Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)

Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
Kuliah (Pengantar) Metode Formal Semester Ganjil 2015-2016
M. Arzaki
Fakultas Informatika
Telkom University
FIF Tel-U
September 2015
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
1 / 95
Acknowledgements
Slide ini disusun berdasarkan materi yang terdapat pada sumber-sumber berikut:
Buku:
1
Logic in Computer Science: Modelling and Reasoning about Systems, Edisi 2,
2004, oleh M. Huth dan M. Ryan (acuan utama).
2
Mathematical Logic for Computer Science, Edisi 2, 2000, oleh M. Ben-Ari.
The Essence of Logic, 1997, oleh J. Kelly.
3
4
Discrete Mathematics and Its Applications, Edisi 7, 2012, oleh K. H. Rosen.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
2 / 95
Slide kuliah:
1
Slide kuliah Metode Formal dan Topik dalam Logika Komputasional di
Fasilkom UI oleh B. H. Widjaja.
2
Slide kuliah Metode Formal di University of Bozen-Bolzano oleh Enrico
Franconi.
Slide kuliah Metode Formal dari Veri…ed Software Systems.
3
4
Slide kuliah Introduction to Computational Logic di Academia Sinica oleh
Bow-Yaw Wang.
5
Slide kuliah Computational Logic di TU Dresden.
Beberapa gambar dapat diambil dari sumber-sumber di atas. Slide ini ditujukan
untuk keperluan akademis di lingkungan FIF Telkom University. Jika Anda
memiliki saran/ pendapat/ pertanyaan terkait materi dalam slide ini, silakan kirim
email ke <pleasedontspam>@telkomuniversity.ac.id.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
3 / 95
Bahasan
1
Beberapa Notasi Alfabet Yunani
2
Sintaks Logika Proposisi
3
Semantik Logika Proposisi
4
Konsistensi Spesi…kasi Sistem
5
Bentuk Normal Negasi
6
Bentuk Normal Konjungtif dan Disjungtif
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
4 / 95
Bahasan
1
Beberapa Notasi Alfabet Yunani
2
Sintaks Logika Proposisi
3
Semantik Logika Proposisi
4
Konsistensi Spesi…kasi Sistem
5
Bentuk Normal Negasi
6
Bentuk Normal Konjungtif dan Disjungtif
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
5 / 95
Notasi Alfabet Yunani
Dalam metode formal dan logika komputasional, kita akan menyatakan formula
dan himpunan formula dengan alfabet yunani. Alfabet kecil digunakan untuk
menyatakan formula dan alfabet kapital digunakan untuk menyatakan himpunan
formula. Alfabet Yunani yang akan sering dipakai dan nama-namanya adalah
Alfabet kecil (lowercase), menyatakan formula:
(alfa), (beta), (gamma), (delta), " (epsilon), (eta), (theta),
(lambda), (mu), (pi), (rho), (sigma), (tau), (phi), (chi), (psi), !
(omega).
Alfabet kapital (uppercase), menyatakan himpunan atau multiset formula:
(gamma), (delta), (phi), (psi)
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
6 / 95
Bahasan
1
Beberapa Notasi Alfabet Yunani
2
Sintaks Logika Proposisi
3
Semantik Logika Proposisi
4
Konsistensi Spesi…kasi Sistem
5
Bentuk Normal Negasi
6
Bentuk Normal Konjungtif dan Disjungtif
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
7 / 95
Operator Logika Proposisi
Diperkuliahan Logika Matematika, Anda telah diperkenalkan dengan operator
logika proposisi. Berdasarkan banyaknya operand yang dioperasikan, operator
logika proposisi yang umum dipakai dapat dibagi menjadi dua kategori, yaitu
operator uner dan biner.
Operator uner (unary ) merupakan operator yang hanya memerlukan satu
operand saja, contohnya adalah negasi (: atau ).
Operator biner (binary ) merupakan operator yang memerlukan dua operand,
contohnya adalah konjungsi (^), disjungsi (_), disjungsi ekskulisif ( ),
implikasi (!), dan biimplikasi ($).
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
8 / 95
Operator Logika Proposisi
Diperkuliahan Logika Matematika, Anda telah diperkenalkan dengan operator
logika proposisi. Berdasarkan banyaknya operand yang dioperasikan, operator
logika proposisi yang umum dipakai dapat dibagi menjadi dua kategori, yaitu
operator uner dan biner.
Operator uner (unary ) merupakan operator yang hanya memerlukan satu
operand saja, contohnya adalah negasi (: atau ).
Operator biner (binary ) merupakan operator yang memerlukan dua operand,
contohnya adalah konjungsi (^), disjungsi (_), disjungsi ekskulisif ( ),
implikasi (!), dan biimplikasi ($).
Selain operator-operator di atas, dalam logika komputasional juga dikenal
beberapa operator biner lain (yang tidak terlalu sering dipakai), yaitu: operator
nand (" atau j), operator nor (#), operator implikasi-balik/ reverse-implication
( ), operator negasi implikasi (6!), dan operator negasi implikasi-balik (6 ).
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
8 / 95
Sintaks Logika Proposisi
Formula Logika Proposisi
Formula (atau kalimat) logika proposisi dibentuk dari:
1
2
3
konstanta proposisi: > (benar) dan ? (salah)
variabel proposisi atom: p, q, r, p1 , p2 , p2 , . . .
operator logika proposisi: :; ^; _; ; !; $, (termasuk operator biner lain bila
diperlukan)
dengan aturan sebagai berikut:
1
setiap proposisi (atom) merupakan formula logika proposisi,
2
apabila dan adalah dua formula logika proposisi, maka : , ^ , _ ,
, ! , $ , (dan formula yang dihubungkan oleh operator biner
lain bila diperlukan) masing-masing juga merupakan formula logika proposisi.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
9 / 95
Subformula
Subformula
1
Sebuah formula
2
Jika dan adalah dua formula logika proposisi yang dipakai untuk
membangun formula yang lebih kompleks, maka dan dikatakan
subformula sejati (atau subformula murni) dari .
3
Subformula bersifat transitif: jika
, maka subformula dari .
MZI (FIF Tel-U)
adalah subformula dari
itu sendiri.
subformula dari
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
dan
subformula dari
September 2015
10 / 95
Formula yang Terbentuk dengan Baik (Well-Formed
Formula, WFF)
Permasalahan
Dari de…nisi tentang formula sebelumnya, apakah ekspresi p1 ^ p2 ^ p3 ^
merupakan formula logika proposisi? Bagaimana dengan p1 _ p2 _ p3 _
.
De…nisi (Formula yang terbentuk dengan baik (well-formed formula,
WFF))
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
11 / 95
Formula yang Terbentuk dengan Baik (Well-Formed
Formula, WFF)
Permasalahan
Dari de…nisi tentang formula sebelumnya, apakah ekspresi p1 ^ p2 ^ p3 ^
merupakan formula logika proposisi? Bagaimana dengan p1 _ p2 _ p3 _
.
De…nisi (Formula yang terbentuk dengan baik (well-formed formula,
WFF))
Suatu formula dikatakan sebagai formula yang terbentuk dengan baik
(well-formed formula) bila dapat dikonstruksi dengan berhingga langkah (…nite
step) melalui aturan konstruksi formula logika proposisi yang telah dijelaskan
sebelumnya.
Catatan
Untuk selanjutnya, istilah formula akan selalu berarti well-formed formula, kecuali
bila disebutkan selain itu.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
11 / 95
BNF untuk Formula Logika Proposisi
BNF (Backus Naur Form) untuk Formula Logika Proposisi
Misalkan AP menyatakan himpunan proposisi atom yang ditinjau. Jika adalah
suatu formula logika proposisi, maka dibangkitkan oleh Backus Naur Form
(BNF) berikut:
::= p j : j
^
j
_
j
Kita akan menulis > sebagai ringkasan dari
juga akan menulis ? sebagai ringkasan dari
j
!
j
$
_ : atau : _ . Kemudian kita
^ : atau : ^ .
Catatan
Penulisan > dan ? biasanya hanya digunakan ketika kita meninjau formula logika
proposisi secara sintaks saja. Jika kita meninjau formula logika proposisi secara
sematik, maka kita akan menggunakan notasi T dan F, B dan S, atau 0 dan 1.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
12 / 95
Konjungsi, Disjungsi, dan Xor yang Diperumum
Misalkan
1,
2,
...,
n
adalah formula logika proposisi, maka kita dapat menulis
1^
1
1
_
2^
^
n
_
_
n
2
2
n
n
^
=
=
=
i=1
n
_
i=1
n
M
i
i
i
i=1
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
13 / 95
Presedens Operator Logika Proposisi
Presedens operator logika memberikan suatu aturan operator mana yang harus
lebih dulu dioperasikan (dikenakan pada suatu operand).
Dari kuliah Logika Matematika, tabel urutan pengerjaan (presendens) operator
logika adalah
Operator Urutan
:
1
^
2
_
3
4
!
5
$
6
Kita dapat menggunakan tanda kurung “(” dan “)” untuk memperjelas operasi
yang harus didahulukan.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
14 / 95
Presedens untuk Operator Logika Proposisi Lain
Catatan
Tidak ada konvensi secara umum yang menjelaskan presedens (hirarki) operator
logika proposisi yang tidak terlalu sering dipakai, seperti ", #, , 6!, dan 6 .
Untuk memperjelas urutan pengerjaan operator dan operand yang melibatkan
operator-operator tersebut kita akan memakai tanda kurung “(” dan “)”.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
15 / 95
Fully Parenthesized Expression (FPE)
De…nisi (Fully Parenthesized Expression)
Suatu formula dikatakan dalam fully parenthesized expression (FPE) bila urutan
pengerjaan operator dan operand dalam formula tersebut sudah diperjelas dengan
pemberian tanda kurung.
Sebagai contoh bentuk FPE dari p ^ q ! r _ s ^ t adalah
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
16 / 95
Fully Parenthesized Expression (FPE)
De…nisi (Fully Parenthesized Expression)
Suatu formula dikatakan dalam fully parenthesized expression (FPE) bila urutan
pengerjaan operator dan operand dalam formula tersebut sudah diperjelas dengan
pemberian tanda kurung.
Sebagai contoh bentuk FPE dari p ^ q ! r _ s ^ t adalah (p ^ q) ! (r _ (s ^ t)).
Bentuk FPE suatu formula logika proposisi tidak tunggal, sebagai contoh, bentuk
FPE dari formula p ^ q ^ r ada dua, yaitu
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
16 / 95
Fully Parenthesized Expression (FPE)
De…nisi (Fully Parenthesized Expression)
Suatu formula dikatakan dalam fully parenthesized expression (FPE) bila urutan
pengerjaan operator dan operand dalam formula tersebut sudah diperjelas dengan
pemberian tanda kurung.
Sebagai contoh bentuk FPE dari p ^ q ! r _ s ^ t adalah (p ^ q) ! (r _ (s ^ t)).
Bentuk FPE suatu formula logika proposisi tidak tunggal, sebagai contoh, bentuk
FPE dari formula p ^ q ^ r ada dua, yaitu (p ^ q) ^ r dan p ^ (q ^ r). Hal yang
serupa juga berlaku untuk p _ q _ r, p q r, dan p $ q $ r.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
16 / 95
Pohon Urai (Parse Tree)
Pohon urai (parse tree) digunakan untuk menggambarkan struktur suatu formula
logika proposisi.
Sebagai contoh, pohon urai untuk formula (:p ^ q) ! (p ^ (q _ :r)) adalah
Operator Utama
De…nisi (Operator Utama)
Misalkan adalah formula logika proposisi dan bukan proposisi atom. Operator
utama dari adalah operator logika yang terdapat pada akar (root) dari pohon
urai yang mendeskripsikan . Formula dikatakan sebagai formula negasi
(beturut-turut: konjungsi, disjungsi, xor, implikasi, biimplikasi) apabila operator
utama dari adalah operator negasi (berturut-turut: konjungsi, disjungsi, xor,
impliasi, biimplikasi).
Contoh
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
18 / 95
Operator Utama
De…nisi (Operator Utama)
Misalkan adalah formula logika proposisi dan bukan proposisi atom. Operator
utama dari adalah operator logika yang terdapat pada akar (root) dari pohon
urai yang mendeskripsikan . Formula dikatakan sebagai formula negasi
(beturut-turut: konjungsi, disjungsi, xor, implikasi, biimplikasi) apabila operator
utama dari adalah operator negasi (berturut-turut: konjungsi, disjungsi, xor,
impliasi, biimplikasi).
Contoh
Formula p ^ :q adalah formula konjungsi, formula : (p ^ :q) adalah formula
negasi, dan formula p ^ q ! r adalah formula implikasi.
Teorema
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
18 / 95
Operator Utama
De…nisi (Operator Utama)
Misalkan adalah formula logika proposisi dan bukan proposisi atom. Operator
utama dari adalah operator logika yang terdapat pada akar (root) dari pohon
urai yang mendeskripsikan . Formula dikatakan sebagai formula negasi
(beturut-turut: konjungsi, disjungsi, xor, implikasi, biimplikasi) apabila operator
utama dari adalah operator negasi (berturut-turut: konjungsi, disjungsi, xor,
impliasi, biimplikasi).
Contoh
Formula p ^ :q adalah formula konjungsi, formula : (p ^ :q) adalah formula
negasi, dan formula p ^ q ! r adalah formula implikasi.
Teorema
Jika
saja.
adalah formula dalam bentuk FPE, maka
MZI (FIF Tel-U)
hanya memiliki satu pohon urai
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
18 / 95
Tinggi dan Ukuran Formula
De…nisi (Tinggi Formula)
Diberikan suatu formula , tinggi (height) dari dide…nisikan sebagai 1 ditambah
panjang dari lintasan terjauh dari akar (root) ke suatu anak (child) pada pohon
urai representasinya.
De…nisi (Ukuran Formula)
Diberikan suatu formula , ukuran (size) dari , dinotasi dengan j j, dide…nisikan
sebagai banyaknya operator logika yang muncul di (termasuk multiplisitasnya).
Contoh
Misalkan
adalah formula : ((q ! :p) ^ (p ! r _ q)). Tinggi dari
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
adalah
September 2015
19 / 95
Tinggi dan Ukuran Formula
De…nisi (Tinggi Formula)
Diberikan suatu formula , tinggi (height) dari dide…nisikan sebagai 1 ditambah
panjang dari lintasan terjauh dari akar (root) ke suatu anak (child) pada pohon
urai representasinya.
De…nisi (Ukuran Formula)
Diberikan suatu formula , ukuran (size) dari , dinotasi dengan j j, dide…nisikan
sebagai banyaknya operator logika yang muncul di (termasuk multiplisitasnya).
Contoh
Misalkan adalah formula : ((q ! :p) ^ (p ! r _ q)). Tinggi dari
1 + 4 = 5 dan j j =
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
adalah
September 2015
19 / 95
Tinggi dan Ukuran Formula
De…nisi (Tinggi Formula)
Diberikan suatu formula , tinggi (height) dari dide…nisikan sebagai 1 ditambah
panjang dari lintasan terjauh dari akar (root) ke suatu anak (child) pada pohon
urai representasinya.
