aljabar vektor matriks

Aljabar Linear Elementer
Part IV
Vektor di Ruang ℜ , ℜ dan ℜ
2
Oleh : Yeni Susanti
3
𝑛
Vektor di Ruang ℜ2, ℜ3 dan ℜ𝑛
Vektor: besaran yang mempunyai besar dan arah.
Vektor secara geometris bisa digambarkan sebagai garis berarah atau
tanda panah di dalam ruang dimensi 2 (ℜ2 ) atau ruang dimensi 3 (ℜ3 ).
Besar vektor digambarkan oleh panjang garis dan arah ditunjukkan
oleh arah tanda panah. Ekor vektor disebut sebagai titik inisial (initial
point) dan ujung panah disebut sebagai titik terminal (terminal point).
Notasi Vektor : u, v, w, x, y, z dst.
Notasi Skalar : k, l, m, n, a, b, c dst.
Jika vektor titik inisial vektor v adalah A dan titik terminal vektor v
adalah B, maka vektor v juga dinotasikan dengan 𝑨𝑩 .
Gambar vektor
B
v
A
v = 𝐴𝐵
Kesamaan dua vektor
Dua vektor dikatakan sama jika besar dan arahnya sama.
u
v
w
Vektor u, v dan w adalah vektor-vektor yang SAMA.
Jumlahan dua vektor
Jumlahan vektor v dan vektor w adalah vektor dengan titik
inisial sama dengan titik inisial v dan titik terminal sama dengan
titik terminal w setelah titik inisial w dihimpitkan dengan titik
terminal v.
Sifat : v + w = w + v (komutatif)
Negatif Vektor v, atau –v adalah vektor dengan panjang sama
dengan panjang vektor v, dan dengan arah yang berlawanan
dengan arah vektor v.
Vektor NOL adalah vektor dengan panjang NOL dan dinotasikan
dengan 0.
Selisih dua vektor
Selisih dua vektor v dan w, didefinisikan sbb :
v - w := v + (-w)
PERKALIAN VEKTOR v DENGAN SKALAR k yang TIDAK NOL
menghasilkan vektor dengan panjang sama dengan |k| kali
panjang vektor v dan arah sama dengan arah vektor v jika k>0
dan arah berlawanan dengan arah vektor v jika k<0.
Jika k=0, kv = 0 (vektor NOL)
Vektor pada Sistem Koordinat
Komponen vektor v di ruang dimensi 2, adalah koordinat
titik terminal v dengan titik inisial v diposisikan pada titik
origin O(0,0). Dalam hal ini, jika koordinat titik terminal v
adalah titik A(v1,v2), maka vektor v dapat ditulis dalam
bentuk :
v = (v1,v2).
Dua vektor u = (u1,u2) dan v = (v1,v2) dikatakan SAMA
jika dan hanya jika komponen vektor u sama dengan
komponen vektor v, yaitu (u1,u2) = (v1,v2) jika dan hanya
jika u1 = v1 dan u2 = v2.
• Jumlahan vektor v = (v1,v2) dan w = (w1,w2) adalah
vektor dengan dengan komponen (v1+w1, v2+w2). Jadi,
v+w = (v1,v2) + (w1,w2) = (v1+w1, v2+w2).
• Perkalian vekor v = (v1,v2) dengan skalar k menghasilkan
vektor dengan komponen (kv1,kv2). Jadi,
kv = (kv1,kv2).
Vektor di Ruang Dimensi 3
Komponen vektor v di ruang dimensi 3 dinyatakan dalam bentuk
v = (v1,v2,v3).
Misalkan v = (v1,v2,v3) dan w = (w1,w2,w3), maka
• v = w jika dan hanya jika v1 = w1 , v2 = w2 dan v3 = w3
• v+w = (v1+w1, v2+w2, v3+w3)
• kv = (kv1, kv2, kv3)
• Misalkan titik inisial vektor v tidak berada pada titik O(0,0).
Jika titik inisial v adalah titik P1(x1,y1,z1) dan titik terminal v
adalah titik P2(x2,y2,z2) maka vektor
v = 𝑷𝟏𝑷𝟐 = (x2−x1, y2−y1, z2−z1)
Contoh :
Vektor v = 𝑃𝑄 dengan P(1,4,-5) dan Q(9,4,3) mempunyai
komponen :
v=𝑃𝑄=(9-1,4-4,3-(-5))=(8,0,8)
Vektor di Ruang Dimensi n
• Komponen vektor v di ruang dimensi n (ℜ𝑛 ) dinyatakan dalam
bentuk
v = (v1,v2,…,vn).
