model matematika eksternal dan internal penyebaran penyakit

MODEL MATEMATIKA EKSTERNAL DAN INTERNAL
PENYEBARAN PENYAKIT DEMAM BERDARAH
DENGUE
DISERTASI
Karya tulis sebagai salah satu syarat
untuk memperoleh gelar Doktor dari
Institut Teknologi Bandung
Oleh
NUNING NURAINI
NIM : 30103001
INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG
2008
MODEL MATEMATIKA EKSTERNAL DAN INTERNAL
PENYEBARAN PENYAKIT DEMAM BERDARAH
DENGUE
DISERTASI
Oleh
NUNING NURAINI
NIM 30103001
INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG
2008
ABSTRAK
MODEL MATEMATIKA EKSTERNAL DAN INTERNAL
PENYEBARAN PENYAKIT DEMAM BERDARAH DENGUE
Oleh
Nuning Nuraini
NIM : 30103001
Penyakit Demam Dengue (DD) dan Demam Berdarah Dengue (DBD) disebabkan
oleh virus Dengue dengan nyamuk Aedes aegypti betina sebagai vektor (pembawa
penyakit). Penyakit ini termasuk salah satu penyakit endemik di Indonesia, yang
seringkali menyebabkan korban jiwa, terutama bila penanganan terhadap penderitanya terlambat. Oleh sebab itu diperlukan pemahaman yang baik terhadap epidemiologi dari DD dan DBD. Pada disertasi ini model matematika digunakan untuk
membantu memahami epidemiologi penyakit DD dan DBD.
Riset ini mengembangkan model matematika penyebaran penyakit DBD dalam suatu populasi manusia dengan menggunakan pendekatan sistem dinamik, yang disebut dengan model eksternal, serta penyebaran virus Dengue dalam tubuh manusia,
yang disebut dengan model internal.
Pada model eksternal analisis difokuskan pada skenario - skenario vaksinasi untuk
dua serotipe virus Dengue. Hal ini penting untuk dilakukan mengingat penelitian
mengenai vaksinasi DBD masih belum tuntas dikerjakan dan sampai saat ini belum
ada ketentuan metode vaksinasinya. Model ini terdiri atas delapan kompartemen
atau sub populasi manusia (susceptible, infeksi primer serotipe 1 dan 2, sembuh dari
infeksi primer serotipe 1 dan 2, infeksi sekunder 1 dan 2, menunjukkan gejala parah
DBD) dan sub populasi vektor yang terdiri atas vektor terinfeksi serotipe 1 dan
2. Skenario vaksinasi yang dianalisis pada disertasi ini terdiri dari empat skenario,
yakni vaksinasi dengan menggunakan vaksin tetravalent untuk bayi yang baru lahir,
vaksin tetravalent untuk sub populasi susceptible, vaksin bivalent untuk bayi yang
baru lahir serta vaksin bivalent yang dikenakan acak pada populasi.
Hasil penerapan skenario - skenario vaksinasi yang dirancang dalam riset ini disajikan dalam bentuk rasio kompartemen penderita yang mengalami gejala DBD dan
dirawat di rumah sakit. Rasio ini membandingkan kompartemen tersebut sebelum
dan setelah vaksinasi diberikan. Hal ini dilakukan karena pada kenyataannya data
penderita inilah yang tersedia di lapangan. Kajian ini memberikan hasil bahwa skenario vaksin tetravalent untuk sub populasi susceptible memberikan hasil terbaik
dalam menurunkan rasio tersebut.
Selain itu kajian model eksternal menghasilkan analisis kestabilan model di sekitar
titik kesetimbangan yang diberikan berdasarkan parameter ambang basic reproduci
tion ratio. Terdapat empat titik kesetimbangan, yakni titik non-endemik, titik endemik untuk serotipe 1 dan 2 serta titik koeksistensi dua serotipe virus. Dari titik
endemik ini dapat dilihat bahwa dengan adanya penerapan skenario vaksinasi, maka
kenaikan proporsi vaksinasi pada skenario vaksin tetravalent mereduksi nilai komponen titik endemik bila dibandingkan dengan tanpa vaksinasi. Sedangkan kajian
vaksin bivalent menunjukkan saat parameter efek memperburuk keadaan lebih kecil
dari rata-rata periode infeksi maka individu yang sedang terinfeksi apabila divaksin
akan semakin lama berada pada periode infeksi.