De…nisi (Ukuran Formula)
Diberikan suatu formula , ukuran (size) dari , dinotasi dengan j j, dide…nisikan
sebagai banyaknya operator logika yang muncul di (termasuk multiplisitasnya).
Contoh
Misalkan adalah formula : ((q ! :p) ^ (p ! r _ q)). Tinggi dari
1 + 4 = 5 dan j j = j: ((q ! :p) ^ (p ! r _ q))j = 6.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
adalah
September 2015
19 / 95
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
20 / 95
Bahasan
1
Beberapa Notasi Alfabet Yunani
2
Sintaks Logika Proposisi
3
Semantik Logika Proposisi
4
Konsistensi Spesi…kasi Sistem
5
Bentuk Normal Negasi
6
Bentuk Normal Konjungtif dan Disjungtif
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
21 / 95
Semantik Operator "
Operator "
Apabila p dan q merupakan proposisi, maka p " q juga merupakan proposisi.
Formula p " q dibaca p nand q. Formula ini bernilai salah tepat ketika p dan q
bernilai benar. Tabel kebenaran dari p " q adalah:
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
22 / 95
Semantik Operator "
Operator "
Apabila p dan q merupakan proposisi, maka p " q juga merupakan proposisi.
Formula p " q dibaca p nand q. Formula ini bernilai salah tepat ketika p dan q
bernilai benar. Tabel kebenaran dari p " q adalah:
p
T
T
F
F
q
T
F
T
F
p"q
F
T
T
T
Catatan
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
22 / 95
Semantik Operator "
Operator "
Apabila p dan q merupakan proposisi, maka p " q juga merupakan proposisi.
Formula p " q dibaca p nand q. Formula ini bernilai salah tepat ketika p dan q
bernilai benar. Tabel kebenaran dari p " q adalah:
p
T
T
F
F
q
T
F
T
F
p"q
F
T
T
T
Catatan
Beberapa buku juga memakai notasi p j q, simbol j disebut sebagai She¤er stroke.
Perhatikan bahwa p " q : (p ^ q).
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
22 / 95
Semantik Operator #
Operator #
Apabila p dan q merupakan proposisi, maka p # q juga merupakan proposisi.
Formula p # q dibaca p nor q. Formula ini bernilai benar tepat ketika p dan q
bernilai salah. Tabel kebenaran dari p # q adalah:
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
23 / 95
Semantik Operator #
Operator #
Apabila p dan q merupakan proposisi, maka p # q juga merupakan proposisi.
Formula p # q dibaca p nor q. Formula ini bernilai benar tepat ketika p dan q
bernilai salah. Tabel kebenaran dari p # q adalah:
p
T
T
F
F
q
T
F
T
F
p#q
F
F
F
T
Catatan
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
23 / 95
Semantik Operator #
Operator #
Apabila p dan q merupakan proposisi, maka p # q juga merupakan proposisi.
Formula p # q dibaca p nor q. Formula ini bernilai benar tepat ketika p dan q
bernilai salah. Tabel kebenaran dari p # q adalah:
p
T
T
F
F
q
T
F
T
F
p#q
F
F
F
T
Catatan
Simbol # disebut sebagai Peirce arrow. Perhatikan bahwa p # q
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
: (p _ q).
September 2015
23 / 95
Semantik Operator
Operator
Apabila p dan q merupakan proposisi, maka p
q juga merupakan proposisi.
Formula p
q dibaca p bila q (p follows from q, p if q). Formula ini bernilai
salah tepat ketika p bernilai salah dan q bernilai benar. Tabel kebenaran dari
p
q adalah:
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
24 / 95
Semantik Operator
Operator
Apabila p dan q merupakan proposisi, maka p
q juga merupakan proposisi.
Formula p
q dibaca p bila q (p follows from q, p if q). Formula ini bernilai
salah tepat ketika p bernilai salah dan q bernilai benar. Tabel kebenaran dari
p
q adalah:
p q p
q
T T
T
T F
T
F
F T
F F
T
Catatan
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
24 / 95
Semantik Operator
Operator
Apabila p dan q merupakan proposisi, maka p
q juga merupakan proposisi.
Formula p
q dibaca p bila q (p follows from q, p if q). Formula ini bernilai
salah tepat ketika p bernilai salah dan q bernilai benar. Tabel kebenaran dari
p
q adalah:
p q p
q
T T
T
T F
T
F
F T
F F
T
Catatan
Simbol
p
q
disebut sebagai implikasi-balik (reverse-implication). Perhatikan bahwa
q ! p.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
24 / 95
Semantik Operator 6!
Operator 6!
Apabila p dan q merupakan proposisi, maka p 6! q juga merupakan proposisi.
Formula p 6! q dibaca p tidak mengakibatkan q. Formula ini bernilai benar tepat
ketika p bernilai benar dan q bernilai salah. Tabel kebenaran dari p 6! q adalah:
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
25 / 95
Semantik Operator 6!
Operator 6!
Apabila p dan q merupakan proposisi, maka p 6! q juga merupakan proposisi.
Formula p 6! q dibaca p tidak mengakibatkan q. Formula ini bernilai benar tepat
ketika p bernilai benar dan q bernilai salah. Tabel kebenaran dari p 6! q adalah:
p
T
T
F
F
q
T
F
T
F
p 6! q
F
T
F
F
Catatan
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
25 / 95
Semantik Operator 6!
Operator 6!
Apabila p dan q merupakan proposisi, maka p 6! q juga merupakan proposisi.
Formula p 6! q dibaca p tidak mengakibatkan q. Formula ini bernilai benar tepat
ketika p bernilai benar dan q bernilai salah. Tabel kebenaran dari p 6! q adalah:
p
T
T
F
F
q
T
F
T
F
p 6! q
F
T
F
F
Catatan
Perhatikan bahwa p 6! q
MZI (FIF Tel-U)
: (p ! q).
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
25 / 95
Semantik Operator 6
Operator 6
Apabila p dan q merupakan proposisi, maka p 6 q juga merupakan proposisi.
Formula p 6 q dibaca p tidak diakibatkan oleh q. Formula ini bernilai benar tepat
ketika p bernilai salah dan q bernilai benar. Tabel kebenaran dari p 6 q adalah:
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
26 / 95
Semantik Operator 6
Operator 6
Apabila p dan q merupakan proposisi, maka p 6 q juga merupakan proposisi.
Formula p 6 q dibaca p tidak diakibatkan oleh q. Formula ini bernilai benar tepat
ketika p bernilai salah dan q bernilai benar. Tabel kebenaran dari p 6 q adalah:
p
T
T
F
F
q
T
F
T
F
p6
q
F
F
T
F
Catatan
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
26 / 95
Semantik Operator 6
Operator 6
Apabila p dan q merupakan proposisi, maka p 6 q juga merupakan proposisi.
Formula p 6 q dibaca p tidak diakibatkan oleh q. Formula ini bernilai benar tepat
ketika p bernilai salah dan q bernilai benar. Tabel kebenaran dari p 6 q adalah:
p
T
T
F
F
q
T
F
T
F
p6
q
F
F
T
F
Catatan
Perhatikan bahwa p 6
MZI (FIF Tel-U)
q
: (p
q).
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
26 / 95
Interpretasi
Interpretasi
Interpretasi dari suatu formula logika proposisi adalah pemberian nilai kebenaran
terhadap proposisi tersebut. Proposisi yang ditinjau dapat berupa proposisi
majemuk. Untuk proposisi atom, interpretasi merupakan pemetaan antara suatu
variabel proposisi terhadap nilai kebenarannya. Interpretasi dilambangkan dengan
simbol I, J , I1 , I2 , . . . , .
Untuk setiap formula , interpretasi dari dapat ditulis dengan I ( ) atau
Interpretasi dapat dipandang dari himpunan seluruh well-formed formula ke
himpunan fT; Fg. Misalkan F = f : adalah well-formed formulag, maka
I
I
.
: F ! fT; Fg
:
7! I ( ) .
Catatan
Ketika meninjau semantik dari formula, biasanya digunakan notasi T dan F, atau
B dan S, atau 1 dan 0.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
27 / 95
Penentuan Interpretasi/ Semantik untuk Formula Majemuk
Pentuan Interpretasi/ Semantik untuk formula majemuk dapat dilakukan secara
rekursif/ melalui induksi struktural sebagai berikut.
Aturan Semantik Logika Proposisi
Misalkan adalah sebuah formula dan I adalah interpretasi yang terde…nisi untuk
setiap proposisi atom yang muncul di . Interpretasi untuk dide…nisikan sebagai
berikut
Jika = p (suatu proposisi atom), maka I ( ) = I (p), dan nilainya sesuai
dengan de…nisi I untuk proposisi atom p yang bersesuaian.
Jika = >, maka I (>) = T = B = 1. Kemudian jika
I (?) = F = S = 0.
= ?, maka
Jika
= : , untuk suatu formula , maka
T, jika I ( ) = F
I ( ) = I (: ) = :I ( ) =
F, jika I ( ) = T
Jika = ~ , untuk suatu formula dan , serta suatu operator biner ~,
maka I ( ) = I ( ~ ) = I ( ) ~ I ( ). Penentukan nilai I ( ) ~ I ( )
ditentukan dengan konvensi tabel kebenaran yang telah dijelaskan
sebelumnya maupun di perkuliahan Logika Matematika.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
28 / 95
Operator Uner
Permasalahan
Diberikan proposisi p. Ada berapa operator uner berbeda yang dapat
dide…nisikan sehingga p memberikan hasil yang berbeda?
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
29 / 95
Operator Uner
Permasalahan
Diberikan proposisi p. Ada berapa operator uner berbeda yang dapat
dide…nisikan sehingga p memberikan hasil yang berbeda?
p
T
F
1
2
3
T
F
F
T
T
T
4
F
F
Karena I (p) 2 fT; Fg, maka tabel di atas menyatakan bahwa terdapat 4 operator
uner berbeda yang dapat dide…nsikan dalam logika proposisi.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
29 / 95
Operator Uner
Permasalahan
Diberikan proposisi p. Ada berapa operator uner berbeda yang dapat
dide…nisikan sehingga p memberikan hasil yang berbeda?
p
T
F
1
2
3
T
F
F
T
T
T
4
F
F
Karena I (p) 2 fT; Fg, maka tabel di atas menyatakan bahwa terdapat 4 operator
uner berbeda yang dapat dide…nsikan dalam logika proposisi. Operator 1
dinamakan operator identitas, operator 2 dinamakan operator negasi (ditulis :
atau ), operator 3 dinamakan proyeksi ke T, dan operator 4 dinamakan
proyeksi ke F.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
29 / 95
Operator Biner
Permasalahan
Diberikan proposisi p dan q. Ada berapa operator biner berbeda yang dapat
dide…nisikan sehingga p q memberikan hasil yang berbeda?
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
30 / 95
Operator Biner
Permasalahan
Diberikan proposisi p dan q. Ada berapa operator biner berbeda yang dapat
dide…nisikan sehingga p q memberikan hasil yang berbeda?
p
T
T
F
F
q
T
F
T
F
1
2
3
4
5
6
7
8
9
T
T
T
T
T
T
T
F
T
T
F
T
T
F
T
T
F
T
T
T
T
T
F
F
T
F
F
T
F
F
T
T
T
F
T
F
p
T
T
F
F
q
T
F
T
F
12
F
F
F
T
13
F
F
T
F
14
F
T
F
F
15
T
F
F
F
10
F
T
F
T
11
F
T
T
F
16
F
F
F
F
Perhatikan bahwa
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
30 / 95
Operator Biner
Permasalahan
Diberikan proposisi p dan q. Ada berapa operator biner berbeda yang dapat
dide…nisikan sehingga p q memberikan hasil yang berbeda?
p
T
T
F
F
q
T
F
T
F
Perhatikan bahwa
14 :6!, 15 : ^.
MZI (FIF Tel-U)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
T
T
T
T
T
T
T
F
T
T
F
T
T
F
T
T
F
T
T
T
T
T
F
F
T
F
F
T
F
F
T
T
T
F
T
F
2
p
T
T
F
F
q
T
F
T
F
: _,
3
12
F
F
F
T
: ,
13
14
F
F
T
F
4
:!,
15
F
T
F
F
5
:",
T
F
F
F
7
:$,
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
10
11
F
T
F
T
F
T
T
F
16
F
F
F
F
11
:
,
12
:#,
13
:6
September 2015
,
30 / 95
Sifat-sifat Formula Berdasarkan Semantiknya
De…nisi
Misalkan
1
2
3
4
5
adalah sebuah formula logika proposisi:
formula dikatakan absah (valid) atau tautologi apabila
benar untuk setiap interpretasi I
formula dikatakan terpenuhi (satis…able) apabila
untuk suatu interpretasi I
dapat bernilai benar
formula dikatakan kontradiksi (contradictory ) apabila
salah untuk setiap interpretasi I
formula dikatakan tersalahkan (falsi…able) apabila
untuk suatu interpretasi I
selalu bernilai
selalu bernilai
dapat bernilai salah
formula dikatakan kontingensi (contingency ) apabila bukan formula yang
bersifat absah dan bukan pula formula yang bersifat kontradiksi.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
31 / 95
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
32 / 95
Koleksi Formula yang Konsisten
Misalkan = f 1 ; 2 ; : : : ; n g adalah suatu koleksi/ kumpulan formula. Koleksi
formula dikatakan konsisten (consistent) bila terdapat suatu interpretasi I yang
mengakibatkan
I ( 1) = I ( 2) =
= I ( n ) = T.
Apabila hal di atas dipenuhi, maka kita dapat menuliskan I j= .
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
33 / 95
Koleksi Formula yang Konsisten
Misalkan = f 1 ; 2 ; : : : ; n g adalah suatu koleksi/ kumpulan formula. Koleksi
formula dikatakan konsisten (consistent) bila terdapat suatu interpretasi I yang
mengakibatkan
I ( 1) = I ( 2) =
= I ( n ) = T.
Apabila hal di atas dipenuhi, maka kita dapat menuliskan I j= .
Pernyataan bahwa koleksi formula f 1 ; 2 ; : : : ; n g konsisten setara dengan
mengatakan bahwa formula yang merupakan konjungsi dari
1
^
2
^
^
n
bersifat terpenuhi (satis…able). Ketika hal ini terjadi, maka kita juga dapat
menuliskan I j= 1 ^ 2 ^
^ n.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
33 / 95
Masalah Keabsahan dan Keterpenuhan
Masalah Keabsahan (Validity Problem)
Diberikan suatu formula logika proposisi . Apakah
bersifat absah (valid)?
Masalah Keterpenuhan (Satis…ability Problem)
Diberikan suatu formula logika proposisi . Apakah
(satis…able)?
bersifat terpenuhi
Permasalahan
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
34 / 95
Masalah Keabsahan dan Keterpenuhan
Masalah Keabsahan (Validity Problem)
Diberikan suatu formula logika proposisi . Apakah
bersifat absah (valid)?
