2 ISSN 1979-8911 231 DINAMIKA EPIDEMIK

Edisi Juni 2011 Volume V No. 1 - 2
ISSN 1979-8911
DINAMIKA EPIDEMIK TUBERCULOSIS (TB) PADA MODEL SATU STRAIN
Asep Solih Awalluddin
Jurusan Matematika UIN Sunan Gunung Djati Bandung
email : [email protected]
ABSTRACT
This paper explains mathematical model for dynamic of tuberculosis epidemic using one
strain model, with supported theorems and lemmas. One strain model is elaborated in a
condition of disease-free equilibrium and unique endemic equilibrium.
Keyword : Population dynamic, Tuberculosis, One strain model
berguna untuk pengendalian terhadap
A. Pendahuluan
Penyakit
penyakit
Tuberkulosis
adalah
beberapa
variabel
yang
berhubungan
menular
langsung
yang
oleh
kuman
TB
menjelaskan model satu strain disertai
(Mycobacterium Tuberculosis), sebagian
dengan penurunan secara matematis dari
besar kuman TB menyerang Paru, tetapi
model yang dibuat.
dapat juga mengenai organ tubuh lainnya.
2. Model Satu Strain
disebabkan
dengan
model
tersebut.
Individu-individu
Kuman ini berbentuk batang, mempunyai
Tulisan
exposed
ini
TB
sifat khusus yaitu tahan terhadap asam
mungkin mengalami periode laten dengan
pada pewarnaan, oleh karena itu disebut
masa
pula sebagai Basil Tahan Asam (BTA),
kenyataannya, banyak yang mati tanpa
kuman TB cepat mati dengan sinar
atau sebelum berkembang menjadi TBC
matahari langsung, tetapi dapat bertahan
aktif).
hidup beberapa jam ditempat yang gelap
membawa (mengidap) bakteri ini maka
dan lembab. Dalam jaringan tubuh kuman
semakin
ini dapat Dormant, tertidur lama selama
menjadi
beberapa tahun.
kekebalan kita menjadi gawat akibat
yang
berbeda-beda
Rupanya,
semakin
berkurang
TBC
aktif
(pada
lama
kita
perkembangan
kecuali
sistim
Kompleksitas penyebaran kuman
penyakit lain. Akibatnya, periode infeksi
dan terus berkembangnya penularan dari
sebagaimana periode secara kronologi
penderita
dan
merupakan faktor penting pada kemajuan
dikendalikan. Model matematika dibuat
penyakit. Seberapa penting faktor ini
untuk memberikan gambaran sekaligus
sebagai
perlu
diantisipasi
231
penaksir
atau
pengukur
Edisi Juni 2011 Volume V No. 1 - 2
ISSN 1979-8911
penyebaran pada tingkat populasi? Karena
diperkirakan
10%
Peluang suskes kontak sehingga
individu-individu
susceptible menjadi terinfeksi sebanding
terinfeksi TBC berkembang menjadi aktif
dengan banyaknya kontak yang terjadi
selama masa hidupnya, maka aturan 10%
dan proporsi individu terinfeksi (active
menjadi sebuah ukuran yang berguna
TB). Hal ini lebih umum dan akurat
untuk pengukuran kesehatan publik kasar
penggunaanya daripada sekedar sebanding
dan menengah. Aturan ini berguna tetapi
dengan banyaknya individu terinfeksi.
pada waktu yang sama juga kurang benar.
Dengan kata lain, banyaknya individu
Hal ini diketahui bahwa kemajuan TBC
susceptible
yang
I
.
N
 cS
terinfeksi
tidak seragam tetapi pada kenyataannya
faktor-faktor
Bentuk ini lebih banyak ditemukan pada
lainnya seperti status gizi dan/atau akses
kebanyakan model epidemik saat ini.
pada
berkaitan
erat
dengan
perawatan
lingkungan
dan
kondisi
Secara matematika diketahui dengan baik
(Bloom
1994).
bahwa jika populasi berukuran N tetap
medik
hidup
Penderita TBC laten dan aktif dapat
konstan
diobati dengan antibiotik, pengobatan ini
mendekati
mempunyai efek samping yang kadang-
asimtotik (konvergen) maka penggunaan
kadang sangat serius dan butuh waktu
tingkat infeksi yang proporsional terhadap
lama. Pembawa bakteri TBC (penderita
SI tidak merubah sifat-sifat kualitatif pada
laten)
model.
yang
tidak
mengembangkan