Kemanfaatan dari penelitian ini diharapkan dapat memberikan masukan untuk
merancang sistem pemberian vaksinasi DBD apabila vaksin tersebut telah siap
di pasaran. Selain itu dirancang pula perangkat lunak sistem deteksi dini penyebaran wabah DBD berdasarkan masukan data person index. Melalui pengembangan
perangkat lunak dan memperlengkap data parameter berdasarkan kondisi di lapangan, perangkat lunak ini diharapkan dapat menjadi sistem deteksi dini yang unggul.
Model internal dibangun untuk menjelaskan fenomena apakah benar virus DBD akan
lenyap dalam 7 hari. Model internal ini terbagi atas dua model, model tanpa respons
imun dan model dengan respons imun. Kedua model ini dikaji dan dibandingkan
hasilnya dengan harapan dapat membantu memberi penjelasan patogenesis DBD
yang sampai saat ini masih belum jelas benar. Model internal ini memiliki tiga
jenis titik kesetimbangan, yakni titik bebas virus, titik tanpa respons imun dan
titik endemik virus. Nilai basic reproduction ratio model tanpa respons imun lebih
besar dibandingkan dengan model respons imun. Hal ini didukung dengan simulasi
numerik untuk beberapa nilai parameter.
Kata kunci : model eksternal, model internal, basic reproduction ratio, skenario
vaksinasi, proporsi vaksinasi, laju vaksinasi, rasio kompartemen penderita DBD,
sistem deteksi dini DBD.
ii
ABSTRACT
THE EXTERNAL AND INTERNAL MATHEMATICAL MODELS OF
DENGUE HEMORRHAGIC FEVER TRANSMISSION
By
Nuning Nuraini
NIM : 30103001
Dengue Fever (DF) and Dengue Hemorrhagic Fever (DHF) are caused by Dengue
virus and transmitted to human population through the bites of Dengue infected
female mosquitoes of Aedes aegypti. These diseases are important public health
problems in Indonesia, causing many endemic areas throughout the country for
many years with high level of fatalities.
The objective of this study is to develop some mathematical models using dynamical
system approach for the spread of DF and DHF diseases among population (transmission model), as well as within a human body (internal model).
In the transmission model, the analysis focuses on four vaccination scenarios with
two strains of virus, in which the human population is divided into eight compartments (susceptible, primary infection for strain 1 and 2, temporary recovery from
strain 1 and 2, secondary infection for strain 1 and 2, and severe DHF), and the
vector population consists of two compartments (infected vector for strain 1 and
2). Four vaccination scenarios are being considered, i.e using tetravalent vaccine for
newborn baby, tetravalent vaccine for susceptible host, bivalent vaccine for newborn
baby and bivalent vaccine for all compartment.
It is shown that the basic reproduction ratio for the transmission model is reduced
significantly by incorporating the vaccination scenarios. The best result for ratio of
severe DHF compartment before and after vaccination is shown for susceptible host
tetravalent vaccine. This ratio is also needed for practical control measure in order
to predict the ”real” intensity of the endemic phenomena, since only data of severe
DHF compartment is available from the hospital.
There are four equilibria of the transmission model, i.e the disease free equilibrium,
the endemic one with strain 1 only, the endemic one with strain 2 only, and the
coexistence of the two strains. As the proportion of vaccination increases, the size
of the endemic equilibria for tetravalent vaccine is reduced. In bivalent vaccine for
all compartment, the infected individual will stay longer in the infection period if
the worsening effect less than infection period rate.
iii
For practical application in the field, the initial early warning system software, based
on person index data input, is established. By developing the software and completing the realistic value of parameter, the software can be used as an excellent early
warning system for transmission model.
