universitas indonesia perbandingan sistem persamaan linier dalam

UNIVERSITAS INDONESIA
PERBANDINGAN SISTEM PERSAMAAN LINIER DALAM
ALJABAR KLASIK DAN ALJABAR MAX-PLUS
TESIS
MULYADI
NPM. 0906577362
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
PROGRAM STUDI MAGISTER MATEMATIKA
DEPOK
Juli 2011
Perbandingan sistem..., Mulyadi, FMIPA UI, 2011
UNIVERSITAS INDONESIA
PERBANDINGAN SISTEM PERSAMAAN LINIER DALAM
ALJABAR KLASIK DAN ALJABAR MAX-PLUS
TESIS
diajukan sebagai salah satu syarat
untuk memperoleh gelar Magister Sains
MULYADI
NPM. 0906577362
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
PROGRAM STUDI MAGISTER MATEMATIKA
DEPOK
2011
i
Perbandingan sistem..., Mulyadi, FMIPA UI, 2011
HALAMAN PERNYATAAN ORISINALITAS
Tesis ini adalah hasil karya sendiri,
dan semua sumber baik yang dikutip maupun dirujuk
telah saya nyatakan dengan benar.
Nama
: MULYADI
NPM
: 0906577362
Tanda Tangan
:
Tanggal
: 13 Juli 2011
ii
Perbandingan sistem..., Mulyadi, FMIPA UI, 2011
HALAMAN PENGESAHAN
Tesis ini diajukan oleh :
Nama
:
NPM
:
Program Studi
:
Judul Tesis
:
Mulyadi
0906577362
Magister Matematika
Perbandingan Sistem Persamaan Linier dalam
Aljabar Klasik dan Aljabar Max-Plus.
Telah berhasil dipertahankan dihadapan dewan penguji dan diterima sebagai
bagian persyaratan yang diperlukan untuk memperoleh gelar magister sains pada
program studi magister matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan
Alam, Universitas Indonesia.
DEWAN PENGUJI
Pembimbing I
:
Dr. Hengki Tasman, M.Si
Pembimbing II
:
Prof. Dr. Djati Kerami
Penguji
:
Prof. Dr. Belawati H Widjaja
Penguji
:
Dr.rer.nat. Hendri Murfi, M.Kom
Ditetapkan di
: Depok
Tanggal
: 13 Juli 2011
iii
Perbandingan sistem..., Mulyadi, FMIPA UI, 2011
KATA PENGANTAR
Alhamdulillah, segala puji hanya bagi Allah SWT, Rabb Yang Maha
Kuasa, yang telah melimpahkan segala rahmat dan karunia sehingga penulis dapat
menyelesaikan tesis ini. Penulisan tesis ini dilakukan dalam rangka memenuhi
syarat untuk mencapai gelar Magister Sains Jurusan Matematika pada Fakultas
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Indonesia.
Saya sadar bahwa penyelesaian tesis ini tidak terlepas dari bantuan dan
dukungan dari berbagai pihak. Oleh karena itu, pada kesempatan ini penulis ingin
mengucapkan terima kasih kepada pihak-pihak yang telah berjasa dalam penulisan
tesis ini maupun selama penulis kuliah. Ucapan terima kasih terhatur kepada:
1. Bapak Dr. Hengki Tasman, M.Si, selaku dosen pembimbing tesis yang teramat
banyak memberikan nasihat, bantuan, masukan dan dorongan semangat
kepada penulis dalam menyelesaikan tesis ini;
2. Bapak Prof. Dr. Djati Kerami, selaku dosen pembimbing dan Ketua Program
Studi Magister Matematika yang sekaligus dosen pembimbing akademik dan
Bapak Dr. rer. nat Hendri Murfi, M.Kom selaku sekretaris Program Studi
Magister Matematika yang telah banyak memberikan arahan kepada penulis
selama menyelesaikan masa studi;
3. Bapak Dr. Yudi Satria, M.T, selaku ketua Departemen Matematika FMIPA UI
dan Ibu Rahmi Rusin S.Si, M.Sc.Tech, selaku Sekretaris Departemen
Matematika FMIPA UI;
4. Seluruh staf pengajar di Program Magister Matematika FMIPA UI, atas arahan,
bimbingan, dan ilmu pengetahuan yang telah diberikan selama perkuliahan;
5. Pemerintah Propinsi Jambi melalui Dinas Pendidikan Propinsi yang telah
memberikan kesempatan dan dukungan melalui program beasiswa.
6. Ibunda tercinta (Waliyem dan Yamcik A.Ma.Pd) yang telah memberikan
dukungan moral, materiil, serta doa yang tidak pernah berhenti;
7. Istriku tercinta Renny Marina dan anakku tersayang Annida Syahidah
Maharani, Farwah Atikah Parameswari, atas segala dukungan, kesabaran,
semangat, dan doa;
iv
Perbandingan sistem..., Mulyadi, FMIPA UI, 2011
8. Keluarga besar saya (mas Sudadi, Mbak Mulyani, Dik Wahadi, Dik Eni
Ernawaty) yang telah memberikan dukungan moral, materiil, serta doa yang
tidak pernah berhenti;
9. Saudara iparku tercinta (Sih Parmini, Saudi, Arika Febriyani, Awal Rulizal,
Rakhmat Juniadi, Lidia Atrika).
10. Mas Lismanto, Dhek Pahrin, Dhek Henang, Mbak Desi, Mas Susila, Mas
Haryono, Akang Salim, Mbak Iik, Ibu Sri Samsiyah dan semua teman-teman
S2 UI dari Jambi angkatan pertama yang telah berjuang bersama.
11. Kepada semua teman-teman yang telah memberi semangat terutama temanteman megister angkatan 2009 di Matematika UI.
12. Kepada semua pihak yang telah membantu penulis dalam pengerjaan tesis ini,
yang namanya tidak bisa disebutkan satu-persatu, penulis ucapkan terima
kasih.
Akhir kata, saya berharap kepada Tuhan Yang Maha Kuasa berkenan
membalas segala kebaikan semua pihak yang telah membantu. Semoga tesis ini
dapat bermanfaat bagi yang membacanya, terutama untuk pengembangan ilmu
pengetahuan.
Penulis
2011
v
Perbandingan sistem..., Mulyadi, FMIPA UI, 2011
HALAMAN PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI
TUGAS AKHIR UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIK
Sebagai civitas akademik Universitas Indonesia, saya yang bertanda tangan di
bawah ini ;
Nama
:
Mulyadi
NPM
:
0906577362
Program Studi
:
Magister Matematika
Departemen
:
Matematika
Fakultas
:
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Jenis Karya
:
Tesis
Demi pengembangan ilmu pengetahuan, menyetujui untuk memberikan kepada
Universitas Indonesia, hak bebas biaya royalti noneksklusif (Non-exclusive
royalti-free right) atas karya ilmiah saya berjudul :
“ Perbandingan Sistem Persamaan linier dalam Aljabar Klasik dan Aljabar Maxplus”
beserta perangkat yang ada (jika diperlukan). Dengan hak bebas biaya royalti non
eksklusif ini Universitas Indonesia berhak untuk menyimpan, mengalih
media/formatkan, mengelola dalam bentuk data (data base), merawat, dan
mempublikasikan tugas akhir saya selama tetap mencantumkan nama saya sebagai
penulis/pencipta dan sebagai hak cipta.
Demikian pernyataan ini saya buat dengan sebenarnya.
Dibuat di
: Depok
Pada Tanggal
: 13 Juli 2011
Yang menyatakan
(Mulyadi)
vi
Perbandingan sistem..., Mulyadi, FMIPA UI, 2011
ABSTRAK
Nama
Program Studi
Judul Tesis
:
:
:
Mulyadi
Magister Matematika
Perbandingan Sistem Persamaan linier dalam
Aljabar Klasik dan Aljabar Max-plus.
Aljabar Max-plus mempunyai karakteristik yang berbeda dengan aljabar
klasik. Dalam tesis ini dikaji struktur Aljabar Max-plus dan perbedaan sistem
persamaan linier dalam Aljabar Max-plus dan aljabar klasik.
Kata kunci :
Aljabar Max-Plus, Sistem Persamaan Linier.
vii
Perbandingan sistem..., Mulyadi, FMIPA UI, 2011
ABSTRACT
Name
Study Program
Title
:
:
:
Mulyadi
Magister of Mathematics
Comparison of linear equation systems in classical
algebra and Max-Plus Algebra.
Max-Plus algebra has characteristics that are different from clasisical algebra. In
this thesis, algebraic structure of Max-plus algebra studied. Differences of linear
equation systems in Max-plus algebra and classical algebra are explored.
Key words:
Max-plus algebra, , linear equation system.
viii
Perbandingan sistem..., Mulyadi, FMIPA UI, 2011
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL.............................................................................................
HALAMAN PERNYATAAN ORISINALITAS ..................................................
LEMBAR PENGESAHAN ..................................................................................
KATA PENGANTAR ..........................................................................................
LEMBAR PERSETUJUAN PUBLIKASI ILMIAH ............................................
ABSTRAK ............................................................................................................
DAFTAR ISI .........................................................................................................
DAFTAR TABEL .................................................................................................
DAFTAR GAMBAR ...........................................................................................
BAB 1
i
ii
iii
iv
vi
vii
ix
xi
xii
PENDAHULUAN .................................................................................
1.1 Latar Belakang ................................................................................
1.2 Permasalahan...................................................................................
1.3 Tujuan Penelitian ............................................................................
1.4 Manfaat Penelitian ..........................................................................
1.5 Metode Penelitian............................................................................
1.6 Sistematika Penulisan .....................................................................
1
1
2
2
2
2
2
BAB 2 ALJABAR MAX-PLUS ........................................................................
