Penggunaan Program linier dalam Pemecahan - E

Penggunaan Program linier dalam Pemecahan
Masalah Produksi dengan Menggunakan Grafik
pada Pengajaran Matematika
Oleh : Sri Hartini
ABSTRAK
Salah satu cara dalam memecahkan
masalah produksi dengan menggunakan
gambar grafik yaitu dengan menggambar
garis-garis kendala dari suatu masalah,
kemudian menentukan ruang lingkup
daerah penyelesaian atau polygon yang
Pendahr.lluan
Masalah produksi dalam ekonomi banyak
kaitannga dengan sumber-sumber yang tertatas,
misalnya terbatasnya biaya, waktu, material dan
sebagainya. Di sisi lain dari masalah produksi,
keuntungan harus dimaksimumkan dan ongkos
harus diminimumkan.
Menurut Bambang Sugiarto (1 986: 1 5) pada
dasarnya ilmu ekonomi ialah ilmu yang mem-
pelajari cara bagairnana mempergunakan
benda-benda ekonomi yang serba terbatas
sehingga bisa dicapai suatu kemakmuran
.
Dari sebuah perusahaan yang mempunyai
beberapa jenis bahan mentah ingin menentukan
besarnya produksi dari beberapa jenis barang ,
maka akan berupaya untuk memperoleh suatu
hasil penjualan yang maksimum atau berupaya
untuk biaya pengeluaran yang minimum.
Dengan mengalokasikan sumber-sumber yang
dimiliki secara terbatas, tetapi dapat mencapai
tujuan yang diinginkan, merupakan tehnik
matematika yang dinamakan programasi
matematika.
Universitas Wiralodra lndramayu
dibentuk oleh garis-garis kendata tersebut.
Setelah polygon diperoleh maka titik-titik
ujung polygon merupakan titik ekstrem
yaitu bagian dari titik penyelesaian masalah
yang menunjukkan titik maksimum atau
titik minimum sesuai dengan permasalahan
yang dicari.
Dalam hal khusus, apabila pengukuran dari
tujuan yang diinginkan merupakan suatu fungsi
linier, demikian juga kendala atau sumber yang
terbatas merupakan fungsi linier, maka programasi itu disebut programasi linier. Adapun
masalah programasi linier menutut Wan Usman
(1985:5.1) adalah memaksimumkan atau meminimumkan fungsi linier dari beberapa vari-
able utama yang,lelanjutnya disebut fungsi
obyektif , dengan kendala-kendala atau batasan-
batasan yang ada merupakan suatu sistim
pertidaksamaan linier.
Dengan demikian persoalan program linier
yaitu suatu persoalan untuk menentukan besarnya masing-masing nilai variable sedemikian
rupa sehingga nilai fungsi tujuan atau fungsi
obyektif yang linier menjadi optimum dengan
memperhatikan pembatasan-pembatasan yang
ada. Pembatasan-pembatasan ini dinyatakan
dalam pertidakamaan linier.
Jadi yang dimaksud programasi linier adalah
suatu metode untuk mencapai tujuan sebesar-
besarnya atau sekecil-kecilnya dengan
pembatasan-pembatasan yang ada.
a7
Persoalannya adalah bagaimana didalam
keadaan yang serba terbatal itu masih bisa
mencapai sesuatu yang sebaik_baiknya.
Dariuraian tersebut diatas, jelaslah bahwa
programasi linier merupakan alat yang ampuh
untuk memecahkan persoalar,-p"irou1u., nko_
nomi secara kwantitatif.
Pembahasan
Jika persoalan programasi linier terdiri dari
dua variable, bagaimanapun banyaknya pembatasah-pembatasan yang ada, rnaka penyele-
diberikan kepada a ij adalah banyaknya input
ke i yang diperlukan untuk menghasilkan satu
unit barang ke j. Sedangkan h i adalah banyaknya input ke i yang tersedia dari batasan tersebut. Artinya pembatasan input itu tidak boleh
melebihi h i.
- Fungsi tujuan Z dapat dianggap sebagai
fungsi yang hendak dimaksimalkan. Dengan
demikian, untuk menghasilkan atau memperdagangkan 2 macam barang dengan memakai
n macam input yang masing-masing berjurnlah
terbatas, adalah dengan mencari nilai-nilai X
yang maksimum.
saian yang paling mudah adalah dengan
Misalnya:
membuat garnbar grafik.
Seorang penjahit mempunyai persediaan
bahan, 160 m katun, 110 m sutera dan 150 m
batik untuk dibuat Seprai dan Gorden. Setiap
Seprai memerlukan 2 m katun, 1 m sutera dan
1 m batik. Sedangkan setiap Gorden memerlukan bahan 1 m katun, 2 mzutera dan 3 m
batik. Jika harga setiap Seprai $ SO aan harga
setiap Gorden $ 50, maka berapa buah Seprai
dan berapa buah Crcrden harus dibuat oleh
penjahit agar penerimaan hasil penimlan Seprai
dan Gorden tersebut sebesar mungkin ?