Masalah Keterpenuhan (Satis…ability Problem)
Diberikan suatu formula logika proposisi . Apakah
(satis…able)?
bersifat terpenuhi
Permasalahan
Menurut Anda, mana yang lebih sulit ditentukan, keabsahan atau keterpenuhan
suatu formula?
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
34 / 95
Hubungan Valid-Kontradiksi
Teorema
Misalkan adalah sebuah formula logika proposisi. Formula
dan hanya jika : kontradiksi.
absah (valid) jika
Bukti
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
35 / 95
Hubungan Valid-Kontradiksi
Teorema
Misalkan adalah sebuah formula logika proposisi. Formula
dan hanya jika : kontradiksi.
absah (valid) jika
Bukti
Perhatikan bahwa
absah
MZI (FIF Tel-U)
jikka
I ( ) = T untuk setiap interpretasi I
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
35 / 95
Hubungan Valid-Kontradiksi
Teorema
Misalkan adalah sebuah formula logika proposisi. Formula
dan hanya jika : kontradiksi.
absah (valid) jika
Bukti
Perhatikan bahwa
absah
MZI (FIF Tel-U)
jikka
jikka
I ( ) = T untuk setiap interpretasi I
I (: ) = F untuk setiap intepretasi I
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
35 / 95
Hubungan Valid-Kontradiksi
Teorema
Misalkan adalah sebuah formula logika proposisi. Formula
dan hanya jika : kontradiksi.
absah (valid) jika
Bukti
Perhatikan bahwa
absah
MZI (FIF Tel-U)
jikka
jikka
jikka
I ( ) = T untuk setiap interpretasi I
I (: ) = F untuk setiap intepretasi I
: kontradiksi.
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
35 / 95
Hubungan Satis…able-Falsi…able
Teorema
Misalkan adalah sebuah formula logika proposisi. Formula
(satis…able) jika dan hanya jika : tersalahkan (falsi…able).
terpenuhi
Bukti
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
36 / 95
Hubungan Satis…able-Falsi…able
Teorema
Misalkan adalah sebuah formula logika proposisi. Formula
(satis…able) jika dan hanya jika : tersalahkan (falsi…able).
terpenuhi
Bukti
Perhatikan bahwa
terpenuhi
MZI (FIF Tel-U)
jikka
I ( ) = T untuk suatu interpretasi I
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
36 / 95
Hubungan Satis…able-Falsi…able
Teorema
Misalkan adalah sebuah formula logika proposisi. Formula
(satis…able) jika dan hanya jika : tersalahkan (falsi…able).
terpenuhi
Bukti
Perhatikan bahwa
terpenuhi
MZI (FIF Tel-U)
jikka
jikka
I ( ) = T untuk suatu interpretasi I
I (: ) = F untuk suatu intepretasi I
(interpretasi yang memberikan T untuk )
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
36 / 95
Hubungan Satis…able-Falsi…able
Teorema
Misalkan adalah sebuah formula logika proposisi. Formula
(satis…able) jika dan hanya jika : tersalahkan (falsi…able).
terpenuhi
Bukti
Perhatikan bahwa
terpenuhi
jikka
jikka
jikka
MZI (FIF Tel-U)
I ( ) = T untuk suatu interpretasi I
I (: ) = F untuk suatu intepretasi I
(interpretasi yang memberikan T untuk )
: tersalahkan.
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
36 / 95
Hubungan Valid-Satis…able
Teorema
Misalkan adalah sebuah formula logika proposisi. Formula terpenuhi
(satis…able) jika dan hanya jika : tidak absah (tidak valid).
Bukti
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
37 / 95
Hubungan Valid-Satis…able
Teorema
Misalkan adalah sebuah formula logika proposisi. Formula terpenuhi
(satis…able) jika dan hanya jika : tidak absah (tidak valid).
Bukti
Perhatikan bahwa
terpenuhi
MZI (FIF Tel-U)
jikka
I ( ) = T untuk suatu interpretasi I
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
37 / 95
Hubungan Valid-Satis…able
Teorema
Misalkan adalah sebuah formula logika proposisi. Formula terpenuhi
(satis…able) jika dan hanya jika : tidak absah (tidak valid).
Bukti
Perhatikan bahwa
terpenuhi
MZI (FIF Tel-U)
jikka
jikka
I ( ) = T untuk suatu interpretasi I
I (: ) = F untuk suatu intepretasi I
(interpretasi yang memberikan T untuk )
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
37 / 95
Hubungan Valid-Satis…able
Teorema
Misalkan adalah sebuah formula logika proposisi. Formula terpenuhi
(satis…able) jika dan hanya jika : tidak absah (tidak valid).
Bukti
Perhatikan bahwa
terpenuhi
jikka
jikka
jikka
I ( ) = T untuk suatu interpretasi I
I (: ) = F untuk suatu intepretasi I
(interpretasi yang memberikan T untuk )
: tidak absah
Akibat
Misalkan adalah sebuah formula logika proposisi. Formula
dan hanya jika : tidak terpenuhi.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
absah (valid) jika
September 2015
37 / 95
NP-Completeness dari Satis…ability Problem
Permasalahan
Diberikan suatu formula logika proposisi , apakah terdapat suatu algoritma yang
cukup e…sien untuk memeriksa apakah bersifat terpenuhi (satis…able)?
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
38 / 95
NP-Completeness dari Satis…ability Problem
Permasalahan
Diberikan suatu formula logika proposisi , apakah terdapat suatu algoritma yang
cukup e…sien untuk memeriksa apakah bersifat terpenuhi (satis…able)?
Misalkan adalah suatu formula logika proposisi yang memuat n proposisi atom
berbeda p1 ; p2 ; : : : ; pn . Terdapat 2n kombinasi berbeda untuk nilai dari
I (p1 ) ; I (p2 ) ; : : : ; I (pn ).
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
38 / 95
NP-Completeness dari Satis…ability Problem
Permasalahan
Diberikan suatu formula logika proposisi , apakah terdapat suatu algoritma yang
cukup e…sien untuk memeriksa apakah bersifat terpenuhi (satis…able)?
Misalkan adalah suatu formula logika proposisi yang memuat n proposisi atom
berbeda p1 ; p2 ; : : : ; pn . Terdapat 2n kombinasi berbeda untuk nilai dari
I (p1 ) ; I (p2 ) ; : : : ; I (pn ). Dalam kasus terburuk, kita harus memeriksa seluruh
2n kombinasi ini untuk memeriksa keterpenuhan (satis…ability ) dari .
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
38 / 95
NP-Completeness dari Satis…ability Problem
Permasalahan
Diberikan suatu formula logika proposisi , apakah terdapat suatu algoritma yang
cukup e…sien untuk memeriksa apakah bersifat terpenuhi (satis…able)?
Misalkan adalah suatu formula logika proposisi yang memuat n proposisi atom
berbeda p1 ; p2 ; : : : ; pn . Terdapat 2n kombinasi berbeda untuk nilai dari
I (p1 ) ; I (p2 ) ; : : : ; I (pn ). Dalam kasus terburuk, kita harus memeriksa seluruh
2n kombinasi ini untuk memeriksa keterpenuhan (satis…ability ) dari .
NP-Completeness dari Satis…ability Problem
Masalah keterpenuhan (satis…ability problem) adalah masalah NP-Complete.
Hingga saat ini belum ditemukan algoritma yang e…sien untuk memeriksa
keterpenuhan dari . Jika ada algoritma yang e…sien untuk memeriksa
keterpenuhan dari (untuk sembarang ), maka algoritma tersebut secara
teoretis dapat dimodi…kasi untuk memecahkan masalah NP-Complete lain.
Catatan: Kata “e…sien” berarti bahwa kompleksitas running time algoritma
tersebut adalah sub-eksponesial.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
38 / 95
Konsekuensi Logis dan Kesetaraan Logika
De…nisi
Misalkan dan
Formula dan
formula
adalah dua formula logika proposisi:
dikatakan setara atau ekuivalen (logically equivalent) jika
$
merupakan tautologi. Hal ini dituliskan dengan
atau , .
Formula dikatakan sebagai konsekuensi logis (logical consequence) dari
formula
!
merupakan tautologi. Hal ini dituliskan dengan
MZI (FIF Tel-U)
jika
) .
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
39 / 95
Adequate Set of Connectives
Adequate Set of Connectives
Adequate set of connectives (ASC) atau adequate set of operators (ASO) pada
logika proposisi adalah himpunan operator logika O yang memenuhi sifat: semua
formula logika proposisi yang menggunakan operator lain dapat dinyatakan hanya
dengan memakai operator logika yang terdapat pada O.
Sebagai contoh himpunan O1 = f:; ^; _; ; !; $g adalah ASC, demikian pula
halnya dengan O2 = f:; ^; _; !g (karena dan $ dapat dinyatakan hanya
dengan memakai operator logika pada O2 ). Lebih jauh, dengan ekuivalensi
!
: _ , maka O3 = f:; ^; _g juga merupakan ASC.
Himpunan-himpunan operator berikut juga merupakan ASC
f:; ^g , f:; _g , f:; !g
Permasalahan
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
40 / 95
Adequate Set of Connectives
Adequate Set of Connectives
Adequate set of connectives (ASC) atau adequate set of operators (ASO) pada
logika proposisi adalah himpunan operator logika O yang memenuhi sifat: semua
formula logika proposisi yang menggunakan operator lain dapat dinyatakan hanya
dengan memakai operator logika yang terdapat pada O.
Sebagai contoh himpunan O1 = f:; ^; _; ; !; $g adalah ASC, demikian pula
halnya dengan O2 = f:; ^; _; !g (karena dan $ dapat dinyatakan hanya
dengan memakai operator logika pada O2 ). Lebih jauh, dengan ekuivalensi
!
: _ , maka O3 = f:; ^; _g juga merupakan ASC.
Himpunan-himpunan operator berikut juga merupakan ASC
f:; ^g , f:; _g , f:; !g
Permasalahan
Apakah mungkin terdapat ASC yang hanya memuat satu operator saja? Jika ya,
operator apakah itu? Apakah operatornya tunggal?
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
40 / 95
Teorema
Misalkan ~ adalah sembarang operator logika proposisi (operator boolean) uner
maupun biner. Operasi yang melibatkan ~ dapat dinyatakan hanya dengan
memakai operator " saja atau operator # saja.
Bukti
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
41 / 95
Teorema
Misalkan ~ adalah sembarang operator logika proposisi (operator boolean) uner
maupun biner. Operasi yang melibatkan ~ dapat dinyatakan hanya dengan
memakai operator " saja atau operator # saja.
Bukti
Latihan, yang harus dicari dan dibuktikan adalah cara menyatakan : , ^ ,
_ ,
, ! , maupun $ dengan memakai operator " saja atau
operator # saja.
Teorema
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
41 / 95
Teorema
Misalkan ~ adalah sembarang operator logika proposisi (operator boolean) uner
maupun biner. Operasi yang melibatkan ~ dapat dinyatakan hanya dengan
memakai operator " saja atau operator # saja.
Bukti
Latihan, yang harus dicari dan dibuktikan adalah cara menyatakan : , ^ ,
_ ,
, ! , maupun $ dengan memakai operator " saja atau
operator # saja.
Teorema
Jika ~ adalah operator logika proposisi (operator boolean) yang dapat
menyatakan semua operasi yang dilakukan semua operator logika proposisi yang
lain, maka ~ adalah operator " atau operator #.
Bukti
Lihat Teorema 2.23 di buku Mathematical Logic for Computer Science, M.
Ben-Ari.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
41 / 95
Algoritma Penentuan Interpretasi untuk Proposisi Majemuk
Algoritma penentuan intepretasi untuk proposisi majemuk dapat dikonstruksi
secara rekursif dengan melihat struktur formula yang mungkin. Untuk
mempersingkat penulisan algoritma penentuan interpretasi ini, kita akan
mengasumsikan bahwa masukan (input) dari algoritma berupa formula yang
hanya memakai operator :, ^, _, dan ! saja.
Selanjutnya masukan dari algoritma juga diasumsikan berbentuk FPE. Hal ini
bertujuan agar intepretasi dari formula yang memakai operator logika yang
bersifat asosiatif dapat ditentukan secara deterministik.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
42 / 95
Algoritma Penentuan Interpretasi
Masukan: yang berada dalam bentuk FPE dan hanya memuat operator :, ^,
_, dan ! saja.
Keluaran: I ( ) yang nilainya hanya dua kemungkinan, yaitu T atau F.