sepanjang
sebuah
waktu
atau
konstanta
Bagaimanapun
juga,
jika
secara
ketika
penyakit TBC dapat diobati dengan satu
memodelkan epidemik pada suatu negara
obat yaitu INH yang harus dilakukan
yang
selama 6-9 bulan. Pengobatan terhadap
populasi yang besar), penggunaan 
berkembang
(dengan
penderita aktif TBC memerlukan tiga obat
jumlah
I
N
terlihat lebih apriorit (Carlos, Feng 1996).
secara simultan selama sedikitnya 12
Oleh karena pada kenyataannya
bulan. Kurangnya pemenuhan terhadap
kebanyakan penderita TBC
obat ini merupakan masalah yang serius
melewati
masa latennya pada waktu yang sangat
yang tidak hanya menjadikannya kambuh
lama
tetapi justru dapat berkembang menjadi
dibandingkan
dengan
periode
infeksinya (masa terjangkitnya gejala-
antibiotic resistant TB (Carlos, Feng
gejala TBC dan mampu menularkan) dan
1996).
terdapat faktor pengobatan sehingga ada
peluang untuk sembuh, pada bagian ini
232
Edisi Juni 2011 Volume V No. 1 - 2
ISSN 1979-8911
kami menggunakan asumsi slow route,
virgin, artinya sehat dan belum pernah
yaitu penderita TBC akan melewati masa
terserang
latennya sebelum ia menjadi aktif dan
dimasukkan satu individu penderita aktif
melibatkan
TBC untuk mengadakan kontak langsung
pengobatan
faktor
kemudian
dengan populasi ini. Gambar 1.1 adalah
permodelan ini yang juga menggunakan
model transmisi infeksi dan epidemi TBC
proporsi terinfeksi yang lebih umum.
model satu strain, dengan penjelasan
Asumsi lainnya dengan menggunakan
untuk
suatu populasi tertutup dan konstan yang
sebagai berikut :
I(t)
T(t)
Λ
β
d
μ
p
k
βs
βt
c
re
ri
s
I
N
 s cS
penderita
TBC,
dalam
N(t)
S(t)
E(t)
pada
perkembangan
penyakit
masing-masing
notasi
adalah
= banyaknya total populasi pada waktu t,
= banyaknya susceptibles pada waktu t,
= banyaknya exposed TB (terinfeksi tetapi belum menular, TB pasif) pada
waktu t,
= banyaknya infected TB (terinfeksi dan menular, TB aktif) pada waktu t,
= banyaknya treated TBC (individu terobati) pada waktu t,
= tingkat rekruitmen (diantaranya: kelahiran, treated),
= tingkat transmisi infeksi perkontak individu pertahun,
= tingkat kematian akibat TB pertahun,
= tingkat kematian secara alami (bukan karena TB) pertahun,
= tingkat perkembangan cepat dari susceptible menjadi terinfeksi aktif,
= tingkat perkembangan dari laten TB menjadi aktif TB,
= peluang sukses transmisi infeksi pada susceptibles perkontak dengan
satu individu terinfeksi menularkan per unit waktu,
= peluang sukses transmisi infeksi pada treated perkontak dengan satu
individu terinfeksi menularkan per unit waktu,
= banyaknya rata-rata kontak per individu per unit waktu,
= proporsi pengobatan pada exposed individuals per unit waktu,
= tingkat pengobatan pada infectious individuals per unit waktu,
= proporsi susceptible yang berhasil terinfeksi,
I
= banyaknya susceptible yang berhasil terinfeksi per unit waktu,
N
233
Edisi Juni 2011 Volume V No. 1 - 2
ISSN 1979-8911
1 penderita aktif TB (Active
Infected Hosts)
c
μ
Λ
Susceptibles
βs
βt
μ
Exposed
(Passive TB)
k
μ+d
Infected
(Active TB)
re
ri
Treated
μ
Gambar 1.1. Transmisi Infeksi dan Epidemi TBC Model Satu Strain
Dari ilustrasi dan asumsi transmisi
sebagai model dasar dinamika epidemi TB
infeksi dan epidemi di atas dapat disusun
sebagai berikut:
suatu sistim persamaan diferensial biasa
= ( ) + ( ) + ( ) + ( ),
dS
I
    s cS  S ,
dt
N
234
(1.1)
(1.2)
Edisi Juni 2011 Volume V No. 1 - 2
ISSN 1979-8911
dE
I
  s cS   t cT   (   k  re ) E ,
dt
N
(1.3)
dI
 kE  (   d  ri ) I ,
dt
(1.4)
dT
I
 re E  ri I   t cT  T ,
dt
N
(1.5)