• Misalkan v = (v1,v2,…,vn) dan w = (w1,w2,…,wn), maka
• v = w jika dan hanya jika v1 = w1 , v2 = w2 dst. vn = wn
• v + w = (v1+w1, v2+w2, …, vn+wn)
• kv = (kv1, kv2, …, kvn)
Sifat Aritmatika Vektor
Misalkan u, v dan w sebarang vektor di ℜ2 (ℜ3 /ℜ𝑛 ) dan k
serta l masing-masing merupakan skalar (dalam hal ini, k
dan l bilangan-bilangan real). Maka sifat-sifat berikut
berlaku:
• u+v = v+u
• (u+v)+w = u+(v+w)
• u+0 = 0+u
• u+(-u) = 0
• k(lu) = (kl)u
• k(u+v) = ku+kv
• (k+l)u = ku+lu
• 1u = u
Sifat komutatif dan assosiatif jumlahan vektor
Norm/Panjang Vektor
DEFINISI
Misalkan v = (v1,v2,…,vn) vektor di ℜ𝑛 .
NORM/Panjang vektor v, dinotasikan dengan ||v|| didefinisikan sbb :
||v|| := 𝒗𝟏𝟐 + 𝒗𝟐𝟐 + ⋯ + 𝒗𝒏𝟐
Vektor dengan panjang satu satuan disebut sebagai VEKTOR SATUAN.
CONTOH
Panjang vektor v = (1,2) di ruang dimensi 2 (ℜ2 ) adalah
||v|| = 𝟏𝟐 + 𝟐𝟐 = 𝟓.
Panjang vektor v = (4,-1,3) di ruang dimensi 3 (ℜ3 ) adalah
||v||= 𝟒𝟐 + (−𝟏)𝟐 +𝟑𝟐 = 𝟐𝟔.
Jarak dua titik
Misalkan P(a,b,c) dan Q(d,e,f) merupakan dua titik di ℜ3 . Jarak
titik P dan titik Q sama dengan panjang vektor 𝑃𝑄 yaitu sama
dengan
𝑃𝑄 = (𝑑 − 𝑎)2 +(𝑒 − 𝑏)2 +(𝑓 − 𝑐)2 .
Secara umum, jika 𝑃(𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑛 ) dan 𝑄(𝑏1 , 𝑏2 , … , 𝑏𝑛 ) adalah
dua titik di ℜ𝑛 , maka jarak titik P dan Q sama dengan panjang
vektor 𝑃𝑄 yaitu sama dengan
𝑃𝑄 = (𝑏1 − 𝑎1)2 +(𝑏2 − 𝑎2)2 + ⋯ + (𝑏𝑛 − 𝑎𝑛)2 .
Dot Product (Produk Titik)
Dot Product dua vektor u dan v di ruang ℜ2 dan ℜ3 , dinotasikan
dengan u.v didefinisikan sebagai berikut:
𝒖. 𝒗 ≔ 0
jika 𝒖 = 𝟎 atau 𝒗 = 𝟎
dengan  menyatakan besar sudut yang dibentuk oleh vektorvektor u dan v.
CATATAN :
Hasil dot product dua vektor adalah SKALAR.
v=(v1,v2,…,vn) v=(v1,v2,…,vn)
Misalkan
𝑢 = 𝑢1, 𝑢2, 𝑢3 dan
𝑣 = (𝑣1, 𝑣2, 𝑣3)
Perhatikan bahwa vektor 𝑃𝑄 = 𝒗 − 𝒖 dan
atau
Karena
Didapat
sehingga
Jadi, sudut dua vektor u dan v di ruang dimensi 2 atau 3, dapat
dicari dengan rumus:
𝑐𝑜𝑠θ =
𝒖.𝒗
𝒖 𝒗
.
Contoh :
Hitunglah sudut antara diagonal kubus dengan sisi kubus.
Theorems
Orthogonalitas
Dua vektor u dan v (di ruang dimensi 2 atau dimensi 3)
dikatakan tegak lurus/orthogonal jika
u.v = 0.
Contoh :
Buktikan bahwa vektor tak nol n=(a,b) di ruang ℜ2 tegak lurus
garis ax+by+c=0.
Jawab:
Misalkan P1(x1,y1) dan P2(x2,y2) berada di garis ax+by+c=0.
Maka
sehingga
yang berarti
Jadi, n tegak lurus dengan garis ax+by+c=0.