2.1 Definisi aljabar Max-plus ................................................................
2.2 Matriks dalam aljabar Max-Plus ..................................................
2.3 Teori Graf dan aljabar Max-Plus...................................................
4
4
11
17
BAB 3 BEBERAPA PERBANDINGAN DALAM ALJABAR KLASIK DAN
ALJABAR MAX-PLUS ........................................................................ 22
3.1 Fungsi Linier ................................................................................... 22
3.1.1 Fungsi linier dalam aljabar klasik ...................................... 22
3.1.2 Fungsi linier dalam aljabar Max-plus ................................ 22
3.2 Fungsi Afin ..................................................................................... 24
3.2.1 Fungsi afin aljabar klasik ................................................... 25
3.2.2 Fungsi afin aljabar Max-plus ............................................. 25
3.3 Persamaan Afin ............................................................................... 27
3.3.1 Persamaan linier (afin) aljabar klasik ................................ 27
3.3.2 Pertidaksamaan linier (afin) aljabar klasik ........................ 28
3.3.3 Persamaan afin aljabar Max-Plus ................................... 29
3.4 Sistem Persamaan Linier ................................................................ 37
3.4.1 Sistem Persamaan Linier aljabar klasik ............................. 37
3.4.2 Sistem Persamaan Linier aljabar Max-Plus bentuk
=
.................................................... 38
3.4.3 Sistem Persamaan Linier aljabar Max-Plus bentuk
................................................................... 41
3.4.4 Sistem Persamaan Linier aljabar Max-Plus bentuk
........................................................................ 45
ix
Perbandingan sistem..., Mulyadi, FMIPA UI, 2011
BAB 4
PENUTUP..............................................................................................
4.1 Kesimpulan .......................................................................................
4.2 Saran ..................................................................................................
50
50
50
DAFTAR PUSTAKA ...........................................................................................
51
x
Perbandingan sistem..., Mulyadi, FMIPA UI, 2011
DAFTAR TABEL
Tabel 1 Pengoperasian pada aljabar Max-plus ....................................................
8
Tabel 2 Pengoperasian pangkat pada aljabar Max -plus ......................................
9
Tabel 3 Pengoperasian pangkat pada aljabar Max -plus ....................................
11
Tabel 4 Perbandingan fungsi linier pada aljabar klasik dan aljabar Max-plus .
24
Tabel 5 Perbandingan fungsi afin pada aljabar klasik dan aljabar Max-plus ...
26
Tabel 6 Perbandingan persamaan linier pada aljabar klasik dan persamaan afin
aljabar Max-plus ..................................................................................
36
Tabel 7 Perbandingan persamaan linier pada aljabar klasik dan aljabar Max-plus 48
xi
Perbandingan sistem..., Mulyadi, FMIPA UI, 2011
DAFTAR GAMBAR
Gambar 1
Graf
Gambar 2
Grafik fungsi linier
Gambar 3
Grafik fungsi linier
Gambar 4
..........................................................................
19
.....................................
23
................................................
24
Grafik fungsi linier
......................................
24
Gambar 5
Grafik fungsi linier
............................................
24
Gambar 6
Grafik fungsi linier
....................................
24
Gambar 7
Grafik fungsi afin
......................................................
25
Gambar 8
Grafik fungsi afin
...............................................
25
Gambar 9
Grafik fungsi linier
......................................
26
Gambar 10
Grafik fungsi linier
...............................................
26
Gambar 11
Grafik fungsi linier
Gambar 12
Grafik fungsi afin
Gambar 13
Grafik fungsi linier
Gambar 14
Grafik fungsi afin
Gambar 15
Grafik pertidaksamaan
Gambar 16
dan
........
26
.............................
26
........................................
26
..............................
26
..............................................
29
Teorema 3.3.3.2 (a.1) Persamaan
................
30
Gambar 17
Teorema 3.3.3.2 (a.2) Persamaan
................
30
Gambar 18
Teorema 3.3.3.2 (b.1) Persamaan
...............
30
Gambar 19
Teorema 3.3.3.2 (b.2) Persamaan
................
30
Gambar 20
Teorema3.3.3.2 (c) Persamaan
................
30
Gambar 21
Teorema 3.3.3.2 (d) Persamaan
..................
30
Gambar 22
Teorema 3.3.3.2 (e) Persamaan
................
31
Gambar 23
Grafik SPL
.................................
38
Gambar 24
Graf
.....................................................................
42
Gambar 25
Grafik SPL
........................
48
Gambar 26
Grafik SPL
.......................................
48
xii
Perbandingan sistem..., Mulyadi, FMIPA UI, 2011
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Matematika merupakan ilmu yang mendasari semua disiplin ilmu yang ada, baik
disiplin ilmu sosial, ilmu esakta, sains dan teknologi, sehingga menempatkan matematika sebagai mother of sciences. Salah satu cabang matematika adalah aljabar. Aljabar memegang peranan sangat penting dalam perkembangan disiplin ilmu – ilmu
lain. Perkembangan aljabar sangat berkaitan erat dengan cabang – cabang ilmu matematika yang lain seperti Geometri, Teori Bilangan, Statistik, Ilmu Komputer, Logika, Ilmu
Analisis bahkan Matematika Terapan dan lain- lain[6].
Aljabar Max-plus merupakan salah satu topik dalam ruang lingkup aljabar. Aljabar Max-plus didefinisikan sebagai himpunan
semua bilangan real, yang dilengkapi
Operasi
adalah himpunan
dengan dua operasi biner yaitu
menyatakan operasi maksimum, dan
dinotasikan
, dengan
.
adalah operasi jumlahan. Himpunan
yang dilengkapi dua operasi biner (
. Aljabar Max-plus yang dinotasikan
dinotasikan
merupakan salah satu
struktur aljabar yang semilapangan komutatif idempoten [2, 5, 6, 10]. Elemen identitas
pada operasi penjumlahan
(elemen nol) dan elemen identitas pada operasi perkalian
(elemen satu) berturut-turut adalah
, dan
. Operasi
didefini-
sikan sebagai berikut [2, 3, 5, 6, 10]:
Bentuk lain dari aljabar Max-plus adalah aljabar Min-plus, dengan
minimum dan identitas jumlahannya adalah
menyatakan
Operasi dasar pada aljabar Max-plus
adalah maksimum dan penjumlahan, yang dalam operasi aljabar linier klasik (konvensional) adalah penjumlahan dan perkalian. Beberapa sifat dan konsep dalam aljabar linier, akan berlaku dalam aljabar Max-plus [2, 5, 6].
1
Perbandingan sistem..., Mulyadi, FMIPA UI, 2011
Universitas Indonesia
2
1.2 Permasalahan
Aljabar Max-plus merupakan salah satu topik dalam ruang lingkup aljabar. Untuk
itu struktur aljabar Max-plus perlu dipelajari secara mendalam.
1.2.1 Masalah umum
Bagaimana konsep dasar aljabar Max-plus ?
1.2.2 Masalah khusus
Bagaimana perbedaan sistem persamaan linier dalam aljabar klasik dan
aljabar Max-plus ?
1.3 Tujuan Penelitian
Berdasarkan latar belakang dan permasalahan di atas, dalam tesis ini bertujuan untuk:
1.3.1 Menjelaskan konsep dasar aljabar Max-plus.
1.3.2 Menjelaskan perbedaan sistem persamaan linier dalam aljabar klasik dan
aljabar Max-plus.
1.4 Manfaat Penelitian
Secara umum penelitian ini bermanfaat untuk memberikan wawasan yang relatif
baru dalam bidang teori sistem linier.
1.5 Metode Penelitian
Penelitian dilakukan dengan mempelajari karya ilmiah yang disajikan dalam bentuk buku, disertasi ataupun paper yang relevan dengan topik penelitian. Kemudian hasilnya dijabarkan dan disusun kembali secara rinci menjadi suatu karya tulis.
1.6 Sistematika Penulisan
Tesis ini terdiri dari empat bab, yaitu:
Bab I : Mengemukakan latar belakang, permasalahan, tujuan, manfaat, metode penelitian dan sistematika penulisan.
Bab II: Membahas konsep-konsep dasar tentang aljabar Max-plus, matriks dan graf
Universitas Indonesia
Perbandingan sistem..., Mulyadi, FMIPA UI, 2011
3
Bab III: Membahas fungsi linier dan fungsi afin, persamaan linier dan persamaan afin,
sistem persamaan linier dalam aljabar Max-plus, dan beberapa perbandingan
aljabar linier dan aljabar Max-plus.
Bab IV: Kesimpulan dari pembahasan dan saran.
Daftar Pustaka
Universitas Indonesia
Perbandingan sistem..., Mulyadi, FMIPA UI, 2011
BAB II
ALJABAR MAX-PLUS
Pada bab ini dibahas beberapa konsep dasar operasi dalam aljabar Max-plus.
Pembahasan meliputi sifat–sifat aljabar Max-plus [2, 5, 10], matriks dan operasinya
dalam aljabar Max-plus [3, 5, 10, 11], teori graf dalam aljabar Max-plus [2, 5, 6, 11,12].
2.1. Definisi Aljabar Max-Plus
Pada aljabar Max-plus, sifat- sifatnya dapat diketahui dari beberapa definisi dan
sifat dalam aljabar klasik pada umumnya [2, 5,10]. Beberapa definisi yang berkaitan
adalah sebagai berikut.
Definisi 2.1.1
Misalkan
adalah himpunan tak kosong. Operasi biner
pada
adalah suatu fungsi
Definisi 2.1.2
Sistem matematika adalah suatu himpunan tak kosong yang dilengkapi oleh satu
atau lebih operasi biner.
Definisi 2.1.3
Himpunan
bersama dua operasi biner
pada
dikatakan semila-
pangan jika:
A.
Sistem matematika (
,
) memenuhi aksioma- aksioma berikut:
a. Bersifat asosiatif;
,
.
b. Bersifat komutatif;
,
c. Terdapat elemen identias 0 (nol) di
B.
Sistem matematika (
, sehingga
,
, ) suatu grup, jika memenuhi;
a. Bersifat asosiatif;
,
.
b. Terdapat elemen identitas 1(satuan)
,
yang bersifat;
.
4
Perbandingan sistem..., Mulyadi, FMIPA UI, 2011
Universitas Indonesia
5
c. Menpunyai invers,
C.
D.
terdapat
yang bersifat:
Bersifat distributif kanan ;
,
.
,
.
Bersifat distributif kiri ;
Definsi 2. 1.4
Himpunan
pada
yang dilengkapi dua operasi biner
dikatakan semi-
lapangan yang komutatif dan idempoten jika:
A.