 sc
R 0  
   d  ri

k

   k  re



Pada umumnya, sistim persamaan
(1.6)
pada sebuah populasi susceptibles, yang
diferensial di atas dikenal sebagai model
merupakan
SEIR, SEI atau lebih tepatnya SEIS, yang
banyaknya rata-rata susceptibles yang
mana individu-individu terinfeksi (laten
terinfeksi
atau menularkan) kembali lagi pada
menularkan penyakit (βsc) selama periode
susceptibles dengan pengobatan. Jika kita
penularan efektifnya (1/(μ + d + ri))
asumsikan
dengan proporsi populasi bertahan hidup
bahwa
peluang
terinfeksi
hasil
oleh
perkalian
satu
antara
orang
yang
pada periode laten (k/(μ + k + re)).
perkontak untuk klas treated sama dengan
pada klas susceptibles, yaitu βs= βt, maka
Terdapat
sistim dinamik (1.1-1.5) adalah serupa
kesetimbangan
secara kualitatif dengan model SEIS.
kesetimbangan tanpa penyakit (disease-
dua
kemungkinan
(equilibria)
yaitu
free equilibrium, E0) jika R0 <1 dan
Persamaan (1.6) merupakan basic
reproductive number yaitu banyaknya
kesetimbangan
kasus kedua
individu terinfeksi dan
equilibrium, E*) jika R0 >1. Carlos
menularkan oleh satu individu terinfeksi
Castillo-Chavez dan Zhilan Feng (1996)
dan menularkan (infectious individual)
telah
pada kasus pertama
sebagai berikut:
selama periode
menjelaskan
endemik
dalam
(endemic
teoremanya
penularan efektifnya ketika diperkenalkan
Misalkan tn → ∞ dan f (tn) konvergen
Lemma 1.
Misalkan
f
:
∞)
[0,
pada f ∞ atau f ∞ untuk n → ∞. Maka f ' (tn)
yang
didefinisikan sebagai
→ 0 untuk n→∞.
f   liminf f (t ), f   limsup f (t )
t 
t 
Teorema 1.
terbatas dan diferensiabel dua kali
dengan
turunan
keduanya
terbatas.
235
Edisi Juni 2011 Volume V No. 1 - 2
a)
Jika R0 <1 maka kesetimbangan
tanpa
penyakit
equilibrium,
Dengan menggunakan persamaan
(disease-free
0
E)
secara asimtot
b)
ISSN 1979-8911
adalah
global
(2.4) lemma 1 diperoleh
stabil
0
(globally
d
I  kE  (   d  ri ) I
dt
asymptotically stable, g.a.s).
 (   d  ri ) I  kE
Jika R0 >1 maka kesetimbangan
 (  d  ri )I   kE
endemik tunggal (unique endemic
equilibrium,
secara
*
E)
asimtot
adalah
lokal
 I 
stabil
(locally
(2.7)
Dengan langkah serupa, pilih sebuah
asymptotically stable, l.a.s).
barisan sn → ∞ sedemikian hingga
Bukti:
E ( s n )  E  : lim sup E ( s n ),
a) Misalkan R0 <1, pilih sebuah barisan tn
sn  
→ ∞ sedemikian hingga
I (t n )  I  ,
k
E.
  ri  d
dan
d
I (t n )  0.
dt
d
E ( s n )  0.
dt
dengan
menggunakan persamaan
(2.3) dan persamaan (2.7) diperoleh
0
d 
E   s cI   (   k  re ) E 
dt