function I ( )
1 begin function
2
case
3
is atomic proposition p: return I (p)
4
is : : return NEG (I ( ))
5
is 1 ^ 2 : return CONJ (I ( 1 ) ; I ( 2 ))
6
is 1 _ 2 : return DISJ (I ( 1 ) ; I ( 2 ))
7
is 1 ! 2 : return IMPL (I ( 1 ) ; I ( 2 ))
8
end case
9 end function
Fungsi NEG, CONJ, DISJ, dan IMPL berturut-turut dikonstruksi berdasarkan aturan
semantik untuk :, ^, _, dan !.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
43 / 95
Fungsi NEG
function NEG (I ( ))
1 begin function
2
if I ( ) = T then
3
return F
4
else
5
return T
6 end function
Fungsi CONJ
function CONJ (I ( 1 ) ; I ( 2 ))
1 begin function
2
if I ( 1 ) = T AND I (
3
return T
4
else
5
return F
6 end function
MZI (FIF Tel-U)
2)
= T then
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
44 / 95
Fungsi DISJ
function DISJ (I ( 1 ) ; I ( 2 ))
1 begin function
2
if I ( 1 ) = F AND I (
3
return F
4
else
5
return T
6 end function
2)
= F then
2)
= F then
Fungsi IMPL
function IMPL (I ( 1 ) ; I ( 2 ))
1 begin function
2
if I ( 1 ) = T AND I (
3
return F
4
else
5
return T
6 end function
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
45 / 95
Sebagai contoh, langkah-langkah penentuan interprertasi dari formula
:= ((p _ q) _ r) ! ((p _ q) ^ :s) bila diberikan I (p) = T, I (q) = F,
I (r) = T, I (s) = F dengan algoritma yang telah dijelaskan adalah sebagai
berikut
=
I( )
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
46 / 95
Sebagai contoh, langkah-langkah penentuan interprertasi dari formula
:= ((p _ q) _ r) ! ((p _ q) ^ :s) bila diberikan I (p) = T, I (q) = F,
I (r) = T, I (s) = F dengan algoritma yang telah dijelaskan adalah sebagai
berikut
I( )
= I (((p _ q) _ r) ! ((p _ q) ^ :s))
=
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
46 / 95
Sebagai contoh, langkah-langkah penentuan interprertasi dari formula
:= ((p _ q) _ r) ! ((p _ q) ^ :s) bila diberikan I (p) = T, I (q) = F,
I (r) = T, I (s) = F dengan algoritma yang telah dijelaskan adalah sebagai
berikut
I( )
= I (((p _ q) _ r) ! ((p _ q) ^ :s))
= IMPL (I ((p _ q) _ r) ; I ((p _ q) ^ :s))
=
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
46 / 95
Sebagai contoh, langkah-langkah penentuan interprertasi dari formula
:= ((p _ q) _ r) ! ((p _ q) ^ :s) bila diberikan I (p) = T, I (q) = F,
I (r) = T, I (s) = F dengan algoritma yang telah dijelaskan adalah sebagai
berikut
I( )
= I (((p _ q) _ r) ! ((p _ q) ^ :s))
= IMPL (I ((p _ q) _ r) ; I ((p _ q) ^ :s))
= IMPL (DISJ (I (p _ q) ; I (r)) ; CONJ (I (p _ q) ; I (:s)))
=
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
46 / 95
Sebagai contoh, langkah-langkah penentuan interprertasi dari formula
:= ((p _ q) _ r) ! ((p _ q) ^ :s) bila diberikan I (p) = T, I (q) = F,
I (r) = T, I (s) = F dengan algoritma yang telah dijelaskan adalah sebagai
berikut
I( )
= I (((p _ q) _ r) ! ((p _ q) ^ :s))
= IMPL (I ((p _ q) _ r) ; I ((p _ q) ^ :s))
= IMPL (DISJ (I (p _ q) ; I (r)) ; CONJ (I (p _ q) ; I (:s)))
= IMPL (DISJ (DISJ (I (p) ; I (q)) ; I (r)) ; CONJ (DISJ (I (p) ; I (q)) ; I (:s)))
=
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
46 / 95
Sebagai contoh, langkah-langkah penentuan interprertasi dari formula
:= ((p _ q) _ r) ! ((p _ q) ^ :s) bila diberikan I (p) = T, I (q) = F,
I (r) = T, I (s) = F dengan algoritma yang telah dijelaskan adalah sebagai
berikut
I( )
= I (((p _ q) _ r) ! ((p _ q) ^ :s))
= IMPL (I ((p _ q) _ r) ; I ((p _ q) ^ :s))
= IMPL (DISJ (I (p _ q) ; I (r)) ; CONJ (I (p _ q) ; I (:s)))
= IMPL (DISJ (DISJ (I (p) ; I (q)) ; I (r)) ; CONJ (DISJ (I (p) ; I (q)) ; I (:s)))
= IMPL (DISJ (DISJ (I (p) ; I (q)) ; I (r)) ; CONJ (DISJ (I (p) ; I (q)) ; NEG (I (s)))
=
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
46 / 95
Sebagai contoh, langkah-langkah penentuan interprertasi dari formula
:= ((p _ q) _ r) ! ((p _ q) ^ :s) bila diberikan I (p) = T, I (q) = F,
I (r) = T, I (s) = F dengan algoritma yang telah dijelaskan adalah sebagai
berikut
I( )
= I (((p _ q) _ r) ! ((p _ q) ^ :s))
= IMPL (I ((p _ q) _ r) ; I ((p _ q) ^ :s))
= IMPL (DISJ (I (p _ q) ; I (r)) ; CONJ (I (p _ q) ; I (:s)))
= IMPL (DISJ (DISJ (I (p) ; I (q)) ; I (r)) ; CONJ (DISJ (I (p) ; I (q)) ; I (:s)))
= IMPL (DISJ (DISJ (I (p) ; I (q)) ; I (r)) ; CONJ (DISJ (I (p) ; I (q)) ; NEG (I (s)))
= IMPL (DISJ (DISJ (T; F) ; T) ; CONJ (DISJ (T; F) ; T))
=
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
46 / 95
Sebagai contoh, langkah-langkah penentuan interprertasi dari formula
:= ((p _ q) _ r) ! ((p _ q) ^ :s) bila diberikan I (p) = T, I (q) = F,
I (r) = T, I (s) = F dengan algoritma yang telah dijelaskan adalah sebagai
berikut
I( )
= I (((p _ q) _ r) ! ((p _ q) ^ :s))
= IMPL (I ((p _ q) _ r) ; I ((p _ q) ^ :s))
= IMPL (DISJ (I (p _ q) ; I (r)) ; CONJ (I (p _ q) ; I (:s)))
= IMPL (DISJ (DISJ (I (p) ; I (q)) ; I (r)) ; CONJ (DISJ (I (p) ; I (q)) ; I (:s)))
= IMPL (DISJ (DISJ (I (p) ; I (q)) ; I (r)) ; CONJ (DISJ (I (p) ; I (q)) ; NEG (I (s)))
= IMPL (DISJ (DISJ (T; F) ; T) ; CONJ (DISJ (T; F) ; T))
= IMPL (DISJ (T; T) ; CONJ (T; T))
=
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
46 / 95
Sebagai contoh, langkah-langkah penentuan interprertasi dari formula
:= ((p _ q) _ r) ! ((p _ q) ^ :s) bila diberikan I (p) = T, I (q) = F,
I (r) = T, I (s) = F dengan algoritma yang telah dijelaskan adalah sebagai
berikut
I( )
= I (((p _ q) _ r) ! ((p _ q) ^ :s))
= IMPL (I ((p _ q) _ r) ; I ((p _ q) ^ :s))
= IMPL (DISJ (I (p _ q) ; I (r)) ; CONJ (I (p _ q) ; I (:s)))
= IMPL (DISJ (DISJ (I (p) ; I (q)) ; I (r)) ; CONJ (DISJ (I (p) ; I (q)) ; I (:s)))
= IMPL (DISJ (DISJ (I (p) ; I (q)) ; I (r)) ; CONJ (DISJ (I (p) ; I (q)) ; NEG (I (s)))
= IMPL (DISJ (DISJ (T; F) ; T) ; CONJ (DISJ (T; F) ; T))
= IMPL (DISJ (T; T) ; CONJ (T; T))
= IMPL (T; T) = T.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
46 / 95
Kompleksitas Algoritma Penentuan Interpretasi
Lamanya running time algoritma penentuan interpretasi dari suatu formula
dipengaruhi oleh tinggi dan ukuran dari formula tersebut.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
47 / 95
Kompleksitas Algoritma Penentuan Interpretasi
Lamanya running time algoritma penentuan interpretasi dari suatu formula
dipengaruhi oleh tinggi dan ukuran dari formula tersebut.
Running time algoritma jelas dipengaruhi oleh banyaknya panggilan rekursif untuk
function I. Banyaknya panggilan rekursif untuk function I dipengaruhi oleh
banyaknya operator pada (termasuk multiplisitasnya).
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
47 / 95
Kompleksitas Algoritma Penentuan Interpretasi
Lamanya running time algoritma penentuan interpretasi dari suatu formula
dipengaruhi oleh tinggi dan ukuran dari formula tersebut.
Running time algoritma jelas dipengaruhi oleh banyaknya panggilan rekursif untuk
function I. Banyaknya panggilan rekursif untuk function I dipengaruhi oleh
banyaknya operator pada (termasuk multiplisitasnya).
Kompleksitas running time algoritma penentuan interpretasi dapat diukur
berdasarkan ukuran formula yang menjadi masukan (input).
Teorema
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
47 / 95
Kompleksitas Algoritma Penentuan Interpretasi
Lamanya running time algoritma penentuan interpretasi dari suatu formula
dipengaruhi oleh tinggi dan ukuran dari formula tersebut.
Running time algoritma jelas dipengaruhi oleh banyaknya panggilan rekursif untuk
function I. Banyaknya panggilan rekursif untuk function I dipengaruhi oleh
banyaknya operator pada (termasuk multiplisitasnya).
Kompleksitas running time algoritma penentuan interpretasi dapat diukur
berdasarkan ukuran formula yang menjadi masukan (input).
Teorema
Untuk setiap well-formed formula dan interpretasi I yang terde…nisi untuk
setiap proposisi atom yang muncul pada , nilai dari I ( ) dapat ditentukan
dalam waku T (j j) = O (j j).
Teorema di atas menyatakan bahwa kompleksitas waktu penentuan interpretasi
untuk suatu formula logika proposisi adalah linier terhadap ukuran formula
tersebut.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
47 / 95
Bahasan
1
Beberapa Notasi Alfabet Yunani
2
Sintaks Logika Proposisi
3
Semantik Logika Proposisi
4
Konsistensi Spesi…kasi Sistem
5
Bentuk Normal Negasi
6
Bentuk Normal Konjungtif dan Disjungtif
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
48 / 95
Konsistensi Spesi…kasi Sistem dan Keterpenuhan
Misalkan terdapat suatu sistem dengan n buah spes…kasi yang masing-masing
spesi…kasinya dapat dinyatakan dalam formula logika proposisi, yaitu
1 ; 2 ; : : : ; n Sistem tersebut konsisten bila
spec
=
1^
2^
^
n
=
n
^
i
i=1
merupakan formula yang terpenuhi (satisi…able).
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
49 / 95
Konsistensi Spesi…kasi Sistem dan Keterpenuhan
Misalkan terdapat suatu sistem dengan n buah spes…kasi yang masing-masing
spesi…kasinya dapat dinyatakan dalam formula logika proposisi, yaitu
1 ; 2 ; : : : ; n Sistem tersebut konsisten bila
spec
=
1^
2^
^
n
=
n
^
i
i=1
merupakan formula yang terpenuhi (satisi…able). Hal ini berarti terdapat suatu
interpretasi I yang memenuhi
I
spec
I ( i)
Hal ini juga berarti himpunan
MZI (FIF Tel-U)
=
T yang setara dengan
=
T untuk setiap 1
spec
=f
1;
2; : : : ;
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
i
ng
n.
bersifat konsisten.
September 2015
49 / 95
Contoh 1
Masalah Konsistensi Spesi…kasi Sistem 1
Apakah spesi…kasi sistem berikut konsisten atau tidak:
1
Ketika system software di-upgrade, user tidak dapat mengakses …le system;
2
Jika user dapat mengakses …le system, maka user dapat menyimpan …le baru;
3
Jika user tidak dapat menyimpan …le baru, maka system software tidak
sedang di-upgrade.
Misalkan p : “system software sedang di-upgrade”, q : “user dapat mengakses …le
system”, dan r : “user dapat menyimpan …le baru”. Spes…kasi sistem adalah
spec = 1 ^ 2 ^ 3 dan 1 := p ! :q, 2 := q ! r, dan 3 := :r ! s.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
50 / 95
Tinjau bahwa dengan memilih I (p) = F, I (q) = F, dan I (r) = T diperoleh
I(
1)
=
2)
=
I(
3)
=
I(
I (p ! :q) = F ! T = T
I (q ! r) = F ! T = T
I (:r ! :p) = F ! T = T
Jadi dapat disimpulkan bahwa spesi…kasi sistem bersifat konsisten.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
51 / 95
Contoh 2
Masalah Konsistensi Spesi…kasi Sistem 2
Apakah spesi…kasi sistem berikut konsisten atau tidak:
1
Sistem berada dalam state multiuser jika dan hanya jika beroperasi secara
normal;
2
Jika sistem beroperasi secara normal, maka kernel sistem sedang berfungsi;
3
Kernel sistem tidak sedang berfungsi atau sistem dalam interrupt mode;
4
Sistem tidak berada dalam interrupt mode.
Misalkan p : “sistem berada dalam state multiuser”, q : “sistem beroperasi secara
normal”, r : “kernel sedang berfungsi”, dan s : “sistem dalam interrupt mode”.
Spesi…kasi sistem adalah spec = 1 ^ 2 ^ 3 ^ 4 dengan 1 := p $ q,
2 := q ! r, 3 := :r _ s, 4 := :s.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
52 / 95
Tinjau bahwa dengan memilih I (s) = F, I (r) = F, I (q) = F, dan I (p) = F
diperoleh
1)
=
I(
I(
2)
=
3)
=
I(
4)
=
I(
I (p $ q) = F $ F = T
I (q ! r) = F ! F = T
I (:r _ s) = :F _ F = T
I (:s) = :F = T
Jadi dapat disimpulkan bahwa sistem konsisten.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
53 / 95
Bahasan
1
Beberapa Notasi Alfabet Yunani
2
Sintaks Logika Proposisi
3
Semantik Logika Proposisi
4
Konsistensi Spesi…kasi Sistem
5
Bentuk Normal Negasi
6
Bentuk Normal Konjungtif dan Disjungtif
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
54 / 95
Literal
De…nisi
Literal adalah sebuah proposisi atom atau sebuah negasi dari suatu proposisi
atom. Suatu literal dinotasikan dengan atau L.
Formula-formula: p, :p, q, :q adalah contoh-contoh literal. Formula ::p bukan
literal karena bukan merupakan proposisi atom atau negasi dari suatu proposisi
atom, meskipun secara semantik ::p p.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
55 / 95
Teorema
Wn
Disjungsi literal-literal i=1 i =
1 i < j n yang memenuhi i
1
_
:
2
j.
_
_
n
absah (valid) jikka terdapat
Bukti
Latihan.
Teorema
Vn
Konjungsi literal-literal i=1 i =
1 i < j n yang memenuhi i
^ 2^
: j
1
^
n
kontradiksi jikka terdapat
Bukti
Latihan.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
56 / 95
Bentuk Normal Negasi
Bentuk Normal Negasi (Negation Normal Form)
Suatu formula dikatakan berada dalam bentuk normal negasi (negation normal
form, NNF) bila seluruh negasi yang terdapat pada formula tersebut hanya muncul
di depan proposisi atom. Biasanya syarat bentuk normal negasi diperkuat dengan
hanya memperbolehkan operator :, ^, dan _ yang muncul pada formula .
Dalam kondisi ini, BNF untuk NNF dijelaskan sebagai berikut
::= p j :p
::=
j
^
j
_
Formula-formula p, :p, :p ^ q, dan p _ :q adalah contoh-contoh formula yang
berada dalam NNF. Formula : (p _ :q), ::p ^ q, dan :p _ : (q ^ r) adalah
contoh-contoh formula yang tidak berada dalam NNF.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
57 / 95
Konversi ke NNF
Untuk mengkonversi suatu formula ke dalam bentuk NNF, kita dapat melakukan
hal-hal berikut:
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
58 / 95
Konversi ke NNF
Untuk mengkonversi suatu formula ke dalam bentuk NNF, kita dapat melakukan
hal-hal berikut:
1
Ubah formula dengan operator , !, dan $ ke dalam formula yang hanya
memakai operator :, ^, dan _ saja dengan memanfaatkan ekuivalensi
berikut:
( ^ : ) _ (: _ ), !
: _ , dan
$
(: _ ) ^ ( _ : ).
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
58 / 95
Konversi ke NNF
Untuk mengkonversi suatu formula ke dalam bentuk NNF, kita dapat melakukan
hal-hal berikut:
1
2
Ubah formula dengan operator , !, dan $ ke dalam formula yang hanya
memakai operator :, ^, dan _ saja dengan memanfaatkan ekuivalensi
berikut:
( ^ : ) _ (: _ ), !
: _ , dan
$
(: _ ) ^ ( _ : ).
Jika menemukan subformula dengan bentuk : ( ^ ), maka subformula
tersebut diubah ke dalam bentuk : _ : . Kemudian jika menemukan
subformula dengan bentuk : ( _ ), maka subformula tersebut diubah ke
dalam bentuk : ^ : .
