RUANG VEKTOR

Bab 5
RUANG VEKTOR
Pada bab sebelumnya, kita telah membahas tentang vektor
di bidang dan diruang. Selanjutnya, kita akan mencoba
memahami pengertian ruang vektor secara umum menurut
definisi aljabar. Ini diperlukan sebagai landasan dalam memahami
tentang basis dan ruang hasil kali dalam yang banyak dipakai
dalam beberapa metode optimasi, sistem kontrol, operation
research, dan lain-lain.
5.1 RUANG VEKTOR UMUM
Misalkan u , v , dan w adalah unsur pada ruang V dan k, l
merupakan skalar bilangan Riil, maka V dinamakan ruang
vektor jika memenuhi syarat berikut ini :
1. Jika u dan v adalah vektor-vektor pada V maka u + v
berada pada V juga.
2. u + v = v + u
3. u + (v + w ) = (u + v ) + w
4. Terdapat 0 di V sehingga u + 0 = 0 + u = u untuk setiap vektor
u di V
5. Untuk setiap u di V, terdapat – u di V yang dinamakan
negatif u sehingga
u + (− u ) = (− u ) + u = 0
6. Jika k adalah sebarang skalar dan u berada di V, maka k u
berada di V.
7. k (u + v ) = ku + kv
8. (k + l ) u = ku + lu
9. k (l u ) = l (k u ) = (kl ) u
10. Terdapat unsur 1 sebagai unsur identitas perkalian sehingga
1. u = u
64
Bab 5 ● Ruang Vektor
Contoh 5.1 :
Berikut adalah beberapa contoh ruang vektor :
1. Himpunan vektor Euclides dengan operasi standar (operasi
penjumlahan
dan
operasi perkalian dengan skalar).
Notasinya Rn
2. Himpunan polinom pangkat n dengan operasi standar.
Bentuk umum polinom orde n
pn(x) = a0+a1x+…+anxn
qn(x) = b0+b1x+…+bnxn
Operasi standar pada polinom orde n
pn(x)+qn(x) = a0 + b0 + a1x + b1x + … + anxn +bnxn
kpn = ka0 + ka1x + … + kanxn
Notasi untuk ruang vektor ini adalah Pn
3. Himpunan matriks berukuran m x n dengan operasi
standar (penjumlahan matriks dan perkalian matriks dengan
skalar), ruang vektor ini sering dinotasikan dengan Mmxn
Ruang n–Euclides
Secara geometri vektor-vektor di R4 dan seterusnya belum
bisa digambarkan, tapi operasi-operasi vektor masih sama seperti
pada vektor-vektor di R2 dan R3. Orang yang pertama kali
mempelajari vektor-vektor di Rn adalah Euclides sehingga vektorvektor yang berada di ruang Rn dikenal sebagai vektor Eucides
sedangkan ruang vektornya disebuat ruang n–Euclides. Contoh
vektor di ruang n–Euclides adalah a = (a1, a2,…, an). Seperti
dua vektor u = (u1 , u 2 ,..., u n )
dan
halnya di R2 dan R3 ,
v = (v1 , v 2 ,..., v n ) pada Rn dikatakan sama jika u1 = v1, u3 = v3, … ,
un = vn.
Beberapa sifat yang berlaku pada ruang vektor Euclides adalah :
1. u + v = v + u
2. ( u + (v + w ) = (u + v ) + w
3. u + 0 = 0 + u = u
Aljabar Linear Elementer – Adiwijaya
65
4. u + (− u ) = 0 , yakni u − u = 0
5. k (l u ) = l (k u ) = (kl ) u
6. k (u + v ) = ku + kv
7. (k + l ) u = ku + lu
8. 1. u = u
Sebelum melangkah lebih jauh dalam beberpa pengertian
ruang Euclides, berikut adalah beberapa operasi standar pada
ruang vektor Euclides, yaitu :
• Penjumlahan
u + v = (u1 + v1 , u 2 + v 2 , ..., u n + v n )
•
Perkalian dengan skalar
ku = (ku1 , ku 2 ,..., ku n ) k adalah sebarang skalar.
