morgan)
hukum De Morgan)
sifat negasi ganda)
sifat distributif)
sifat negasi)
Agustus 2015
40 / 43
Hukum-hukum Ekuivalensi Logika
Pembuktian Ekuivalensi dengan Hukum Ekuivalensi (2)
Latihan
Tunjukkan bahwa : (p _ (:p ^ q)) dan :p ^ :q ekuivalen menggunakan
hukum-hukum ekuivalensi yang ada.
Solusi:
: (p _ (:p ^ q))
MZI (FIF Tel-U)
:p ^ : (:p ^ q)
:p ^ (: (:p) _ :q)
:p ^ (p _ :q)
(:p ^ p) _ (:p ^ :q)
F _ (:p ^ :q)
(:p ^ :q) _ F
Logika Proposisi 2
(berdasarkan
(berdasarkan
(berdasarkan
(berdasarkan
(berdasarkan
(berdasarkan
hukum De Morgan)
hukum De Morgan)
sifat negasi ganda)
sifat distributif)
sifat negasi)
sifat komutatif)
Agustus 2015
40 / 43
Hukum-hukum Ekuivalensi Logika
Pembuktian Ekuivalensi dengan Hukum Ekuivalensi (2)
Latihan
Tunjukkan bahwa : (p _ (:p ^ q)) dan :p ^ :q ekuivalen menggunakan
hukum-hukum ekuivalensi yang ada.
Solusi:
: (p _ (:p ^ q))
MZI (FIF Tel-U)
:p ^ : (:p ^ q)
:p ^ (: (:p) _ :q)
:p ^ (p _ :q)
(:p ^ p) _ (:p ^ :q)
F _ (:p ^ :q)
(:p ^ :q) _ F
:p ^ :q
Logika Proposisi 2
(berdasarkan
(berdasarkan
(berdasarkan
(berdasarkan
(berdasarkan
(berdasarkan
(berdasarkan
hukum De Morgan)
hukum De Morgan)
sifat negasi ganda)
sifat distributif)
sifat negasi)
sifat komutatif)
sifat identitas)
Agustus 2015
40 / 43
Hukum-hukum Ekuivalensi Logika
Pembuktian Keabsahan dengan Hukum Ekuivalensi (1)
Latihan
Tunjukkan bahwa (p ^ q) ! (p _ q) adalah formula yang absah (valid) dengan
memakai hukum-hukum ekuivalensi yang ada.
Solusi:
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
41 / 43
Hukum-hukum Ekuivalensi Logika
Pembuktian Keabsahan dengan Hukum Ekuivalensi (1)
Latihan
Tunjukkan bahwa (p ^ q) ! (p _ q) adalah formula yang absah (valid) dengan
memakai hukum-hukum ekuivalensi yang ada.
Solusi:
Akan ditunjukkan bahwa (p ^ q) ! (p _ q) ekuivalen dengan T.
(p ^ q) ! (p _ q)
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
41 / 43
Hukum-hukum Ekuivalensi Logika
Pembuktian Keabsahan dengan Hukum Ekuivalensi (1)
Latihan
Tunjukkan bahwa (p ^ q) ! (p _ q) adalah formula yang absah (valid) dengan
memakai hukum-hukum ekuivalensi yang ada.
Solusi:
Akan ditunjukkan bahwa (p ^ q) ! (p _ q) ekuivalen dengan T.
(p ^ q) ! (p _ q)
MZI (FIF Tel-U)
: (p ^ q) _ (p _ q)
Logika Proposisi 2
(ekuivalensi A ! B
:A _ B)
Agustus 2015
41 / 43
Hukum-hukum Ekuivalensi Logika
Pembuktian Keabsahan dengan Hukum Ekuivalensi (1)
Latihan
Tunjukkan bahwa (p ^ q) ! (p _ q) adalah formula yang absah (valid) dengan
memakai hukum-hukum ekuivalensi yang ada.
Solusi:
Akan ditunjukkan bahwa (p ^ q) ! (p _ q) ekuivalen dengan T.
(p ^ q) ! (p _ q)
MZI (FIF Tel-U)
: (p ^ q) _ (p _ q)
(:p _ :q) _ (p _ q)
Logika Proposisi 2
(ekuivalensi A ! B :A _ B)
(berdasarkan hukum De Morgan)
Agustus 2015
41 / 43
Hukum-hukum Ekuivalensi Logika
Pembuktian Keabsahan dengan Hukum Ekuivalensi (1)
Latihan
Tunjukkan bahwa (p ^ q) ! (p _ q) adalah formula yang absah (valid) dengan
memakai hukum-hukum ekuivalensi yang ada.
Solusi:
Akan ditunjukkan bahwa (p ^ q) ! (p _ q) ekuivalen dengan T.