Sistem matematika
B.
Bersifat komutatif terhadap operasi , yaitu
C.
Bersifat idempoten terhadap operasi
merupakan semilapangan;
,
,
, yaitu
Teorema 2.1.5
Unsur nol (0) pada semilapangan
yang idempoten memenuhi
,
.
Bukti:
Berdasarkan sifat idempoten, kita mempunyai:
, kedua ruas ditambahkan
Dengan demikian,
berlaku 0
, dengan Definisi 2.1.3 B (c)
, maka
=
Terbukti bahwa
=
=
=
=
.
.
Universitas Indonesia
Perbandingan sistem..., Mulyadi, FMIPA UI, 2011
6
Definisi 2.1.6
Diberikan himpunan bilangan real
sama dengan dua operasi biner
sembarang bilangan
ber-
(dibaca o kali). Jika diberikan
(dibaca o plus) dan
dan y, maka
gan tersebut, dan
dinotasikan sebagai
adalah nilai maksimum dari salah satu bilan-
adalah penjumlahan dari kedua bilangan tersebut. Dengan de-
mikian sistem matematika yang mempunyai operasi
yang dimaknakan dendan
gan nilai maksimum dan penjumlahan disebut aljabar Max-plus dinotasikan
didefinisikan:
,
,
.
untuk setiap
Dari Definisi 2.1.6 operasi biner
pada
mum dari dua bilangan. Hal ini berakibat
didefinisikan sebagai nilai maksijika dan hanya jika
.
Teorema 2. 1.7
merupakan semilapangan yang komutatif dan idempoten.
Bukti:
I.
merupakan semilapangan.
1. Sistem matematika (
memenuhi aksioma- aksioma berikut:
a. Bersifat asosiatif;
operasi
bersifat asosiatif di
b. Bersifat komutatif;
=
operasi
bersifat komutatif di
c. Terdapat unsur nol
di
,
.
;
,
Jadi
adalah unsur nol di
terhadap operasi
.
Universitas Indonesia
Perbandingan sistem..., Mulyadi, FMIPA UI, 2011
7
2. Sistem matematika (
membentuk suatu grup.
a. Bersifat asosiatif;
,
operasi
bersifat asosiatif di
b. Terdapat unsur satuan
yang bersifat;
adalah unsur satuan di
c. Untuk setiap
terhadap operasi
terdapat
yang bersifat:
Jadi 3. Operasi
terhadap operasi
bersifat distributif kanan terhadap
.
.
,
.
operasi
4. Operasi
bersifat distributif kanan terhadap operasi
bersifat distributif kiri terhadap
di
.
.
,
.
operasi
bersifat distributif kiri terhadap operasi
Jadi berdasarkan 1 sampai 4
II.
Selanjutnya
di
.
merupakan suatu semilapangan.
semilapangan dikatakan komutatif dan idempoten, jika;
1. Terhadap operasi
bersifat komutatif;
,
terhadap operasi
2. Terhadap operasi
bersifat komutatif di
.
bersifat idempotent;
,
operasi
bersifat idempoten di
Jadi berdasarkan (I) dan (II)
adalah semilapangan yang komutatif dan idem-
poten.
Universitas Indonesia
Perbandingan sistem..., Mulyadi, FMIPA UI, 2011
8
Operasi biner
pada
yang merupakan operasi maksimum pada aljabar klasik,
tidak mempunyai invers (balikan). Dengan demikian pada
pat
yang bersifat
jika
atau
operasi
,
karena
. Jadi jelaslah bahwa
tidak terdajika dan hanya
tidak mempunyai invers terhadap
dalam aljabar Max-plus.
Diberikan operasi biner
(dibaca o bagi) pada
yang didefinisikan sebagai
operasi pengurangan dalam aljabar klasik. Sesuai kaidah pengoperasian, pada aljabar
Max-plus operasi biner
dan
dilakukan operasi lebih dulu daripada operasi biner
.
Contoh 2.1.9
Tabel 1. Pengoperasian dalam aljabar Max- plus
Operasi pada aljabar
Operasi pada aljabar klasik
Hasil
5
7
8
18
11
9
7+ (
6–4
2
=
=
6
14
Universitas Indonesia
Perbandingan sistem..., Mulyadi, FMIPA UI, 2011
9
Definisi 2.1.10
Diberikan
kat
dengan
dari elemen x
adalah himpunan bilangan asli, dan x
. Pang-
dalam aljabar Max-plus dinotasikan dengan
dide-
finisikan sebagai berikut:
=
, (operasi perkalian dalam
n
n
bilangan real biasa).
Jika diperluas pangkat aljabar Max-plus secara umum diperoleh sebagai berikut:
a. Jika
b. Jika
c. Jika
d. Jika
maka
, maka
, maka
dan
.
( untuk
, maka
.
=
=
Contoh 2.1.11
Tabel 2. Pengoperasian pangkat pada aljabar Max-plus
Operasi pada aljabar
Operasi pada aljabar klasik
Hasil
Universitas Indonesia
Perbandingan sistem..., Mulyadi, FMIPA UI, 2011
10
Operasi pada aljabar
Operasi pada aljabar klasik
Hasil
=
12
=
=
20
=
Beberapa sifat dalam operasi bilangan pangkat pada aljabar Max-plus adalah
sebagai berikut.
Lemma 2.1.12
Untuk setiap
dan x, y
berlaku:
1.
2.
3.
4.
Bukti:
1.
n
m
n
m
+
=
.
2.
=
m
m
=
n
=
=
n
3.
4.
m
m
Universitas Indonesia
Perbandingan sistem..., Mulyadi, FMIPA UI, 2011
11
m
m
Dalam urutan pengoperasian pangkat pada aljabar Max-plus operasi biner
lakukan terlebih dahulu daripada operasi biner
di-
.
Contoh: 2.1.13
Tabel 3. Pengoperasian pangkat pada aljabar Max-plus
Operasi pada aljabar
Nilai
Operasi pada aljabar klasik
32
2.2 MATRIKS DALAM ALJABAR MAX- PLUS
Pada subbab ini dibahas pengantar tentang matriks dalam aljabar Max-plus. Sebagai bahan rujukan dalam materi ini dapat ditemukan dalam [2,3, 5,10]. Pada subbab 2.1
telah dijelaskan bahwa aljabar Max-plus adalah semilapangan yang idempoten, selanjutnya diperkenalkan struktur baru yang disebut moduloid.
Definisi 2.2.1
Diberikan semilapangan yang idempoten
operasi
punan
dengan elemen identitas 0 (nol) pada
dan elemen identitas 1(satu) pada operasi
. Moduloid
atas
adalah him-
yang dilengkapi dengan:
1. Operasi biner
dan elemen identitas 0;
2. Operasi biner
Universitas Indonesia
Perbandingan sistem..., Mulyadi, FMIPA UI, 2011
12
dan memenuhi aksioma- aksioma berikut:
a. Bersifat asosiatif;
,
b. Bersifat komutatif;
,
c.
,
d.
,
e.
,
f.
,
g.
,
setiap
setiap
setiap
Definisi 2.2.2
Suatu himpunan matriks berordo
dengan
pada aljabar Max-plus
. Secara lengkap ditulis matriks dalam
dinotasikan sebagai
untuk
menyatakan kolom ke-
menyatakan baris ke-
dengan
dan
dengan
Matriks
dituliskan sebagai berikut:
.
Teorema 2.2.3
Diberikan
yang dilengkapi operasi biner
, dengan
biner
Maka
dari
pada
,
.
adalah merupakan moduloid atas
pada
.
,
setiap
=
dan operasi
.
.
Bukti:
adalah merupakan moduloid atas
jika :
a. Bersifat komutatif ;
b. Bersifat asosiatif;
,
Universitas Indonesia
Perbandingan sistem..., Mulyadi, FMIPA UI, 2011
13
,
c.
dan
;
,
d.
dan
;
e.
dan
;
;
f.
.
g.
Jadi berdasarkan aksioma dalam Definisi 2.2.1
merupakan moduloid atas
.
Definisi 2.2.4
Moduloid
dengan penambahan satu operasi biner
yang dinotasikan dengan
disebut aljabar idempoten, jika memenuhi aksioma – aksioma berikut:
a. Bersifat asosiatif;
b. Terdapat elemen identitas
(satu) di
yang bersifat
= =
,
c. Bersifat distributif kiri;
d. Bersifat distributif kanan;
Teorema 2.2.5
Moduloid
yang ditambah satu operasi biner
pada
=
=
yaitu:
,
adalah
aljabar idempoten.
Bukti:
a. Bersifat asosiatif;
=
=
=
,
;
b. Terdapat unsur satuan
( = 0) yang merupakan matriks berukuran
dengan elemen – elemen diagonal utama sama dengan
lain sama dengan
Matriks
bersifat
=
,
dan elemen-elemen yang
=
,
.
Universitas Indonesia
Perbandingan sistem..., Mulyadi, FMIPA UI, 2011
14
Matriks
disebut matriks identitas. Dibuktikan
=
=
,
sebagai berikut:
=
Dengan
, untuk
untuk
dan
.
sehingga
dituliskan menjadi;
Untuk
,
Dan demikian seterusnya, hingga sampai
, sehingga diperoleh:
.
=
, untuk
. Dengan
untuk
dan
sehingga
dituliskan menjadi :
Untuk
,
Dan demikian seterusnya, hingga sampai
, sehingga diperoleh:
.
Dengan demikian dari
dan
terbukti bahwa
=
=
,
c. Bersifat distributif kiri;
Universitas Indonesia
Perbandingan sistem..., Mulyadi, FMIPA UI, 2011
15
,
.
d. Bersifat distributif kanan;
,
.
Dengan demikian dari (a), (b), (c) dan (d) terbukti bahwa
adalah aljabar
idempoten.
Definisi 2.2.6
1. Diberikan
, maka transpose dari matriks
dinotasikan dengan
, didefinisikan sebagai:
2. Diberikan
, dengan
, untuk setiap
. Matriks
disebut
pangkat
dari
matriks nol Max-plus.