The internal model is intended to capture phenomena that Dengue virus is cleared
quickly in approximately 7 days after the onset of the symptoms. The models are
divided into two classes, i.e. with and without immune response. There are two equilibria of internal model without immune response, the free-virus equilibrium and the
endemic virus equilibrium and three equilibria of internal model with immune response i.e the free-virus equilibrium, the absence of immune response equilibrium
and the endemic virus equilibrium. The basic reproduction ratio of the internal
model without immune response is reduced significantly by incorporating the immune response. These facts are confirmed by the numerical simulation for some
parameters values.
Keywords: external model, internal model, basic reproduction ratio, vaccination
scenario, proportion of vaccination, rate of vaccination, ratio of severe DHF compartment, early warning system of Dengue.
iv
MODEL MATEMATIKA EKSTERNAL DAN INTERNAL
PENYEBARAN PENYAKIT DEMAM BERDARAH DENGUE
Oleh
Nuning Nuraini
NIM : 30103001
Institut Teknologi Bandung
Menyetujui
Tim Pembimbing
Tanggal 14 April 2008
Ketua
(Prof. Dr. Edy Soewono)
Anggota
(Dr. Kuntjoro Adji Sidarto)
v
PEDOMAN PENGGUNAAN DISERTASI
Disertasi Doktor yang tidak dipublikasikan terdaftar dan tersedia di Perpustakaan
Institut Teknologi Bandung, dan terbuka untuk umum dengan ketentuan bahwa hak
cipta ada pada pengarang dengan mengikuti aturan HaKI yang berlaku di Institut
Teknologi Bandung. Referensi kepustakaan diperkenankan dicatat, tetapi pengutipan atau peringkasan hanya dapat dilakukan seizin pengarang dan harus disertai
dengan kebiasaan ilmiah untuk menyebutkan sumbernya.
Memperbanyak atau menerbitkan sebagian atau seluruh disertasi haruslah seizin
Direktur Program Pascasarjana, Institut Teknologi Bandung.
vi
Kebutuhan manusia akan ilmu
melebihi kebutuhannya akan makanan dan minuman,
sebab makanan dan minuman hanya dibutuhkan sekali atau dua kali dalam sehari,
namun ilmu dibutuhkan sepanjang tarikan nafasnya
(Imam Ahmad, rh)
Kupersembahkan untuk
Ibu, Bapak, Syifa, Razan dan Uji
vii
UCAPAN TERIMA KASIH
Bismillahirrahmanirrahim
Alhamdulillah, terima kasih dan syukur tiada terkira kepada Robb Penguasa Alam
Semesta atas segala kemudahan dan ijin-Nya untuk menyelesaikan disertasi ini.
Ucapan terima kasih yang sangat dalam penulis haturkan kepada Prof. Dr. Edy
Soewono dan Dr. Kuntjoro Adji Sidarto atas bimbingan dan kesabarannya selama
penelitian dan penulisan disertasi ini berlangsung.
Hengki Tasman, M.Si, rekan kerja yang benar-benar dapat memberikan contoh sikap
dan etika seorang ilmuwan yang baik, terima kasih atas berbagai jenis pertolongan
yang telah diberikan, senang sekali memiliki rekan se-tim seperti anda.
Penulis menyampaikan terima kasih kepada Prof.Dr. J.A.P Heesterbeek, Prof.DR.dr.
Ridad Agoes, atas masukannya untuk penelitian ini. DR.dr. Edward H. Sugita,
SpPK(K), Dr. Sri Redjeki P. F, Dr. J. M. Tuwankotta, Dr. Asep K. Supriatna, dan
Dr. Agus Yodi G. atas saran dan kesediaannya menjadi penguji pada ujian tertutup
dan sidang terbuka.
