BAB n i PURATA JARAK PADA RUANG BANACH

BAB
n i
PURATA J A R A K PADA R U A N G BANACH
Konsep bilangan Rendezvous
telah banyak dibahas
oleh para ahli matematika
diantaranya Yost (1982), Davendra et al (1990), W o l f (1994), dan L i n (1997). Para
ahli tersebut membahas konsep ini dari berbagai ruang dan permasalahannya.
3 . L Bilangan Rendezvous
Pada bagian terdahulu telah disinggung tentang defmisi bilangan Rendezvous serta
kewujudan
ketunggalan
bilangan Rendezvous
d i ruang
kompak
tersambung.
Selanjutnya akan ditentukan bilangan Rendezvous dari beberapa ruang Banach yaitu
c^J.J^Jl
Untuk
danC.
kasus
i•^,dsn (.^ymg
merupakan
ruang
ip
dengan 1 < / ? < < » ,
sebelumnya diberikan definisi vektor support seperti dalam Rudin (1987) sebagai
berikut.
Definisi 3.1.1. M i s a l k a n / fungsi kompleks pada himpunan X sebarang. Support dari
/adalah penutup (closure) dari himpunan {x :j{x) if^Q,x& X}
Selanjutnya untuk kasus i n i Hinrichs (2000) menuangkan dalam sebuah
proposisi sebagai berikut.
Proposisi 3.1.2. Untuk 1 < p <<x>, bilangan Rendezvous dari £ ^ adalah \/2 .
Bukti :
Misalkan X = ^ ^ . Untuk ne N,
misalkan
XI,...,JC„
merupakan
GS{X)
vektor-vektor support yang saling asing dan pilih vektor lainnya XGSQC)
1 "
x|| = 1. Akan ditunjukkan untuk n sangat besar, — ^
dengan
Misalkan A t
- x|| = yfl.
merupakan support dari xj- dan notasikan o"^ ~ \\x IA^ || = \x- [x i A^ | .
Karena ||x^ - x||^ = 1 - ||x | A^ ||^ + j|x - x | A^ jl"" dan _p > 1,
x^ - x| > 0,serta \x\A^.
> 0 maka
l - o - , = l - | | x | A , | | < ||x,-x||<i|x|A,-x|| =
= l + | | x | A ^ | | = l + c r ^ . Jadi 1 - < T J .
Definisikan 0^{a)
X^ - X
={l-cr^
= (l-||x|A,
<
+ ) P
||x-x|A,||<|^
| | X - X | A ^ | | <
d
a
+ ix-xiA,rj^
n
=
+ x|A,||<||x||+||x|A,
1+cr^ .
(l-or^ + ( l - C T ) ^
<(l-|^|A,
X +
XIA^
S ( l - ijx i A , ij-" + ^ixjl ^\\x\A,iff=(l-a/^{l^a,yf
x^
x|A^r
- X
+ jx-x|A
(3.1.1).
p>
l - | | x | A ^ f + ( | | x | | - | [ x i A ^ | j y ' ) ' =(^-a^
+{l-atY)p
(3.1.2).
dari ketaksamaan (3.1.1) dan (3.1.2) di atas diperoleh
0_(^,)<||x^-x||<0,(o-J
(3.1.3).
sehingga
t^-(o-J< t | k - x | | <
ir=l
k=l
ZO.(^,) d a n - t o > , ) < - t Xi.
lr=l
nk=l
n t=l
- X
n
ic=i
25
kontinu maka setiap
sehingga
< D ^ ( C T ) - ^
.--<0^{a)-yf2
<~
S > 0
< - bila |cr-c| < <^.Misal
|IJ'+(<T)-0^(C^
maka
e > 0 terdapat
e
< —
2
— . Berdasarkan
atau yfz--<<!>+(a)<yf2+
ketaksamaan
(3.1.3) maka diperoleh
^
—
2
< x^
Z
-
- X
2
1 , < T ^
A
/
^V2-V
2y
n-
Berdasarkan sifat
} , maka diperoleh
1
Ix^
<
-73
I
n
A
^
r-
V
\A\ <
+ -
2y
Misalkan ^
n
- x|| < 0 ^ ( 0 - , ) <
_ _ <(D_(a, )<
Xr -
X
2 / 7 2 t=i
F\
1 "
2;
7? jt=i
saling asing dari
<-n
n
n
(3.1.4).