3. Diberikan
dan diberikan
matriks
dinotasikan dengan
=
didefinisikan sebagai:
.
n
Untuk
,
adalah sebuah matriks identitas. Lebih lanjut dapat di-
perjelas untuk pangkat pada matriks sebagai berikut [4, 9, 10, 12]:
Untuk unsur
=
pada matriks
adalah:
=
.
Universitas Indonesia
Perbandingan sistem..., Mulyadi, FMIPA UI, 2011
16
pada matriks
Untuk unsur
adalah:
=
=
=
.
Dari ilustrasi di atas, maka secara umum unsur
pangkat matriks dalam al-
jabar Max-plus dapat disimpulkan sebagai berikut:
=
=
.
=
Selanjutnya jika diberikan
dan diberikan sebarang skalar
adalah pangkat, maka unsur
matriks
,
didefinisikan
sebagai berikut:
=
=(
+
n
=
, untuk
dan
Jadi untuk sebarang
=
Jika diberikan sebarang
,
maka berlaku:
, untuk
, maka
.
Contoh 2.2.7
1. Diberikan matriks
,
dan
Tentukan:
a.
.
b. 5
.
Universitas Indonesia
Perbandingan sistem..., Mulyadi, FMIPA UI, 2011
17
c.
.
d.
.
e.
.
2.3 TEORI GRAF DAN ALJABAR MAX-PLUS
Secara khusus teori graf mempunyai peranan penting dalam masalah sistem
persamaan linier. Sebagai bahan rujukan terdapat pada [2,5,6,11,12]
Definisi 2.3.1
Sebuah graf berarah
adalah pasangan V dan E, dinotasikan sebagai
dengan V adalah himpunan simpul – simpul dan
busur. Sebuah busur tertentu
nya dari
dengan
adalah himpunan busur –
adalah busur berarah yang arah-
.
Universitas Indonesia
Perbandingan sistem..., Mulyadi, FMIPA UI, 2011
18
Definisi 2.3.2
Diberikan matriks
, graf terhubung dari matriks
dengan simpul
adalah graf
. Graf berarah
dan busur
dikatakan berbobot, jika untuk setiap busur
dengan bilangan real
Bilangan real
dipasangkan
disebut bobot busur
yang dinotasikan
.
Contoh 2.3.3
Diberikan matriks
, maka graf
mempunyai simpul
dengan bobot masing – masing busur adalah :
dan busur
1, -2, 4, dan 3.
Definisi 2.3.4
Diberikan suatu graf berarah
lam graf berarah
,
. Sebuah lintasan (path)
adalah barisan berhingga dari busur
sedemikian hingga setiap (
. Suatu lintasan
yang panjangnya
,
da) dengan
adalah busur dari graf berarah
yang mempunyai panjang
Himpunan lintasan dari
=
dari
dinotasikan dengan
dinotasikan dengan
.
.
Contoh 2.3.5
Diberikan graf seperti berikut:
1
2
3
Gambar 1. Graf
Dari Gambar 1 barisan busur (3, 2),(2, 2), (2, 1), (1, 1), (1,2) merupakan suatu lintasan dalam graf
yang dapat direpresentasikan dengan 3 2 2
dengan panjang 5, karena tersusun atas 5 busur, yang dinotasikan dengan
Lintasan 1 2
3
1
2,
.
2 mempunyai panjang 4, karena terdiri atas 4 busur dan ditulis
.
Universitas Indonesia
Perbandingan sistem..., Mulyadi, FMIPA UI, 2011
19
Definisi 2.3.6
Sebuah simpul
dapat dicapai dari simpul
. Sebuah graf berarah
diartikan ada sebuah lintasan dari
terhubung kuat jika setiap simpul dapat dicapai
dari setiap simpul yang lain.
Definisi 2.3.7
Diberikan graf berarah
. Sebuah sirkuit adalah suatu lintasan tertu-
tup atau dengan kata lain simpul awal dan simpul akhir sama, sedemikian hingga
. Selanjutnya sebuah sirkuit yang terdiri atas satu busur disebut sebuah loop.
Sebuah sirkuit elementer adalah sirkuit yang simpul-simpulnya muncul tidak lebih dari
sekali, kecuali simpul awal yang muncul tepat dua kali. Panjang lintasan terpendek yang
dilalui dari simpul
ke
adalah jarak. Lintasan dan sirkuit dari
mempunyai bo-
bot, bobotnya adalah ditentukan dari elemen-elemen matriks
.
Contoh 2.3.8
Pada graf berarah dalam contoh 2.3.5 lintasan
1 2
dan 1 2
merupakan suatu sirkuit elementer dengan panjang 3 dan panjang 2. Lintasan 1
dan 1
merupakan suatu loop, karena hanya ada satu busur. Lintasan 1 2
dan 3
2
2
merupakan sirkuit dengan panjang 5.
Definisi 2.3.9
Diberikan suatu graf berarah berbobot
Bobot suatu lintasan
dari simpul
ke
dengan
dengan panjang
. Bobot rata-rata lintasan
.
dinotasikan dengan
(perhitungannya dalam aljabar
klasik).
Contoh 2.3.10
Graf
pada contoh 2.3.3 mempunyai lintasan
=1 2
, dengan
dan
.
Bobot rata-rata lintasan
adalah
=
= .
Universitas Indonesia
Perbandingan sistem..., Mulyadi, FMIPA UI, 2011
20
Berikut ini adalah interpretasi dalam teori graf untuk pangkat
, graf terhubung dari
adalah graf
maka elemen ke- dalam
=
=
Karena
max
max
1 i1, i 2 ,..., i k 1 n
max
dengan
adalah :
1 i1, i 2 ,..., i k 1 n
1 i1, i 2 ,..., i k 1 n
Jika
pada matriks
( Ai, i k 1  ...  Ai 2 , i1  Ai1, j )
( Ai1, j  Ai 2 , i1  ...  Ai, i k 1) , untuk setiap
( Ai1, j  Ai 2 , i1  ...  Ai, i k 1) merupakan bobot lintasan dengan
panjang
dari simpul ( sebagai simpul awal) ke simpul (sebagai simpul akhir) dalam
graf
. Dengan demikian
dalam graf
merupakan bobot maksimum semua lintasan
dengan panjang
dari simpul
tidak ada lintasan dengan panjang
ke simpul . Jika dalam graf
dari simpul ke simpul
maka bobot maksimum
didefinisikan dengan
Contoh 2.3.11
Diberikan matriks
dengan panjang
diberikan
, bobot maksimum semua lintasan dalam
yang ditentukan dari elemen-elemen di
. Misalkan
berikut:
=
,
=
,
Diperhatikan bahwa
=
=
, maka bobot maksimum semua lintasan di
dengan panjang 2 yang berawal dari simpul 1 dan berakhir di simpul 3 adalah
Lintasan tersebut adalah 1 2
=
=
.
dan bobot lintasan adalah
. Dimana lintasan dengan panjang 2 yang berawal dari
simpul 2 dan berakhir di simpul 3 hanya ada satu lintasan.
bobot maksimum semua lintasan di
= 4 artinya adalah
dengan panjang 2 yang berawal dari simpul 2
dan berakhir di simpul 3 adalah 4. Lintasan tersebut adalah 2 2
=
=
= 6 yaitu bobot
. Demikian halnya dengan
maksimum semua lintasan di
dengan panjang 3 yang berawal dari simpul 2 dan
berakhir di simpul 1 adalah 6. Lintasan di
dengan panjang 3 ada 4 yaitu
Universitas Indonesia
Perbandingan sistem..., Mulyadi, FMIPA UI, 2011
21
(1).
,
(2).
,
(3).
,
(4).
.
Berdasarkan ke- 4 lintasan di atas, diperoleh bobot maksimum dari lintasan
=
. Demikian juga untuk
maksimum sirkuit dalam
adalah 1. Untuk
= 1 yaitu bobot
dengan panjang 3 yang berawal dan berakhir di simpul 3
= 7 artinya bobot maksimum dari lintasan dalam
dengan
panjang 4 yang berawal dari simpul 3 dan berakhir di simpul 1 adalah 7.
Universitas Indonesia
Perbandingan sistem..., Mulyadi, FMIPA UI, 2011
BAB III
BEBERAPA PERBANDINGAN DALAM ALJABAR KLASIK
DAN ALJABAR MAX-PLUS
Pada bab ini dibahas beberapa konsep yang meliputi fungsi linier, fungsi afin, sistem persamaan linier dalam aljabar klasik dan aljabar Max-plus.
3.1 FUNGSI LINIER
Pada subbab ini dibahas tentang fungsi linier pada aljabar klasik dan aljabar maxplus [2, 5, 6, 10].
3.1.1
Fungsi linier dalam aljabar klasik
Definisi 3.1.1.1
Fungsi
dikatakan fungsi linier, jika memenuhi;
Untuk sebarang
berlaku :
(1)
Untuk sebarang
dan skalar
berlaku :
(2)
Contoh 3.1.1.2
Tunjukan
dengan
, untuk setiap
adalah fungsi linier
Penyelesaian:
Ambil sebarang
, maka :
(3)
dan untuk sebarang
dan skalar
berlaku:
(4)
Dari (3) dan (4) terbukti bahwa
3.1.2
adalah fungsi linier.
Fungsi linier dalam aljabar Max-plus
Definsi 3.1.2.1
Fungsi
dikatakan fungsi linier dalam aljabar Max –plus, jika meme-
nuhi:
Untuk setiap
, berlaku
.
22
Universitas Indonesia
Perbandingan sistem..., Mulyadi, FMIPA UI, 2011
23
Dengan memisalkan
didapat
. Akibatnya diperoleh
kemiringan fungsi linier (garis) tersebut
= 1. Jadi kemiringan semua fungsi
linier dalam aljabar Max-plus bentuk di atas adalah selalu 1.
Fungsi linier
, mempunyai titik potong terhadap sumbu
diperoleh dengan mensubtitusikan titik
ke dalam fungsi
yang
,
sebagai berikut :
=
=
=
(kedua ruas ditambah dengan (-a))
=
Jadi titik potong fungsi
lanjutnya
untuk
terhadap sumbu
menentukan
titik
, terhadap sumbu
potong
fungsi
adalah titik
linier
aljabar
. SeMax-plus
yang diperoleh dengan mensubtitusikan titik
ke dalam fungsi
, sebagai berikut:
.