(p ^ q) ! (p _ q)
MZI (FIF Tel-U)
: (p ^ q) _ (p _ q)
(:p _ :q) _ (p _ q)
(:p _ p) _ (:q _ q)
Logika Proposisi 2
(ekuivalensi A ! B :A _ B)
(berdasarkan hukum De Morgan)
(berdasarkan sifat komutatif
dan asosiatif untuk _)
Agustus 2015
41 / 43
Hukum-hukum Ekuivalensi Logika
Pembuktian Keabsahan dengan Hukum Ekuivalensi (1)
Latihan
Tunjukkan bahwa (p ^ q) ! (p _ q) adalah formula yang absah (valid) dengan
memakai hukum-hukum ekuivalensi yang ada.
Solusi:
Akan ditunjukkan bahwa (p ^ q) ! (p _ q) ekuivalen dengan T.
(p ^ q) ! (p _ q)
: (p ^ q) _ (p _ q)
(:p _ :q) _ (p _ q)
(:p _ p) _ (:q _ q)
T_T
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
(ekuivalensi A ! B :A _ B)
(berdasarkan hukum De Morgan)
(berdasarkan sifat komutatif
dan asosiatif untuk _)
(berdasarkan sifat komutatif
dan sifat negasi untuk _)
Agustus 2015
41 / 43
Hukum-hukum Ekuivalensi Logika
Pembuktian Keabsahan dengan Hukum Ekuivalensi (1)
Latihan
Tunjukkan bahwa (p ^ q) ! (p _ q) adalah formula yang absah (valid) dengan
memakai hukum-hukum ekuivalensi yang ada.
Solusi:
Akan ditunjukkan bahwa (p ^ q) ! (p _ q) ekuivalen dengan T.
(p ^ q) ! (p _ q)
: (p ^ q) _ (p _ q)
(:p _ :q) _ (p _ q)
(:p _ p) _ (:q _ q)
T_T
T
(ekuivalensi A ! B :A _ B)
(berdasarkan hukum De Morgan)
(berdasarkan sifat komutatif
dan asosiatif untuk _)
(berdasarkan sifat komutatif
dan sifat negasi untuk _)
(berdasarkan sifat dominasi)
Dari hasil ini, kita dapat menuliskan (p ^ q) ) (p _ q).
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
41 / 43
Hukum-hukum Ekuivalensi Logika
Pembuktian Keabsahan dengan Hukum Ekuivalensi (2)
Latihan
Tunjukkan bahwa (p ! q ^ r) ! (p ! q) adalah formula yang absah (valid)
dengan memakai hukum-hukum ekuivalensi yang ada.
Solusi:
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
42 / 43
Hukum-hukum Ekuivalensi Logika
Pembuktian Keabsahan dengan Hukum Ekuivalensi (2)
Latihan
Tunjukkan bahwa (p ! q ^ r) ! (p ! q) adalah formula yang absah (valid)
dengan memakai hukum-hukum ekuivalensi yang ada.
Solusi:
Akan ditunjukkan bahwa (p ! q ^ r) ! (p ! q) ekuivalen dengan T.
(p ! q ^ r) ! (p ! q)
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
42 / 43
Hukum-hukum Ekuivalensi Logika
Pembuktian Keabsahan dengan Hukum Ekuivalensi (2)
Latihan
Tunjukkan bahwa (p ! q ^ r) ! (p ! q) adalah formula yang absah (valid)
dengan memakai hukum-hukum ekuivalensi yang ada.
Solusi:
Akan ditunjukkan bahwa (p ! q ^ r) ! (p ! q) ekuivalen dengan T.
(p ! q ^ r) ! (p ! q)
: (p ! q ^ r) _ (p ! q)
MZI (FIF Tel-U)
(ekuivalensi A ! B
Logika Proposisi 2
:A _ B)
Agustus 2015
42 / 43
Hukum-hukum Ekuivalensi Logika
Pembuktian Keabsahan dengan Hukum Ekuivalensi (2)
Latihan
Tunjukkan bahwa (p ! q ^ r) ! (p ! q) adalah formula yang absah (valid)
dengan memakai hukum-hukum ekuivalensi yang ada.
Solusi:
Akan ditunjukkan bahwa (p ! q ^ r) ! (p ! q) ekuivalen dengan T.
(p ! q ^ r) ! (p ! q)
: (p ! q ^ r) _ (p ! q)
: (:p _ (q ^ r)) _ (:p _ q)
MZI (FIF Tel-U)
(ekuivalensi A ! B
(ekuivalensi A ! B
Logika Proposisi 2
:A _ B)
:A _ B)
Agustus 2015
42 / 43
Hukum-hukum Ekuivalensi Logika
Pembuktian Keabsahan dengan Hukum Ekuivalensi (2)
Latihan
Tunjukkan bahwa (p ! q ^ r) ! (p ! q) adalah formula yang absah (valid)
dengan memakai hukum-hukum ekuivalensi yang ada.
Solusi:
Akan ditunjukkan bahwa (p ! q ^ r) ! (p ! q) ekuivalen dengan T.