-v^ - X
«
V
2/
danj|x|| = 1, pilih ^(J^
< 1 maka diperoleh
. Substitusikan nilai \A\ ke ketaksamaan (3.1.4), sehingga diperoleh
2y
r^^-Zlk-xj|<C/2 + ^ +
2
73*5'''
Pilih nilai « sangat besar (TJ
nk=i
2
0 0 ) , maka diperoleh
nS^
26
1
lim
Pfl-'-
2
2
n
< ^ / 2 + - atau
2
1 "
'^j2-£<-Y
</2 + ^
2
< ^ 2 + £•. Hal ini berarti jika
+ £ atau a e |\/2 , 1 < p <ao.
maka ccG ^-e,yf2
«=-z
- ^"< lim
^-Z
n^''
^
2
Dari proposisi 3.1.2 di atas dapat dilihat bahwa bilangan Rendezvous dari
£^ adalah
sedangkan bilangan Rendezvous dari
adalah 0 .
Dalam membuktikan proposisi berikutnya digunakan lema berikut yang
dikutip dari W o l f (1994).
Lema3.1.3. Misalkan x = {a^,...,a„)G
— Z
2n
x-e.
+
1=1
II
X4-
£", max|a,| < 1 maka
1
""
= 1+-
1II
j|x
Selanjutnya akan dihitung bilangan Rendezvous dari £ " dan £j'
seperti pada
proposisi berikut.
Proposisi 3.1.4. Bilangan Rendezvous dari
Rendezvous dari
3
adalah — untuk semua
2
1
adalah 2 — dan bilangan
n
n>2.
B u k t i : Untuk kasus £^", misalkan S = XG£^" \ \\x]\ = l | adalah unit sphere dari £^
A m b i l X G S sebarang, maka ||x|| = 1 seliingga dari lemma 3.1.3 diperoleh
2n
1=1
x~e.
+ x + e. = 1 +
«-l
n
1
^11 = 2 — .
n
Dengan menggunakan
diperoleh bahwa bilangan Rendezvous dari £ " adal ah 2 - —.
n
teorema (3.1.2)
27
J?^", misalkan-S" = [c G
Untuk kasus
| jj.vj} = l | adalah unit sphere pada
a.
0^^
0
f-J.
Ambil.V e ^sebarang maka |jxjj = 1, x = (cc ) = (V/,,...,a„) =
1
= suplx - e _ = sup||.v -
^, |A- -
jl^,..., ix -
^
Ml<r.
n
2
f "
sup^ z
2
z
(
)*••>
n
n
n
"
n
• < sup- z
z
,-..,Z
J
Karena x = 1, maka
||x-4_ <max|X
x+ e
= supj|x+e,| = s u p j | x + e ,
x+
x + e.
1
sup
1
<sup]zk + ^il-.Z
Z
z
...(3.1.5).
,1
,...,z
V>1
Karena x = 1 maka
...(3.1.6).
7= 1
Diiri ketaksamaan (3.1.5) dan (3.1.6) diperoleh
X - e\\ +\\x+ e =
sup^^x-e^
X-
e
x-e.
x-e.,
\+sup^x
1 +
+ e^
x + e.
28
< max< ^ a J
- ey
X ' + maxi
.--2
2
7=1
7=1
karena e, merupakan vektor unit dari
x-e
dan x = ( « ^ ) e
serta maxja,! < 1 maka
X + e\ < max(|a, - l | , l ) + max(a, + lj,l) < 3 sehingga diperoleh
-\\\x-e.
2
+
...(3.1.7).
Selanjutnya misal 6 i = ( l , l , . . . , l ) dan bz={-\,l,...,\),
X -
7=1
serta
6, II = sup 1^, - 6, |[ > m - 6, |[ > i |«, - 6,1 dan
1=1
X + 6, II = sup ||a, + 6,11 > ||cir - + 6, j| > 2) |a, + 6, | maka
X -
(ja,
6,II + ||x + 6, II + ||x -
^21+
Ik
1^2 + 1J + . . . + 1 « „
^zll - ( l ^ " l | + I'^z - l | + ••• + |^« ~
(|«, + l | + k
(|«, - 1 | +1^2 +1| + . . . + |a„ +1|) ^
1^2
-1| +
2+ 2+
disisi lain x - 6 , | + x + 6 , | + x - i ^ l k |x +6^
(jo', - l | + k
-lj+...+ k
- l | ) + (|a,
-l|+
1^2
+
+1| = 6
>
+1| + |c*^2 +1| + . " + 1 « „
(|a, + l | + 1 « 2 -1J + . . . + | « „ - l j ) + ^ « , - l | + k
+ l | + ...+
+
k
a , - l | + 2+|o;, + l + 2 = 6 jadi | | x - 6 , + x + 6, + x - Z ) 2 J + x + 62
( j x - i i | | + x + 6[ + j j x - 6 .