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
58 / 95
Konversi ke NNF
Untuk mengkonversi suatu formula ke dalam bentuk NNF, kita dapat melakukan
hal-hal berikut:
1
2
3
Ubah formula dengan operator , !, dan $ ke dalam formula yang hanya
memakai operator :, ^, dan _ saja dengan memanfaatkan ekuivalensi
berikut:
( ^ : ) _ (: _ ), !
: _ , dan
$
(: _ ) ^ ( _ : ).
Jika menemukan subformula dengan bentuk : ( ^ ), maka subformula
tersebut diubah ke dalam bentuk : _ : . Kemudian jika menemukan
subformula dengan bentuk : ( _ ), maka subformula tersebut diubah ke
dalam bentuk : ^ : .
Jika menemukan subformula dengan bentuk :: , maka subformula tersebut
diubah ke dalam bentuk .
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
58 / 95
Sebagai contoh, formula := : (p ! (q _ r)) ! (p _ : (q ^ s)) dapat diubah ke
dalam NNF dengan langkah-langkah berikut
= : (p ! (q _ r)) ! (p _ : (q ^ s))
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
59 / 95
Sebagai contoh, formula := : (p ! (q _ r)) ! (p _ : (q ^ s)) dapat diubah ke
dalam NNF dengan langkah-langkah berikut
= : (p ! (q _ r)) ! (p _ : (q ^ s))
:: (p ! (q _ r)) _ (p _ : (q ^ s))
(p ! (q _ r)) _ (p _ : (q ^ s))
(:p _ (q _ r)) _ (p _ (:q _ :s))
:p _ q _ r _ p _ :q _ :s
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
59 / 95
Sebagai contoh, formula := : (p ! (q _ r)) ! (p _ : (q ^ s)) dapat diubah ke
dalam NNF dengan langkah-langkah berikut
= : (p ! (q _ r)) ! (p _ : (q ^ s))
:: (p ! (q _ r)) _ (p _ : (q ^ s))
(p ! (q _ r)) _ (p _ : (q ^ s))
(:p _ (q _ r)) _ (p _ (:q _ :s))
:p _ q _ r _ p _ :q _ :s
:p _ p _ q _ :q _ r _ :s
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
59 / 95
Sebagai contoh, formula := : (p ! (q _ r)) ! (p _ : (q ^ s)) dapat diubah ke
dalam NNF dengan langkah-langkah berikut
= : (p ! (q _ r)) ! (p _ : (q ^ s))
:: (p ! (q _ r)) _ (p _ : (q ^ s))
(p ! (q _ r)) _ (p _ : (q ^ s))
(:p _ (q _ r)) _ (p _ (:q _ :s))
:p _ q _ r _ p _ :q _ :s
:p _ p _ q _ :q _ r _ :s
> _ > _ r _ :s
MZI (FIF Tel-U)
r _ :s.
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
59 / 95
Algoritma Konversi ke NNF
Misalkan adalah formula yang hanya memuat operator :, ^, _, dan ! saja,
maka kita dapat mengkonversi ke dalam bentuk NNF dengan memanfaatkan
ekuivalensi berikut:
::
:( _ )
:( ^ )
:( ! )
: ^
: _:
: (: _ )
^:
Selanjutnya masukan (input) dari algoritma juga diasumsikan berbentuk FPE. Hal
ini bertujuan agar konversi dari formula yang memakai operator logika yang
bersifat asosiatif dapat ditentukan secara deterministik.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
60 / 95
Algoritma Konversi Ke NNF
Masukan: yang berada dalam bentuk FPE dan hanya memuat operator :, ^,
_, dan ! saja.
Keluaran: NNF ( ) yang berupa formula yang ekuivalen dengan dalam bentuk
NNF.
function NNF ( )
1
begin function
2
case
3
is a literal : return
4
is :: : return NNF ( )
5
is 1 ^ 2 : return NNF ( 1 ) ^ NNF ( 2 )
6
is 1 _ 2 : return NNF ( 1 ) _ NNF ( 2 )
7
is 1 ! 2 : return NNF ( 1 ) ! NNF ( 2 )
8
is : ( 1 ^ 2 ): return NNF (: 1 ) _ NNF (: 2 )
9
is : ( 1 _ 2 ): return NNF (: 1 ) ^ NNF (: 2 )
10
is : ( 1 ! 2 ): return NNF ( 1 ) ^ NNF (: 2 )
11
end case
12 end function
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
61 / 95
Sebagai contoh, langkah-langkah konversi ke NNF dari formula
:= p _ : (q ^ r) ! : (q ^ r ! s) dijelaskan sebagai berikut
NNF ( )
=
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
62 / 95
Sebagai contoh, langkah-langkah konversi ke NNF dari formula
:= p _ : (q ^ r) ! : (q ^ r ! s) dijelaskan sebagai berikut
NNF ( )
= NNF (p _ : (q ^ r) ! : (q ^ r ! s))
=
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
62 / 95
Sebagai contoh, langkah-langkah konversi ke NNF dari formula
:= p _ : (q ^ r) ! : (q ^ r ! s) dijelaskan sebagai berikut
NNF ( )
= NNF (p _ : (q ^ r) ! : (q ^ r ! s))
= NNF (p _ : (q ^ r)) ! NNF (: (q ^ r ! s))
=
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
62 / 95
Sebagai contoh, langkah-langkah konversi ke NNF dari formula
:= p _ : (q ^ r) ! : (q ^ r ! s) dijelaskan sebagai berikut
NNF ( )
= NNF (p _ : (q ^ r) ! : (q ^ r ! s))
= NNF (p _ : (q ^ r)) ! NNF (: (q ^ r ! s))
= NNF (p) _ NNF (: (q ^ r)) ! NNF (q ^ r) ^ NNF (:s)
=
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
62 / 95
Sebagai contoh, langkah-langkah konversi ke NNF dari formula
:= p _ : (q ^ r) ! : (q ^ r ! s) dijelaskan sebagai berikut
NNF ( )
= NNF (p _ : (q ^ r) ! : (q ^ r ! s))
= NNF (p _ : (q ^ r)) ! NNF (: (q ^ r ! s))
= NNF (p) _ NNF (: (q ^ r)) ! NNF (q ^ r) ^ NNF (:s)
=
=
(NNF (p) _ (NNF (:q) _ NNF (:r))) ! (NNF (q) ^ NNF (r)) ^ NNF (:s)
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
62 / 95
Sebagai contoh, langkah-langkah konversi ke NNF dari formula
:= p _ : (q ^ r) ! : (q ^ r ! s) dijelaskan sebagai berikut
NNF ( )
= NNF (p _ : (q ^ r) ! : (q ^ r ! s))
= NNF (p _ : (q ^ r)) ! NNF (: (q ^ r ! s))
= NNF (p) _ NNF (: (q ^ r)) ! NNF (q ^ r) ^ NNF (:s)
=
=
=
(NNF (p) _ (NNF (:q) _ NNF (:r))) ! (NNF (q) ^ NNF (r)) ^ NNF (:s)
(p _ (:q _ :r)) ! ((q ^ r) ^ :s)
(p _ :q _ :r) ! (q ^ r ^ :s)
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
62 / 95
Kompleksitas Algoritma Konversi ke NNF
Lamanya running time algoritma konversi ke NNF dari suatu formula
dipengaruhi oleh tinggi dan ukuran dari formula tersebut.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
63 / 95
Kompleksitas Algoritma Konversi ke NNF
Lamanya running time algoritma konversi ke NNF dari suatu formula
dipengaruhi oleh tinggi dan ukuran dari formula tersebut.
Running time algoritma jelas dipengaruhi oleh banyaknya panggilan rekursif untuk
fungsi NNF. Banyaknya panggilan rekursif dipengaruhi oleh banyaknya operator
pada (termasuk multiplisitasnya).
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
63 / 95
Kompleksitas Algoritma Konversi ke NNF
Lamanya running time algoritma konversi ke NNF dari suatu formula
dipengaruhi oleh tinggi dan ukuran dari formula tersebut.
Running time algoritma jelas dipengaruhi oleh banyaknya panggilan rekursif untuk
fungsi NNF. Banyaknya panggilan rekursif dipengaruhi oleh banyaknya operator
pada (termasuk multiplisitasnya).
Kompleksitas running time algoritma konversi ke NNF dapat diukur berdasarkan
ukuran formula yang menjadi masukan (input).
Teorema
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
63 / 95
Kompleksitas Algoritma Konversi ke NNF
Lamanya running time algoritma konversi ke NNF dari suatu formula
dipengaruhi oleh tinggi dan ukuran dari formula tersebut.
Running time algoritma jelas dipengaruhi oleh banyaknya panggilan rekursif untuk
fungsi NNF. Banyaknya panggilan rekursif dipengaruhi oleh banyaknya operator
pada (termasuk multiplisitasnya).
Kompleksitas running time algoritma konversi ke NNF dapat diukur berdasarkan
ukuran formula yang menjadi masukan (input).
Teorema
Untuk setiap well-formed formula , formula NNF ( ) dapat diperoleh dari
waku T (j j) = O (j j).
dalam
Teorema di atas menyatakan bahwa kompleksitas waktu konversi ke bentuk NNF
untuk suatu formula logika proposisi adalah linier terhadap ukuran formula
tersebut.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
63 / 95
Bahasan
1
Beberapa Notasi Alfabet Yunani
2
Sintaks Logika Proposisi
3
Semantik Logika Proposisi
4
Konsistensi Spesi…kasi Sistem
5
Bentuk Normal Negasi
6
Bentuk Normal Konjungtif dan Disjungtif
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
64 / 95
Bentuk Normal Konjungtif
Bentuk Normal Konjungtif (Conjunctive Normal Form, CNF)
Suatu formula dikatakan berada dalam bentuk normal konjungtif (conjunctive
normal form, CNF) apabila hanya boleh memuat operator :, ^, dan _ saja,
serta merupakan konjungsi dari satu atau lebih disjungsi literal. BNF untuk
CNF dijelaskan sebagai berikut:
::= p j :p
::=
::=
j
j
_
^
Bentuk (disjungsi dari satu atau lebih literal) biasa diistilahkan sebagai klausa
(clause).
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
65 / 95
BNF dari CNF menyatakan bahwa suatu formula
memiliki bentuk sebagai berikut
=
dan setiap
i
untuk 1
i
1
^
2
yang berada dalam CNF
^
^
n
_
_
im
n berbentuk
i
=
i1
_
i2
untuk suatu m.
Dengan terminologi yang telah diperkenalkan kita dapat mengatakan bahwa CNF
adalah konjungsi dari beberapa klausa.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
66 / 95
Contoh Formula dalam CNF
Contoh (Formula yang berada dalam CNF dan bukan CNF)
Formula 1 = (p _ :q _ r) ^ (:p _ r) ^ q dan 2 = (p _ r) ^ (:p _ r) ^ (p _ :r)
adalah dua contoh formula yang berada dalam bentuk CNF. Pada 1 kita
memiliki 1 =
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
67 / 95
Contoh Formula dalam CNF
Contoh (Formula yang berada dalam CNF dan bukan CNF)
Formula 1 = (p _ :q _ r) ^ (:p _ r) ^ q dan 2 = (p _ r) ^ (:p _ r) ^ (p _ :r)
adalah dua contoh formula yang berada dalam bentuk CNF. Pada 1 kita
memiliki 1 = 1 ^ 2 ^ 3 dengan 1 =
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
67 / 95
Contoh Formula dalam CNF
Contoh (Formula yang berada dalam CNF dan bukan CNF)
Formula 1 = (p _ :q _ r) ^ (:p _ r) ^ q dan 2 = (p _ r) ^ (:p _ r) ^ (p _ :r)
adalah dua contoh formula yang berada dalam bentuk CNF. Pada 1 kita
memiliki 1 = 1 ^ 2 ^ 3 dengan 1 = (p _ :q _ r), 2 =
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
67 / 95
Contoh Formula dalam CNF
Contoh (Formula yang berada dalam CNF dan bukan CNF)
Formula 1 = (p _ :q _ r) ^ (:p _ r) ^ q dan 2 = (p _ r) ^ (:p _ r) ^ (p _ :r)
adalah dua contoh formula yang berada dalam bentuk CNF. Pada 1 kita
memiliki 1 = 1 ^ 2 ^ 3 dengan 1 = (p _ :q _ r), 2 = (:p _ r), dan
3 =
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
67 / 95
Contoh Formula dalam CNF
Contoh (Formula yang berada dalam CNF dan bukan CNF)
Formula 1 = (p _ :q _ r) ^ (:p _ r) ^ q dan 2 = (p _ r) ^ (:p _ r) ^ (p _ :r)
adalah dua contoh formula yang berada dalam bentuk CNF. Pada 1 kita
memiliki 1 = 1 ^ 2 ^ 3 dengan 1 = (p _ :q _ r), 2 = (:p _ r), dan
3 = q. Masing-masing 1 , 2 , dan 3 adalah disjungsi dari satu atau lebih
literal. Pada 2 kita memiliki 2 =
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
67 / 95
Contoh Formula dalam CNF
Contoh (Formula yang berada dalam CNF dan bukan CNF)
Formula 1 = (p _ :q _ r) ^ (:p _ r) ^ q dan 2 = (p _ r) ^ (:p _ r) ^ (p _ :r)
adalah dua contoh formula yang berada dalam bentuk CNF. Pada 1 kita
memiliki 1 = 1 ^ 2 ^ 3 dengan 1 = (p _ :q _ r), 2 = (:p _ r), dan
3 = q. Masing-masing 1 , 2 , dan 3 adalah disjungsi dari satu atau lebih
literal. Pada 2 kita memiliki 2 = 1 ^ 2 ^ 3 , dengan 1 =
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
67 / 95
Contoh Formula dalam CNF
Contoh (Formula yang berada dalam CNF dan bukan CNF)
Formula 1 = (p _ :q _ r) ^ (:p _ r) ^ q dan 2 = (p _ r) ^ (:p _ r) ^ (p _ :r)
adalah dua contoh formula yang berada dalam bentuk CNF. Pada 1 kita
memiliki 1 = 1 ^ 2 ^ 3 dengan 1 = (p _ :q _ r), 2 = (:p _ r), dan
3 = q. Masing-masing 1 , 2 , dan 3 adalah disjungsi dari satu atau lebih
literal. Pada 2 kita memiliki 2 = 1 ^ 2 ^ 3 , dengan 1 = p _ r,
2 =
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
67 / 95
Contoh Formula dalam CNF
Contoh (Formula yang berada dalam CNF dan bukan CNF)
Formula 1 = (p _ :q _ r) ^ (:p _ r) ^ q dan 2 = (p _ r) ^ (:p _ r) ^ (p _ :r)
adalah dua contoh formula yang berada dalam bentuk CNF. Pada 1 kita
memiliki 1 = 1 ^ 2 ^ 3 dengan 1 = (p _ :q _ r), 2 = (:p _ r), dan
3 = q. Masing-masing 1 , 2 , dan 3 adalah disjungsi dari satu atau lebih
literal. Pada 2 kita memiliki 2 = 1 ^ 2 ^ 3 , dengan 1 = p _ r,
2 = :p _ r, dan 3 =
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
67 / 95
Contoh Formula dalam CNF
Contoh (Formula yang berada dalam CNF dan bukan CNF)
Formula 1 = (p _ :q _ r) ^ (:p _ r) ^ q dan 2 = (p _ r) ^ (:p _ r) ^ (p _ :r)
adalah dua contoh formula yang berada dalam bentuk CNF. Pada 1 kita
memiliki 1 = 1 ^ 2 ^ 3 dengan 1 = (p _ :q _ r), 2 = (:p _ r), dan
3 = q. Masing-masing 1 , 2 , dan 3 adalah disjungsi dari satu atau lebih
literal. Pada 2 kita memiliki 2 = 1 ^ 2 ^ 3 , dengan 1 = p _ r,
2 = :p _ r, dan 3 = p _ :r. Masing-masing 1 , 2 , dan 3 adalah disjungsi
dari satu atau lebih literal.
