Templat tugas akhir S1

PENYELESAIAN PERSAMAAN KORTEWEG-DE VRIES
ORDE TINGGI DENGAN METODE EKSPANSI
RESTY BANGUN PRATIWI
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2015
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Penyelesaian
Persamaan Korteweg-de Vries Orde Tinggi dengan Metode Ekspansi
adalah
benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan
dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang
berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari
penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di
bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, Mei 2015
Resty Bangun Pratiwi
NIM G54110016
ABSTRAK
RESTY BANGUN PRATIWI. Penyelesaian Persamaan Korteweg-de Vries Orde
Tinggi dengan Metode Ekspansi
. Dibimbing oleh JAHARUDDIN dan ALI
KUSNANTO.
Gelombang internal merupakan gelombang yang terjadi di bawah
permukaan laut. Jenis gelombang internal yang sering diamati adalah gelombang
soliter. Gelombang soliter internal adalah suatu gelombang berjalan yang dalam
perambatannya mempertahankan bentuk dan kecepatannya. Salah satu model
matematika yang dapat menjelaskan gelombang soliter internal adalah persamaan
Korteweg-de Vries (KdV). Persamaan KdV diturunkan dari persamaan dasar
fluida ideal, yaitu fluida yang taktermampatkan dan takkental. Persamaan KdV
orde tinggi diselesaikan dengan metode ekspansi
dan diperoleh penyelesaian
dalam bentuk gelombang berjalan. Penggunaan metode ekspansi
ini
dilakukan dengan cara yang sederhana karena hanya melibatkan persamaan
diferensial orde dua. Penyelesaian yang diperoleh diilustrasikan dalam grafik
menggunakan software Mathematica 10.1.
Kata kunci: gelombang internal, metode ekspansi
tinggi.
, persamaan KdV orde
ABSTRACT
RESTY BANGUN PRATIWI. Solutions for a Higher Order of Korteweg-de
Vries Equation Using
Expansion Methods. Supervised by JAHARUDDIN
and ALI KUSNANTO.
Internal wave is a wave which occurs on ocean subsurface. Another
frequently considered kind of this wave is solitary wave. Solitary internal wave is
a traveling wave which maintains its shape and velocity while propagating. One of
mathematical models which describe this kind of wave is the Korteweg-de Vries
(KdV) equation. This equation is derived from the basic ideal fluid equation, i.e.,
a fluid which has characteristics such as incompressible and unviscous. On this
paper, the higher order KdV equation is solved by using
expansion method,
resulting a solution in traveling wave form. This method is full of simplicity since
only second order differential equations get involved. The obtained solution is
illustrated in graphical form using Mathematica 10.1 software.
Keywords:
expansion method, higher order KdV equation, internal wave.
PENYELESAIAN PERSAMAAN KORTEWEG-DE VRIES
ORDE TINGGI DENGAN METODE EKSPANSI
RESTY BANGUN PRATIWI
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2015
Judul Skripsi : Penyelesaian Persamaan Korteweg-de Vries Orde Tinggi dengan
Metode Ekspansi
Nama
: Resty Bangun Pratiwi
NIM
: G54110016
Disetujui oleh
Dr Jaharuddin, MS
Pembimbing I
Drs Ali Kusnanto, MSi
Pembimbing II
Diketahui oleh
Dr Toni Bakhtiar, MSc
Ketua Departemen
Tanggal Lulus:
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas
segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Topik yang
dipilih dalam karya ilmiah ini adalah penggunaan metode ekspansi
untuk
kasus gelombang internal yang dimodelkan dalam persamaan Korteweg-de Vries
orde tinggi, dengan judul Penyelesaian Persamaan Korteweg-de Vries Orde
Tinggi dengan Metode Ekspansi
.
Penyusunan karya ilmiah ini tidak lepas dari bantuan berbagai pihak. Oleh
karena itu penulis mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah
membantu dalam proses penyusunan karya ilmiah ini antara lain:
1 Nawawi (Ayah) dan Ernawati (Ibu) selaku orangtua, serta Ricky dan Velly
selaku kakak, atas semua doa, dukungan, semangat, perhatian, nasihat dan
kasih sayangnya sehingga penulis dapat menyelesaikan karya ilmiah ini.
2 Dr Jaharuddin, MS selaku dosen pembimbing pertama dan Drs Ali Kusnanto,
MSi selaku dosen pembimbing kedua atas semua ilmu, motivasi, saran, dan
bantuannya selama penulisan karya ilmiah ini.
3 Elis Khatizah, SSi, MSi selaku dosen penguji atas saran dan kritik untuk
perbaikan karya ilmiah ini.
4 Seluruh dosen Departemen Matematika FMIPA IPB atas semua ilmu yang
telah diberikan kepada penulis.