•
Perkalian Titik (Euclidean inner product)
u • v = u1 v1 + u 2 v 2 + ... + u n v n
Contoh 5.2 :
Diketahui u = (–1, 3, 5, 7) dan v = (5, –4, 7, –1)
Tentukan u ⋅ v !
Jawab:
u . v = (–1)(5) + (3)( –4) + (5)(7) + (7)( –1)
= –5 + (–12) + 35 + (– 7)
= 11
Panjang vektor dalam suatu ruang vektor Euclides didefinisikan
oleh :
u = (u • u )
1
2
= u1 + u 2 + ... + u n
2
2
2
(5.1)
Sementara itu, jarak antara dua vektor didefinisikan oleh :
d (u , v ) = u − v
=
(u1 − v1 )2 + (u 2 − v 2 )2 + ... + (u n − v n )2
(5.2)
66
Bab 5 ● Ruang Vektor
Contoh 5.3 :
Diketahui u = (1, 1, 2, 3) dan v = (2 , 2 , 1, 1)
Tentukan jarak antara u dan v !
Jawab:
Dengan menggunakan definisi
u – v = (–1, –1, 1, 2)
maka jarak dua vektor tersebut adalah :
d( u , v ) = ((–1)2+(–1)2+12+22)1/2
=
7
5.2 SUBRUANG
Subhimpunan W dari sebuah ruang vektor V dinamakan
subruang V jika W itu sendiri adalah ruang vektor yang tertutup
terhadap operasi penambahan dan perkalian skalar yang
didefinisikan pada V. Dengan demikian, syarat agar W dikatakan
sebagai subruang dari V adalah :
1. W ≠ { }
2. W ⊆ V
3. Jika u dan v berada pada W maka u + v juga berada
pada W
4. Jika u berada di W maka k u juga berada di W, dimana k
adalah suatu skalar Riil.
Contoh 5.4 :
Tunjukan bahwa himpunan W yang berisi semua matriks
orde 2x2 yang setiap unsur diagonalnya nol merupakan
subruang dari ruang vektor matriks 2x2
Jawab :
Aljabar Linear Elementer – Adiwijaya
67
⎛ 0 0⎞
⎟⎟ ∈ W . Jadi W ≠ { }
(i) Misal O = ⎜⎜
⎝ 0 0⎠
(ii) Jelas bahwa W ⊆ Matriks 2x2
(iii) Akan diperiksa apakah A + B ∈ W
Ambil sembarang matriks A, B ∈ W
Tulis :
⎛ 0 a1 ⎞
⎛ 0 b1 ⎞
⎟⎟ dan B = ⎜⎜
⎟⎟
A = ⎜⎜
⎝ a2 0 ⎠
⎝ b2 0 ⎠
⎛0
A + B = ⎜⎜
⎝ a2
a1 ⎞ ⎛ 0
⎟+⎜
0 ⎟⎠ ⎜⎝ b2
b1 ⎞
⎟
0 ⎟⎠
a1 + b1 ⎞
⎛ 0
⎟
= ⎜⎜
0 ⎟⎠
⎝ a2 + b2
Terlihat bahwa A + B ∈ W
(iv) Akan diperiksa apakah kA ∈ W
Untuk k ∈ Riil maka
⎛ 0 ka1 ⎞
⎟⎟ ∈ W
kA = ⎜⎜
⎝ ka2 0 ⎠
Jadi W merupakan subruang dari ruang vector
matriks 2x2
Contoh 5.5 :
Periksa apakah himpunan D yang berisi semua matriks
orde 2x2 yang determinannya nol merupakan subruang
dari ruang vektor matriks 2x2
Jawab :
Ambil sembarang matriks A, B ∈ W
Pilih a ≠ b :
⎛ a b ⎞ , jelas bahwa det (A) = 0
⎟⎟
A = ⎜⎜
⎝ 0 0⎠
68
Bab 5 ● Ruang Vektor
⎛ 0 0 ⎞ , jelas bahwa det (A) = 0
⎟⎟
B = ⎜⎜
⎝b a⎠
Perhatikan bahwa :
⎛a b⎞
A + B = ⎜⎜
⎟⎟
⎝b a⎠
Terlihat bahwa det (A + B ) = a2 – b2 ≠ 0
Jadi
D bukan merupakan subruang
tertutup terhadap operasi penjumlahan
karena tidak
5.3 Basis dan Dimensi
Sebuah vektor u dinamakan kombinasi linear dari vektor
– vektor v1 , v2 , … , vn , jika vektor – vektor tersebut dapat
dinyatakan dalam bentuk :
u = k1v1 + k2v2 + ... + knvn
(5.3)
dimana k1, k2, …, kn adalah skalar Riil.