+
x+
> 6 atau
...(3.1.8).
29
1*1 II ~ 11*2 II = s"p||li||, - 1 = Ikll sehingga
ISiSn
||jc - 6j I + ||x + 6j + X - 62II + j-'^' + ^2 -
K " * i II
^^P^f^i * i II.
-^"/^IK
*2
+
sup
1
+ sup
Vi=i
2 a,+6,,-,
1=1
EK+6I
V1=1
1
+ sup
sup<
Vi=l
1
= sup
1=1
V'=i
oc — e
1
+ sup
1=1
Vi=i
1
sup-
1
+ sup
Z
Vi=i
-supj|x-ej|_ + sup||x + ^J[ + s u p | | x - ^ , | + sup||x + e,| = 2(j|x - ^ + ||x + e||)
ISjfin
ISiin
ISiSn
Dari ketaksamaan (3.1.7) dan (3.1.8) diperoleh
5« x-e
1
2n
^
x-e,
^+^11)=
|t-*ill+lk+*ill+lk-*2
\
1 " 3
x + e, ) = — =
n
2
3
—•
2
Dengan
diperoleh bahwa bilangan Rendezvous dari
menggunakan
.1)4teorema
(3.1.2)
adalah - .
3.2. Purata J a r a k Pada Ruang Banach
Suatu ruang Banach X mempunyai sifat purata jarak j i k a terdapat bilangan real yang
tunggal r = r(X) sehingga untuk setiap bilangan bulat positif « dan semua x/, X2, . . . x„
1 A
didalam unit sphere di X ada suatu x d i X sehingga — Z l k ~ ^1 ~ ^ • • ^ ^ ^ ^^^^ J"S^
n
30
dikatakan suatu ruang Banach X
mempunyai sifat purata jarak, j i k a unit sphere nya
mempunyai bilangan rendezvouse
yang tunggal. Proposisi berikut i n i mengatakan
bahwa Co himpunan semua fungsi kontinu dan terbatas yang konvergen ke 0, tidak
mempunyai sifat purata jarak.
Proposisi 3.2.1. Co tidak mempunyai sifat purata jarak
B u k t i : Misal P]^k > 1) dinotasikan sebagai proyeksi kanonik onto subruang yang
dibangun oleh ei,...,e]r . Misalkan L
maka
Pt:
S—^^^^L.
x\ - l i m t u k / =
adalah subruang yang dibangun oleh
Misalkan xi,...,x„
G
S
dan pilih K
> 2
ei,...,eh
sehingga
. Berdasarkan proposisi 3.1.4 ( kasus (.^'^) terdapat x & S
dengan iE-P^^^ )x=0 dan - Z | K * ' ~ ^ ^ ~ sehingga
3
- Z Ik - A ^ - z K
"
1=1
"
1=1
Misalkan £• > 0, pilih kis N sehingga
Untuk setiap / maka diperoleh
^, - % I! = (^1 - ^k, \x,-e,J
- - I = - z IK-'- - H
"
(x, |
2
1=1
)j < f u n t u k / -
dengan ||x,|| = 1.
= ((x, I X , ) - 2(x, I e,^)+ (e,^ | e,^)} = (]|x,|| - 2(x, \e^)+ ||e,_ ||^
= (l - 2(x, I e J + 1> = (2 - 2(.x, I e,^ f<\2-
2(x. \e,^f
= |2(x, | e J - 2
= (2(x, I . J - 1 ^ = 2 ^ ^ , I . J - 1 ^ < 2 ^ x , I . J - 1 .
Karena x j = 1 untuk setiap / = 1,2,...,n maka
x, - e^^^ < max((x,
- f ^ X, - e^ II < -i Xtn i a x ( ( x , I e,.) - 1 , l ) < 1 + £•. Dengan menggunakan
l|,l)
teorema
nilai
«1=1
tengah jika l+e , ^ ^ ^ suatu interval subset R maka terdapat a & R sehingga
31
1
1 "
ni=i"
«1=1
X, - X
n
1 "
" ' n~/=iZ11-^". ~ ^
£>
0
1=1
P;^ X,. - X
°
maka «
II
"
1 "
atau 1+ £ <—Y,X ,
Dengan
e1,-
-
X
n ,=1
demikian
< - .
2
diketahui
Karena
bahwa
. Karena bilangan Rendezvous dari Co tidak
bilangan Rendezvous dari Co adalah
tunggal, maka CQ tidak mempunyai sifat purata jarak.