5 Seluruh staf Departemen Matematika FMIPA IPB atas semua bantuan selama
perkuliahan dan proses penyelesaian karya ilmiah ini.
6 Teman-teman satu bimbingan yaitu Vina dan Parara atas semua dukungan,
saran, dan bantuannya dalam menyelesaikan karya ilmiah ini.
7 Teman-teman Matematika 48 atas segala dukungan, doa, semangat, perhatian
dan bantuannya.
8 Rizky, Atikah, Intan, Riefdah, Alfi, Riski, Andini, Lidya, Putri, Hana, Sifa,
Febiyana, Desi, Clara, dan Citra sebagai sahabat yang selalu memberikan
saran, dukungan, perhatian dan kasih sayang.
9 Pihak-pihak lain yang telah membantu penulisan skripsi ini yang tidak dapat
disebutkan satu per satu.
Penulis menyadari bahwa dalam karya ilmiah ini masih terdapat banyak
kekurangan dan jauh dari kesempurnaan. Oleh karena itu penulis mengharapkan
kritik dan saran yang membangun dari pembaca. Semoga karya ilmiah ini dapat
bermanfaat dan menjadi inspirasi bagi penelitian-penelitian selanjutnya.
Bogor, Mei 2015
Resty Bangun Pratiwi
DAFTAR ISI
DAFTAR GAMBAR
vi
DAFTAR LAMPIRAN
vi
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Tujuan Penelitian
2
TINJAUAN PUSTAKA
2
Persamaan Korteweg-de Vries
2
Metode Ekspansi
4
HASIL DAN PEMBAHASAN
5
Transformasi Persamaan
5
Aplikasi Metode
6
SIMPULAN
16
DAFTAR PUSTAKA
17
LAMPIRAN
18
RIWAYAT HIDUP
31
DAFTAR GAMBAR
1 Grafik Persamaan
tinggi dengan
2 Grafik Persamaan
tinggi dengan
(38) sebagai penyelesaian persamaan KdV orde
dan
(38) sebagai penyelesaian persamaan KdV orde
dan
15
16
DAFTAR LAMPIRAN
1
2
3
4
Penurunan sistem persamaan (22)
Penurunan persamaan-persamaan pada kasus pertama
Penurunan persamaan-persamaan pada kasus kedua
Penurunan persamaan-persamaan pada kasus ketiga
18
21
25
28
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Persamaan diferensial parsial taklinear secara luas digunakan sebagai
model untuk mengekspresikan banyak fenomena fisik. Umumnya persamaan
diferensial parsial taklinear tersebut sulit untuk diselesaikan baik secara analitik
maupun numerik jika dihadapkan pada perhitungan yang rumit. Salah satu
fenomena alam yang dapat diekspresikan dengan persamaan diferensial parsial
taklinear adalah fenomena gelombang yang sering terjadi di bawah permukaan
laut yaitu gelombang internal.
Gelombang internal terjadi karena adanya perbedaan rapat massa pada
setiap lapisan air laut. Perbedaan rapat massa terjadi karena perbedaan suhu dan
kadar garam. Gelombang internal tidak dapat telihat secara kasat mata tetapi dapat
terdeteksi keberadaannya berdasarkan pola tertentu di permukaan laut. Salah satu
jenis gelombang internal yang sering diamati adalah gelombang soliter.
Gelombang soliter internal adalah suatu gelombang berjalan yang dalam
perambatannya mempertahankan bentuk dan kecepatannya. Gelombang soliter
internal dapat menimbulkan masalah bagi lingkungan, seperti naiknya polutan
dari dasar laut ke permukaan yang dapat mempengaruhi kehidupan biota laut.
Salah satu model matematika yang dapat menjelaskan gelombang soliter
internal adalah model persamaan Korteweg-de Vries (KdV). Persamaan KdV
menggunakan asumsi bahwa gelombang internal yang ditinjau bergerak hanya
dalam satu arah dan panjang gelombang internal jauh lebih besar dari kedalaman
fluida. Persamaan KdV diturunkan dari persamaan dasar fluida ideal yaitu fluida
yang taktermampatkan dan takkental. Penyelesaian persamaan KdV orde rendah
maupun tinggi menggunakan asumsi bahwa penyelesaiannya dalam bentuk
gelombang berjalan.
Banyak penelitian telah dilakukan untuk memperoleh penyelesaian dari
persamaan KdV orde tinggi dengan menggunakan berbagai metode, diantaranya
menggunakan metode analisis homotopi eksponensial (Jaharuddin 2015) dan
metode extended F-expansion (He et al. 2013). Dalam metode analisis homotopi
eksponensial, penyelesaian persamaan KdV orde tinggi yang diperoleh hanya
berupa pendekatan analitik dengan fungsi yang berbentuk eksponensial.