Berikut beberapa pemecahan persoalan
program linier dalam masalah produksi dengan
menggunakan gambar grafik.
1) . Maksimisasi Keuntungan dan
Penerimaan dalam pembatasan.
Salah satu interpretasi yang dapat diberikan
pada persoalan progfamasi linier adalah
persoalan maksimisasi keuntungan didalam
batasan. Ini berutiftrngsitujuan itu adalah fungsi
keuntungan yang secam umum ditulis :
Z = Cl Xl + C2 X2 dimana X1 dan X2 masingmasing menunjukkan banyaknya barang yang
dihasilkan dari 2 jenis barang. Sedangkan C1
dan C2 adalah keuntungan yang diperoleh dari
penghasilan per unit barang.
Batasan input 5nng tersedia ditulis dalam bentuk
pertidaksamaan :
a 11 x1
+al2X2<h1
a21 x1 +a22X2<h2
a31 x1 +a32X2sh3
anlX1 +an2X2<hn
Karena X1 dan X2 merupakan out put yang
Penyelesaian
:
Tahap awal, buat iabel keperluan bahan setiap
Seprai dan setiap Gorden.
Bahan
Seprai
Katun
Sutera
2
Gorden
Persediaan
1
160
110
150
Batik
1
2
3
Harga
$so
$so
1
Berikutnya buat tabel keperluan bahan ,
misall,.an banyaknya Seprai yang dibuat X1 dan
banyaknya Gorden yang dibuatY2.
dihasilkan, maka interpretasi yang dapat
2A
Fakultas Keguruan dan
llms.,
Fendidikan
Bahan
Seprai
Gorden
Persediaan
Katun
2Xt
Yr2
Sutera
Batik
X1
X1
160
110
150
Harga
$so
2X2
3
y,,2
$so
Tabel tersebut dapat dirumuskan sebagai
berikut:
Fungsi tujuan : Maksimumkan : Z = 30
X1 + 50)(2
Dengan pembatasan:
2Xl+ X2<
60
X1 + 2X2sL10
X1 + 3X2< 50
x1 >0
Grafik tersebut menunjukkan bahwa ruang
lingkup daerah penyelesaian adalah yang tidak
diarsir yaitu daerah yang memuat titik-titik dari
(X1,X2)yang akan dicari maksimumnya. Pada
ruang lingkup daerah penyelesaian terlihat
bahwa ada 4 titik ekstrem (X1,X2) yang satu
diantaranya merupakan titik maksimum yang
dicari yaitu titik (80,0), (70,20), (30,40) dan
(0,50).
Dengan demikian dapat dibuat tabel nilai
fungsi tujuan pada titik-titik ekstrem sebagai
berikut :
x2
x1
x2
30x'l
50
80
70
30
0
0
20
40
50
2400
2100
900
0
1000
2000
0
2s00
Z=30 X1 + 50 X2
2400
3100
2900
2500
x2>0
Tiga pertidaksamaan pertama merupakan
konstren-konstren teknis yang ditetapkan oleh
tersedianya input, sedangkan pertidaksamaan
yang berikutnya merupakan konstren
ketidaknegatifan untuk nrcnghindarkan harga
negatif.
Grafik dari persamaan-persamaan dari
pertidaksamaan tersebut dapat digambarkan
sebagai berikut :
Gambar I
Dari tabel tersebut terlihat bahwa nilai fungsi
tujuan yang paling besar adalah Z: 3100. Jadi
penjahit tersebut memperoleh pendapatan hasil
penjualan sebanyak-banyaknya 70 Seprai dan
20 Goidendenganiumlah pendapatan $ gf OO.
1) Minimisasi Biaya
Persoalan minimisasi biaya didalam batasan
dalam programasi linier, misalnya pembatasan
bahwa suplai sama dengan banyaknya
:
permintaan. Disamping banyaknya barang yang
diangkut tidak boleh melebihi suplai yang ada,
sedangkan permintaan harus dipenuhi sesuai
pesanan.
Salah satu interpretasi yang dapat diberikan
pada persoalan programasi linieryang lain adalah persoalan minimisasi biaya didalam batasan'
Ini berarti fungsi tujuan itu adalah fungsi biaya
yang akan diminimumkan. Secara umum ditulis:
Minimumt<an Z:CLXI + CZX2 dimanaXl
dan X2 masing-masing menunjukkan banyakhyabarang/,^kt produksi, sedangkan C1 dan
C2 masing-masing menunjukkan biaya yang
dikeluarkan per unit barang/waktu.