Dr. Novriana Sumarti, Nursanti A, M.Si, Dr.Deana Wahyuningrum, Fatmawati,
M.Si serta Dr. Wuryansari MK yang merupakan sahabat-sahabat tempat berbagi
di saat-saat kritis. Selain itu, amat banyak pula bantuan yang diberikan sahabatsahabat di Program S3 putri dan putra yang tidak dapat penulis sebutkan satu
persatu.
Terakhir terima kasih tak terkira untuk ibu dan bapak atas kepercayaan, doa serta
dukungan yang diberikan kepada Penulis hingga saat ini. Adik - adikku, anakanakku dan suamiku terima kasih buat semua dukungannya. Semoga Allah SWT
membalas semua kebaikan-kebaikan mereka. Jazzakumullahi khairan katsiiran.
viii
DAFTAR ISI
ABSTRAK
i
ABSTRACT
iii
PEDOMAN PENGGUNAAN DISERTASI
vi
UCAPAN TERIMA KASIH
viii
DAFTAR ISI
ix
DAFTAR LAMPIRAN
xi
DAFTAR GAMBAR DAN ILUSTRASI
xii
DAFTAR TABEL
xvi
DAFTAR LAMBANG
I
xvii
Pendahuluan
1
II Model Matematika Penyebaran Eksternal Demam Berdarah Dengue 11
II.1 Penurunan Model Matematika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
II.2 Analisis Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
II.2.1 Parameter Ambang Batas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
II.2.2 Titik - titik Kesetimbangan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
II.3 Simulasi Numerik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
III Vaksinasi Demam Berdarah Dengue pada Model Eksternal
40
III.1 Model Vaksinasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
III.1.1 Vaksin Tetravalent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
III.1.2 Vaksin Bivalent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
III.2 Analisis Kestabilan Model Vaksinasi
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
III.2.1 Parameter Ambang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
ix
III.2.2 Titik Kesetimbangan Non-endemik . . . . . . . . . . . . . . . 46
III.2.3 Titik Kesetimbangan Endemik . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
III.3 Koeksistensi dua serotipe virus Dengue . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
III.4 Dinamika sub populasi D untuk tiap skenario vaksinasi . . . . . . . . 56
IV Model Matematika Penyebaran Internal Demam Berdarah Dengue
dalam Tubuh Manusia
IV.1 Formulasi model matematika
63
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
IV.1.1 Analisis model tanpa respons imun . . . . . . . . . . . . . . . 67
IV.1.2 Simulasi numerik model tanpa respons imun . . . . . . . . . . 70
IV.2 Model dengan respons imun dalam tubuh . . . . . . . . . . . . . . . . 73
IV.2.1 Analisis model dengan respons imun . . . . . . . . . . . . . . 73
IV.2.2 Simulasi numerik model dengan respons imun . . . . . . . . . 81
V Inisialisasi Sistem Peringatan Dini Penyebaran Penyakit Demam
Berdarah Dengue
85
V.1 Rancangan Sistem Peringatan Dini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
V.2 Langkah Penggunaan Perangkat Lunak . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
V.3 Interpretasi dari Hasil Perangkat Lunak . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
VI Kesimpulan serta Masalah yang masih Terbuka
93
VI.1 Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
VI.2 Masalah yang masih Terbuka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
DAFTAR PUSTAKA
99
RIWAYAT HIDUP
103
LAMPIRAN
106
x
DAFTAR LAMPIRAN
Lampiran A
Beberapa teori yang digunakan dalam disertasi ini . . .
xi
106
DAFTAR GAMBAR
I.1
Peta Kejadian Luar Biasa di Indonesia pada tahun 2004. Sumber
Depkes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
I.2
Siklus hidup nyamuk Aedes aegypti. Sumber Depkes . . . . . . . .
2
II.1
Diagram Transmisi Eksternal untuk Dua serotipe virus Dengue . 13
II.2
Diagram eksistensi dan kestabilan dari Ei untuk nilai parameter
σ1 dan σ2 yang berbeda. Simulasi ini menggunakan nilai-nilai
parameter γ = 0.1428, A1 = 1.5, A2 = 3, B1 = 2.5, B2 = 1, and
q = 0.02.