Sedangkan pada metode extended F-expansion, persamaan umum KdV orde
tinggi yang berupa persamaan diferensial parsial taklinear akan ditransformasi
menjadi persamaan diferensial biasa taklinear. Penyelesaian persamaan KdV yang
diperoleh menggunakan metode extended F-expansion berupa penyelesaian eksak
dengan pemisalan penyelesaiannya dinyatakan dalam bentuk deret pangkat. Deret
pangkat tersebut memuat fungsi F yang memenuhi suatu persamaan diferensial
biasa tak linear.
Karya ilmiah ini akan mencari penyelesaian dari persamaan KdV orde
memiliki
tinggi menggunakan metode ekspansi
. Metode ekspansi
sedikit perbedaan dengan metode extended F-expansion. Pada metode ekspansi
pemisalan penyelesaian persamaan KdV dinyatakan dalam bentuk deret
pangkat yang memuat fungsi
dengan fungsi
yang memenuhi suatu
persamaan diferensial biasa linear orde dua.
2
Tujuan Penelitian
Berdasarkan latar belakang di atas, maka tujuan dari penelitian ini adalah
1 Mencari penyelesaian dari persamaan KdV orde tinggi dengan menggunakan
metode ekspansi
.
2 Memberikan ilustrasi grafik penyelesaian persamaan KdV orde tinggi dengan
bantuan aplikasi Mathematica 10.1.
TINJAUAN PUSTAKA
Pada bagian ini akan dibahas teori-teori yang mendukung penelitian ini.
Teori-teori tersebut meliputi persamaan Korteweg-de Vries (KdV) dari Jaharuddin
dan Pudjaprasetya (2002), Fokas (1995), dan konsep metode
dari Yang et al.
(2014).
Persamaan Korteweg-de Vries
Persamaan KdV diturunkan dari persamaan dasar fluida ideal, yaitu fluida
yang taktermampatkan dan takkental. Persamaan dasar fluida ideal diperoleh
berdasarkan gerak partikel fluida yang dinyatakan dalam dua dimensi dengan
kecepatan partikel dalam arah horizontal dan vertikal berturut-turut adalah
u(x, z, t) dan w(x, z, t). Fluida memiliki rapat massa
dengan x, z dan t
berturut-turut menyatakan koordinat horizontal, vertikal dan waktu.
Terdapat dua hukum fisika yang diperlukan untuk menurunkan persamaan
dasar fluida ideal, yaitu hukum kekekalan massa dan hukum kekekalan
momentum. Hukum kekekalan massa memberikan persamaan kontinuitas,
sedangkan hukum kekekalan momentum memberikan persamaan Euler. Dengan
demikian persamaan dasar fluida ideal diberikan dalam sistem persamaan berikut:
(1)
Dua persamaan pertama adalah persamaan kontinuitas, sedangkan dua persamaan
terakhir adalah persamaan Euler dengan
dan
berturut-turut menyatakan
tekanan dan percepatan gravitasi. Penyelesaian untuk Persamaan (1) saat kondisi
diam
adalah
dengan
Dalam penurunan persamaan KdV dimisalkan dua parameter kecil yaitu
dan yang masing-masing merepresentasikan karakteristik tak linear dan dispersi.
Persamaan KdV mensyaratkan terpenuhinya persamaan
Selanjutnya, akan
ditentukan penyelesaian untuk Persamaan (1) dengan menguraikan variabelvariabel bebasnya dalam deret yang bergantung pada sebagai berikut:
3
(2)
dengan
dan
.
Substitusikan Persamaan (2) ke dalam Persamaan (1) dan pertahankan
pada Persamaan (1) sehingga diperoleh persamaan yang
suku dengan orde
dapat digunakan untuk menentukan , yaitu
(
(3)
*
Dengan memisalkan
persamaan yang bergantung terhadap
(
, maka Persamaan (3) menjadi
sebagai berikut:
(4)
*
Kondisi batas untuk Persamaan (4) pada
menggunakan fakta
bahwa komponen vertikal dari kecepatan harus bernilai nol pada
. Oleh
karena itu,
. Kondisi batas untuk Persamaan (4) pada
diperoleh
dari kondisi batas kinematik dan kondisi batas dinamik pada permukaan batas,
yaitu
di
(5)
di
(6)
)
.
(
Substitusikan Persamaan (2) ke dalam Persamaan (1) dan atur semua suku
dengan orde menjadi nol sehingga diperoleh persamaan yang dapat digunakan
untuk menentukan , yaitu
dengan
(
*
(7)
dengan
( (
)
)
Kondisi batas untuk Persamaan (7) adalah Persamaan (5) dan fakta bahwa
bernilai nol saat
. Dengan mengalikan Persamaan (7) terhadap
dan mengintegralkannya terhadap z dari
sampai 0, diperoleh
∫
atau
(8)
4
dengan
∫
∫
∫
∫
(9)
Persamaan (8) adalah persamaan KdV standar untuk gelombang internal.