Contoh 5.6 :
Misal u =(2, 4, 0), dan v = (1, –1, 3), adalah vektor-vektor
di R3.
Apakah vektor berikut merupakan kombinasi linear dari
vektor – vektor di atas !
a. a = (4, 2, 6)
b. b = (1, 5, 6)
c. c = (0, 0, 0)
Jawab:
a. Tulis k1u + k 2 v = a , akan diperiksa apakah ada k1, k2,
sehingga kesamaan tersebut dapat terpenuhi :
⎛ 2 ⎞
⎜
⎟
k1 ⎜ 4 ⎟ +
⎜ 0 ⎟
⎝
⎠
⎛ 1 ⎞
⎛ 4 ⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
k2 ⎜ -1 ⎟ = ⎜ 2 ⎟
⎜ 3 ⎟
⎜ 6 ⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
ini dapat ditulis menjadi :
Aljabar Linear Elementer – Adiwijaya
⎛ 2 1 ⎞
⎜
⎟
⎜ 4 -1 ⎟
⎜ 0 3 ⎟
⎝
⎠
69
⎛ k1 ⎞
⎛ 4 ⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟= ⎜ 2 ⎟
⎜ k ⎟
⎜ 6 ⎟
⎝
⎠
⎝ 2⎠
dengan OBE dapat kita peroleh:
⎛ 1 12 2 ⎞ ⎛ 1 12 2 ⎞
⎟
⎟ ⎜
⎜
2⎟
⎜ 1 -3 -6 ⎟~⎜ 0 1
⎜ 0 3 6 ⎟ ⎜ 0 0 0 ⎟
⎠
⎠ ⎝
⎝
Dengan demikian a merupakan kombinasi linear dari
vektor u dan v yang ditulis dalam bentuk :
r r
r
a = u + 2v
b. Tulis :
r
r v
k1 u + k 2 v = b
akan diperiksa apakah ada k1, k2, sehingga kesamaan
tersebut dapat terpenuhi;
⎛ 1 ⎞
⎛1 ⎞
⎛ 2 ⎞
⎟
⎜
⎟
⎜ ⎟
⎜
k1 ⎜ 4 ⎟ + k 2 ⎜ - 1 ⎟ = ⎜ 5 ⎟
⎜ 6 ⎟
⎜ 3⎟
⎜ 0 ⎟
⎠
⎝
⎠
⎝ ⎠
⎝
ini dapat ditulis menjadi:
⎛ 2 1 ⎞
⎛ 1 ⎞
⎜
⎟ ⎛ k1 ⎞ ⎜
⎟
⎟⎟ = ⎜ 5 ⎟
⎜ 4 - 1 ⎟ ⎜⎜
⎜ 0 3 ⎟ ⎝ k2 ⎠ ⎜ 6 ⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
dengan OBE dapat kita peroleh:
1
1 ⎞ ⎛ 1 12
0 ⎞ ⎛ 1 12
⎛2 1
2 ⎞
⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟
5 ⎟ ~⎜ 0 -3
3 ⎟~⎜ 0 1
2⎟
⎜ 4 -1
⎜ 0 3
6 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 3
6 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 0
3 ⎟⎠
⎝
Baris terakhir pada matriks ini menunjukkan bahwa
SPL
tersebut
adalah
tidak
konsisten(tidak
mempunyaisolusi).
Jadi, tidak ada nilai k1 dan k2 yang memenuhi
persamaan.
c. Dengan memilih k1 = 0 dan k2 = 0, maka dapat ditulis
r
r r
k1u + k 2 v = c
70
Bab 5 ● Ruang Vektor
artinya vektor nol merupakan kombinasi linear dari
vektor apapun.
Ini
berkorespondensi dengan
pernyataan bahwa
SPL homogen merupakan SPL
yang konsisten (selalu punya solusi).