Jadi titik potong fungsi
terhadap sumbu
Grafik fungsi linier
adalah titik
.
, aljabar Max-plus sebagai berikut:
y
Rmax
y=f(x)= a × x
a
-a
0
Rmax
x
Gambar 2. Grafik fungsi linier
Universitas Indonesia
Perbandingan sistem..., Mulyadi, FMIPA UI, 2011
24
Contoh 3.1.2.2
Tabel 4. Perbandingan fungsi linier aljabar klasik dan aljabar Max-plus
No
1.
Operasi pada aljabar klasik
a.
Operasi pada aljabar Max-plus
a.
y
y Rmax
y=f(x) = x
y=f(x)= 1 × x
x
0
1
Rmax
x
-1 0
Gambar 4. Grafik fungsi linier
Gambar 3. Grafik fungsi linier
2.
b.
b.
y
y Rmax
y=f(x) = 2x
y=f(x)= 2 × x
2
y=f(x) = x
x
0
1
-2
Gambar 5. Grafik fungsi linier
-1 0
y=f(x)= 1 × x
Rmax
x
Gambar 6. Grafik fungsi linier
Diperhatikan grafik fungsi linier Tabel 4 di atas, diketahui bahwa grafik fungsi
linier aljabar klasik
diperoleh dengan merotasikan fungsi linier
Pada fungsi linier aljabar Max-plus
dengan menggeser sejajar dengan
sejauh
sebesar
diperoleh
satuan.
3.2 Fungsi Afin
Pada subbab ini dibahas tentang fungsi afin dalam aljabar klasik dan aljabar Maxplus [2, 5, 6, 10].
Universitas Indonesia
Perbandingan sistem..., Mulyadi, FMIPA UI, 2011
25
3.2.1 Fungsi afin aljabar klasik
Definisi 3.2.1.1
Fungsi
dikatakan fungsi afin dalam aljabar klasik, jika untuk setiap
dan ada
berlaku
.
Langkah – langkah untuk menggambar grafik fungsi afin klasik sebagai berikut :
1. Menggambarkan grafik fungsi linier untuk
2. Mengeser fungsi linier
sebesar
;
satuan searah sumbu
Contoh 3.2.1.2
Tentukan grafik fungsi afin
Selesaian:
y
y
y=f(x) = 2x +3
3
y=f(x) = 2x
y=f(x) = 2x
3
-3/2
x
0
Gambar 7. Grafik fungsi afin
x
0
Gambar 8. Grafik fungsi afin
3.2.2 Fungsi afin aljabar Max-plus
Definisi 3.2.2.1
dikatakan fungsi afin dalam aljabar Max –plus, jika meme-
Fungsi
nuhi:
Untuk setiap
, dan ada
, berlaku
Dalam aljabar klasik nilai afin, pada titik
dituliskan
.
=
. Langkah – langkah untuk menggambar grafik fungsi afin aljabar
Max-plus sebagai berikut :
1. Menggambarkan grafik fungsi linier untuk
2. Menggambarkan grafik fungsi linier
Universitas Indonesia
Perbandingan sistem..., Mulyadi, FMIPA UI, 2011
26
3. Menggabungkan langkah 1 dan langkah 2, kemudian dipilih nilai maksimum
dari kedua fungsi, untuk setiap
Untuk
memperjelas,
.
diberikan
=
gambar
fungsi
afin
aljabar
Max-plus
sesuai urutan langkah langkah di atas, sebagai
berikut:
Rmax
y
y=f(x)= a
a
-a
y = f(x)=b
× x
Rmax
x
0
Rmax
x
0
Gambar 10. Fungsi linier
Gambar 9. Fungsi linier
y
Rmax
y
Rmax
Rmax
y
y=f(x)= a × x
y=f(x)= (a × x) + b
y = f(x) =b
Y = f(x)= b
a
a
-a
Rmax
x
0
-a
Rmax
x
0
Gambar 12. Fungsi afin
Gambar 11. Fungsi linier
dan
Contoh 3.2.2.2
Tabel 5. Perbandingan fungsi afin pada aljabar klasik dan aljabar Max-plus
No
Operasi pada aljabar klasik
Operasi pada aljabar Max-plus
1.
Tentukan grafik fungsi afin
Tentukan grafik fungsi afin
Selesaian:
Selesaian:
y
3
y=f(x)= (1 × x) + 3
y=f(x) = x
3
x
-3
0
1
-1
Gambar 13.
Grafik
Rmax
y
y=f(x) = x+3
0
Rmax
x
Gambar 14.
Grafik
Universitas Indonesia
Perbandingan sistem..., Mulyadi, FMIPA UI, 2011
27
Diperhatikan dalam fungsi afin Tabel 5 di atas, diketahui bahwa grafik fungsi linier
aljabar klasik diperoleh dengan menggeser fungsi linier
sumbu
sejauh
satuan searah
Pada fungsi afin aljabar Max-plus diperoleh dengan menggabungkan fungsi
linier
dan
sehingga diperoleh
dan dipilih
dari gabungan keduanya yang maksimum.
3.3 Persamaan Afin
Pada subbab ini dibahas tentang persamaan afin dalam aljabar klasik dan aljabar
Max-plus [2, 5, 6, 10].
3.3.1. Persamaan linier (Afin) pada aljabar klasik
Dari bentuk fungsi afin
, dengan
maka pembuat nol fungsi afin tersebut adalah
konstanta dan
akibatnya
.
adalah merupakan bentuk umum persamaan linier
Sedemikian hingga,
dengan satu peubah. Langkah-langkah dalam menyelesaikan persamaan linier satu
peubah sebagai berikut:
1. Kedua ruas persamaan ditambah atau dikurangi dengan bilangan sebesar
2. Kedua ruas persamaan dikalikan dengan bilangan sebesar
bilangan sebesar
atau dibagi dengan
Contoh 3.3.1.1
Tentukan nilai yang memenuhi persamaan linier
Penyelesaian:
( kedua ruas ditambah dengan -6)
( kedua ruas dikalikan )
.
Universitas Indonesia
Perbandingan sistem..., Mulyadi, FMIPA UI, 2011
28
3.3.2. Pertidaksamaan linier (Afin) pada aljabar klasik
Dari bentuk fungsi afin
, dengan
maka pembuat tak nol persamaan fungsi afin adalah
konstanta dan
, akibatnya
. Sedemikian hingga pertidaksamaan tersebut yang mungkin adalah menggunakan
salah tanda relasi “
Misalkan
sedemikian hingga
akibatnya
,
merupakan salah satu bentuk pertidaksamaan linier
dengan satu peubah. Langkah-langkah dalam menyelesaikan pertidaksamaan linier satu
peubah sebagai berikut:
1. Kedua ruas pertidaksamaan ditambah atau dikurangi dengan bilangan sebesar
2. Kedua ruas pertidaksamaan dikalikan dengan bilangan sebesar atau dibagi
dengan bilangan sebesar
3. Jika kedua ruas pertidaksamaan dikalikan dengan bilangan sebesar
atau
dibagi dengan bilangan sebesar –
, maka tanda pertidaksamaan harus dibalik.
Contoh 3.3.2.1
Tentukan nilai
yang memenuhi pertidakasamaan linier
Penyelesaian:
( kedua ruas ditambah dengan -6)
( kedua ruas dikalikan )
.
Universitas Indonesia
Perbandingan sistem..., Mulyadi, FMIPA UI, 2011
29
Dalam gambar grafik fungsi linier diperoleh :
y
6
-2
y = f(x) = 3x + 6
x
0
Gambar 15. Grafik pertidaksamaan
3.3.3. Persamaan afin aljabar Max-plus
Definisi 3.3.3.1
Bentuk umum persamaan afin aljabar Max-plus adalah :
, untuk setiap
terhadap operasi biner
(1)
tidak mempunyai invers, sehingga (1) ti-
dak dapat dinyatakan menjadi bentuk
. Maka untuk menyelesaikan per-
samaan afin aljabar Max-plus kita perlukan teorema berikut.
Teorema 3.3.3.2 [2, 6]
Secara umum selesaian persamaan afin aljabar Max-plus (1) adalah sebagai berikut:
a. Jika
maka (1) mem-
punyai selesaian unik yaitu:
b. Jika
dan
, dan
.
atau
tidak terpenuhi, maka persamaan (1) tidak mempunyai selesaian.
c. Jika
dan
, maka persamaan (1) mempunyai selesaian
dan selesaian tidak unik.
d. Jika
dan
, maka persamaan (1) mempunyai selesaian
dan selesaian tidak unik.
e. Jika
semua
dan
, maka persamaan (1) mempunyai selesaian untuk
.
Bukti:
Universitas Indonesia
Perbandingan sistem..., Mulyadi, FMIPA UI, 2011
30
1.
Pembuktian selesaian persamaan afin secara geometris:
y Rmax
y
b
b’
b’
b
a
a’
a’
Rmax
x
a
Rmax
x
Gambar 16. Teorema 3.3.3.2 (a.1)
Gambar 17. Teorema 3.3.3.2 (a.2)
Persamaan afin
Persamaan afin
y Rmax
y
b
b’
b’
b
a’
a
a
Rmax
x
a’
Rmax
x
Gambar 18. Teorema 3.3.3.2 (b.1)
Gambar 19. Teorema 3.3.3.2 (b.2)
Persamaan afin
Persamaan afin
Rmax
y Rmax
y
b
b’
a=a’
b=b’
Rmax
x
a’
a
Rmax
x
Gambar 20. Teorema 3.3.3.2 (c)
Gambar 21. Teorema 3.3.3.2 (d)
Persamaan afin
Persamaan afin
Universitas Indonesia
Perbandingan sistem..., Mulyadi, FMIPA UI, 2011
31
Rmax
y
b=b’
a=a’
Rmax
x
Gambar 22. Teorema 3.3.3.2 (e)
Persamaan afin
2.