Persamaan KdV standar terus dikembangkan oleh para peneliti untuk
mendapatkan persamaan KdV dengan orde yang lebih tinggi. Persamaan KdV
orde tinggi menurut Fokas (1995), yaitu
(10)
Fungsi
merepresentasikan simpangan pada permukaan fluida, dan
adalah parameter bebas. Asumsikan bahwa
sehingga
dan
Selanjutnya, dengan
mengabaikan dua orde tertinggi yang sangat kecil dari
, maka
Persamaan (10) dapat direduksi sehingga dihasilkan persamaan lain dari
persamaan KdV orde tinggi, yaitu
(11)
Persamaan
(11)
metode ekspansi
merupakan kasus khusus dari Persamaan (10) saat
. Selanjutnya Persamaan (11) akan diselesaikan dengan
.
Metode Ekspansi
Metode ekspansi
merupakan salah satu metode yang digunakan
untuk mencari penyelesaian dari persamaan diferensial. Berikut ini akan
dijelaskan konsep metode ekspansi
Tinjau bentuk umum persamaan
diferensial parsial taklinear dengan dua variabel bebas berikut:
(12)
Fungsi F adalah fungsi yang bergantung pada dan turunan-turunan parsialnya,
sedangkan
adalah fungsi yang tidak diketahui. Persamaan (12)
ditransformasikan menjadi persamaan diferensial biasa taklinear dengan
dan
sehingga
menggunakan transformasi
diperoleh
(13)
dengan
menyatakan turunan pertama terhadap .
Penyelesaian dari persamaan diferensial biasa (13) dinyatakan sebagai
berikut:
∑
( )
(14)
5
dengan
adalah konstanta yang akan ditentukan kemudian,
adalah bilangan bulat positif dan
memenuhi persamaan diferensial orde
dua sebagai berikut:
(15)
di mana dan adalah konstanta real. Berdasarkan nilai
, penyelesaian
umum dari Persamaan (15) memiliki tiga kemungkinan berikut:
diperoleh penyelesaian berupa fungsi hiperbolik
 Saat
( )
 Saat
(
√
√
)
(
))
(16)
diperoleh penyelesaian berupa fungsi trigonometri
( )
 Saat
(
(
(
√
)
(
√
))
(17)
diperoleh penyelesaian berikut
( )
(18)
dengan
dan
konstanta sembarang.
Substitusikan Persamaan (14) dan Persamaan (15) ke Persamaan (13) dan
atur semua koefisien
dari sistem yang dihasilkan menjadi
Konstanta
nol sehingga diperoleh persamaan aljabar taklinear untuk dan
dan dapat diperoleh dengan menyelesaikan persamaan aljabar taklinear tersebut.
Selanjutnya, substitusikan konstanta dan yang diperoleh serta penyelesaian
umum Persamaan (15) ke dalam Persamaan (14), sehingga diperoleh penyelesaian
eksplisit dari Persamaan (11). Penyelesaian yang didapatkan bermacam-macam,
hal ini bergantung pada penyelesaian dari Persamaan (15) yang terbagi menjadi
tiga kasus, yaitu saat
,
, dan
. Setelah penyelesaian untuk setiap
kasus diperoleh, selanjutnya penyelesaian tersebut akan diilustrasikan melalui
grafik penyelesaian dengan bantuan aplikasi Mathematica 10.1.
HASIL DAN PEMBAHASAN
Pada bagian ini akan dibahas penggunaan dari metode ekspansi
untuk menyelesaikan persamaan KdV orde tinggi. Selanjutnya, penyelesaian yang
diperoleh akan diilustrasikan dengan grafik penyelesaian.
Transformasi Persamaan
Persamaan (11) yang berupa persamaan diferensial parsial di transformasi
menggunakan transformasi
sehingga dapat dinyatakan
sebagai persamaan diferensial biasa berikut:
.
(19)
6
Selanjutnya integralkan Persamaan (19) terhadap
dan asumsikan bahwa
konstanta pengintegralan adalah nol sehingga diperoleh persamaan berikut:
(
)
(20)
Aplikasi Metode
Misalkan bahwa penyelesaian dari Persamaan (20) dinyatakan sebagai
berikut:
(
)
( )
(21)
Substitusi Persamaan (21) dan Persamaan (15) ke dalam Persamaan (20) dan atur
semua koefisien
menjadi nol sehingga diperoleh sistem
persamaan aljabar taklinear dengan variabel
sebagai berikut:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
Penurunan sistem persamaan (22) diberikan pada Lampiran 1.