Formula 3 = :p, 4 = p ^ q, dan 5 = p _ q
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
67 / 95
Contoh Formula dalam CNF
Contoh (Formula yang berada dalam CNF dan bukan CNF)
Formula 1 = (p _ :q _ r) ^ (:p _ r) ^ q dan 2 = (p _ r) ^ (:p _ r) ^ (p _ :r)
adalah dua contoh formula yang berada dalam bentuk CNF. Pada 1 kita
memiliki 1 = 1 ^ 2 ^ 3 dengan 1 = (p _ :q _ r), 2 = (:p _ r), dan
3 = q. Masing-masing 1 , 2 , dan 3 adalah disjungsi dari satu atau lebih
literal. Pada 2 kita memiliki 2 = 1 ^ 2 ^ 3 , dengan 1 = p _ r,
2 = :p _ r, dan 3 = p _ :r. Masing-masing 1 , 2 , dan 3 adalah disjungsi
dari satu atau lebih literal.
Formula 3 = :p, 4 = p ^ q, dan 5 = p _ q adalah tiga contoh formula yang
berada dalam bentuk CNF.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
67 / 95
Contoh Formula dalam CNF
Contoh (Formula yang berada dalam CNF dan bukan CNF)
Formula 1 = (p _ :q _ r) ^ (:p _ r) ^ q dan 2 = (p _ r) ^ (:p _ r) ^ (p _ :r)
adalah dua contoh formula yang berada dalam bentuk CNF. Pada 1 kita
memiliki 1 = 1 ^ 2 ^ 3 dengan 1 = (p _ :q _ r), 2 = (:p _ r), dan
3 = q. Masing-masing 1 , 2 , dan 3 adalah disjungsi dari satu atau lebih
literal. Pada 2 kita memiliki 2 = 1 ^ 2 ^ 3 , dengan 1 = p _ r,
2 = :p _ r, dan 3 = p _ :r. Masing-masing 1 , 2 , dan 3 adalah disjungsi
dari satu atau lebih literal.
Formula 3 = :p, 4 = p ^ q, dan 5 = p _ q adalah tiga contoh formula yang
berada dalam bentuk CNF. Pada 3 kita memiliki 3 = 1 = 11 = :p.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
67 / 95
Contoh Formula dalam CNF
Contoh (Formula yang berada dalam CNF dan bukan CNF)
Formula 1 = (p _ :q _ r) ^ (:p _ r) ^ q dan 2 = (p _ r) ^ (:p _ r) ^ (p _ :r)
adalah dua contoh formula yang berada dalam bentuk CNF. Pada 1 kita
memiliki 1 = 1 ^ 2 ^ 3 dengan 1 = (p _ :q _ r), 2 = (:p _ r), dan
3 = q. Masing-masing 1 , 2 , dan 3 adalah disjungsi dari satu atau lebih
literal. Pada 2 kita memiliki 2 = 1 ^ 2 ^ 3 , dengan 1 = p _ r,
2 = :p _ r, dan 3 = p _ :r. Masing-masing 1 , 2 , dan 3 adalah disjungsi
dari satu atau lebih literal.
Formula 3 = :p, 4 = p ^ q, dan 5 = p _ q adalah tiga contoh formula yang
berada dalam bentuk CNF. Pada 3 kita memiliki 3 = 1 = 11 = :p. Formula
4 adalah konjungsi 1 ^ 2 dengan 1 = 11 = p dan 2 = 21 = q.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
67 / 95
Contoh Formula dalam CNF
Contoh (Formula yang berada dalam CNF dan bukan CNF)
Formula 1 = (p _ :q _ r) ^ (:p _ r) ^ q dan 2 = (p _ r) ^ (:p _ r) ^ (p _ :r)
adalah dua contoh formula yang berada dalam bentuk CNF. Pada 1 kita
memiliki 1 = 1 ^ 2 ^ 3 dengan 1 = (p _ :q _ r), 2 = (:p _ r), dan
3 = q. Masing-masing 1 , 2 , dan 3 adalah disjungsi dari satu atau lebih
literal. Pada 2 kita memiliki 2 = 1 ^ 2 ^ 3 , dengan 1 = p _ r,
2 = :p _ r, dan 3 = p _ :r. Masing-masing 1 , 2 , dan 3 adalah disjungsi
dari satu atau lebih literal.
Formula 3 = :p, 4 = p ^ q, dan 5 = p _ q adalah tiga contoh formula yang
berada dalam bentuk CNF. Pada 3 kita memiliki 3 = 1 = 11 = :p. Formula
4 adalah konjungsi 1 ^ 2 dengan 1 = 11 = p dan 2 = 21 = q. Kemudian
pada formula 5 kita memiliki 5 = 1 = 11 _ 12 = p _ q.
Formula 6 = : (p _ q), 7 = : (p ^ q), 8 = p _ (q ^ r), dan
9 = p ^ (q _ (:r ^ s))
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
67 / 95
Contoh Formula dalam CNF
Contoh (Formula yang berada dalam CNF dan bukan CNF)
Formula 1 = (p _ :q _ r) ^ (:p _ r) ^ q dan 2 = (p _ r) ^ (:p _ r) ^ (p _ :r)
adalah dua contoh formula yang berada dalam bentuk CNF. Pada 1 kita
memiliki 1 = 1 ^ 2 ^ 3 dengan 1 = (p _ :q _ r), 2 = (:p _ r), dan
3 = q. Masing-masing 1 , 2 , dan 3 adalah disjungsi dari satu atau lebih
literal. Pada 2 kita memiliki 2 = 1 ^ 2 ^ 3 , dengan 1 = p _ r,
2 = :p _ r, dan 3 = p _ :r. Masing-masing 1 , 2 , dan 3 adalah disjungsi
dari satu atau lebih literal.
Formula 3 = :p, 4 = p ^ q, dan 5 = p _ q adalah tiga contoh formula yang
berada dalam bentuk CNF. Pada 3 kita memiliki 3 = 1 = 11 = :p. Formula
4 adalah konjungsi 1 ^ 2 dengan 1 = 11 = p dan 2 = 21 = q. Kemudian
pada formula 5 kita memiliki 5 = 1 = 11 _ 12 = p _ q.
Formula 6 = : (p _ q), 7 = : (p ^ q), 8 = p _ (q ^ r), dan
9 = p ^ (q _ (:r ^ s)) adalah empat contoh formula yang tidak berada dalam
bentuk CNF.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
67 / 95
Contoh Formula dalam CNF
Contoh (Formula yang berada dalam CNF dan bukan CNF)
Formula 1 = (p _ :q _ r) ^ (:p _ r) ^ q dan 2 = (p _ r) ^ (:p _ r) ^ (p _ :r)
adalah dua contoh formula yang berada dalam bentuk CNF. Pada 1 kita
memiliki 1 = 1 ^ 2 ^ 3 dengan 1 = (p _ :q _ r), 2 = (:p _ r), dan
3 = q. Masing-masing 1 , 2 , dan 3 adalah disjungsi dari satu atau lebih
literal. Pada 2 kita memiliki 2 = 1 ^ 2 ^ 3 , dengan 1 = p _ r,
2 = :p _ r, dan 3 = p _ :r. Masing-masing 1 , 2 , dan 3 adalah disjungsi
dari satu atau lebih literal.
Formula 3 = :p, 4 = p ^ q, dan 5 = p _ q adalah tiga contoh formula yang
berada dalam bentuk CNF. Pada 3 kita memiliki 3 = 1 = 11 = :p. Formula
4 adalah konjungsi 1 ^ 2 dengan 1 = 11 = p dan 2 = 21 = q. Kemudian
pada formula 5 kita memiliki 5 = 1 = 11 _ 12 = p _ q.
Formula 6 = : (p _ q), 7 = : (p ^ q), 8 = p _ (q ^ r), dan
9 = p ^ (q _ (:r ^ s)) adalah empat contoh formula yang tidak berada dalam
bentuk CNF. Pada 6 dan 7 , negasi tidak berada di depan proposisi atom,
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
67 / 95
Contoh Formula dalam CNF
Contoh (Formula yang berada dalam CNF dan bukan CNF)
Formula 1 = (p _ :q _ r) ^ (:p _ r) ^ q dan 2 = (p _ r) ^ (:p _ r) ^ (p _ :r)
adalah dua contoh formula yang berada dalam bentuk CNF. Pada 1 kita
memiliki 1 = 1 ^ 2 ^ 3 dengan 1 = (p _ :q _ r), 2 = (:p _ r), dan
3 = q. Masing-masing 1 , 2 , dan 3 adalah disjungsi dari satu atau lebih
literal. Pada 2 kita memiliki 2 = 1 ^ 2 ^ 3 , dengan 1 = p _ r,
2 = :p _ r, dan 3 = p _ :r. Masing-masing 1 , 2 , dan 3 adalah disjungsi
dari satu atau lebih literal.
Formula 3 = :p, 4 = p ^ q, dan 5 = p _ q adalah tiga contoh formula yang
berada dalam bentuk CNF. Pada 3 kita memiliki 3 = 1 = 11 = :p. Formula
4 adalah konjungsi 1 ^ 2 dengan 1 = 11 = p dan 2 = 21 = q. Kemudian
pada formula 5 kita memiliki 5 = 1 = 11 _ 12 = p _ q.
Formula 6 = : (p _ q), 7 = : (p ^ q), 8 = p _ (q ^ r), dan
9 = p ^ (q _ (:r ^ s)) adalah empat contoh formula yang tidak berada dalam
bentuk CNF. Pada 6 dan 7 , negasi tidak berada di depan proposisi atom,
sedangkan pada pada 8 dan 9 disjungsi tidak dikenakan pada literal (pada 7
subformula q ^ r bukan literal, sedangkan pada 8 subformula :r ^ s bukan
literal).
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
67 / 95
Bentuk Normal Disjungtif
Bentuk Normal Disjungtif (Disjunctive Normal Form, DNF)
Suatu formula dikatakan berada dalam bentuk normal disjungtif (disjunctive
normal form, DNF) apabila hanya boleh memuat operator :, ^, dan _ saja,
serta merupakan disjungsi dari satu atau lebih konjungsi literal. BNF untuk
DNF dijelaskan sebagai berikut:
::= p j :p
::=
::=
Bentuk
j
j
^
_
(konjungsi dari satu atau lebih literal) biasa diistilahkan sebagai term.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
68 / 95
BNF dari DNF menyatakan bahwa suatu formula
memiliki bentuk sebagai berikut
=
dan setiap
i
untuk 1
i
1
_
2
yang berada dalam DNF
_
_
n
^
^
im
n berbentuk
i
=
i1
^
i2
untuk suatu m.
Dengan terminologi yang telah diperkenalkan kita dapat mengatakan bahwa DNF
adalah disjungsi dari beberapa term.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
69 / 95
Contoh Formula dalam DNF
Contoh (Formula yang berada dalam DNF dan bukan DNF)
Formula 1 = (p ^ :q ^ r) _ (:p ^ r) _ q dan 2 = (p ^ r) _ (:p ^ r) _ (p ^ :r)
adalah dua contoh formula yang berada dalam bentuk DNF. Pada 1 kita
memiliki 1 =
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
70 / 95
Contoh Formula dalam DNF
Contoh (Formula yang berada dalam DNF dan bukan DNF)
Formula 1 = (p ^ :q ^ r) _ (:p ^ r) _ q dan 2 = (p ^ r) _ (:p ^ r) _ (p ^ :r)
adalah dua contoh formula yang berada dalam bentuk DNF. Pada 1 kita
memiliki 1 = 1 _ 2 _ 3 dengan 1 =
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
70 / 95
Contoh Formula dalam DNF
Contoh (Formula yang berada dalam DNF dan bukan DNF)
Formula 1 = (p ^ :q ^ r) _ (:p ^ r) _ q dan 2 = (p ^ r) _ (:p ^ r) _ (p ^ :r)
adalah dua contoh formula yang berada dalam bentuk DNF. Pada 1 kita
memiliki 1 = 1 _ 2 _ 3 dengan 1 = (p ^ :q ^ r), 2 =
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
70 / 95
Contoh Formula dalam DNF
Contoh (Formula yang berada dalam DNF dan bukan DNF)
Formula 1 = (p ^ :q ^ r) _ (:p ^ r) _ q dan 2 = (p ^ r) _ (:p ^ r) _ (p ^ :r)
adalah dua contoh formula yang berada dalam bentuk DNF. Pada 1 kita
memiliki 1 = 1 _ 2 _ 3 dengan 1 = (p ^ :q ^ r), 2 = (:p ^ r), dan
3 =
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
70 / 95
Contoh Formula dalam DNF
Contoh (Formula yang berada dalam DNF dan bukan DNF)
Formula 1 = (p ^ :q ^ r) _ (:p ^ r) _ q dan 2 = (p ^ r) _ (:p ^ r) _ (p ^ :r)
adalah dua contoh formula yang berada dalam bentuk DNF. Pada 1 kita
memiliki 1 = 1 _ 2 _ 3 dengan 1 = (p ^ :q ^ r), 2 = (:p ^ r), dan
3 = q. Masing-masing 1 , 2 , dan 3 adalah konjungsi dari satu atau lebih
literal. Pada 2 kita memiliki 2 =
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
70 / 95
Contoh Formula dalam DNF
Contoh (Formula yang berada dalam DNF dan bukan DNF)
Formula 1 = (p ^ :q ^ r) _ (:p ^ r) _ q dan 2 = (p ^ r) _ (:p ^ r) _ (p ^ :r)
adalah dua contoh formula yang berada dalam bentuk DNF. Pada 1 kita
memiliki 1 = 1 _ 2 _ 3 dengan 1 = (p ^ :q ^ r), 2 = (:p ^ r), dan
3 = q. Masing-masing 1 , 2 , dan 3 adalah konjungsi dari satu atau lebih
literal. Pada 2 kita memiliki 2 = 1 ^ 2 ^ 3 , dengan 1 =
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
70 / 95
Contoh Formula dalam DNF
Contoh (Formula yang berada dalam DNF dan bukan DNF)
Formula 1 = (p ^ :q ^ r) _ (:p ^ r) _ q dan 2 = (p ^ r) _ (:p ^ r) _ (p ^ :r)
adalah dua contoh formula yang berada dalam bentuk DNF. Pada 1 kita
memiliki 1 = 1 _ 2 _ 3 dengan 1 = (p ^ :q ^ r), 2 = (:p ^ r), dan
3 = q. Masing-masing 1 , 2 , dan 3 adalah konjungsi dari satu atau lebih
literal. Pada 2 kita memiliki 2 = 1 ^ 2 ^ 3 , dengan 1 = p ^ r, 2 =
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
70 / 95
Contoh Formula dalam DNF
Contoh (Formula yang berada dalam DNF dan bukan DNF)
Formula 1 = (p ^ :q ^ r) _ (:p ^ r) _ q dan 2 = (p ^ r) _ (:p ^ r) _ (p ^ :r)
adalah dua contoh formula yang berada dalam bentuk DNF. Pada 1 kita
memiliki 1 = 1 _ 2 _ 3 dengan 1 = (p ^ :q ^ r), 2 = (:p ^ r), dan
3 = q. Masing-masing 1 , 2 , dan 3 adalah konjungsi dari satu atau lebih
literal. Pada 2 kita memiliki 2 = 1 ^ 2 ^ 3 , dengan 1 = p ^ r, 2 = :p ^ r,
dan 3 =
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
70 / 95
Contoh Formula dalam DNF
Contoh (Formula yang berada dalam DNF dan bukan DNF)
Formula 1 = (p ^ :q ^ r) _ (:p ^ r) _ q dan 2 = (p ^ r) _ (:p ^ r) _ (p ^ :r)
adalah dua contoh formula yang berada dalam bentuk DNF. Pada 1 kita
memiliki 1 = 1 _ 2 _ 3 dengan 1 = (p ^ :q ^ r), 2 = (:p ^ r), dan
3 = q. Masing-masing 1 , 2 , dan 3 adalah konjungsi dari satu atau lebih
literal. Pada 2 kita memiliki 2 = 1 ^ 2 ^ 3 , dengan 1 = p ^ r, 2 = :p ^ r,
dan 3 = p ^ :r. Masing-masing 1 , 2 , dan 3 adalah konjungsi dari satu atau
lebih literal.