(p ! q ^ r) ! (p ! q)
: (p ! q ^ r) _ (p ! q)
: (:p _ (q ^ r)) _ (:p _ q)
(: (:p) ^ : (q ^ r)) _ (:p _ q)
MZI (FIF Tel-U)
(ekuivalensi A ! B :A _ B)
(ekuivalensi A ! B :A _ B)
(berdasarkan hukum De Morgan)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
42 / 43
Hukum-hukum Ekuivalensi Logika
Pembuktian Keabsahan dengan Hukum Ekuivalensi (2)
Latihan
Tunjukkan bahwa (p ! q ^ r) ! (p ! q) adalah formula yang absah (valid)
dengan memakai hukum-hukum ekuivalensi yang ada.
Solusi:
Akan ditunjukkan bahwa (p ! q ^ r) ! (p ! q) ekuivalen dengan T.
(p ! q ^ r) ! (p ! q)
: (p ! q ^ r) _ (p ! q)
: (:p _ (q ^ r)) _ (:p _ q)
(: (:p) ^ : (q ^ r)) _ (:p _ q)
(p ^ (:q _ :r)) _ (:p _ q)
MZI (FIF Tel-U)
(ekuivalensi A ! B :A _ B)
(ekuivalensi A ! B :A _ B)
(berdasarkan hukum De Morgan)
(berdasarkan hukum De Morgan
dan sifat negasi ganda)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
42 / 43
Hukum-hukum Ekuivalensi Logika
(p ^ :q) _ (p ^ :r) _ (:p _ q)
MZI (FIF Tel-U)
(berdasarkan sifat distributif)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
43 / 43
Hukum-hukum Ekuivalensi Logika
(p ^ :q) _ (p ^ :r) _ (:p _ q)
(p ^ :q) _ (:p _ q) _ (p ^ :r)
MZI (FIF Tel-U)
(berdasarkan sifat distributif)
(berdasarkan sifat komutatif untuk _)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
43 / 43
Hukum-hukum Ekuivalensi Logika
(p ^ :q) _ (p ^ :r) _ (:p _ q)
(p ^ :q) _ (:p _ q) _ (p ^ :r)
(::p ^ :q) _ (:p _ q) _ (p ^ :r)
MZI (FIF Tel-U)
(berdasarkan sifat distributif)
(berdasarkan sifat komutatif untuk _)
(berdasarkan sifat negasi ganda)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
43 / 43
Hukum-hukum Ekuivalensi Logika
(p ^ :q) _ (p ^ :r) _ (:p _ q)
(p ^ :q) _ (:p _ q) _ (p ^ :r)
(::p ^ :q) _ (:p _ q) _ (p ^ :r)
: (:p _ q) _ (:p _ q) _ (p ^ :r)
MZI (FIF Tel-U)
(berdasarkan
(berdasarkan
(berdasarkan
(berdasarkan
Logika Proposisi 2
sifat
sifat
sifat
sifat
distributif)
komutatif untuk _)
negasi ganda)
De Morgan)
Agustus 2015
43 / 43
Hukum-hukum Ekuivalensi Logika
(p ^ :q) _ (p ^ :r) _ (:p _ q)
(p ^ :q) _ (:p _ q) _ (p ^ :r)
(::p ^ :q) _ (:p _ q) _ (p ^ :r)
: (:p _ q) _ (:p _ q) _ (p ^ :r)
T _ (p ^ :r)
MZI (FIF Tel-U)
(berdasarkan
(berdasarkan
(berdasarkan
(berdasarkan
(berdasarkan
Logika Proposisi 2
sifat
sifat
sifat
sifat
sifat
distributif)
komutatif untuk _)
negasi ganda)
De Morgan)
negasi)
Agustus 2015
43 / 43
Hukum-hukum Ekuivalensi Logika
(p ^ :q) _ (p ^ :r) _ (:p _ q)
(p ^ :q) _ (:p _ q) _ (p ^ :r)
(::p ^ :q) _ (:p _ q) _ (p ^ :r)
: (:p _ q) _ (:p _ q) _ (p ^ :r)
T _ (p ^ :r)
(p ^ :r) _ T
MZI (FIF Tel-U)
(berdasarkan
(berdasarkan
(berdasarkan
(berdasarkan
(berdasarkan
(berdasarkan
Logika Proposisi 2
sifat
sifat
sifat
sifat
sifat
sifat
distributif)
komutatif untuk _)
negasi ganda)
De Morgan)
negasi)
komutatif untuk _)
Agustus 2015
43 / 43
Hukum-hukum Ekuivalensi Logika
(p ^ :q) _ (p ^ :r) _ (:p _ q)
(p ^ :q) _ (:p _ q) _ (p ^ :r)
(::p ^ :q) _ (:p _ q) _ (p ^ :r)
: (:p _ q) _ (:p _ q) _ (p ^ :r)
T _ (p ^ :r)
(p ^ :r) _ T
T
(berdasarkan
(berdasarkan
(berdasarkan
(berdasarkan
(berdasarkan
(berdasarkan
(berdasarkan
sifat
sifat
sifat
sifat
sifat
sifat
sifat
distributif)
komutatif untuk _)
negasi ganda)
De Morgan)
negasi)
komutatif untuk _)
dominasi)
Dari hasil ini, kita dapat menuliskan (p ! q ^ r) ) (p ! q).
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi 2
Agustus 2015
43 / 43