(22)
7
Nilai
dapat diperoleh dari persamaan terakhir pada sistem persamaan (22).
Sedangkan untuk nilai
diperoleh dengan bantuan aplikasi
Mathematica 10.1 dan
adalah bilangan real sembarang. Penyelesaian yang
diperoleh dibagi menjadi tiga kasus, sebagai berikut:
KASUS PERTAMA
Pada kasus pertama nilai
(22) adalah sebagai berikut:
yang memenuhi sistem persamaan
(23)
Pembahasan kasus pertama
Substitusikan
pada Persamaan (23) ke dalam Persamaan (21)
sehingga diperoleh persamaan berikut:
( )
(24)
( )
Selanjutnya, substitusi penyelesaian umum dari Persamaan (15) yang diberikan pada
Persamaan (16)−(18) ke dalam Persamaan (24), sehingga diperoleh tiga kemungkinan
berikut:
 Saat
, maka diperoleh penyelesaian Persamaan (11) sebagai
berikut:
(
[
√
[
√
]
]
dengan
Penurunan Persamaan (25) diberikan pada Lampiran 2.
[
√
[
√
]
]
,
(25)
8
Kemudian, berdasarkan nilai
Persamaan (25), yaitu:
1 Jika
dan
2 Jika
dan
, maka dapat ditinjau tiga kemungkinan dari
, maka
dan
√
(
+
√
(
+
(26)
, maka
(27)
3 Jika
,
dan
, maka
√
(
(
+)
(28)
( )
dengan
 Saat
berikut:
, maka diperoleh penyelesaian Persamaan (11) sebagai
(
[
[
dengan
√
√
]
]
[
[
√
]
√
]
,
(29)
.
Penurunan Persamaan (29) diberikan pada Lampiran 2.
Kemudian, berdasarkan nilai
Persamaan (29), yaitu:
1 Jika
dan
dan
, maka dapat ditinjau tiga kemungkinan dari
, maka
√
(
+
(30)
9
2 Jika
dan
, maka
(
3 Jika
,
dan
√
+
(31)
, maka
(
√
(
+
+
(32)
( ).
dengan
 Saat
berikut:
, maka diperoleh penyelesaian Persamaan (11) sebagai
(
dengan
(33)
*
.
Penurunan Persamaan (33) diberikan pada Lampiran 2.
KASUS KEDUA
Pada kasus kedua nilai
(22) adalah sebagai berikut:
yang memenuhi sistem persamaan
(34)
(
(
(
dengan
√ √
(
))*
)
(
)
10
Pembahasan kasus kedua
Substitusikan
pada Persamaan (34) ke dalam Persamaan (21)
sehingga diperoleh persamaan berikut:
(
)
(35)
( )
Selanjutnya, substitusi penyelesaian umum dari Persamaan (15) yang diberikan pada
Persamaan (16)−(18) ke dalam Persamaan (35), sehingga diperoleh tiga kemungkinan
berikut:
 Saat
, maka diperoleh penyelesaian Persamaan (11) sebagai
berikut:
[
(
√
]
[
√
]
√
]
[
√
]
[
[
dengan
(36)
,
]
.
Penurunan Persamaan (36) diberikan pada Lampiran 3.
Kemudian, berdasarkan nilai
Persamaan (36), yaitu:
1 Jika
dan
dan
, maka dapat ditinjau tiga kemungkinan dari
, maka
(
*
2 Jika
dan
√
(
(37)
+)+
, maka
(38)
*
(
√
(
+)+
11
3 Jika
,
dan
, maka
(
*
(39)
√
(
+)+
( ).
dengan
 Saat
berikut:
, maka diperoleh penyelesaian Persamaan (11) sebagai
[
(
[
[
dengan
√
√
]
]
[
[
√
√
]
]
(40)
,
]
.
Penurunan Persamaan (40) diberikan pada Lampiran 3.
Kemudian, berdasarkan nilai
Persamaan (40), yaitu:
1 Jika
dan
dan
, maka dapat ditinjau tiga kemungkinan dari
, maka
(41)
(
*
2 Jika
dan
√
(
+)+
, maka
(42)
*
(
√
(
+)+
12
3 Jika
,
dan
, maka
(
[
(43)
√
(
+
+]
( ).
dengan
 Saat
berikut:
, maka diperoleh penyelesaian Persamaan (11) sebagai
(44)
(
dengan
*
.