PROPERTIES of the DOT PRODUCT
Definisi dot product dan orthogonalitas di ℜ𝑛
Secara umum, dot product dua vektor u = (u1,u2,…,un) dan v =
(v1,v2,…,vn) di ruang dimensi n didefinisikan sbb:
u.v := u1v1+u2v2+…+unvn
Vektor u = (u1,u2,…,un) dan v = (v1,v2,…,vn) dikatakan
ORTHOGONAL jika u.v = 0.
Projeksi Orthogonal
Problem :
Bagaimana mendekomposisi vektor u di ℜ2 (ℜ3 ) menjadi
jumlahan dua vektor dengan salah satu vektor (w1) sejajar
dengan suatu vektor a dan vektor yang lain (w2) tegak lurus
dengan vektor a ?
Vektor w1 disebut projeksi vektor u sepanjang vektor a,
dinotasikan dengan 𝑷𝒓𝒐𝒋𝒂 𝒖 . Jadi, 𝒘𝟏 = 𝑷𝒓𝒐𝒋𝒂 𝒖 sehingga
diperoleh 𝒘2 = 𝒖 − 𝒘1= 𝒖 − 𝑷𝒓𝒐𝒋𝒂 𝒖 .
Lebih lanjut, mudah dimengerti bahwa 𝒘𝟏 = 𝑷𝒓𝒐𝒋𝒂 𝒖 = k𝒂.
Bagaimana mencari 𝑷𝒓𝒐𝒋𝒂𝒖?
Untuk mencari 𝑷𝒓𝒐𝒋𝒂 𝒖 cukup dengan mencari k tersebut.
Dari 𝒘1 = 𝑷𝒓𝒐𝒋𝒂 𝒖 = ka dan 𝒘2 = 𝒖 − 𝒘1= 𝒖 − 𝑷𝒓𝒐𝒋𝒂 𝒖
serta 𝒖 = 𝒘𝟏 + 𝒘𝟐 didapat 𝒖 = 𝒘𝟏 + 𝒘𝟐= k a + w2
sehingga
𝒂. 𝒖 = 𝒂. 𝑘𝒂 + 𝒘𝟐 = 𝒂. 𝑘𝒂 + 𝒂. 𝒘𝟐
= 𝑘𝒂. 𝒂 + 𝟎 = 𝑘𝒂. 𝒂 = 𝒌 𝒂 𝟐 .
Jadi,
yang berarti
dan 𝑷𝒓𝒐𝒋𝒂 𝒖 =
k=
𝒂.𝒖
𝒂 𝟐
𝑃𝑟𝑜𝑗𝑎 𝑢 = 𝑘𝒂 =
𝒂.𝒖
𝒂 2
𝒂 =
𝑎.𝑢
𝑎 2
𝒂.𝒖
𝒂 𝟐
a
𝑎 =
𝑎.𝑢
𝑎
.
KOMPONEN dekomposisi vektor u
Komponen dekomposisi vektor u yang sejajar dengan
𝒂.𝒖
vektor a adalah 𝑷𝒓𝒐𝒋𝒂 𝒖 = 𝒌𝒂 =
𝟐 a
𝒂
Komponen dekomposisi vektor u yang tegak lurus vektor a
𝒂.𝒖
adalah 𝒖 − 𝑷𝒓𝒐𝒋𝒂 𝒖 = 𝒖 − 𝟐 a
𝒂
Aplikasi Projeksi Orthogonal:
Mencari Jarak Titik ke Garis
Berpa jarak titik P0(x0,y0) ke garis ax+by+c=0 (di ruang ℜ2 ) ?
Jarak D yang dimaksud sama dengan panjang projeksi vektor
𝑄𝑃0 pada vektor n yaitu 𝑃𝑟𝑜𝑗𝑛 𝑄𝑃0 =
|𝒏.𝑄𝑃0|
𝒏
𝐷 = 𝑃𝑟𝑜𝑗𝑛 𝑄𝑃0
|𝒏. 𝑄𝑃0|
=
𝒏
dengan
𝑄𝑃0 =(x0-x1,y0-y1) .
Karena Q(x1,y1) berada di garis ax+by+c = 0 maka diperoleh
ax1+by1+c = 0 atau ax1+by1 = - c
sehingga
𝒏. 𝑄𝑃0 = a(x0-x1)+b(y0-y1) = ax0+by0 - (ax1+by1)
= ax0+by0 - (-c) = ax0+by0 +c
Jadi,
𝐷 = 𝑃𝑟𝑜𝑗𝑛 𝑄𝑃0 =
|ax0+by0 +c|
𝑎2 + 𝑏 2