Universitas Wi ralodra lndramayu
e9
Batasan output yang dikeluarkan bagi
masing-masing produksi ditulis dalam bentuk
pertidaksamaan
:
.
all Xl + a12 X2 > h1
a21 X1 + a22X2>h2
a31 X1 + a32 X2 > h3
an1 X1 + an2 X2 > hn
dioperasikan, dan X2 adalah jurnlah hari pabrik
B dioperasikan, maka penxnusan persoalan dari
program linier tersebut dapat ditulis sebagai
berikut :
Fungsi tujuan : Minimuml<an:Z: 20 X1 +
20 x2
Dengan pembatasan
Karena x1 dan X2 merupakan banyaknya
output yang dikeluarkan, maka interpretasi yang
dapat diberikan kepada aij adalah banyaknya
output ke i diperlukan untuk menghasilkan satu
unit barang ke j, dalam hal ini j:.2.
Sedangkan hi adalah banyaknya output ke
i yang dikeluarkan sesuai batasan, Batasan
tersebut diartikan sebagai output yang tidak
boleh kurang dari hi.
Misalnya
Jika X1 adalah jumlah hari pabrik'A
:
Sebuah perusahaan mempunyai 2 buah
pabrik, pabrik A dan pabrik B. Pabrik A setiap
hari memproduksi 1 ton Sagu, 3 ton Terigu
dan 5 ton Beras. Pabrik B setiap hari
memproduksi 2 ton Sdgu, 2 ton Terigu dan 2
X1
:
+ 2X2 >8
3X1 + 2X2>- 6
5X1 + 2X2>20
x1.>0
x2>0
Tanda pertidaksamaan dari system kendala
adalah "2" karena permintaan barang harus
dipenGi dengan jumlah yangtidakboleh kurang
dari jumlah pesanan.
Grafik dari persamaan-persamaan dari
pertidaksamaan tersebut dapat digambarkan
sebagai berikut
:
Gambar
ll
:
ton Beras.
Perusahaan tersebut mendapat pesanan 8
ton Sagu, 16 ton Terigu dan 20 ton Beras.
Jika biaya operasi setiap hari untuk masingmasing pabrik adalah 20 juta rupiah, maka
berapa hari masing-masing pabrik tersebut
harus dioperasikan agar biaya produksi sekecilkecilnya.
Penyelesaian
:
Tahap awal penyelesaian, buat tabel hasil
produksi pabrik A dan pabrik B dan jumlah
permintaan.
Barang
Pabrik A
Pabrik B
Permintaan
Sagu
Terigu
1 ton
2 ton
2 ton
2 ton
I ton
B'eras
30
3 ton
5 ton
16 ton
20 ton
Gambar grafik tersebut menunjukkan
bahwa daerah yang tidak diarsir adalah daerah
penyelesaian yang merupakan ruang lingkup
yanE memuat titik-titik (X1,X2). Untuk menenFakultas Keguruan dan llmu Pendidikan
tukan titik (X1,X2) dengan nilai fungsi tujuan
(Z) minimum atau sekecil-kecilnyra dari Z = 20
X1 + 20Y\2, dapat dicari salah satu dari 4 titik
ekstrem yaitu titik (8,0), (4,2]l, (2,5)dan (0,10)
Tabeldari nilai fungsi tujuan minimum dari
titik-titik ekstrem sebagai berikut:
xl
I
4
2
0
)<2
0
2
5
10
20
xl
160
80
40
0
20)<2
Z=20X1+20)(2
0
40
100
200
160
120
140
200
Penyelesaian
:
Perumusan persoalan program linier
'
Dari tabeltersebut terlihat bahwa nilai fungsi
tujuan (Z) minimum/ sekecil-kecilnya adalah Z
120. Jadi perusahaan tersebut beroperasi
dengan biaya produksi sekecil-kecilnya adalah
120 juta rupiah, dan memerlukan waktu untuk
produksi selama 4 hari ur-rtuk pabrik A dan 2
hari untuk pabrik B.
:
3)
Model Kontemporer memerlukan 1 jam
unfuk m€ngamplas dan 5 jam untuk mengecat,
keunfungan marginnya adalah $ 20 per unit.
Model Modern memerlukan 3 jam unfuk mengamplas dan 2jam untuk mengecat, keuntungan
marginnya adalah $ 24 per unit.
Bagaimanakah mengalokasikan waktu
produksi, sehingga mendapatkan keuntungan
yang maksimum, jika tersedia 120 jam untuk
mengamplas dan 60jam untuk mengecat ?
Maksimisasi Penerimaan/Hinimisasi
Biaya dengan menggunakan Grafik
melalui DuaI dari pfogram linier.
