aljabar - File UPI

ALJABAR
OLEH :
DRS. H. CECE KUSTIAWAN, M.Si.
Cece Kustiawan, FPMIPA, UPI
Meliputi :
• Himpunan
• Fungsi
• Logika Matematika
Cece Kustiawan, FPMIPA, UPI
I. HIMPUNAN
•
•
•
•
•
•
Pengertian Himpunan
Macam-macam Himpunan
Relasi Antar Himpunan
Diagram Himpunan
Operasi pada Himpunan
Aljabar Himpunan
Back
Cece Kustiawan, FPMIPA, UPI
Pengertian Himpunan
1. Apa yang dimaksud dengan himpunan ?
2. Berikan contoh himpunan
3. Berikan contoh yang bukan himpunan
Cece Kustiawan, FPMIPA, UPI
Definisi
• Himpunan adalah Kumpulan objek-objek
(benda-benda real atau abstrak) yang
didefinisikan dengan jelas.
Cece Kustiawan, FPMIPA, UPI
Contoh Himpunan
• Kumpulan mahasiswa Jurusan Pendidikan
Biologi FPMIPA UPI
• Kumpulan anak-anak SD Isola
• Kumpulan mahasiswa UPI yang berumur
kurang dari 10 tahun
Cece Kustiawan, FPMIPA, UPI
Contoh bukan himpunan
• Kumpulan anak-anak yang berambut
gondrong
• Kumpulan makanan yang lezat-lezat
• Kumpulan anak-anak yang pandai
Cece Kustiawan, FPMIPA, UPI
Notasi Himpunan
• Himpunan biasanya dinyatakan dalam huruf kapital ; A,
B, C, … atau ditandai oleh dua kurung kurawal, { … }
Sedangkan anggota himpunan biasanya dinyatakan
dalam huruf kecil ; a, b, c, …
• Jika x anggota himpunan A, maka ditulis x A
• Jika y bukan anggota himpunan B, maka ditulis y B
• Banyaknya anggota himpunan A ditulis n(A)
Cece Kustiawan, FPMIPA, UPI
Macam-macam Himpunan
• Coba anda sebutkan macam-macam
himpunan
Cece Kustiawan, FPMIPA, UPI
Macam-macam Himpunan
• Himpunan kosong
• Himpunan semesta
• Himpunan Bilangan
• Himpunan terhingga (finite) dan tak terhingga
(infinite)
• Himpunan Terhitung (countable) dan Tak
Terhitung (uncountable)
Cece Kustiawan, FPMIPA, UPI
Macam-macam Himpunan
•
•
•
Himpunan kosong
Yaitu himpunan yang tidak mempunyai anggota dan ditulis
dengan simbol ø atau { }.
Himpunan semesta
Yaitu himpunan yang memuat semua anggota yang sedang
dibicarakan, biasanya ditulis dengan simbol S.
Himpunan Bilangan, terdiri dari ;
Himpunan Bilangan Asli : N = {1, 2, 3, … }
Himpunan Bilangan Cacah : C = {0, 1, 2, 3, … }
Himpunan Bilangan Bulat : Z = { … , -1, 0, 1, … }
Himpunan Bilangan Rasional : Q = {p/q : p, q Z, q 0}
Himpunan Bilangan Real : R
Cece Kustiawan, FPMIPA, UPI
Macam-macam Himpunan (lanjutan)
•
•
Himpunan terhingga (finite) dan tak
terhingga (infinite)
Himpunan terhingga (finite) adalah
himpunan yang banyak anggotanya
terhingga, yaitu himpunan kosong atau
himpunan yang mempunyai n elemen.
Contoh
A = {a, b, c, d} , B = = { }
Cece Kustiawan, FPMIPA, UPI
Macam-macam Himpunan (lanjutan)
• Himpunan tak terhingga (infinite atau denumerable)
adalah himpunan yang berkorespondensi satu-satu
dengan bilangan asli, yaitu himpunan yang banyak
anggotanya tak terhingga.
• Contoh
Himpunan bilangan genap, himpunan bilangan ganjil,
himpunan bilangan bulat, himpunan bilangan
rasional, dsb.