Formula 3 = :p, 4 = p _ q, dan 5 = p ^ q
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
70 / 95
Contoh Formula dalam DNF
Contoh (Formula yang berada dalam DNF dan bukan DNF)
Formula 1 = (p ^ :q ^ r) _ (:p ^ r) _ q dan 2 = (p ^ r) _ (:p ^ r) _ (p ^ :r)
adalah dua contoh formula yang berada dalam bentuk DNF. Pada 1 kita
memiliki 1 = 1 _ 2 _ 3 dengan 1 = (p ^ :q ^ r), 2 = (:p ^ r), dan
3 = q. Masing-masing 1 , 2 , dan 3 adalah konjungsi dari satu atau lebih
literal. Pada 2 kita memiliki 2 = 1 ^ 2 ^ 3 , dengan 1 = p ^ r, 2 = :p ^ r,
dan 3 = p ^ :r. Masing-masing 1 , 2 , dan 3 adalah konjungsi dari satu atau
lebih literal.
Formula 3 = :p, 4 = p _ q, dan 5 = p ^ q adalah tiga contoh formula yang
berada dalam bentuk DNF.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
70 / 95
Contoh Formula dalam DNF
Contoh (Formula yang berada dalam DNF dan bukan DNF)
Formula 1 = (p ^ :q ^ r) _ (:p ^ r) _ q dan 2 = (p ^ r) _ (:p ^ r) _ (p ^ :r)
adalah dua contoh formula yang berada dalam bentuk DNF. Pada 1 kita
memiliki 1 = 1 _ 2 _ 3 dengan 1 = (p ^ :q ^ r), 2 = (:p ^ r), dan
3 = q. Masing-masing 1 , 2 , dan 3 adalah konjungsi dari satu atau lebih
literal. Pada 2 kita memiliki 2 = 1 ^ 2 ^ 3 , dengan 1 = p ^ r, 2 = :p ^ r,
dan 3 = p ^ :r. Masing-masing 1 , 2 , dan 3 adalah konjungsi dari satu atau
lebih literal.
Formula 3 = :p, 4 = p _ q, dan 5 = p ^ q adalah tiga contoh formula yang
berada dalam bentuk DNF. Pada 3 kita memiliki 3 = 1 = 11 = :p.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
70 / 95
Contoh Formula dalam DNF
Contoh (Formula yang berada dalam DNF dan bukan DNF)
Formula 1 = (p ^ :q ^ r) _ (:p ^ r) _ q dan 2 = (p ^ r) _ (:p ^ r) _ (p ^ :r)
adalah dua contoh formula yang berada dalam bentuk DNF. Pada 1 kita
memiliki 1 = 1 _ 2 _ 3 dengan 1 = (p ^ :q ^ r), 2 = (:p ^ r), dan
3 = q. Masing-masing 1 , 2 , dan 3 adalah konjungsi dari satu atau lebih
literal. Pada 2 kita memiliki 2 = 1 ^ 2 ^ 3 , dengan 1 = p ^ r, 2 = :p ^ r,
dan 3 = p ^ :r. Masing-masing 1 , 2 , dan 3 adalah konjungsi dari satu atau
lebih literal.
Formula 3 = :p, 4 = p _ q, dan 5 = p ^ q adalah tiga contoh formula yang
berada dalam bentuk DNF. Pada 3 kita memiliki 3 = 1 = 11 = :p. Formula
4 adalah disjungsi 1 _ 2 dengan 1 = 11 = p dan 2 = 12 = q.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
70 / 95
Contoh Formula dalam DNF
Contoh (Formula yang berada dalam DNF dan bukan DNF)
Formula 1 = (p ^ :q ^ r) _ (:p ^ r) _ q dan 2 = (p ^ r) _ (:p ^ r) _ (p ^ :r)
adalah dua contoh formula yang berada dalam bentuk DNF. Pada 1 kita
memiliki 1 = 1 _ 2 _ 3 dengan 1 = (p ^ :q ^ r), 2 = (:p ^ r), dan
3 = q. Masing-masing 1 , 2 , dan 3 adalah konjungsi dari satu atau lebih
literal. Pada 2 kita memiliki 2 = 1 ^ 2 ^ 3 , dengan 1 = p ^ r, 2 = :p ^ r,
dan 3 = p ^ :r. Masing-masing 1 , 2 , dan 3 adalah konjungsi dari satu atau
lebih literal.
Formula 3 = :p, 4 = p _ q, dan 5 = p ^ q adalah tiga contoh formula yang
berada dalam bentuk DNF. Pada 3 kita memiliki 3 = 1 = 11 = :p. Formula
4 adalah disjungsi 1 _ 2 dengan 1 = 11 = p dan 2 = 12 = q. Kemudian
pada formula 5 kita memiliki 5 = 1 = 11 ^ 12 = p ^ q.
Formula 5 = : (p _ q), 6 = : (p ^ q), 7 = p ^ (q _ r), dan
8 = p _ (q ^ (:r _ s))
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
70 / 95
Contoh Formula dalam DNF
Contoh (Formula yang berada dalam DNF dan bukan DNF)
Formula 1 = (p ^ :q ^ r) _ (:p ^ r) _ q dan 2 = (p ^ r) _ (:p ^ r) _ (p ^ :r)
adalah dua contoh formula yang berada dalam bentuk DNF. Pada 1 kita
memiliki 1 = 1 _ 2 _ 3 dengan 1 = (p ^ :q ^ r), 2 = (:p ^ r), dan
3 = q. Masing-masing 1 , 2 , dan 3 adalah konjungsi dari satu atau lebih
literal. Pada 2 kita memiliki 2 = 1 ^ 2 ^ 3 , dengan 1 = p ^ r, 2 = :p ^ r,
dan 3 = p ^ :r. Masing-masing 1 , 2 , dan 3 adalah konjungsi dari satu atau
lebih literal.
Formula 3 = :p, 4 = p _ q, dan 5 = p ^ q adalah tiga contoh formula yang
berada dalam bentuk DNF. Pada 3 kita memiliki 3 = 1 = 11 = :p. Formula
4 adalah disjungsi 1 _ 2 dengan 1 = 11 = p dan 2 = 12 = q. Kemudian
pada formula 5 kita memiliki 5 = 1 = 11 ^ 12 = p ^ q.
Formula 5 = : (p _ q), 6 = : (p ^ q), 7 = p ^ (q _ r), dan
8 = p _ (q ^ (:r _ s)) adalah empat contoh formula yang tidak berada dalam
bentuk DNF.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
70 / 95
Contoh Formula dalam DNF
Contoh (Formula yang berada dalam DNF dan bukan DNF)
Formula 1 = (p ^ :q ^ r) _ (:p ^ r) _ q dan 2 = (p ^ r) _ (:p ^ r) _ (p ^ :r)
adalah dua contoh formula yang berada dalam bentuk DNF. Pada 1 kita
memiliki 1 = 1 _ 2 _ 3 dengan 1 = (p ^ :q ^ r), 2 = (:p ^ r), dan
3 = q. Masing-masing 1 , 2 , dan 3 adalah konjungsi dari satu atau lebih
literal. Pada 2 kita memiliki 2 = 1 ^ 2 ^ 3 , dengan 1 = p ^ r, 2 = :p ^ r,
dan 3 = p ^ :r. Masing-masing 1 , 2 , dan 3 adalah konjungsi dari satu atau
lebih literal.
Formula 3 = :p, 4 = p _ q, dan 5 = p ^ q adalah tiga contoh formula yang
berada dalam bentuk DNF. Pada 3 kita memiliki 3 = 1 = 11 = :p. Formula
4 adalah disjungsi 1 _ 2 dengan 1 = 11 = p dan 2 = 12 = q. Kemudian
pada formula 5 kita memiliki 5 = 1 = 11 ^ 12 = p ^ q.
Formula 5 = : (p _ q), 6 = : (p ^ q), 7 = p ^ (q _ r), dan
8 = p _ (q ^ (:r _ s)) adalah empat contoh formula yang tidak berada dalam
bentuk DNF. Pada 5 dan 6 , negasi tidak berada di depan proposisi atom,
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
70 / 95
Contoh Formula dalam DNF
Contoh (Formula yang berada dalam DNF dan bukan DNF)
Formula 1 = (p ^ :q ^ r) _ (:p ^ r) _ q dan 2 = (p ^ r) _ (:p ^ r) _ (p ^ :r)
adalah dua contoh formula yang berada dalam bentuk DNF. Pada 1 kita
memiliki 1 = 1 _ 2 _ 3 dengan 1 = (p ^ :q ^ r), 2 = (:p ^ r), dan
3 = q. Masing-masing 1 , 2 , dan 3 adalah konjungsi dari satu atau lebih
literal. Pada 2 kita memiliki 2 = 1 ^ 2 ^ 3 , dengan 1 = p ^ r, 2 = :p ^ r,
dan 3 = p ^ :r. Masing-masing 1 , 2 , dan 3 adalah konjungsi dari satu atau
lebih literal.
Formula 3 = :p, 4 = p _ q, dan 5 = p ^ q adalah tiga contoh formula yang
berada dalam bentuk DNF. Pada 3 kita memiliki 3 = 1 = 11 = :p. Formula
4 adalah disjungsi 1 _ 2 dengan 1 = 11 = p dan 2 = 12 = q. Kemudian
pada formula 5 kita memiliki 5 = 1 = 11 ^ 12 = p ^ q.
Formula 5 = : (p _ q), 6 = : (p ^ q), 7 = p ^ (q _ r), dan
8 = p _ (q ^ (:r _ s)) adalah empat contoh formula yang tidak berada dalam
bentuk DNF. Pada 5 dan 6 , negasi tidak berada di depan proposisi atom,
sedangkan pada pada 7 dan 8 konjungsi tidak dikenakan pada literal (pada 7
subformula q ^ r bukan literal, sedangkan pada 8 subformula :r ^ s bukan
literal).
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
70 / 95
Latihan (Bentuk CNF dan DNF)
Periksa apakah formula-formula berikut termasuk dalam bentuk CNF, DNF, atau
bukan keduanya.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
(p ^ :r) _ (:p ^ q)
p _ (:p ^ q)
(q _ :r) _ (:p ^ q)
(p ^ :p) _ (q ^ :q) _ (r ^ :r)
(p ^ :r) _ : (:p ^ q)
(p ^ :r) _ (p ^ q ^ :r) _ (:p ^ q)
p ^ :r _ (:p ^ q)
p ^ (q _ r)
p _ (q ^ r)
:p
p^q^r
p_q_r
p _ (q ^ (r _ s)) _ t
p ^ (q _ (r ^ s)) ^ t
Latihan (Bentuk CNF dan DNF)
Periksa apakah formula-formula berikut termasuk dalam bentuk CNF, DNF, atau
bukan keduanya.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
(p ^ :r) _ (:p ^ q) DNF, bukan CNF
p _ (:p ^ q) DNF, bukan CNF
(q _ :r) _ (:p ^ q) DNF, bukan CNF
(p ^ :p) _ (q ^ :q) _ (r ^ :r) DNF, bukan CNF
(p ^ :r) _ : (:p ^ q) bukan DNF, bukan CNF
(p ^ :r) _ (p ^ q ^ :r) _ (:p ^ q) DNF, bukan CNF
p ^ :r _ (:p ^ q) DNF, bukan CNF
p ^ (q _ r) CNF, bukan DNF
p _ (q ^ r) DNF, bukan CNF
:p CNF dan DNF
p ^ q ^ r CNF dan DNF
p _ q _ r CNF dan DNF
p _ (q ^ (r _ s)) _ t bukan DNF, bukan CNF
p ^ (q _ (r ^ s)) ^ t bukan DNF, bukan CNF
Hubungan Antara Formula dalam CNF dan DNF
Misalkan
adalah sebuah formula dalam bentuk CNF
=
dengan
i
1
^
2
^
^
n,
=
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
72 / 95
Hubungan Antara Formula dalam CNF dan DNF
Misalkan
adalah sebuah formula dalam bentuk CNF
=
dengan
i
=
i1
_
i2
_
_
:
MZI (FIF Tel-U)
1
im ,
^
2
^
^
n,
untuk suatu m. Maka
:(
1
^
2
^
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
n)
September 2015
72 / 95
Hubungan Antara Formula dalam CNF dan DNF
Misalkan
adalah sebuah formula dalam bentuk CNF
=
dengan
i
=
i1
_
i2
_
_
:
dan :
1
im ,
^
^
^
n,
untuk suatu m. Maka
:(
:
2
1
^
1_:
2
2_
^
n)
_:
n
i
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
72 / 95
Hubungan Antara Formula dalam CNF dan DNF
Misalkan
adalah sebuah formula dalam bentuk CNF
=
dengan
i
=
i1
_
i2
_
_
im ,
:
dan :
i
:
im
MZI (FIF Tel-U)
^:
i2
^
1
^
^
^
n,
untuk suatu m. Maka
:(
:
^:
2
1
^
1_:
im ,
2
2_
^
n)
_:
n
untuk suatu m.