Misalkan X ruang Housdorf dan C(X) ruang Banach dari semua
fungsi
kontinu bemilai real pada X dengan norma supremum, berikut i n i akan d i tentukan
purata jarak untuk C(X) dalam berbagai kondisi. Namim sebelumnya d i bahas terlebih
dahulu beberapa Lema pendukung untuk analisis purata jarak
dari C(X).
Lema 3.2.2. Misalkan X ruang Hausdorff kompak yang sekurang kurangnya memihki
dua
titik.
ll./;lhli/2ll='
Untuk
setiap
nGNdm
= / J = 1 . Maka terdapat
f^,f^,...,
dan
C(X)
di C(X) dengan | | / , | =
dengan
=1
sehingga
n
,=1
^
" ,=1
B u k t i . Misalkan v4 = { y ^ , , . . . , / „ } dan pilih suatu x e X definisikan
^ °
= { / G
A~
Selanjutnya
y G U,\f(y)\
Aj{x)
= 0},
A' ^{fG
Aj{x)
> 0
={f€A,f{x)<0
tentukan
lingkungan
buka
< - , untuk semua / GA°,f(y)>0,
2
U
dari
x
sehingga
tmtuk
untuk semua f G A'^ ,f (y)
semvia
<0.
32
Pilih /o eC(^Z;dengan 0 < /^(y)<
., untuk semua
1 untuk semua y^X,
/o(^x; = I d a n /^(y)
=0
yeXW.
Jadi
II/-/o
< —,
/ + / o I < - , untuk setiap f G
2
\f - /oII < 1,||/ + /o II < 2 , untuk setiap
f^A"
1 / - / o II < 2,11/+ / o II < 1 , untuksetiap
^-
Kemudianjika
> A
maka diperoleh
1 n
-3
(3.2.1)
!zii/i-/oii^!
Dan jika
< A
, diperoleh
7ZII/^/o|l4
(3.2.2)
",=1
Selanjutnya piUh Y cXdengan
dua unsure sehingga untuk setiap
Misalkan keN
Y hingga dan sekurang-kurangnya memiliki
l</<«
terdapat
yGY
dengan n{Y) = k. Definisikan y^ =(^f.(yj)
dengzai f/y)
untuk setiap
=1.
l<j<n,
maka berdasarkan definisi Y, maka yj, y2, • • • , yn merupakan unsur-unsur dari unit
sphere dari r(kj.
Berdasarkan W o l f (1994)
r(r(k))=^.
Selanjutnya tentukan
2
1 "
sxiatu z d i uirit sphere l"^ (k) sehingga — Z li^/
3
^11 ~ "~
Misalkan z - [X^), karena X mempimyai sekurang-kurangnya dua unsur maka
dapat dibentuk lingkungan yang saUng asing padanya. Jadi X juga ruang Normal,
33
sehingga dapat dipiUh
GX
sehingga gQ(y) = Xy untuk semua
y^Y
dan
= 1. Jadi diperoleh
^0
1 "
1 "
- Z 1 /
- -^0 ^ -
Z
/ o o - ^o( v)
1 "
(3.2.3)
Dari (3.2.1), (3.2.2) dan (3.2.3) memberikan
-zii/-/oii4^-z
" 1=1
«1=1
^
11/-/o
Lema 3.2.3. Misalkan X ruang Hausdorf yang hingga dan £>0.
untuk setiap h G C(X) dengan
A c C ( X ) sehingga — ^\f-h\>--£,
Bukti :
Misalkan n e N dan pilih Y c
lingkungan buka
ye Y dengan
untuk semua
|/2(XQ)| -
imtuk semua y e Y sehingga
r\Uy=^
bila y ^ y', dan pilih
e C'(X) sehingga - 1 < f^{x) < 1 untuk semua x e X , dan / ^ ( x ) = 1
XGX\U
.
Ambil hGC(X)
1 dengan Xg e
f^-h\\>
Untuk semua y ^ y^eY
f+h+
U^^
dengan \h\ = 1, dan pilih x^ e X
untuk suatu
e 7 , maka diperoleh
//x,)-A(x,) =|-1-1| = 2
diperoleh
I I / . + /2 > f,iy)
+ h(y) + f. + h{y)
l+h{y)
Jadi diperoleh
= 1.
X dengan n ( Y ) = n . Selanjutnya buat
h(x,)\ = 1.
Bila
Maka terdapat
+ -l+hiy)
= 2
dengan
34
2n
'
>—
2(n + 1) + 2.
n-1
2n
3
3
2
2n
Sehingga Xg g I J t / , maka diperoleh
Y\fy-h\>\f^{x,)-Kx>,
-1-1 = 2
2n
Dan untuk semua y G Y diperoleh
3_
2n + 2.