II.3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Diagram eksistensi dan kestabilan dari Ei untuk nilai parameter
σ1 dan σ2 yang berbeda. Simulasi ini menggunakan nilai-nilai
parameter γ = 0.1428, A1 = 1.5, A2 = 3, B1 = 2.5, B2 = 1, and
q = 0.02.
II.4
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Daerah A dan B merupakan daerah eksistensi titik E3 untuk nilai parameter β1 = 0.5, β2 = 0.36, µh =
1
, α1
70∗365
= 0.61, α2 =
0.34, q = 0.02, b = 1, σ1 = 0.6, σ2 = 0.8. . . . . . . . . . . . . . . . 29
II.5
Ilustrasi cakram Gerschgorin yang memuat nilai - nilai eigen (titik
-titik dalam lingkaran) yang memenuhi kriteria ketaksamaan (II.10)
untuk parameter µv =
1
, α1
70∗365
II.6
1
,γ
14
= 0.071, β1 = 0.5, β2 = 0.36, µh =
= 0.61, α2 = 0.34, q = 0.02, b = 1, σ1 = 0.6, σ2 = 0.8. . . . 30
Diagram rasio sub populasi penderita infeksi primer terhadap sub
populasi D untuk nilai R0 yang makin rendah ( II.5 kiri) dan rasio
antara sub populasi penderita infeksi sekunder terhadap sub populasi D ( II.5 kanan) dengan nilai-nilai parameter sebagai berikut
γ = 0.071, β1 = 0.35, β2 = 0.37, α1 = 0.17, α2 = 0.15, b = 1, σ1 =
1.5, σ2 = 2.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
II.7
Simulasi numerik model (II.3) dengan nilai-nilai parameter γ =
0.071, β1 = 0.3, β2 = 0.3, α1 = 0.1, α2 = 0.1, b = 1, R0 = 5.912,
σ = 0.8 untuk gambar atas dan σ = 1.8 untuk gambar bawah. . . 36
xii
II.8
Simulasi numerik model (II.3) dengan nilai-nilai parameter γ =
0.071, β1 = 0.3, β2 = 0.3, α1 = 0.1, α2 = 0.1, b = 1, R0 = 5.912,
σ = 2.8 atas dan σ = 4 bawah. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
II.9
Simulasi Numerik model (II.3) untuk nilai-nilai parameter γ =
0.071, β1 = 0.3, β2 = 0.3, α1 = 0.1, α2 = 0.1, b = 1, R0 = 5.912,
gambar atas dan b = 2, R0 = 23.648, gambar bawah.
II.10
. . . . . . . 38
Simulasi Numerik model (II.3) untuk nilai-nilai parameter γ =
0.071, β1 = 0.3, β2 = 0.3, α1 = 0.1, α2 = 0.1, b = 3, R0 = 53.21,
untuk gambar atas dan b = 4, R0 = 94.59, untuk gambar bawah. . 39
III.1
Dinamik jangka pendek untuk model tanpa vaksinasi dan model
dengan skenario vaksinasi pertama. Nilai-nilai parameter yang digunakan dalam simulasi ini adalah q = 0.01, A1 = A2 = 0.3, B1 =
B2 = 0.1, dan σ1 = σ2 = 2.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
III.2
Dinamik jangka pendek untuk model vaksinasi skenario kedua
dan model dengan vaksinasi skenario ketiga. Nilai-nilai parameter
yang digunakan dalam simulasi ini adalah q = 0.01, A1 = A2 =
0.3, B1 = B2 = 0.1, dan σ1 = σ2 = 2.8 . . . . . . . . . . . . . . . . 58
III.3
Dinamik jangka pendek untuk model vaksinasi skenario keempat.