Sebelum memahami pengertian tentang basis suatu
ruang vektor, terlebih dahulu harus dipahami tentang definisi
membangun dan bebas linear.
Definisi membangun dan bebas linear
S = {v1 , v 2 , ... , v n } dikatakan membangun
suatu ruang vektor V jika setiap vektor pada ruang vektor V
selalu dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor –
vektor di S.
a. Himpunan vektor
Contoh 5.7 :
Tentukan apakah
v1 = (1, 1, 2), v2 = (1, 0, 1), dan v3 = (2, 1, 3)
membangun R 3 !
Jawab :
⎛ u1 ⎞
Ambil sembarang vektor di R 3 , misalkan u = ⎜ u ⎟
⎜ 2⎟
⎜u ⎟
⎝ 3⎠
Akan diperiksa apakah u merupakan kombinasi linear
dari vektor – vektor v1 , v2 , dan v3 .
Tulis :
u = k1 v1 + k 2 v 2 + k 3 v 3
Sehingga dapat ditulis dalam bentuk :
⎛ u1 ⎞
⎡1 1 2⎤ ⎛ k1 ⎞
⎢1 0 1 ⎥ ⎜ k ⎟ = ⎜ u ⎟
⎜ 2⎟
⎢
⎥ ⎜ 2⎟
⎜u ⎟
⎢⎣2 1 3⎥⎦ ⎜⎝ k3 ⎟⎠
⎝ 3⎠
Aljabar Linear Elementer – Adiwijaya
71
Syarat agar dapat dikatakan bahwa v1 , v2 , dan
v3
3
membangun R (dari definisi kombinasi linear) adalah SPL
tersebut harus mempunyai solusi (konsisten). Dengan
operasi baris elementer diperoleh :
⎡1
⎢
⎢0
⎢
⎢⎢0
⎣
1
-1
0
2
-1
0
u1
⎤
⎥
u2 − u1 ⎥⎥
u3 − u1 − u2 ⎥⎥⎦
Terlihat bahwa agar SPL itu konsisten, haruslah u3 – u2 –
u1 = 0. Padahal diawal vektor u adalah vektor sembarang
(unsur – unsurnya bebas, tak bersyarat). Dengan demikian
vektor – vektor v1 , v2 , dan v3 tidak membangun R 3 .
b. Misalkan S = {u1 , u 2 ,..., u n } adalah himpunan vektor diruang
vektor V, himpunan S dikatakan bebas linear (linearly
independent), jika SPL homogen :
(5.4)
k1u1 + k 2 u1 + ... + k n u n = 0
hanya mempunyai satu solusi (tunggal), yakni
k1 = 0 , k 2 = 0 , ... , k n = 0
Jika solusinya lebih dari satu, artinya ada solusi k i ≠ 0 untuk
suatu i, maka S kita namakan himpunan tak bebas linear
(linearly dependent), ini dapat dikatakan bahwa himpunan S
merupakan himpunan vektor yang bergantung linear.
Contoh 5.8 :
Diketahui u = (− 1, 3, 2) dan a = (1, 1, − 1)
Apakah saling bebas linear di R 3
Jawab :
Tulis :
atau
r
r r
k1 u + k 2 a = 0
72
Bab 5 ● Ruang Vektor
⎛ -1 1 ⎞
⎟ ⎛k ⎞
⎜
1 ⎟ ⎜⎜ 1 ⎟⎟ =
⎜ 3
⎜ 2 − 1 ⎟ ⎝ k2 ⎠
⎠
⎝
⎛0⎞
⎜ ⎟
⎜0⎟
⎜0⎟
⎝ ⎠
dengan operasi baris elementer dapat diperoleh :
⎛ -1 1 0 ⎞ ⎛1 − 1 0⎞ ⎛1 0 0⎞
⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟
1 0 ⎟ ~ ⎜0 4 0⎟ ~ ⎜0 1 0⎟
⎜ 3
⎜ 2 − 1 0 ⎟ ⎜0 1 0⎟ ⎜0 0 0⎟
⎝
⎠ ⎝
⎠ ⎝
⎠
dengan demikian diperoleh solusi tunggal yaitu :
k1 = 0, dan k2 = 0.