Cece Kustiawan, FPMIPA, UPI
Macam-macam Himpunan (lanjutan)
• Himpunan Terhitung (countable) dan Tak
Terhitung (uncountable)
Himpunan Terhitung adalah himpunan terhingga
atau denumerable. Jadi
Himpunan terhingga
Himpunan Terhitung
Himpunan denumerable
Contoh ;
A = {1, 2, 3, 4}
B = himpunan bilangan ganjil
Cece Kustiawan, FPMIPA, UPI
Macam-macam Himpunan (lanjutan)
• Himpunan tak Terhitung (uncountable) adalah
adalah himpunan yang tidak terhitung.
Contoh :
R = Himpunan bilangan real
Cece Kustiawan, FPMIPA, UPI
Relasi Antar Himpunan
• Himpunan sama
Yaitu dua buah himpunan yang memiliki anggota yang persis
sama, tanpa melihat urutannya.
• Himpunan equivalen
Yaitu dua buah himpunan yang memiliki banyak anggota yang
sama. Jika A equivalen B, maka ditulis A ~ B
• Himpunan Bagian
Himpunan A dikatakan himpunan bagian dari himpunan B jika
setiap anggota A termasuk anggota B, ditulis A B
• Himpunan Kuasa
Yaitu himpunan yang anggotanya adalah himpunan-himpunan
bagian dari suatu himpunan
Cece Kustiawan, FPMIPA, UPI
Contoh Himpunan Kuasa
 Jika A = {a, b, c}, maka himpunan kuasa dari
A adalah :
2A = { ø, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, A}
Jika m adalah banyaknya anggota himpunan
A, maka banyaknya anggota himpunan
kuasa dari A adalah 2m
Cece Kustiawan, FPMIPA, UPI
Diagram Himpunan
Terdiri dari :
• Diagram Venn
• Diagram Garis
• Diagram Cartess
Cece Kustiawan, FPMIPA, UPI
Diagram Venn
Cara penulisan diagram
Venn
A
C
Cece Kustiawan, FPMIPA, UPI
B
Diagram Garis
Jika A himpunan bagian dari C dan B himpunan
bagian dari C, maka ditulis dalam diagram garis sbb;
D
C
A
B
Cece Kustiawan, FPMIPA, UPI
Diagram Cartess
Untuk menggambarkan suatu himpunan bilangan, Rene
Descartes menggambarkannya dalam suatu garis bilangan. Garis
bilangan ini disebut garis bilangan Cartess.
Jika A = {x : 0 x < 3}, maka digambarkan dalam garis bilangan
sbb;
0
1
2
Cece Kustiawan, FPMIPA, UPI
3
Operasi pada Himpunan
• Irisan
A ∩ B = {x : x A dan x B}
• Gabungan
A B = {x : x A atau x B}
• Penjumlahan
A + B = {x : x A, x B, x (A∩B)}
• Pengurangan
A – B = A \ B = {x : x A, x B}
• Komplemen
Ac = {x : x A, x S}
Cece Kustiawan, FPMIPA, UPI
Penjumlahan dan Pengurangan
dalam Diagram Venn
• A + B = {x : x A, x B,
x (A∩B)}
A
B
• A – B = {x : x A, x B}
A
A
Cece Kustiawan, FPMIPA, UPI
B
Sifat-sifat Operasi Himpunan
•
•
•
•
Sifat komutatif
A B = B A dan A
Sifat asosiatif
A (B C) = (A B)
A (B C) = (A B)
Sifat distributif
A (B C) = (A B)
A (B C) = (A B)
Sifat Komplemen
A Ac = ø, A Ac = S,
(A B)c = Ac Bc dan
B=B
A
C
C
(A
(A
C)
C)
(Ac)c = A, Sc = ø, øc = S
(A B)c = Ac Bc
Cece Kustiawan, FPMIPA, UPI
Sifat-sifat Operasi Himpunan (Lanjutan)
• Sifat pengurangan
A - A = ø, A – ø = A, A – B = A Bc
A - (B C) = (A - B) (A - C)
A - (B C) = (A - B) (A - C)
• Sifat identitas
A ø = ø, A S = A, A ø = A, A S = S
• Sifat idempoten
A A = A, A A = A
• Sifat himpunan bagian
(A B) A, (A B) B, (A - B) A
Jika A B, maka A B = A, A B = B, Bc Ac dan
B