k
  s c 
E    (   k  re ) E 
   ri  d

 


k
  (   k  re ) E 
  s c
    ri  d 

 
   k  re
k

  s c


r

d
i
   k  re
 
  s c 
k

 
   ri  d    k  re


  (  k  re ) E 




  k  re   (   k  re ) E 


 R0   k  re   (  k  re )E 
Karena R0 < 1 maka R0 - 1 < 0
E∞ = E∞ = 0, dan E(t) → 0 untuk
akibatnya E∞ ≤ 0.
t→∞ .
Dan karena E : lim inf E(s n )  0
Jika E∞ = 0 maka pada persamaan
sn 
(2.7)
maka diperoleh
I∞
≤
0.
I  : lim inf I (t n )  0
tn 
236
Dan
karena
maka
Edisi Juni 2011 Volume V No. 1 - 2
ISSN 1979-8911
diperoleh I∞ = I∞ = 0, dan I(t) → 0
Karena
untuk t→∞ .
penjumlahan
persamaan-persamaan
kita hanya dapat menganggap solusi untuk
(2.2-2.5)
sistim
d
N    N  dI .
dt
maka
(2.1-2.5)
N

N  N  
Dengan
N (u n )  N  : lim inf N (u n ),
globally
u n 
d
N (u n )  0.
dt
  .

.

E0
adalah
stable
(g.a.s)
demikian,
asymptotically


E 0   ,0,0  .b) Misalkan R0 >1, dengan


asumsi bahwa βt = βs = β maka sistim
d
N     N   dI   0
dt
persamaan
(2.2-2.3)
ekivalen
sistim:
 N     dI   

.

d
N    N  dI
dt
dE
I
 c ( N  E  I )  (   k  re ) E ,
dt
N
dI
 kE  (   d  ri ) I ,
dt
endemik
tunggal
E* 
  d  ri
I*
k
I* 
k ( R0  1)
N*,
R0
(unique endemic equilibrium) untuk sistim
persamaan ini diberikan oleh
E* = (N*, E*, I*)
dan     d  ri  k .
dengan
N* 
Jadi
dengan titik kestabilan diberikan dengan
Dan dengan lemma 1 diperoleh
Ekuilibrium
dengan
diperoleh
sedemikian hingga
 N 
persamaan
N (t )    ,
Pilih sebuah barisan un → ∞
dan
N ( t )  0 untuk N    ,
sehingga, tanpa mengurangi keumuman,
Selanjutnya,
memberikan
d
dt
R0 
dk ( R0  1)  R0
Perhatikan bahwa
237
dengan
Edisi Juni 2011 Volume V No. 1 - 2
ISSN 1979-8911
Untuk menyusun matriks Jacobian
N * E * I * 1
 .
N*
R0
dari sistim persamaan ini diperlukan:
 d 

  N  dI     ,
 N 
N  dt  N
 d  
  N  dI   0 ,
 N 
E  dt  E
d  
 N     N  dI   d ,
I  dt  I
2
  dE 
I
   c( E  I ) 2   cE I 2   c I 2
N  dt 
N
N
N
I
I
  c   cE
N
N
I
I 
E
  c   c 1 

N
N
N
 c
I
I2


c
N2
N2
I 

N
I
I N E I 
 c    
N
NN N N
I
I N EI 
 c  c 

N
N
N

I c I c I
 c 

( R0  1)  a(R0  1) ,
N R0 N R0 N
 c
  dE   I

    c    k  re   (aR0    k  re ),
E  dt   N

  dE 
E
I
I
 E
   c  c  2c  c1   2 
I  dt 
N
N
N
 N
I
I 
I 
N E
N EI
  c 

    c
 
N
N
N N N N

 1
I  c
I
c
  c 
  
 c

 aR 0 ,
N
R0
 R0 N  R0
  dI 
  dI 
  dI 
   0,    k ,    (  d  ri ) .
N  dt 
E  dt 
I  dt 
Sehingga matriks Jacobian untuk sistim persamaan di atas:
 