Ini berarti ū dan ā adalah saling bebas linear.
Contoh 5.9 :
Misal :
⎛ − 1⎞
⎛1⎞
⎛ 2 ⎞
3
⎜ ⎟,
⎜ ⎟,
⎜ ⎟
a = ⎜ 3 ⎟ b = ⎜ 1 ⎟ c = ⎜ − 6 ⎟ di R
⎜2⎟
⎜ − 1⎟
⎜ − 4⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝ ⎠
Periksa apakah ketiga vektor diatas saling bebas linear ?
Jawab :
Tulis :
0 = k1 a + k 2 b + k 3 c
atau
2 ⎞ ⎛ k1 ⎞
⎛0⎞
⎛−1 1
⎜ ⎟
⎜
⎟ ⎜ ⎟
k
2
=
⎜0⎟
⎜ 3 1 − 6⎟ ⎜ ⎟
⎜
⎜0⎟
⎟
⎜ 2 − 1 − 4⎟ ⎝ k3⎠
⎝ ⎠
⎝
⎠
dengan operasi baris elementer dapat diperoleh :
Aljabar Linear Elementer – Adiwijaya
73
⎛1 − 1 − 2⎞
⎛ 1 − 1 − 2⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
0 ⎟ ~ ⎜0 1
0 ⎟
⎜0 4
⎜0 1
⎜0 0
0 ⎟⎠
0 ⎟⎠
⎝
⎝
k1, k2, k3 merupakan solusi tak hingga banyak, artinya
vektor a , b , c adalah vektor-vektor yang bergantung
linear.
Perhatikan bahwa jika kita ingin memeriksa sejumlah n
vektor di Rn maka dapat dilakukan lebih cepat untuk memeriksa
apakah himpunan vektor tersebut bebas linear atau tidak. Cara
yang dilakukan adalah kumpulkan vektor – vektor tersebut dalam
sebuah matriks sehingga vektor – vektor tadi merupakan vektor
kolom pada matriks tersebut. Selanjutnya, cukup diperiksa
determinan dari matriks tersebut. Jika determinan matriks
tersebut tidak sama dengan nol maka himpunan vektor tersebut
adalah bebas linear. Sebaliknya, jika determinan matriks tersebut
sama dengan nol maka himpunan vektor tersebut adalah
bergantung linear.
Jika V adalah sembarang ruang vektor dan S = { ū1, ū2, … ,
ūn} merupakan himpunan berhingga dari vektor – vektor di V,
maka S dinamakan basis bagi V jika kedua syarat berikut
dipenuhi :
• S membangun V
• S bebas linear
Contoh 5.10 :
Tunjukan bahwa himpunan matriks berikut :
⎧⎪
M =⎨
⎪⎩
⎡3 6 ⎤
⎢3 − 6⎥,
⎣
⎦
− 8⎤ ⎡ 1 0⎤ ⎫⎪
⎡ 0 − 1⎤ ⎡ 0
⎢− 1 0 ⎥, ⎢− 12 − 4⎥, ⎢− 1 2⎥ ⎬
⎣
⎦ ⎣
⎦ ⎣
⎦ ⎭⎪
merupakan basis bagi matriks berukuran 2 x 2 (M2 x 2) !
74
Bab 5 ● Ruang Vektor
Jawab :
Tulis kombinasi linear :
⎡3 6 ⎤
⎡ 0 − 1⎤
⎡ 0 − 8⎤
⎡ 1 0⎤ ⎡a b⎤
k1 ⎢
+ k2 ⎢
+ k3 ⎢
+ k4 ⎢
⎥
⎥
⎥
⎥=⎢
⎥
⎣3 − 6⎦
⎣− 1 0 ⎦
⎣− 12 − 4⎦
⎣− 1 2⎦ ⎣c d ⎦
atau
3k1 + k 4
⎛
⎜⎜
⎝ 3k1 − k 2 − 12k 3 − k 4
6k1 − k 2 − 8k 3
⎞ ⎛a b ⎞
⎟=⎜
⎟
− 6k1 − 4k 3 + 2k 4 ⎟⎠ ⎜⎝ c d ⎟⎠
dengan menyamakan setiap unsur pada kedua matriks
tersebut, diperoleh :
0
0
1 ⎤ ⎛ k1 ⎞ ⎛ a ⎞
⎡ 3
⎢ 6 −1 − 8 0 ⎥ ⎜k ⎟ ⎜b ⎟
⎢
⎥ ⎜ 2⎟ = ⎜ ⎟
⎢ 3 − 1 − 12 − 1⎥ ⎜ k3 ⎟ ⎜ c ⎟
⎢
⎥ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟
⎣− 6 0 − 4 2 ⎦ ⎝ k 4 ⎠ ⎝ d ⎠
(5.5)
Perhatikan bahwa determinan matriks koefisiennya (MK)
tidak sama dengan nol,
yaitu 48.