Pembuktian selesaian dari persamaan afin:
a. Jika
, maka selesaian persamaan (1) adalah unik yaitu
Untuk memperolehnya akan kita tinjau 2 kasus
yaitu:
a.1.Kasus pertama persamaan
:
Untuk menyelesaikan persamaan
, terdapat dua subkasus
selesaian yaitu:
a.1.1. Selesaian untuk persamaan
punyai selesaian karena
a.1.2. Selesaian untuk persamaaan
selesaian
. Subkasus ini tidak mem.
Subkasus ini mempunyai
(2)
a.2. Kasus kedua persamaan
Untuk menyelesaian persamaan
, terdapat dua subkasus
yaitu:
a.2.1. Selesaian untuk persamaaan
selesaian
a.2.2. Selesaian untuk persamaaan
Subkasus ini mempunyai
(3)
Subkasus ini tidak mempunyai
selesaian karena
Universitas Indonesia
Perbandingan sistem..., Mulyadi, FMIPA UI, 2011
32
Selanjutnya, diperhatikan persamaan (2) dan (3). Jika persamaan (2) kita substitusikan ke dalam persamaan (1) maka diperoleh :
Ruas kiri :
Diperhatikan persamaan (1) ruas kiri yaitu;
yaitu ;
dan persamaan (2)
. Jika (2) disubstitusi ke dalam (1) akan diperoleh :
=
=
.
Ruas kanan :
Diperhatikan persamaan (1) ruas kanan
yaitu;
yaitu;
dan bentuk (2)
. Jika (2) disubstitusi ke dalam (1) akan diperoleh :
=
=
bahwa dalam (1) diketahui
=
Dimana
maka hasil ruas kiri akan memberikan
selesaian yang sama dengan ruas kanan yaitu:
.
Dengan kata lain
tapi, karena
Akan te,
maka
selesaiannya selalu sama dengan
belum tentu
, hal ini dikarenakan tidak ada syarat yang
menjamin bahwa nilai
. Jadi persamaan (2) yaitu;
bukan merupakan selesaian dari persamaan (1) yaitu;
.
Selanjutnya, jika persamaan (3) kita substitusikan ke dalam persamaan (1) yaitu
, maka diperoleh:
Ruas kiri :
Diperhatikan persamaaan (1) ruas kiri yaitu;
yaitu;
dan persamaan (3)
. Jika (3) disubstitusi ke dalam (1) ruas kiri diperoleh :
=
=
=
=
.
Ruas kanan :
Diperhatikan persamaan (1) ruas kanan yaitu;
yaitu;
dan persamaan (3)
. Jika (3) disubstitusi ke dalam (1) ruas kiri diperoleh :
=
karena dalam (1) diketahui bahwa
=
=
,
. Maka hasil ruas kiri dan ruas kanan
memberikan selesaian yang sama yaitu:
Jadi
. Dengan kata lain
=
, me-
Universitas Indonesia
Perbandingan sistem..., Mulyadi, FMIPA UI, 2011
33
rupakan selesaian dari persamaan (1) yaitu:
dan
dengan
.
Sedangkan untuk pembuktian dengan
yaitu;
dan
akan memberikan
pada persamaan (1)
selesaian unik yaitu ;
) dengan langkah – langkah yang sama dengan syarat
=
dan
di atas.
b. Jika
, dan
tidak terpenuhi, maka persamaan (1) tidak mempunyai selesaian.
c. Jika
dan
, maka persamaan (1) mempunyai selesaian
dan selesaian tidak unik. Dalam memperoleh selesian (1) kita
tinjau 2 kasus yaitu :
c.1. Kasus pertama persamaan
Untuk
menyelesaikan
atau
:
persamaan
,
dengan
syarat
, terdapat dua subkasus selesaian yaitu:
c.1.1. Selesaian untuk persamaan
atau
dengan
, dengan syarat
. Karena
subkasus pertama
mempunyai selesaian yang merupakan irisan dari
, untuk setiap
dengan
yaitu daerah yang dibatasi oleh
.
c.1.2. Selesaian untuk persamaaan
pada subkasus kedua mem-
punyai selesaian dengan
.
Selanjutnya, bila persamaan (4) yaitu;
samaan (1) yaitu;
(4)
disubstitusikan ke dalam per-
akan diperoleh:
Ruas kiri:
Diperhatikan persamaan (1) ruas kiri
yaitu;
yaitu;
dan persamaan (4)
. Jika (4) disubstitusi ke dalam (1) maka diperoleh :
=
=
Ruas kanan :
Diperhatikan persamaan (1) ruas kanan yaitu;
yaitu;
dan persamaan (4)
. Jika (4) disubstitusi ke dalam (1), maka diperoleh :
Universitas Indonesia
Perbandingan sistem..., Mulyadi, FMIPA UI, 2011
34
=
=
(1) diketahui bahwa
=
, karena dalam
. Maka diperoleh selesaian ruas kiri dan ruas kanan
tidak sama. Sedemikian sehingga (1), dengan
dalam kasus ini adalah
dan
atau
mempunyai
.
c.2. Kasus kedua persamaan
Untuk menyelesaikan persamaan
atau
, dengan syarat
ditinjau dua subkasus yaitu:
c.2.1. Subkasus pertama adalah selesaian untuk persamaaan
syarat
atau
dengan
, maka selesaian dari persamaan sub-
kasus pertama adalah irisan antara
dengan
yaitu
c.2.2. Subkasus kedua adalah selesaian untuk persamaaan
karena
.
diketahui bahwa
, maka subkasus kedua menjadi penyataan
yang tidak benar.
Berdasarkan kedua subkasus di atas, selesaian persamaan (1) dengan syarat
dan
adalah irisan
atau
dari
dan
yaitu
.
Sedangkan untuk pembuktian dengan
dan
pada persamaan (1)
akan memberikan selesaian unik yaitu
, dengan langkah – langkah yang sama dengan syarat
dan
.
d. Jika
, maka selesaian persamaan (1) adalah
. Untuk memperoleh selesaian persamaan (1) yaitu;
ditinjau dalam dua kasus:
d.1. Kasus pertama persamaan
;
Untuk menyelesaikan persamaan
atau
, dengan syarat
, terdapat dua subkasus penyelesian yaitu:
d.1.1. Selesaian untuk persamaan
atau
dengan
, dengan syarat
. Karena
subkasus pertama ti-
dak mempunyai selesaian.
Universitas Indonesia
Perbandingan sistem..., Mulyadi, FMIPA UI, 2011
35
d.1.2. Selesaian untuk persamaaan
atau
dengan syarat
pada subkasus kedua adalah irisan antara
yaitu
dengan
. Dengan demikian pada kasus
pertama mempunyai selesaian
.
d.2. Kasus kedua persamaan
.
Untuk menyelesaian persamaan
atau
, dengan syarat
, ditinjau dalam dua subkasus yaitu:
d.2.1. Subkasus pertama, selesaian untuk
maka
d.2.2. Subkasus kedua, selesaian untuk
Diketahui bahwa
dengan syarat
dengan
untuk setiap
.
disubtitusikan ke dalam persamaan
Selanjutnya, bila persamaan
(1) yaitu:
.
, maka subkasus kedua selesian persamaan
tersebut adalah irisan antara
adalah
(5)
maka diperoleh:
Ruas kiri :
Diperhatikan persamaan (1) ruas kiri
yaitu;
yaitu;
dan persamaan (5)
Jika (5) disubstitusi ke dalam (1) diperoleh:
=
=
.
Ruas kanan :
Diperhatikan persamaan (1) ruas kanan yaitu;
yaitu;
dan persamaan (5)
Jika (5) disubstitusi ke dalam (1) diperoleh :
=
dikarenakan
=
, hal ini
untuk setiap
Dengan demikian diperoleh selesaian ruas kiri dan ruas kanan tidak sama. Karena
dan
lah
maka selesaian persamaan (1) dalam kasus kedua ada-
atau
Sedangkan untuk
.
dan
pada persamaan (1) mempunyai selesaian
, dengan langkah – langkah yang
sama dengan syarat
dan
.
Universitas Indonesia
Perbandingan sistem..., Mulyadi, FMIPA UI, 2011
36
Contoh 3.3.3.3
Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan:
a.
Persamaan afin aljabar Max-plus di atas memenuhi Teorema 3.3.3.2 bagian , maka
selesaiannya adalah
.
b.
Persamaan afin aljabar Max-plus di atas memenuhi Teorema 3.3.3.2 bagian , maka
selesaiannya adalah
.
Contoh 3.3.3.4
Tabel 6. Perbandingan persamaan linier pada aljabar klasik dan persamaan afin aljabar
Max-plus
No
Operasi pada aljabar klasik
Operasi pada aljabar Max-plus
1.
Tentukan nilai
yang memenuhi Tentukan nilai x yang memenuhi perpersamaaa linier berikut:
samaan:
a.
Penyelesaian:
a.
Penyelesaian:
Persamaan afin aljabar Max-plus
di atas memenuhi teorema 3.3.3.2
bagian
, maka
.
Nilai dari persamaan
adalah 2.
Jadi
nilai yang memenuhi persamaan
adalah
.
Universitas Indonesia
Perbandingan sistem..., Mulyadi, FMIPA UI, 2011
37
b.
Penyelesaian:
b.
Penyelesaian:
Persamaan afin aljabar Max-plus
diatas memenuhi teorema 3.3.3.2
bagian
, maka
Jadi selesaiannya adalah
Nilai dari persamaan
adalah
.
3.4
.
Sistem Persamaan Linier
Pada subbab ini dibahas tentang sistem persamaan linier dalam aljabar klasik [1]
dan aljabar Max-plus [2, 5, 6, 10, 12].
3.4.1 Sistem Persamaan Linier [SPL] Aljabar Klasik
Sistem persamaan linier dalam aljabar klasik dua peubah (variabel) secara umum
dituliskan sebagai berikut:
Kedua sistem persamaan linier di atas dapat diilustrasikan dalam grafik kartesius yang
berbentuk garis; sebut
. Selesaian sistem persamaan linier ada tiga, yang
berpadanan dengan titik – titik potong
1. Jika garis
.
berpotongan di satu titik
maka sistem
persamaan linier mempunyai selesaian tunggal.
2. Jika garis
berhimpit dibanyak titik
maka sistem
peramaan linier mempunyai selesaian banyak.