Cece Kustiawan, FPMIPA, UPI
A
(B – A) =
Sifat-sifat Operasi Himpunan (Lanjutan)
• Sifat refleksif
A = A, A A, A ~ A
• Sifat simetrik
Jika A = B, maka B = A
Jika A ~ B, maka B ~ A
• Sifat transitif
Jika A = B dan B = C, maka A = C
Jika A B dan B C, maka A C
Jika A ~ B dan B ~ C, maka A ~ C
Cece Kustiawan, FPMIPA, UPI
Aljabar Himpunan
•
•
•
•
•
Sifat-sifat aljabar himpunan
Prinsip dualitas
Himpunan Berindeks
Partisi
Himpunan bersarang
Cece Kustiawan, FPMIPA, UPI
Sifat-sifat aljabar himpunan
• Hukum idempoten
A A = A, A A = A
• Hukum asosiatif
A (B C) = (A B) C
A (B C) = (A B) C
• Hukum komutatif
A B = B A dan A B = B A
• Hukum distributif
A (B C) = (A B) (A C)
A (B C) = (A B) (A C)
Cece Kustiawan, FPMIPA, UPI
Sifat-sifat aljabar himpunan (lanjutan)
• Hukum identitas
A
ø = ø, A
S = A, A
ø = A, A
S=S
• Hukum komplemen
A
Ac = ø, A
Ac = S, (Ac)c = A, Sc = ø, øc = S
• Hukum De Morgan
(A
B)c = Ac
Bc dan (A
B)c = Ac
Cece Kustiawan, FPMIPA, UPI
Bc
Prinsip dualitas
• Jika kita menukar dengan dan S dengan ø
dalam setiap pernyataan tentang himpunan,
maka pernyataan baru tersebut disebut dual
dari pernyataan aslinya.
• Contoh
Dual dari (S B) (A ø) = A adalah (ø B)
(A S) = A
Cece Kustiawan, FPMIPA, UPI
Himpunan Berindeks
• J = {1, 2, 3, 4} disebut himpunan indeks
• {A1, A2, A3, A4} disebut himpunan berindeks dan
ditulis;
{Ai : i J} = {A1, A2, A3, A4}
• Jika K = {1, 2, 3, … n}, maka
{ i Ai : i K} = {A1 A2 … An}
• Jika K = {1, 2, 3, … }, maka
{ i Ai : i K} = {A1 A2 … }
Cece Kustiawan, FPMIPA, UPI
Contoh himpunan berindeks
Jika A1 = {1 }
A2 = {1, 2}
…
An = {1, 2, … , n}
Tentukan { i Ai : 1
{
{
i Ai :
i
1 i n} = {A1
i n} = {A1
i Ai : 1
n} dan {
A2
A2
…
…
Cece Kustiawan, FPMIPA, UPI
i Ai :
1
i
An}= An
An}= A1
n}
Partisi
β = {B1, B2, … , Bn} disebut partisi dari A, jika
memenuhi kedua sifat berikut ;
1) A = B1 B2 … Bn
2) Bi Bj = ø, untuk setiap i ≠ j, 1 i n,
1
j
n
Cece Kustiawan, FPMIPA, UPI
Contoh partisi
P = {1, 2, 3, …}, Q = {1, 3, 5, …} dan R {2, 4,
6, …}, maka Q dan R adalah partisi dari P,
sebab Q R = P dan Q R = ø
Cece Kustiawan, FPMIPA, UPI
Himpunan Bersarang
• A1, A2, … , An, … disebut himpunan bersarang
jika memenuhi ;
A1 A2 … An …
• Contoh
A1 = [0,1] , A2 = [0, 1/2] … , An = [0, 1/n], …
A1, A2, … , An, … merupakan himpunan
bersarang, sebab A1 A2 … An …
Cece Kustiawan, FPMIPA, UPI
Soal latihan
1. Jika A dan B suatu himpunan buktikan bahwa A
(A B) = A
2. Misalkan An = {x : x kelipatan n, n bil asli},
tentukan A4 A6
3. Misalkan Ai = [i, i+1], i {bil bulat}, tentukan A3
A4 dan A3 A4
4. Misalkan Dn = (0, 1/n), n {bil asli}, tentukan D3
D7 dan D3 D7
5. Cari semua partisi dari W = {1, 2, 3}
Cece Kustiawan, FPMIPA, UPI
Soal-soal
1. Misalkan An = {x : x kelipatan n, n bil asli},
tentukan i P Ai , P = bil prima
2. Misalkan Ai = [i, i+1], i {bil bulat}, tentukan
i Ai
3. Misalkan Dn = [0, 1/n], n A={bil asli},
tentukan i A Di
4. Misalkan Dn = (-1/n, 1/n), n A={bil asli},
tentukan i A Di
Back
Cece Kustiawan, FPMIPA, UPI