Nilai-nilai parameter yang digunakan dalam simulasi ini adalah
q = 0.01, A1 = A2 = 0.3, B1 = B2 = 0.1, dan σ1 = σ2 = 2.8 . . . . 59
III.4
Dinamik rasio sub populasi D dengan vaksinasi skenario pertama
dibandingkan dengan sub populasi D tanpa vaksinasi terhadap
nilai proporsi vaksinasi dari 0% sampai 100% (kiri) dan rasio sub
populasi D dengan vaksinasi skenario kedua dibandingkan dengan
sub populasi D tanpa vaksinasi untuk laju vaksinasi dari 0% sampai 100% (kanan). Nilai-nilai parameter yang digunakan dalam
simulasi ini adalah q = 0.01, A1 = A2 = 0.3, B1 = B2 = 0.1, dan
σ1 = σ2 = 2.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
xiii
III.5
Dinamik rasio sub populasi D dengan vaksinasi skenario ketiga
dibandingkan dengan sub populasi D tanpa vaksinasi untuk nilai proporsi vaksinasi dari 0% sampai 100% persen dan berbagai nilai peluang kekebalan hanya untuk satu serotipe saja, g.
Nilai-nilai parameter yang digunakan dalam simulasi ini adalah
q = 0.01, A1 = A2 = 0.3, B1 = B2 = 0.1, dan σ1 = σ2 = 2.8 . . . . 60
III.6
Dinamik rasio sub populasi D dengan vaksinasi skenario keempat
dibandingkan dengan sub populasi D tanpa vaksinasi untuk nilai proporsi vaksinasi dari 0 sampai 10% (kiri) dan 10% sampai
100% (kanan) dengan nilai w yang berbeda. Nilai-nilai parameter
yang digunakan dalam simulasi ini adalah q = 0.01, A1 = A2 =
0.3, B1 = B2 = 0.1, dan σ1 = σ2 = 2.8 . . . . . . . . . . . . . . . . 61
IV.1
Diagram Transmisi Internal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
IV.2
Diagram ekuilibria model tanpa respons imun, garis menunjukkan
solusi yang stabil dan titik - titik merepresentasikan solusi yang
tidak stabil (kiri), dan daerah kestabilan dari E2 (kanan). . . . . 70
IV.3
Simulasi numerik untuk sel susceptible (3a), sel yang terinfeksi
(3b) dan virus bebas (3c) dengan memilih nilai awal 400 sel susceptible, sel terinfeksinya nol dan 10 partikel virus bebas. Nilai parameter yang digunakan dalam simulasi ini adalah µ =
0.1668, a = 0.001, γ = 29, α = 0.00041, β = 0.32, k = 208, R0 =
8.9589. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
IV.4
Daerah ruang parameter (a, ν) terhadap R0i . . . . . . . . . . . . . 74
IV.5
Grafik fungsi F G untuk c = d = 0, η = 0 (garis lurus), η > 0
(garis putus - putus). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
IV.6
Diagram bifurkasi model (IV.5) dengan c1 = 0 (η = c = 0) dan
d µ − β δ > 0. Garis lurus menggambarkan stabil asimtotik lokal
dan garis putus - putus menggambarkan cabang-cabang titik kesetimbangan yang tak stabil. V1o , V2o dan V3 merupakan komponen
bebas virus dari titik - titik T1o , T2o dan T3 . . . . . . . . . . . . . . 79
xiv
IV.7
Gambar atas: kurva dari adγV 2 +(d(aµ+αγ)−kδa)V −kαδ (aV +
α)β1 γ − a(k − β1 )µ (kiri: d µ − βδ ≤ 0, kanan: d µ − βδ > 0)
dan V2o dan V3 adalah komponen bebas virus dari T1o , T2o dan T3 .