• Karena det(MK) ≠ 0 maka SPL (5.5) memiliki solusi
untuk setiap a, b, c, d. Ini menunjukan bahwa M
membangun M2x2.
• Ketika a = 0, b = 0, c = 0, d = 0, SPL (*) merupakan SPL
homogen. Karena det(MK) ≠ 0 maka SPL homogen
tersebut memiliki solusi tunggal. Dengan demikian, ini
menunjukan bahwa M bebas linear.
Karena M bebas linear dan membangun M2 x 2 maka M
merupakan basis bagi M2 x 2.
Yang perlu diingat, basis untuk setiap ruang vektor adalah tidak
tunggal. Jadi, suatu ruang vektor dapat mempunyai lebih dari satu
basis. Sekedar contoh, untuk ruang vektor dari M2 x 2, himpunan
matriks :
⎧⎪ ⎡1 0⎤ ⎡0 1⎤ ⎡0 0⎤ ⎡0 0⎤ ⎫⎪
⎨⎢
⎥, ⎢
⎥, ⎢
⎥, ⎢
⎥ ⎬
⎪⎩ ⎣0 1⎦ ⎣0 0⎦ ⎣1 0⎦ ⎣0 1⎦ ⎪⎭
juga merupakan basisnya.
Aljabar Linear Elementer – Adiwijaya
75
Misalkan matriks :
Vektor kolom
⎡− 1 − 2 − 1 1 ⎤
2
3 − 1⎥⎥
A = ⎢⎢ 1
⎢⎣ 1
2
2 − 1⎥⎦
dengan melakukan OBE
berkorespondensi dengan :
kita
⎡1
⎢
⎢0
⎢
⎢⎢0
⎣
peroleh
2
0
0
0
1
0
Vektor baris
bahwa
matriks
A
-1⎤
⎥
0⎥⎥
0⎥⎥⎦
Dengan memperhatikan kolom-kolom pada matriks hasil OBE
yang memiliki satu utama berseseuaian dengan matriks asal. ini
berarti, bahwa matriks A tersebut mempunyai basis ruang kolom
:
⎧⎛ − 1⎞ ⎛ − 1⎞ ⎫
⎪⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎪
⎨⎜ 1 ⎟, ⎜ 3 ⎟ ⎬
⎪⎜ 1 ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎪
⎩⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎭
Sedangkan basis ruang baris diperoleh dengan cara,
mentransposkanterlebih dahulu matriks A, lakukan OBE pada At,
sehingga diperoleh :
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
1
0
0
1
0
0
0
0
-1
2
1
2
0
0
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
Kolom-kolom pada matriks hasil OBE yang memiliki satu utama
berseseuaian dengan matriks asal (A). Ini berarti, bahwa matriks
A tersebut mempunyai basis ruang baris :
⎧⎛ − 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎫
⎪⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎪
⎪⎜ − 2 ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎪
⎨⎜ ⎟, ⎜ ⎟ ⎬
⎪⎜ − 1 ⎟ ⎜ 3 ⎟ ⎪
⎪⎜⎝ 1 ⎟⎠ ⎜⎝ − 1⎟⎠ ⎪
⎩
⎭
76
Bab 5 ● Ruang Vektor
Dimensi dari basis ruang baris dan ruang kolom senantiasa sama
dan dinamakan rank. Jadi rank dari matriks A adalah 2.