2 y
2
1
2«
Maka secara keseluruhan diperoleh
2«
var
3
3
2
2«
Sedangkan bila A(Xo) = - 1 misalkan g = -h dan lakukan seperti langkah di atas.
Lema 3.2.4. Misalkan X ruang Hausdorf kompak yang tidak m e m i l i k i titik terasing .
Untuk setiap neN
/o G C(X)
dan
/ , . . . , / „
G
C(X)dengan
|jyjj| = . . . =
=lterdapat
1 "
sehingga — T i l / - /of > 2 - £•, untuk setiap e >0.
B u k t i : Misalkan A = {f^,/^,...,/^}.
Pilih Y cX
setiap f GA terdapat y^Y
f(y)
dengan
. untuk setiap j^' G 7 ,sehingga
= { / G A,f{y)
= 1.
dengan « ( 7 ) < co, sehingga untuk
Selanjutnya ambil himpiman buka
y ^ y' dan misalkan
0^/^ = 0
= 1} dan C { / G A,f(y)
=-l}
Kemudian untuk setiap >' G 7 , ambil lingkungan buka Vy dari y sehingga f(x)>l-e
untuk semua x G
dan semua f e B^. Misalkan
tidak mempunyai titik terasing, ambil 2^ GW^ ,
- 1 < / o ( x ) < 1 untuk semua z eX
= UyC\V^,, y G 7 , karena X
^ y. Jadi ada
G C(X)
sehingga
, f^iy) = 1, /oC^^) = - 1 untuk semua y GY .
35
Misalkan y GY dan / t
Sedangkan bila / e C ^ diperoleh
- Z
maka diperoleh \\f j | / - / o ^ f(y)^
>
\f(Zy)-fo(z^) >2-£
/oCv) = 2 , seliingga diperoleh
l|y;-/oii>2-^
Teorema 3.2.5. Misalkan X ruang Hausdorf yang minimal mempunyai dua titik dan
sekurang-kurangnya memiliki satu titik terasing, maka r(C(X))
B u k t i . Jika X hingga maka jelas
r(r{X))
C(X)^r(X)
= - untuk « > 2 . Jadi r{C(X))
=- .
=—
dan berdasarkan
W o l f (1994),
Jika X tak hingga, maka berdasarkan
lema 3.2.2 dan lema 3.2.3 dan Teorema nilai menengah diperoleh
-}Qr{C{X))c
(3.2.4)
Selanjutnya misalkan XQ titik terasing dari X dan defmisikan
/o(Xo) = 1 dan / o ( x ) = 0 untuk x
x^, maka diperoleh / G C{X)
dengan
dan fA - 1
Jadi
||/o - / I I + l l / i + / I I < 1 + 2 = 3 untuk semua / G C{X) dengan
Dari (3.2.4) dan (3.2.5) berarti r{C{X))
= 1 ..(3.2.5)
= - .
Teorema 3.2.6. Misalkan X ruang Hausdorf yang minimal m e m i l i k i dua titik yang
tidak mempunyai titik terasing, dan sekurang-kurangnya m e m i l i k i satu titik dengan
lingkungan basis terhitung, maka r{C{X))
= 3,2).
B u k t i . Berdasarkan lema 3.2.2, 3.2.3 dan 3.2.4 serta teorema nilai
diperoleh
:,2
r(C(X))dan
r{C{X))(^
menengah
. Maka kita tinggal menunjukkan
36
2€r{C{X)).
Ambil
x^&X
dengan lingkungan basis tertutup
(^„)„^,.
Tanpa
mengurangi perumuman misalkan Un lingkungan buka dari XQ untuk « > 1. Karena X
juga lengkap secara reguler, ambil {g„\^^GC{X)
semua XGX,
g„(xo) = Odan g„{x)
= \,
sehingga 0 < ^ „ ( x ) < 1 untuk
untuk semua XGX\U„,
untuk semua
« > 1.
Definisikan / = 1 - Z ~ T ^ ' > ' sehingga 0 < / ( x ) < l ,
/(Xo) = l
dan f(x) < 1 untuk semua X^X^GX
haruslah untuk suatu h GC(X),
\h\ = I d a n | | / -
untuk semua
. Asumsikan
2e r{C{X)),
r{C)X))=\i,2).
maka
j | / + A|| = 1 , j a d i diperoleh h{xo)=l
dan h(xo)=^\ i n i adalah suatu hal yang mustahil. Jadi haruslah 2 e r{C)X)).
diperoleh
xeX,
Sehingga