3. Jika garis
saling sejajar
maka sistem persamaan linier
tidak mempunyai selesaian.
Universitas Indonesia
Perbandingan sistem..., Mulyadi, FMIPA UI, 2011
38
Contoh 3.4.1.1
Tentukan nilai
yang memenuhi SPL berikut:
a.
Penyelesaian:
Dengan mensubtitusikan (2) ke dalam (1) diperoleh
Pada grafik
kartesius kedua garis berpotongan pada titik
y
3x + 2y = 9
9/2
4
3
x+y=4
1
x
3 4
Gambar 23. Grafik SPL
dan
3.4.2 Sistem Persamaan Linier aljabar Max-plus Bentuk
=
Sistem persamaan linier aljabar Max-plus secara umum berbentuk
=
. Di samping bentuk umum, ada dua bentuk khusus sistem persamaan linier
aljabar Max-plus yang dibahas yaitu
maan linier aljabar Max-plus
berukuran
dan
dan
=
. Sistem persa-
, dengan
adalah sebuah matriks berukuran
dan
adalah matriks
. Dalam mencari
selesaiannya sistem persamaan linier aljabar Max-plus bentuk umum diubah ke dalam
bentuk kanonik.
Definisi 3.4.2.1
Sistem persamaan linier aljabar Max-plus
bentuk kanonik jika
1. Jika
=
dikatakan ber-
memenuhi:
maka
dan jika
maka
.
Universitas Indonesia
Perbandingan sistem..., Mulyadi, FMIPA UI, 2011
39
2. Jika
maka
dan jika
maka
Bentuk umum sistem persamaan linier aljabar Max- plus
=
untuk
menentukan selesaiannya diubah ke dalam bentuk kanonik dengan cara mengubah:
 Jika
 Jika
maka
dan jika
maka
maka
dan jika
maka
Selanjutnya, sistem persamaan linier aljabar Max- plus
=
yang
telah diubah kedalam bentuk kanonik dapat diselesaikan dengan cara seperti menyelesaikan sistem persamaan linier dalam aljabar klasik. Selesaian dalam sistem persamaan
linier aljabar Max- plus
=
mempunyai tiga kemungkinan:
1. Tidak terdapat selesaian.
2. Mempunyai selesaian yang tunggal.
3. Mempunyai selesaian yang banyak.
Akan tetapi sistem persamaan linier aljabar Max- plus
=
, belum
dapat ditentukan jenis selesaianya.
Contoh 3.4.2.2
Selesaikan sistem persamaan linier aljabar Max- plus berikut :
=
(1)
Sistem persamaan di atas diubah menjadi bentuk kanonik yaitu:
Dengan demikian diperoleh dua persamaan afin yaitu:
a).
3
b).
1
Dengan mensubtitusikan persamaan afin (a) ke dalam persamaan afin (b) diperoleh persamaan afin yang baru yaitu:
3=
1. Berdasarkan Teorema
Universitas Indonesia
Perbandingan sistem..., Mulyadi, FMIPA UI, 2011
40
3.3.3.2 (b), persamaan afin
3=
1 tidak menpunyai selesaian, karena
tidak memenuhi salah satu dari persamaan afin yang mempunyai selesaian. Dengan demikian sistem persamaan (1) tidak mempunyai selesaian.
Contoh 3.4.2.3
Selesaikan sistem persamaan linier aljabar Max- plus berikut;
=
(2)
Sistem persamaan di atas diubah menjadi bentuk kanonik yaitu:
Dengan demikian diperoleh dua persamaan afin yaitu:
a).
b).
3
Dengan mensubtitusikan persamaan afin (b) ke dalam persamaan afin (a) diperoleh persamaan afin yang baru yaitu:
3=
(a) maka selesaian persamaan afin
3=
yaitu:
. Berdasarkan Teorema 3.3.3.2
adalah
= -2. Selanjutnya hasil selesaian dari
disubtitusikan ke (b) diperoleh
. Sedemikian sehingga selesaian sistem persa-
maan linier aljabar Max-plus (2) adalah
.
Contoh 3.4.2.4
Tentukan selesaian dari sistem persamaan linier aljabar Max- plus berikut adalah
=
(3)
Sistem persamaan linier di atas diubah menjadi bentuk kanonik yaitu:
Universitas Indonesia
Perbandingan sistem..., Mulyadi, FMIPA UI, 2011
41
Dengan demikian diperoleh dua persamaan afin yaitu:
a).
4
b).
Dengan mensubtitusikan persamaan afin (a) ke dalam persamaan afin (b) diperoleh persamaan afin yang baru yaitu:
=
(c) maka selesaian persamaan afin
=
yaitu:
4. Berdasarkan Teorema 3.3.3.2
4 adalah
. Selanjutnya hasil selesaian dari
tusikan ke (b) diperoleh
disubti-
. Sedemikan sehingga selesaian sistem persamaan linier
aljabar Max-plus (3) adalah
.
3.4.3 Sistem Persamaan Linier aljabar Max-plus Bentuk
Untuk mencari selesaian sistem persamaan linier aljabar Max-plus bentuk
. Pandang bahwa
adalah matriks persegi yang berukuran
adalah matriks kolom yang berukuran
dan
. Selesaian di atas erat kaitanya dengan ben-
tuk graf dari suatu matriks. Bentuk graf dimaksud adalah graf preseden yang didefinisikan sebagai berikut:
Definisi 3.4.3.1.
Diberikan
. Graf preseden matriks
dengan
adalah graf berarah berbobot
dan
.
Contoh 3.4.3.2
Diberikan
bot
, graf preseden dari matriks
dengan
adalah graf berarah berbo-
dan
Bila disajikan dalam gambar adalah sebagai berikut:
Universitas Indonesia
Perbandingan sistem..., Mulyadi, FMIPA UI, 2011
42
3
1
1
2
-4
2
1
1
3
2
Gambar 24. Graf
Teorema 3.4.3.3 [2, 5, 12]
Diberikan
. Jika hanya ada sirkuit dengan bobot nonpositif di
,
maka selesaian untuk sistem persamaan linier Aljabar Max-plus bentuk
adalah
, dengan
Lebih lanjut jika semua sirkuit
.
berbobot negatif, maka selesaian sistem persa-
maan linier aljabar Max-plus bentuk
adalah tunggal.
Bukti:
Eksistensi dari
a. Keberadaan dari
.
1. Elemen- elemen
dengan panjang
adalah merupakan bobot maksimum dari semua lintasan
yang menghubungkan simpul ke simpul .
2.
, maka
adalah bobot mak-
simum dari semua lintasan yang mungkin, yang menghubungkan simpul
ke
simpul .
3.
ada jika dan hanya jika tidak ada komponen yang terhubung secara
kuat di
yang mempunyai sirkuit dengan bobot positif.
Bukti:
() Andaikan ada komponen yang terhubung kuat di
yang mempunyai sir-
kuit dengan bobot positif.
Misalkan:
Sirkuit
mempunyai
mempunyai bobot minimal
bot
.
mempunyai bobot minimal
ada, karena komponen
bobot
artinya
mempunyai minimal boAkibatnya
makin besar ketika
tidak
Hal ini kontra-
Universitas Indonesia
Perbandingan sistem..., Mulyadi, FMIPA UI, 2011
43
diksi dengan
ada. Jadi pengandaian salah, haruslah tidak ada komponen
yang terhubung kuat di
() Andaikan
yang mempunyai sirkuit dengan bobot positif.
tak ada. Maka
tidak mempunyai lintasan yang berbo-
bot maksimum. Maka bobot lintasan dari simpul
ke simpul
semakin besar
dengan semakin panjangnya lintasan. Sedemikan hingga, karena bobot lintasan
semakin besar maka bobot sirkuit
atau
juga semakin besar. Jadi
ada sirkuit dengan bobot positif, maka kontradiksi. Sehingga pengadaian salah,
ada. Berdasarkan Teorema 3.4.3.3, maka syarat perlu dan sya-
haruslah
rat cukup, keberadaan
terpenuhi. Selanjutnya akan ditunjukan bahwa
adalah selesaian dari
.
=
=
=
=
=
=
=
b. Ketunggalan selesaian dari
Untuk Menunjukan ketunggalan selesaian dari persamaan
salkan
adalah selesaian
Subtitusikan
Mikedalam
yaitu:
=
(bila dilakukan subtitusi nilai
secara terus
menerus, akan diperoleh);
=
(
(b.1)
Universitas Indonesia
Perbandingan sistem..., Mulyadi, FMIPA UI, 2011
44
Elemen- elemen
Untuk
adalah bobot maksimum dari lintasan dengan panjang
.
cukup besar, setiap lintasan mengandung satu atau lebih sirkuit elementer se-
bagai sublintasan. Jika
rena sirkuit di
banyaknya sirkuit elemeter yang terjadi menuju
mempunyai bobot negatif, maka elemen-elemen
Kauntuk
, yaitu:
Jadi, untuk
(
persamaan (b.1) menjadi =
=(
dengan demikian :
=
=
)
=
=
(terbukti)
Contoh 3.4.3.4
Tentukan penyelesain dari sistem persamaan linier aljabar max-plus
Penyelesaian:
)
. Jadi selesaian
adalah
Teorema 3.4.3.5 [2, 10, 12]
Diberikan
tif, maka
. Jika semua sirkuit dalam
mempunyai bobot nonposi-
.
Bukti:
Universitas Indonesia
Perbandingan sistem..., Mulyadi, FMIPA UI, 2011
45
Karena matriks
berdimensi
maka banyak simpul dari graf
. Sehingga semua lintasan dengan panjang
lah panjang semua sirkuit kurang dari
dari
. Sehingga untuk setiap
tersusun dari
adalah
sirkuit dengan jum-
dan ada suatu lintasan dengan panjang kurang
dan untuk setiap
terdapat
sehingga:
=
+
dengan
,
dan
Karena semua sirkuit mempunyai bobot nonpositif, maka untuk setiap
dan untuk
setiap
,
berlaku
dengan
Akibatnya
.
,
.
,
.