Contoh 5.11 :
Diberikan SPL homogen (dengan peubah p, q, r, dan s)
berikut :
2p + q – 2r – 2s = 0
p – q + 2r – s = 0
–p + 2q – 4r + s = 0
3p – 3s
=0
Tentukan basis ruang solusi dari SPL diatas
Jawab :
Sistem persamaan diatas dapat ditulis dalam bentuk
matriks sebagai berikut :
⎛ 2 1 −2 −2
⎜
⎜ 1 −1 2 −1
⎜−1 2 − 4 1
⎜
⎜ 3
0
0 −3
⎝
0⎞
⎟
0⎟
0⎟
⎟
0 ⎟⎠
dengan melakukan OBE diperoleh :
⎛1
⎜
⎜0
⎜0
⎜
⎜0
⎝
0 0 −1
1 −2 0
0 0
0
0 0
0
0⎞
⎟
0⎟
0⎟
⎟
0 ⎟⎠
Solusi SPL homogen tersebut adalah :
p = a,
q = 2b ,
s = a, dan
r = b,
dimana a, b merupakan parameter.
atau
Aljabar Linear Elementer – Adiwijaya
77
⎛ p ⎞ ⎛1⎞ ⎛ 0⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ q ⎟ ⎜ 0⎟ ⎜ 2⎟
⎜ r ⎟ = ⎜ 0 ⎟a + ⎜ 1 ⎟b
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ s ⎟ ⎜1⎟ ⎜ 0⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Dengan demikian, basis ruang solusi dari SPL diatas
adalah :
⎧ ⎛1⎞
⎪⎜ ⎟
⎪ ⎜ 0⎟
⎨⎜ ⎟,
⎪ ⎜ 0⎟
⎪⎩ ⎜⎝ 1 ⎟⎠
⎛ 0⎞ ⎫
⎜ ⎟⎪
⎜ 2⎟ ⎪
⎜1⎟ ⎬
⎜ ⎟⎪
⎜ 0⎟ ⎪
⎝ ⎠⎭
Dimensi dari basis ruang solusi dinamakan nulitas.
Dengan demikian, nulitas dari SPL diatas adalah 2.
78
Bab 5 ● Ruang Vektor
Latihan Bab 5
⎡6 3⎤
1. Nyatakanlah matriks ⎢
⎥ sebagai kombinasi linear dari
⎣ 0 8⎦
matriks berikut :
⎡ 1 2⎤ ⎡0 1 ⎤
⎡ 4 − 2⎤
⎢− 1 3⎥ , ⎢2 4⎥ , dan ⎢0 − 2⎥
⎦ ⎣
⎦
⎦
⎣
⎣
2. Periksa, apakah himpunan berikut bebas linear !
a. {6 – x2 , 6 + x + 4x2 }
b. {1 + 3x + 3x2, x + 4x2, 5 + 6x + 3x2, 7 + 2x – x2}
3. Periksa, apakah himpunan A = {6 – x2 , 6 + x + 4x2 }
membangun polinom orde 2
2 + x − 2 x2 ,
− 1 − 5 x + 10 x 2 }
4. Periksa
apakah
{ 1 − x + 2x2 ,
merupakan himpunan yang bebas linear ! Jelaskan.
5. Periksa, apakah himpunan berikut merupakan basis bagi
polinom orde 2 (P2)
a. {4 + 6x + x2, – 1 + 4x + 2x2, 5 + 2x – x2}
b. {– 4 + x + 3x2, 6 + 5x + 2x2, 8 + 4x + x2}
6. Misalkan
J = ⎧⎨a + bx + cx 2
⎩
a 2 = b 2 + c 2 ⎫⎬
⎭
merupakan
himpunan bagian dari ruang vektor Polinom orde dua.
Periksa apakah J merupakan subruang dari ruang vektor
Polinom orde dua Jika ya, tentukan basisnya
7. Diberikan SPL homogen (dengan peubah p, q, dan r) berikut :
p + 2q + 3 r = 0
p + 2q – 3 r = 0
p + 2q + 3 r = 0,
Tentukan basis ruang solusi (buktikan) dan dimensinya.
Aljabar Linear Elementer – Adiwijaya
8. Tentukan rank dari matriks :
⎡− 1 − 2 − 1 1 ⎤
⎢1
2
3 − 1⎥⎥
⎢
⎢⎣ 1
2
2 − 1⎥⎦
79