0
d


c
J  a( R0  1)  (aR0    k  re )
 aR0 
R0



0
k
 (  d  ri )
238
Edisi Juni 2011 Volume V No. 1 - 2
ISSN 1979-8911
dengan tr ( J )  (   ) ( aR 0    k  re )  (   d  ri )   0 ,
dan
 c

D ( J )  (   ) aR 0    k  re   d  ri   da ( R 0  1) k   
 aR 0  k  0 .
 R0

Polinomial karakteristik J:
p( )  3  aR0  3  k  re  d  ri 2 
aR 0 ( 2   k  ri  d )   ( 2   k  re
 d  ri )  
 aR 0 (   k  ri  d )  kad ( R 0  1)
 3  A 2  B  C  0.
Karena R0 >1 maka A,B,C > 0 dan AB > C. Determinan-determinan Hurwitz:
A C 0
A C
1  A ,  2 
, 3  1 B 0
1 B
0 A C
Sehingga a0 = 1 > 0, ∆1 = A > 0, ∆2
 cS
2
= AB - C > 0, ∆3 = ABC – C = (AB – C)

 sc
strain R 0  
   d  ri
C > 0 yang memenuhi kestabilan RouthHurwitz,
artinya
E*
adalah
I
. Rumusan R0 untuk model satu
N
locally

k

   k  re



asymptotically stable (l.a.s).
C. Referensi
Brian M. Murphy, Benjamin H. Singer,
Denise Kirschner (2002) On
treatment
of tuberculosis
in
heterogeneous pupulations, Journal
of
Theoretical
Biology.
www.elsevier.com/locate/jtbi.
Science
Direct
YJTBI
3243:1-14.
www.sciencedirect.com.
Carlos Castillo-Chavez, Baojon Song
(2002) An Overview of Dynamical
Models of Tuberculosis: 10-17.
Carlos Castillo-Chavez, Zhilan Feng
(1997), To treat or not to treat: the
case of tuberculosis, SpringerVerlag, J Mol Med 35:629-656.
Dinas Kesehatan Jakarta, Indonesia:
www.infeksi.com, www.dikes.org
E. Jung, S. Lenhart, Z. Feng (2002)
Optimal Control of Treatment in A
Two-Strain Tuberculosis Model,
B. Simpulan
Model satu strain adalah model
dengan
peluang
memberikan
suskes
asumsi
kontak
bahwa
sehingga
susceptible menjadi terinfeksi sebanding
dengan banyaknya kontak yang terjadi
dan proporsi individu terinfeksi (active
TB). Hal ini lebih umum dan akurat
penggunaanya
dari
pada
sekedar
sebanding dengan banyaknya individu
terinfeksi. Dengan kata lain, banyaknya
individu susceptible yang terinfeksi adalah
239
Edisi Juni 2011 Volume V No. 1 - 2
ISSN 1979-8911
Discrete and Continuous Dynamical
System Series B Volume 2 No. 4:
473-482. http://AIMsciences.org.
F.G.Gantmacher (1960), The Theory of
Matrices, Volume I, Chelsea
Publishing Company, NY: 125-126.
F.G.Gantmacher (1964), The Theory of
Matrices, Volume II, Chelsea
Publishing Company, NY: 194-195,
220-221.
Jan Medlock (2002) Mathematical
Modeling of Epidemics: 1-23.
O. Diekmann, J.A.P. Heesterbeek.
Mathematical Epidemiology of
Infectious
Diseases;
Model
Building,
Analysis
and
Interpretation, John Wiley & Son,
Ltd.: 3-62, 177-220.
Press
release
WHO:
www.who.org,
www.whosea.org, www.who.int
Sally M. Blower, Julie L. Gerberding,
(1998) Understanding, predicting
and controlling the emergence of
drug-resistant
tuberculosis:
a
theoretical framework, SpringerVerlag, J Mol Med 76:624-636.
Tuen Wai Ng, Gabriel Turinici, Antoine
Danchin (2003) A double epidemic
model for SARS propagation, BMC
Infectious
Diseases,
BioMed
Central:
1-16.
http://www.biomedcentral.com/14172334/3/19.
Z. Feng, M. Iannelli, F.A. Milner (2002)
A Two-Strain Tuberculosis Model
with Age of Infection, SIAM J.
Appl. Math. Vol. 62, No. 5: 16341656.
240