Penurunan Persamaan (44) diberikan pada Lampiran 3
KASUS KETIGA
Pada kasus ketiga nilai
(22) adalah sebagai berikut:
yang memenuhi sistem persamaan
(45)
dengan
√ √
(
)
(
)
13
Pembahasan kasus ketiga
Substitusikan
pada Persamaan (45) ke dalam Persamaan (21)
sehingga diperoleh persamaan berikut:
(
)
(46)
( )
Selanjutnya, substitusi penyelesaian umum dari Persamaan (15) yang diberikan pada
Persamaan (16)−(18) ke dalam Persamaan (46) sehingga diperoleh tiga kemungkinan
berikut:
 Saat
, maka diperoleh penyelesaian Persamaan (11) sebagai
berikut:
[
(
√
]
[
√
]
√
]
[
√
]
[
[
dengan
(47)
,
]
.
Penurunan Persamaan (47) diberikan pada Lampiran 4.
Kemudian, berdasarkan nilai
Persamaan (47), yaitu:
1 Jika
dan
dan
, maka dapat ditinjau tiga kemungkinan dari
, maka
(48)
(
*
2 Jika
dan
√
(
+)+
, maka
(49)
*
(
√
(
+)+
14
3 Jika
,
dan
, maka
(50)
√
(
(
*
+)+
( ).
dengan
 Saat
berikut:
, maka diperoleh penyelesaian Persamaan (11) sebagai
(51)
[
(
[
[
dengan
√
]
√
]
[
[
√
√
]
]
,
]
.
Penurunan Persamaan (51) diberikan pada Lampiran 4.
Kemudian, berdasarkan nilai
Persamaan (51), yaitu:
1 Jika
dan
dan
, maka dapat ditinjau tiga kemungkinan dari
, maka
(52)
(
*
2 Jika
dan
√
(
+)+
, maka
(53)
*
(
√
(
+)+
15
3 Jika
,
dan
, maka
√
(
(
[
+
+]
(54)
( ).
dengan
 Saat
berikut:
, maka diperoleh penyelesaian Persamaan (11) sebagai
(55)
(
dengan
*
.
Penurunan Persamaan (55) diberikan pada Lampiran 4.
Grafik Penyelesaian
Pada bagian ini, akan diilustrasikan grafik penyelesaian persamaan KdV orde
tinggi yang telah diperoleh dengan menggunakan metode ekspansi
. Namun,
tidak semua penyelesaian yang diperoleh akan diilustrasikan, karena untuk semua
ilustrasi grafik penyelesaian akan memberikan kesimpulan yang sama. Sehingga
penyelesaian yang diilustrasikan hanya salah satu penyelesaian saja, yaitu
penyelesaian pada kasus 2 saat
dan saat
.
(a)
Saat
(b)
Saat
Gambar 1 Grafik Persamaan (38) sebagai penyelesaian persamaan KdV orde tinggi
dengan
Gambar 1 menunjukkan grafik persamaan (38) saat
dan
. Berdasarkan Gambar (a) dan Gambar (b), gelombang
yang terbentuk memiliki satu puncak serta jika berbeda tanda, maka gelombang
yang terbentuk akan berbeda arah cekungan dengan amplitudo yang sama besar.
16
(a)
Saat
(b)
Saat
Gambar 2 Grafik persamaan (38) sebagai penyelesaian persamaan KdV orde tinggi
dengan
Gambar 2 menunjukkan grafik persamaan (38) saat
dan
. Berdasarkan Gambar (a) dan Gambar (b), gelombang
yang terbentuk memiliki satu puncak serta jika nilai diperbesar, maka gelombang
yang terbentuk akan memiliki panjang gelombang yang semakin besar. Selanjutnya
berdasarkan Gambar 2 bagian (a) dan Gambar 1 bagian (a), jika nilai nilai
diperbesar, maka gelombang yang terbentuk akan memiliki amplitudo yang lebih
kecil.
SIMPULAN
Persamaan Korteweg-de Vries (KdV) berupa persamaan diferensial tak linear.
Persamaan tersebut digunakan untuk menjelaskan gerak gelombang fluida ideal
(taktermampatkan dan takkental). Dalam bentuk standar, terjadi keseimbangan
antara koefisien taklinear dan dispersi. Berdasarkan kedua koefisien tersebut
diperoleh persamaan KdV orde tinggi yang dinyatakan dalam variabel takbebas
berupa simpangan gelombang. Persamaan KdV orde tinggi diselesaikan dengan
dan diperoleh penyelesaian analitik. Penggunaan metode
metode ekspansi
ekspansi
ini dilakukan dengan cara yang sederhana karena hanya melibatkan
persamaan diferensial orde dua. Grafik penyelesaian yang diperoleh menunjukkan
bahwa gelombang yang terbentuk memiliki satu puncak dan besar amplitudo serta
panjang gelombang dipengaruhi oleh koefisien-koefisien persamaan KdV orde
tinggi.