IV.8
80
Simulasi numerik dari model (IV.5) untuk nilai cν − βd > 0 dan
R0i > 1. Nilai-nilai parameter pada simulasi numerik ini adalah
γ = 0.8, β = 0.5, a = 0.001, k = 20, ν = 0.001, d = 0.03, c = 15.1. . 82
IV.9
Simulasi numerik dari model (IV.5) untuk nilai cν − βd < 0 dan
R0i > 1. Nilai-nilai parameter pada simulasi numerik ini adalah
γ = 0.8, β = 0.0045, a = 0.001, k = 20, ν = 0.001, d = 0.0075, c =
0.005. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
V.1
Diagram Alir Program Sistem Peringatan Dini DBD . . . . . . . 87
V.2
Tampilan Awal Program . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
V.3
Tampilan Input Map Source . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
V.4
Tampilan Input Parameter Simulasi . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
V.5
Tampilan Model Esteva dan Vargas (2002) . . . . . . . . . . . . . 89
V.6
Tampilan Model Persamaan III.1 dan III.2 . . . . . . . . . . . . . 90
xv
DAFTAR TABEL
I.1
Tabel vaksin Dengue dan Institusi Pengembang Vaksin. . . . . . .
3
II.1
Nilai parameter model eksternal (Feng dan Velasco, 1997). . . . . 16
III.1
Kestabilan titik - titik endemik satu serotipe virus untuk keempat
skenario vaksinasi pada nilai parameter tertentu. . . . . . . . . . 55
III.2
Periode transmisi sebelum dan sesudah vaksinasi skenario keempat. 62
IV.1
Beberapa estimasi nilai parameter model internal. . . . . . . . . . 81
xvi
DAFTAR LAMBANG
LAMBANG
Nama
Pemakaian
MODEL
pertama kali
EKSTERNAL
S̃
pada halaman
Sub populasi manusia sehat yang dapat
terinfeksi DBD atau susceptible
I˜1
Sub populasi manusia yang mengalami infeksi
primer oleh serotipe 1
I˜2
13
Sub populasi manusia yang sembuh
dari infeksi primer serotipe 2
Z̃
13
Sub populasi manusia yang sembuh
dari infeksi primer serotipe 1
Z̃2
13
Sub populasi manusia yang mengalami infeksi
dan menunjukkan gejala parah dan dirawat di rs
Z̃1
13
Sub populasi manusia yang mengalami infeksi
sekunder oleh serotipe 2
D̃
13
Sub populasi manusia yang mengalami infeksi
sekunder oleh serotipe 1
Y˜2
13
Sub populasi manusia yang mengalami infeksi
primer oleh serotipe 2
Y˜1
13
13
Sub populasi manusia yang sembuh total dari
infeksi primer maupun sekunder
13
V0
Sub populasi nyamuk sehat yang dapat terinfeksi DBD
14
V1
Sub populasi nyamuk yang terinfeksi DBD serotipe 1
14
V2
Sub populasi nyamuk yang terinfeksi DBD serotipe 2
14
Nh
Total populasi manusia
12
Nv
Total populasi nyamuk
12
xvii
LAMBANG
Nama
Pemakaian
MODEL
pertama kali
EKSTERNAL
S
pada halaman
Proporsi manusia sehat yang dapat
terinfeksi DBD
I1
16
Proporsi manusia yang mengalami infeksi
primer serotipe 1
I2
16
Proporsi manusia yang mengalami infeksi
primer serotipe 2
Y1
16
Proporsi manusia yang mengalami infeksi
sekunder serotipe 1
Y2
16
Proporsi manusia yang mengalami infeksi
sekunder serotipe 2
D
16
Proporsi manusia yang mengalami infeksi kedua
dan menunjukkan gejala parah serta dirawat di rs
Z1
Proporsi manusia yang sembuh
dari infeksi primer serotipe 1
Z2
15
Laju infeksi rata-rata dari nyamuk
ke manusia, i = 1, 2