Jika persoalan programasi linierterdiri dari
3 variabel atau lebih, maka pemecahan masalah
dengan menggunakan grafik tidak dapat
dilakukan. Salah satu cara untuk memecahkan
persoalan tersebut yaitu dengan metode algoritma simplex. Akan tetapi apabila persoalan
program linier yang terdiri dari 3 variabel tersebut di dual kan, kemudian dual nya merupakan
persoalan program linier dengan 2 variabel,
maka persoalan tersebut dapat diselesaikan
dengan menggunakan grafik.
Misalnya
:
Suatu pabrik mebel membuat tiga macam
meja : Kedaerahan (X1), Kontemporer (X2) dan
Modern (X3). Model Kedaerahan memerlukan
3 jam untuk mengamplas dan 1 jam untuk
mengecat, keuntungan marginnya adalah $ 15
per unit.
Universitas Wiralodra lndramayu
tersebut adalah
:
Fungsi tujuan : Maksimumkan : Z
+ 20 X2 + 24X3
Dengan pembatasan
= 15 X1
:
<
3X1 + X2 + 3X3
tZA
60
X1+5X2+2X3<
x1,x2,x3 > 0
Dual nya adalah sebagai berikut :
Minimumkan : C = 120Y1 + 60Y2
Dengan pembatasan
3Y1
+Y2>ts
:
5Y2> 20
3Y1 +2Y2>-24
Y1,Y2 > 0
Y1 +
:
Grafik dari persamaan-persamaan dari
pertidaksamaan Dual tersebut dapat digambarkan sebagaimana terlihat pada Gambar III.
Gambar grafik tersebut menuniukkan
bahwa daerah yang tidak diarsir adalah daerah
penyelesaian unfuk pemecahan masalah dalam
Dual. Untuk menentukan nilai fungsi tujuan Z
dan nilai variable keputusan X1,X2 dan X3,
maka di selesaikan dahulu persoalan dalam Dual
nya.
Dari gambar grafik tersebut terlihat bahwa
nilai fungsi tujuan (C )minimum dari C = !2O
Yl + 6AYZ dapat dicari yaitu salah satu dari 4
titik ekstrem ( Y1,Y2) yaitu (20,0), (6,3), (2,9)
dan (0,15)
3l
Penutup
Secara umum dapat disimputkan bahwa
penggunaan program linier dalam pemecahan
masalah produksi dengan menggunakan grafik,
diperlukan beberapa langkah yang perlu dibuat,
yaitu :
Jika persoalan program linier tersebut hanya
ada 2 variabel kepufusan, maka langkahJangkah penyelesaiannya sebagai berikut :
- Membuat rumusan persoalan kedalam
rumusan matematika, yaitu rumusan fungsi
tujuan (maksimum,/minimum) dan rumusan
dari batasan dalam bentuk pertidaksamaan.
-
Membuat grafik dari persamaan-persamaan
dari pertidaksamaan tersebut.
Membuat tabel nilai fungsi tujuan dari titik-
titik ekstrem.
-
Menentukannilaifungsitujuan{maksimum/
minimum)dari salah satu titik-titik ekstrem,
sehingga dapat menentukan nilai variable
kepufusan
Jika dalam persoalan program linier ada 3
variabel keputusan atau lebih, maka penyelesaiannya tidak dapat dilakukan dengan menggunakan grafik. Akan tetapi dapat dilakukan
dengan menggunakan metode Algoritma Simplex.
Jika dalam persoalan program linier ada 3
variabel keputusan atau lebih, tetapi Dual dari
persoalan program liniertersebut ada 2 variabel
keputusan dual, maka persoalan program linier
dengan 3 variabel dapat diselesaikan dengan
menggunakan grafik melalui Dualnya.
Menurut Edi Soewardi (1983:28) yang
dimaksud program linier adalah Teknik matematis untuk menemukan penggunaan terbaik
sumber-sumber organisasi. Fungsi tujuan :
fungsi obyektif yaitu pernyataan yang menunjukkan hubungan antara variable-variabel dalam
masalah dan tujuan perusahaan. Pembatasan
adalah suatu batas dari sumber-sumber yang
tersedia. Pertidaksamaan adalah pernyataan
rnatematis yang menunjukkan harus ditemukannya kebutuhan secara minimum atau maksimum. Titik ekstrem adalah suatu sudut dari
daerah pemecahan layak/da erah penyelesaian.
Daftar Pustaka
Bambang Sugiarto. Tg}l.Linear Programing.
Universitas Sebelas Maret Surakarta.
Edi Soewardi,K. 1983. Linear Programing.
Sinar Baru Bandung.
Wan Usman,MA. 1985. Programasi Linier.
Universitas Terbuka. Karunika Jakarta.
Cara untuk menjadi di depan adalah memulai sekarang.
Jika mewiulai sekarang, tahun depan Anda akan tahu banyak hal
yang sekarang tidak diketahui, dan Anda tak akan mengetahui masa depan
j ika Anda menung gu-nung gu.
- William
Universitas Wiralod ra lndramayu
Feather
-
33