17
DAFTAR PUSTAKA
Fokas AS. 1995. On a Class of physically important integrable equations. Physica
D. 87(1):145-150.doi:10.1016/0167-2789(95)00133-O.
He Y, Zhao YM, and Long Y. 2013. New exact solutions for a higher-order wave
equation of KdV type using extended F-expansion method. Mathematical
Problem in Engineering. Volume 2013, Article ID 128970, 8
pages.doi:10.1155/2013/128970.
Jaharuddin and Pudjaprasetya SR. 2002. Evolution equations for density stratified
fluid. Proceedings ITB. 34(1):131-142.
Jaharuddin. 2015. Approximate analytical solution of a higher order wave equation
of KdV type. Far East Journal of Mathematical Sciences. 97(2):197-207.
Yang H, Li W, and Yang B. 2014. The (
-expansion method and its
application for higher-order equations of KdV (III). Journal of Applied
Mathematics. Volume 2014 (2014), Article ID 384969, 6
pages.doi:10.1155/2014/384969.
18
Lampiran 1 Penurunan sistem persamaan (22)
Dari Persamaan (21) diperoleh persamaan berikut:
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
(1.1)
(1.2)
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
(1.3)
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
(1.4)
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
(1.5)
Selanjutnya berdasarkan Persamaan (15) diperoleh
[ ]
[ ]
[ ]
(1.6)
Substitusi Persamaan (1.6) ke Persamaan (1.3), (1.4), dan (1.5) diperoleh
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
(1.7)
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
(1.8)
19
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
(1.9)
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
Substitusi Persamaan (1.1), (1.2), (1.7), (1.8), dan (1.9) ke Persamaan (20)
diperoleh
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
20
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
Atur semua koefisien
dari sistem yang dihasilkan
menjadi nol sehingga diperoleh sistem persamaan aljabar taklinear yaitu sistem
persamaan (22).
21
Lampiran 2 Penurunan persamaan – persamaan pada kasus pertama
Sebelum menurunkan persamaan-persamaan pada kasus pertama, terlebih dahulu
akan diturunkan persamaan ( ) untuk
 Saat
,
dan
.
, diperoleh
( )
√
(
(
√
)
(
))
dan
√
(
(
( )
√
√
(
))
.
√
)
(
(
[
√
)
(
))
]
Sehingga
( )
√
[
( )
( )
√
)
(
√
)
(
(
(
(
(
(
√
√
))
√
))
√
)
√
)
(
√
)
(
(
))
]
atau
(
√
)
 Saat
(
(
√
(
)
(2.1)
)
)
√
(
, diperoleh
( )
√
(
(
√
)
(
))
dan
√
(
(
( )
√
√
(
(
[
√
)
(
))
√
)
(
))
]
Sehingga
( )
√
( )
√
(
(
[
( )
√
(
(
(
√
(
√
)
(
√
)
(
√
)
))
(
))
]
))
atau
(
)
√
√
(
(
√
(
√
)
(
)
(
√
)
)
)
(2.2)
22
 Saat
, diperoleh
( )
dan
( )
[
]
sehingga
( )
(
)
*
+
(2.3)
( )
(
*
Penurunan Persamaan (25)
Substitusi Persamaan (2.1) ke dalam Persamaan (24), diperoleh
(
√
(
√
√
(
(
(
√
(
√
(
√
(
(
[
√
(
√
(
√
(
(
√
)
),
√
)
(
√
)
(
)
√
)
(
)
(
√
)
(
(
)
),
),
(
√
(
)
√
)
√
)
(
)
√
(
(
(
)
(
)
√
)
[
√
(
)
√
(
√
)
(
)
√
)
√
)
),
) ]
]
23
*
(
dengan
,
dan
√
+
*
√
)
(
(
√
+
√
)
)
konstanta sembarang.
Penurunan Persamaan (29)
Substitusi Persamaan (2.2) ke dalam Persamaan (24), diperoleh
√
√
(
(
(
√
(
(
(
dengan
,
dan
(
(
*
*
√
√
√
(
√
(
√
(
√
(
konstanta sembarang.
*
*
)
√
)
+
)
(
)
+
)
√
)
√
√
+
+
)
),
),
(
)
√
√
)
)
(
(
(
(
)
√
[
)
√
(
(
√
(
)
√
√
)
)
√
[
)
√
(
(
(
(
)
(
√
√
(
√
(
√
)
√
√
(
(
)
)
)
),
),
) ]
]
24
Penurunan Persamaan (33)
Substitusi Persamaan (2.3) ke dalam Persamaan (24), diperoleh
(
(
(
(
* (
*
(
dengan
dan
*+
*+
(
(
*+
* +
*
konstanta sembarang.