µh−1
16
Laju infeksi rata-rata dari manusia
ke nyamuk, i = 1, 2
Bi
16
Proporsi manusia yang sembuh total dari
infeksi primer maupun sekunder
Ai
16
Proporsi manusia yang sembuh
dari infeksi primer serotipe 2
Z
16
15
Angka harapan hidup manusia
per satuan waktu
15
xviii
LAMBANG
Nama
Pemakaian
MODEL
pertama kali
EKSTERNAL
αi
pada halaman
Peluang transmisi sukses dari manusia
ke nyamuk, i = 1, 2
βi
15
Peluang transmisi sukses dari nyamuk
ke manusia, i = 1, 2
15
γ −1
Rata-rata periode infeksi DBD pada manusia
15
σi
Indeks suseptibilitas i = 1, 2
15
q
Peluang seseorang mengalami gejala parah DBD
14
µv−1
Angka harapan hidup nyamuk per satuan waktu
15
δ
Peluang kematian akibat penyakit
15
b
Rata-rata gigitan nyamuk per satuan waktu
15
<0
Basic reproduction ratio
17
K
Matriks pembangkit
19
r
Banyaknya orang yang divaksinasi per kapita
per satuan waktu
39
p
Proporsi vaksinasi yang dikenakan pada bayi
39
v
Proporsi vaksinasi untuk skenario ke empat
41
w
Peluang terjadinya efek memperburuk kondisi
infeksi DBD (worsening effect)
gi
Peluang vaksin hanya memberikan kekebalan
untuk serotipe i saja i = 1, 2
Rvi
42
7
basic reproduction ratio untuk skenario
vaksinasi ke i, i = 1, 2, 3, 4
xix
43
LAMBANG
Nama
Pemakaian
MODEL
pertama kali
EKSTERNAL
E0
pada halaman
Titik kesetimbangan bebas penyakit
untuk model dasar
Ei
20
Titik kesetimbangan endemik model dasar
untuk serotipe virus i saja, i = 1, 2
E3
Titik kesetimbangan endemik model dasar
untuk eksistensi dua serotipe virus
E0vi
18
Laju rata-rata infeksi pada nyamuk
yang dihasilkan oleh virus i, i = 1, 2.
Ω
56
Laju rata-rata infeksi pada manusia
yang dihasilkan oleh virus i, i = 1, 2.
ξi
49
Proporsi manusia yang menderita gejala DBD
untuk model vaksinasi i, i = 1..4.
ψi
44
Titik kesetimbangan endemik model dasar
untuk eksistensi dua serotipe virus i = 1..4.
Dvi
44
Titik kesetimbangan endemik model vaksinasi j
untuk serotipe virus i saja, i = 1, 2 dan j = 1..4.
E3vi
20
Titik kesetimbangan bebas penyakit
untuk model vaksinasi ke i, i = 1, 2, 3, 4.
Eivj
20
18
Daerah asal untuk titik kesetimbangan yang
memiliki arti secara biologi
xx
20
LAMBANG
Nama
Pemakaian
MODEL
pertama kali
INTERNAL
S
pada halaman
Populasi sel sehat yang mungkin
terinfeksi virus DBD
64
I
Populasi sel yang terinfeksi virus DBD
64
V
Populasi sel virus DBD yang bebas
64
Z
Populasi sel imun
64
α
Laju rusaknya/kematian alami sel
per jam per ml darah
β
64
Laju pengurangan sel terinfeksi karena rusak
atau karena dimakan oleh sel imun
γ
Laju hilangnya virulensi virus
per jam per ml darah
ν
64
Rata -rata kontak sel terinfeksi dengan sel imun
pada pengurangan kompartemen sel terinfeksi
δ
64
Laju stimulasi produksi sel imun akibat
sel yang terinfeksi per jam per ml darah
d
64
Banyaknya sel imun yang diproduksi per jam
per ml darah
µ
64
Rata -rata kontak sel terinfeksi dengan sel imun
pada penambahan kompartemen sel imun
η
64
Laju kematian alami sel imun
per jam per ml darah
c
64
64
Banyaknya sel sehat yang diproduksi oleh sumsum tulang
per jam per ml darah
64
xxi