Dengan demikian
3.4.4 Sistem Persamaan Linier Aljabar Max-plus Bentuk
Sistem persamaan linier aljabar Max-plus
, tidak selalu mempunyai
selesaian. Sehingga untuk menentukan selesaian
dapat diperlemah dengan
mendefinisikan beberapa konsep subselesaiannya.
Definisi 3.4.4.1
Diberikan
dan
merupakan himpunan
yang didefinisikan sama seperti pada
bersama operasi
, serta didefinisikan
.
Definisi 3.4.4.2
Subselesaian sistem persamaan linier aljabar Max-plus
. Subselesaian selalu ada, yaitu
memenuhi
adalah
,
jika
= 1, 2, 3,…n.
Teorema 3.4.4.3
Subselesaian terbesar dari sistem persamaan linier aljabar Max-plus
dengan
adalah matriks
triks di
adalah
dan
adalah matriks
,
dengan elemen- elemen ma-
. Bila dalam aljabar klasik dapat ditulis menjadi
untuk setiap
= 1, 2, …, n.
Bukti :
Universitas Indonesia
Perbandingan sistem..., Mulyadi, FMIPA UI, 2011
46
Pandang bahwa:
dan
}
dan
}
dan
,
}
dan
}
),
dan
),
}
dan
}
Jadi subselesaian terbesar dari sistem persamaan linier aljabar Max-plus
adalah setiap vektor
,
yang komponen- komponennya memenuhi
. Jika vektor
didefinisikan dengan
. Maka akan diperoleh:
{
),
),
dan
dan
}
}
dan
Jadi vektor
}
tersebut merupakan subselesaian sistem persamaan linier
Karena
Maka
lam menentukan subselesaian
akibatnya
. Da-
, mula – mula dilakukan dengan menghitung
, yang ditunjukkan sebagai berikut:
Universitas Indonesia
Perbandingan sistem..., Mulyadi, FMIPA UI, 2011
47
Contoh 3.4.4.4
Tentukan selesaian sistem persamaan linier aljabar Max-plus berikut dengan terlebih
dulu menentukan subselesaian terbesarnya.
=
Mula-mula dihitung :
=
. Dengan demikian subselesaian terbesar dari sistem persamaan linier terse-
but adalah
. Untuk melihat kesahihan selesaian tersebut, disubtitusikan
=
pada
yaitu:
=
Akan memberikan hasil
. Maka
merupakan selesaian dari
sistem persamaan linier Aljabar Max-plus di atas.
Contoh 3.4.4.5
Tentukan selesaian sistem persamaan linier aljabar Max-plus berikut dengan terlebih
dulu menentukan subselesaian terbesarnya.
=
Mula-mula di hitung :
=
=
subselesaian terbesar dari sistem persamaan linier tersebut adalah
kesahihan selesaian tersebut, disubtitusikan
pada
. Dengan demikian
. Untuk melihat
=
yaitu:
Universitas Indonesia
Perbandingan sistem..., Mulyadi, FMIPA UI, 2011
48
Akan memberikan hasil
=
. Maka
bukan merupakan
selesaian dari sistem persamaan linier aljabar Max-plus di atas tetapi merupakan
subselesaian.
Contoh 3.4.4.6
Tabel 7. Perbandingan sistem persamaan linier pada aljabar klasik dan aljabar Max-plus
No Operasi pada aljabar klasik
1.
Tentukan nilai
Operasi pada Aljabar Max-plus
yang memenuhi Tentukan nilai
sistem persamaaa linier berikut:
yang memenuhi
sistem persamaan linier berikut:
=
(1)
Penyelesaian:
Dengan mensubtitusikan (1) ke (2)
diperoleh 0 = 0. Maka SPL tersebut
mempunyai
selesaian banyak , hal ini
karena
kartesius
.
kedua
Dalam
garis
Penyelesaian:
SPL di atas diubah menjadi bentuk kanonik yaitu:
=
grafik
mempunyai
kemiringan yang sama dan berhimpit Dengan demikian diperoleh dua persadisemua titik sebagai berikut:
maan afin yaitu:
y
=
a).
=
b).
2x + 4y =10
3
1
Dengan mensubtitusikan persamaan afin
6x +12y =30
x
(a) kedalam persamaan afin (b) diperoleh persamaan afin yang baru yaitu:
3=
Teorema 3.3.3.2 persamaan afin
Gambar 25. Grafik SPL
dan
2.
Tentukan nilai
1. Berdasarkan
3=
yang memenuhi
sistem persamaan linier berikut:
1 tidak mempunyai se-
lesaian, karena diperoleh persamaa afin
dengan
dan
dan
Universitas Indonesia
Perbandingan sistem..., Mulyadi, FMIPA UI, 2011
49
dan
yang tidak memenuhi salah
satu dari persamaan afin yang mempunyai selesaian. Sehingga sistem persa-
Penyelesaian:
Bentuk sistem persamaan linier di atas
tidak mempunyai
maan (1) tidak mempunyai selesaian.
selesaian, karena
. Dalam grafik kartesius
kedua garis
tersebut
mempunyai
kemiringan yang sama dan saling sejajar
sebagai berikut:
y
6
4
x +y = 6
x+y =4
0
4
6
x
Gambar 26. Grafik SPL
dan
Diperhatikan dari Tabel 7, penyelesaian sistem persamaan linier pada aljabar
klasik dua variabel diperoleh dengan menentukan titik potong
kedua garis dari
persamaan pada grafik kartesius . Akan tetepi hal ini akan lebih sulit dilakukan untuk
yang lebih dari dua variabel, sehingga untuk yang lebih dari dua varibel dapat dilakukan
dengan eleminasi atau subtitusi. Pada sistem persamaan linier aljabar Max-plus
penyelesaiannya dilakukan dengan mengubah kedalam bentuk kanonik, sehingga
diperoleh persamaan afin. Penyelesaian persamaan afin aljabar Max-plus dapat
dilakukan dengan menentukan titik potong kedua ruas persamaan afin.
Universitas Indonesia
Perbandingan sistem..., Mulyadi, FMIPA UI, 2011
BAB IV
PENUTUP
4.1
Kesimpulan
Diberikan himpunan bilangan real
, dinotasikan sebagai
dilengkapi dengan dua operasi biner
, maka
, yang
. Jika diberikan sembarang bilangan
didefinisikan sebagai nilai maksimum dari salah satu dari
bilangan tersebut, dan
Sistem matematika
didefinisikan sebagai jumlah dari kedua bilangan tersebut.
disebut aljabar Max-plus dan dinotasikan dengan
Aljabar Max-plus merupakan salah satu struktur aljabar yang semilapangan komutatif
idempoten dengan elemen identitas pada operasi penjumlahan
dan pada operasi perkalian
(elemen satu) adalah
Himpunan matriks persegi berukuran
dinotasikan sebagai
biner
pada
moduloid atas
(elemen nol) adalah
.
dengan elemen-elemen di
Matriks dalam aljabar Max-plus yang dilengkapi operasi
dan satu operasi
dari
pada
, maka
. Moduloid yang ditambah satu operasi biner
merupakan
dari
pada
membentuk aljabar idempoten. Pengoperasian matriks dalam aljabar Max-plus
sama dengan pengoperasian matriks di aljabar klasik, yaitu banyaknya baris dari matriks
yang dikali sama dengan banyaknya kolom dari matriks pengalinya. Fungsi linier
dalam aljabar Max-plus mempunyai kemiringan 1.
Sistem persamaan linier aljabar Max-plus secara umum berbentuk
, untuk menentukan selesaianya diubah ke dalam bentuk kanonik. Untuk
menentukan selesaian sistem persamaan linier bentuk
pendekatan graf presenden dan bentuk
adalah dengan
dengan memperlemah dengan
subselesaian (subsolusi).
4.2
Saran
Penelitian ini dapat dilanjutkan dengan mencari polinomial karakteristik, nilai
eigen dan vektor eigen dalam aljabar Max-plus .
50
Universitas Indonesia
Perbandingan sistem..., Mulyadi, FMIPA UI, 2011
DAFTAR PUSTAKA
1.
Anton, H, “ Elementary Linear Algebra”, Wiley &Sons, Inc, New York, 2005.
2.
Baccelli, F, Cohen, G, Olsder, G.J. dan Quadrat, J.P, “Synchronization and Linearity”, Wiley, New York, 1992.
3.
Heidergott, B., “Max-plus Algebra and Queues”, Departement of Economics and
Operations Research De boelelan 1105,1081 HV Amsterdam. The Netherlands,
2008.
4.
Hungerford, T.W, “Algebra Graduate Texts In Mathematics”, Springer, seattle,
Washington, 1980.
5.
Kasie G.F, “Max-Plus Algebra”, Master’s Thesis submitted to the faculty of be
Virginia Polytechnic Institute and State University, 2009
6.
Nasution, A.D.J, “Aljabar Max- Plus”, Skripsi, Fakultas MIPA Jurusan Matematika, Universitas Indonesia, Depok, 2004.
7.
Olsder.G.J dan Roos.C, “Cramer and Caylay-Hamilton in the Max-Algebra”,
Delft University of Technology, Departemen of mathematics and informatics,
Netherlands, 1987.
8.
Olsder.G.J dan Roos.C, “On the Characteristic equation and Minimal Realizations
For Distcrete-event Dynamic Systems”, Delft University of Technology,
Departemen of mathematics and informatics, Netherlands, 1990.
9.
Rudhito A.M., Wahyuni, S., Suparwanto, A. dan Susilo, F., “Sistem Persamaan
Linier iterative Max-plus Interval”, Prosiding Seminar Nasional Penelitian, Pendidikan dan penerapan MIPA ,pp.263-272, UNY Mei 2008.
10.
Rudhito, A. M , “ Sistem Linier max-plus waktu –invariant”, Tesis, Universitas
Gajah Mada, 2003.
11.
Schutter, B., “On the ultimate behavior of the sequence of consecutive powers of
a matrix in the max-plus algebra,” Linear Algebra and Its Applications, vol. 307,
no. 1–3, pp. 103–117, March 2000.
12.
Subiono, “Aljabar Maxplus dan Terapannya”, Diktat Mata kuliah, FMIPA-ITS,
Surabaya, 2010
51
Universitas Indonesia
Perbandingan sistem..., Mulyadi, FMIPA UI, 2011