(
(
*+ +
25
Lampiran 3 Penurunan persamaan – persamaan pada kasus kedua
Penurunan Persamaan (36)
Substitusi Persamaan (2.1) ke dalam Persamaan (35), diperoleh
(
√
√
(
(
(
)
(
√
)
(
(
(
(
√
√
(
√
(
(
√
[
[
dengan
,
dan
(
)
(
(
√
)
(
√
)
(
√
)
(
√
)
(
√
)
(
(
)
√
)
(
(
(
(
(
(
√
√
(
)
)
(
(
)
√
(
[
√
(
)
(
(
)
√
)
√
√
konstanta sembarang.
),
),
√
)
√
)
√
)
√
)
√
)
√
)
),
) ]
√
)
√
)
) ]
),
]
26
Penurunan Persamaan (40)
Substitusi Persamaan (2.2) ke dalam Persamaan (35), diperoleh
(
√
√
(
√
(
(
(
√
√
(
(
(
(
(
[
dengan
,
dan
(
(
(
)
√
)
√
(
√
√
√
(
)
(
√
(
)
(
√
)
(
)
konstanta sembarang.
√
√
√
(
),
)
),
)
√
)
),
)
),
)
(
)
(
(
√
√
√
)
)
(
(
√
(
)
√
[
)
)
√
)
√
(
(
(
(
)
(
[
√
√
√
√
(
(
√
)
(
)
)
)
)
) ]
) ]
]
27
Penurunan Persamaan (44)
Substitusi Persamaan (2.3) ke dalam Persamaan (35), diperoleh
(
(
(
(
* (
*
*+
*+
(
(
*+
dan
konstanta sembarang.
(
* +
(
dengan
(
*
*+ +
28
Lampiran 4 Penurunan persamaan – persamaan pada kasus ketiga
Penurunan Persamaan (47)
Substitusi Persamaan (2.1) ke dalam Persamaan (46), diperoleh
(
√
√
(
(
(
)
(
√
)
(
(
(
(
√
√
(
√
(
(
(
√
[
√
[
dengan
,
dan
(
√
(
)
√
)
(
)
(
√
)
(
√
)
(
√
)
(
(
(
(
(
(
(
√
√
(
)
)
(
(
)
√
(
[
√
(
)
(
)
√
)
√
√
)
)
konstanta sembarang.
√
(
√
(
),
),
√
)
√
)
),
√
)
√
)
√
)
√
)
),
) ]
)
)
) ]
]
29
Penurunan Persamaan (51)
Substitusi Persamaan (2.2) ke dalam Persamaan (46), diperoleh
(
√
√
(
(
√
(
(
[
dengan
,
dan
(
√
(
(
)
√
√
√
√
(
√
)
(
konstanta sembarang.
)
(
(
)
)
(
)
√
)
(
√
(
(
√
)
√
√
√
(
),
),
(
)
(
(
)
)
√
[
(
)
(
(
)
√
)
√
√
√
(
√
[
)
)
(
)
√
(
(
(
(
)
√
√
(
√
(
(
√
)
√
√
(
(
)
),
)
)
)
)
),
) ]
) ]
]
30
Penurunan Persamaan (55)
Substitusi Persamaan (2.3) ke dalam Persamaan (46),diperoleh
(
(
(
(
* (
*
*+
*+
(
(
*+
dan
konstanta sembarang.
(
* +
(
dengan
(
*
*+ +
31
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Bogor, Jawa Barat pada tanggal 23 November 1993
sebagai anak kedua dari dua bersaudara dari pasangan Nawawi dan Ernawati.
Tahun 2011 penulis lulus dari SMA Negeri 3 Depok dan pada tahun yang sama
penulis lulus seleksi masuk Institut Pertanian Bogor (IPB) melalui jalur SNMPTN
Undangan dan diterima di Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam.
Selama menuntut ilmu di IPB, penulis pernah menjadi asisten dosen mata
kuliah Persamaan Diferensial Biasa (PDB) pada tahun 2013. Penulis juga aktif di
organisasi kemahasiswaan yaitu himpunan profesi Gumatika (Gugus Mahasiswa
Matematika) FMIPA IPB sebagai bendahara Departemen Sosial dan Lingkungan
pada periode 2012-2013 dan sebagai staf Departemen Sosial dan Lingkungan pada
periode 2013-2014. Selain itu, penulis pernah terlibat dalam beberapa kegiatan
kepanitian yang diselenggarakan oleh Gumatika, antara lain Panitia Math Camp
Divisi Pendidikan tahun 2012 dan sebagai ketua penyelenggara pada tahun 2013,
Panitia IPB’s Mathematics Challange (IMC) Divisi Dekorasi, Dokumentasi, dan
Design (DDD) tahun 2013, Panitia Welcome Ceremony Mathematics (WCM)
Divisi Konsumsi tahun 2014, serta Panitia Matematika Ria Divisi Dekorasi,
Dokumentasi, dan Design (DDD) tahun 2014.