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
72 / 95
Hubungan Antara Formula dalam CNF dan DNF
Misalkan
adalah sebuah formula dalam bentuk CNF
=
dengan
i
=
i1
_
i2
_
_
im ,
:
dan : i : im ^ :
berada dalam DNF.
i2
^
1
^
^
^
n,
untuk suatu m. Maka
:(
:
^:
2
1
^
1_:
im ,
2
2_
^
n)
_:
n
untuk suatu m. Perhatikan bahwa :
Contoh
Misalkan
= (p _ q) ^ (:p _ r),
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
72 / 95
Hubungan Antara Formula dalam CNF dan DNF
Misalkan
adalah sebuah formula dalam bentuk CNF
=
dengan
i
=
i1
_
i2
_
_
im ,
:
dan : i : im ^ :
berada dalam DNF.
i2
^
1
^
^
^
n,
untuk suatu m. Maka
:(
:
^:
2
1
^
1_:
im ,
2
2_
^
n)
_:
n
untuk suatu m. Perhatikan bahwa :
Contoh
Misalkan
= (p _ q) ^ (:p _ r), jelas bahwa
:
MZI (FIF Tel-U)
dalam CNF. Kita memiliki
: ((p _ q) ^ (:p _ r))
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
72 / 95
Hubungan Antara Formula dalam CNF dan DNF
Misalkan
adalah sebuah formula dalam bentuk CNF
=
dengan
i
=
i1
_
i2
_
_
im ,
:
dan : i : im ^ :
berada dalam DNF.
i2
^
1
^
^
^
n,
untuk suatu m. Maka
:(
:
^:
2
1
^
1_:
im ,
2
2_
^
n)
_:
n
untuk suatu m. Perhatikan bahwa :
Contoh
Misalkan
= (p _ q) ^ (:p _ r), jelas bahwa
:
dalam CNF. Kita memiliki
: ((p _ q) ^ (:p _ r))
: (p _ q) _ : (:p _ r)
(:p ^ :q) _ (p ^ :r) .
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
72 / 95
Hubungan Antara Formula dalam CNF dan DNF
Misalkan
adalah sebuah formula dalam bentuk CNF
=
dengan
i
=
i1
_
i2
_
_
im ,
:
dan : i : im ^ :
berada dalam DNF.
i2
^
1
^
^
^
n,
untuk suatu m. Maka
:(
:
^:
2
1
^
1_:
im ,
2
2_
^
n)
_:
n
untuk suatu m. Perhatikan bahwa :
Contoh
Misalkan
= (p _ q) ^ (:p _ r), jelas bahwa
:
dalam CNF. Kita memiliki
: ((p _ q) ^ (:p _ r))
: (p _ q) _ : (:p _ r)
(:p ^ :q) _ (p ^ :r) .
Jelas bahwa : dalam DNF.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
72 / 95
Kita memiliki teorema berikut
Teorema
Misalkan adalah suatu formula logika proposisi, maka ekuivalen dengan
formula 1 dan 2 , dengan 1 adalah formula dalam CNF dan 2 adalah formula
dalam DNF.
Bukti
Lihat buku teks.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
73 / 95
Contoh
Misalkan
adalah formula p ^ q ! r. Kita mengetahui bahwa
p^q !r
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
74 / 95
Contoh
Misalkan
adalah formula p ^ q ! r. Kita mengetahui bahwa
p^q !r
: (p ^ q) _ r
:p _ :q _ r
Bentuk :p _ :q _ r ekuivalen dengan bentuk awal dan merupakan formula
dalam CNF dan DNF.
Misalkan adalah formula p ^ (q _ r). Jelas bahwa berada dalam CNF. Kita
mengetahui bahwa
p ^ (q _ r)
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
74 / 95
Contoh
Misalkan
adalah formula p ^ q ! r. Kita mengetahui bahwa
p^q !r
: (p ^ q) _ r
:p _ :q _ r
Bentuk :p _ :q _ r ekuivalen dengan bentuk awal dan merupakan formula
dalam CNF dan DNF.
Misalkan adalah formula p ^ (q _ r). Jelas bahwa berada dalam CNF. Kita
mengetahui bahwa
p ^ (q _ r) (p ^ q) _ (p ^ r) .
Bentuk (p ^ q) _ (p ^ r) ekuivalen dengan bentuk awal dan merupakan formula
dalam DNF.
Misalkan adalah formula (p ^ q) _ (r ^ s). Jelas bahwa berada dalam DNF.
Kita mengetahui bahwa
(p ^ q) _ (r ^ s)
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
74 / 95
Contoh
Misalkan
adalah formula p ^ q ! r. Kita mengetahui bahwa
p^q !r
: (p ^ q) _ r
:p _ :q _ r
Bentuk :p _ :q _ r ekuivalen dengan bentuk awal dan merupakan formula
dalam CNF dan DNF.
Misalkan adalah formula p ^ (q _ r). Jelas bahwa berada dalam CNF. Kita
mengetahui bahwa
p ^ (q _ r) (p ^ q) _ (p ^ r) .
Bentuk (p ^ q) _ (p ^ r) ekuivalen dengan bentuk awal dan merupakan formula
dalam DNF.
Misalkan adalah formula (p ^ q) _ (r ^ s). Jelas bahwa berada dalam DNF.
Kita mengetahui bahwa
(p ^ q) _ (r ^ s)
MZI (FIF Tel-U)
(p _ (r ^ s)) ^ (q _ (r ^ s))
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
74 / 95
Contoh
Misalkan
adalah formula p ^ q ! r. Kita mengetahui bahwa
p^q !r
: (p ^ q) _ r
:p _ :q _ r
Bentuk :p _ :q _ r ekuivalen dengan bentuk awal dan merupakan formula
dalam CNF dan DNF.
Misalkan adalah formula p ^ (q _ r). Jelas bahwa berada dalam CNF. Kita
mengetahui bahwa
p ^ (q _ r) (p ^ q) _ (p ^ r) .
Bentuk (p ^ q) _ (p ^ r) ekuivalen dengan bentuk awal dan merupakan formula
dalam DNF.
Misalkan adalah formula (p ^ q) _ (r ^ s). Jelas bahwa berada dalam DNF.
Kita mengetahui bahwa
(p ^ q) _ (r ^ s)
(p _ (r ^ s)) ^ (q _ (r ^ s))
(p _ r) ^ (p _ s) ^ (q _ r) ^ (q _ s)
Bentuk (p _ r) ^ (p _ s) ^ (q _ r) ^ (q _ s) ekuivalen dengan bentuk awal
merupakan formula dalam CNF.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
dan
74 / 95
Keterpenuhan untuk Formula dalam CNF dan DNF
Teorema
Misalkan adalah formula dalam CNF dengan = 1 ^ 2 ^
^
klausa disjungtif untuk 1 i n. Formula terpenuhi jikka klausa
semua 1 i n juga terpenuhi.
n,
i
i adalah
untuk
Teorema
Misalkan adalah formula dalam DNF dengan = 1 _ 2 _
_ n , i adalah
term konjungtif untuk 1 i n. Formula terpenuhi jikka terdapat suatu term
i n sehingga term i juga terpenuhi.
i untuk suatu 1
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
75 / 95
Konversi ke CNF dan DNF
Untuk mengkonversi suatu formula ke dalam bentuk CNF atau DNF, kita dapat
melakukan hal-hal berikut:
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
76 / 95
Konversi ke CNF dan DNF
Untuk mengkonversi suatu formula ke dalam bentuk CNF atau DNF, kita dapat
melakukan hal-hal berikut:
1
Ubah formula dengan operator selain :, ^, dan _ ke dalam formula yang
hanya boleh memakai tiga operator tersebut. Sebagai contoh, bila formula
yang ditinjau memakai operator , !, dan $ kita dapat memanfaatkan
ekuivalensi berikut:
( ^ : ) _ (: _ ), !
: _ , dan
$
(: _ ) ^ ( _ : ).
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
76 / 95
Konversi ke CNF dan DNF
Untuk mengkonversi suatu formula ke dalam bentuk CNF atau DNF, kita dapat
melakukan hal-hal berikut:
1
2
Ubah formula dengan operator selain :, ^, dan _ ke dalam formula yang
hanya boleh memakai tiga operator tersebut. Sebagai contoh, bila formula
yang ditinjau memakai operator , !, dan $ kita dapat memanfaatkan
ekuivalensi berikut:
( ^ : ) _ (: _ ), !
: _ , dan
$
(: _ ) ^ ( _ : ).
Jika menemukan subformula dengan bentuk : ( ^ ), maka subformula
tersebut diubah ke dalam bentuk : _ : . Kemudian jika menemukan
subformula dengan bentuk : ( _ ), maka subformula tersebut diubah ke
dalam bentuk : ^ : .
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
76 / 95
Konversi ke CNF dan DNF
Untuk mengkonversi suatu formula ke dalam bentuk CNF atau DNF, kita dapat
melakukan hal-hal berikut:
1
2
3
Ubah formula dengan operator selain :, ^, dan _ ke dalam formula yang
hanya boleh memakai tiga operator tersebut. Sebagai contoh, bila formula
yang ditinjau memakai operator , !, dan $ kita dapat memanfaatkan
ekuivalensi berikut:
( ^ : ) _ (: _ ), !
: _ , dan
$
(: _ ) ^ ( _ : ).
Jika menemukan subformula dengan bentuk : ( ^ ), maka subformula
tersebut diubah ke dalam bentuk : _ : . Kemudian jika menemukan
subformula dengan bentuk : ( _ ), maka subformula tersebut diubah ke
dalam bentuk : ^ : .
Jika menemukan subformula dengan bentuk :: , maka subformula tersebut
diubah ke dalam bentuk .
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
76 / 95
Konversi ke CNF dan DNF
Untuk mengkonversi suatu formula ke dalam bentuk CNF atau DNF, kita dapat
melakukan hal-hal berikut:
1
2
3
4
Ubah formula dengan operator selain :, ^, dan _ ke dalam formula yang
hanya boleh memakai tiga operator tersebut. Sebagai contoh, bila formula
yang ditinjau memakai operator , !, dan $ kita dapat memanfaatkan
ekuivalensi berikut:
( ^ : ) _ (: _ ), !
: _ , dan
$
(: _ ) ^ ( _ : ).
Jika menemukan subformula dengan bentuk : ( ^ ), maka subformula
tersebut diubah ke dalam bentuk : _ : . Kemudian jika menemukan
subformula dengan bentuk : ( _ ), maka subformula tersebut diubah ke
dalam bentuk : ^ : .
Jika menemukan subformula dengan bentuk :: , maka subformula tersebut
diubah ke dalam bentuk .
Gunakan sifat distributif secara tepat dan sesuai.Kita memiliki
^ ( _ ) ( ^ ) _ ( ^ ) dan _ ( ^ ) ( _ ) ^ ( _ ).
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
76 / 95
Misalkan kita memiliki formula := (p ^ (q ! r)) ! :s. Transformasi
dapat dilakukan sebagai berikut:
=
ke CNF
(p ^ (q ! r)) ! :s
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
77 / 95
Misalkan kita memiliki formula := (p ^ (q ! r)) ! :s. Transformasi
dapat dilakukan sebagai berikut:
=
(p ^ (q ! r)) ! :s
: (p ^ (q ! r)) _ :s
: (p ^ (:q _ r)) _ :s
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
ke CNF
(ekuivalensi implikasi)
(ekuivalensi implikasi)
September 2015
77 / 95
Misalkan kita memiliki formula := (p ^ (q ! r)) ! :s. Transformasi
dapat dilakukan sebagai berikut:
=
(p ^ (q ! r)) ! :s
: (p ^ (q ! r)) _ :s
: (p ^ (:q _ r)) _ :s
(:p _ : (:q _ r)) _ :s
(:p _ (::q ^ r)) _ :s
(:p _ (q ^ r)) _ :s
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
ke CNF
(ekuivalensi implikasi)
(ekuivalensi implikasi)
(De Morgan)
(De Morgan)
(negasi ganda)
September 2015
77 / 95
Misalkan kita memiliki formula := (p ^ (q ! r)) ! :s. Transformasi
dapat dilakukan sebagai berikut:
=
(p ^ (q ! r)) ! :s
: (p ^ (q ! r)) _ :s
: (p ^ (:q _ r)) _ :s
(:p _ : (:q _ r)) _ :s
(:p _ (::q ^ r)) _ :s
(:p _ (q ^ r)) _ :s
((:p _ q) ^ (:p _ r)) _ :s
:s _ ((:p _ q) ^ (:p _ r))
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
ke CNF
(ekuivalensi implikasi)
(ekuivalensi implikasi)
(De Morgan)
(De Morgan)
(negasi ganda)
(distributif)
(komutatif)
September 2015
77 / 95
Misalkan kita memiliki formula := (p ^ (q ! r)) ! :s. Transformasi
dapat dilakukan sebagai berikut:
=
(p ^ (q ! r)) ! :s
: (p ^ (q ! r)) _ :s
: (p ^ (:q _ r)) _ :s
(:p _ : (:q _ r)) _ :s
(:p _ (::q ^ r)) _ :s
(:p _ (q ^ r)) _ :s
((:p _ q) ^ (:p _ r)) _ :s
:s _ ((:p _ q) ^ (:p _ r))
(:s _ (:p _ q)) ^ (:s _ (:p _ r))
((:p _ q) _ :s) ^ ((:p _ r) _ :s)
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
ke CNF
(ekuivalensi implikasi)
(ekuivalensi implikasi)
(De Morgan)
(De Morgan)
(negasi ganda)
(distributif)
(komutatif)
(distributif)
(komutatif)
September 2015
77 / 95
Misalkan kita memiliki formula := (p ^ (q ! r)) ! :s. Transformasi
dapat dilakukan sebagai berikut:
=
(p ^ (q ! r)) ! :s
: (p ^ (q ! r)) _ :s
: (p ^ (:q _ r)) _ :s
(:p _ : (:q _ r)) _ :s
(:p _ (::q ^ r)) _ :s
(:p _ (q ^ r)) _ :s
((:p _ q) ^ (:p _ r)) _ :s
:s _ ((:p _ q) ^ (:p _ r))
(:s _ (:p _ q)) ^ (:s _ (:p _ r))
((:p _ q) _ :s) ^ ((:p _ r) _ :s)
(:p _ q _ :s) ^ (:p _ r _ :s)
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
ke CNF
(ekuivalensi implikasi)
(ekuivalensi implikasi)
(De Morgan)
(De Morgan)
(negasi ganda)
(distributif)
(komutatif)
(distributif)
(komutatif)
(asosiatif)
September 2015
77 / 95
Misalkan kita memiliki formula := (p ^ (q ! r)) ! :s. Transformasi
dapat dilakukan sebagai berikut:
=
MZI (FIF Tel-U)
ke DNF
(p ^ (q ! r)) ! :s
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
78 / 95
Misalkan kita memiliki formula := (p ^ (q ! r)) ! :s. Transformasi
dapat dilakukan sebagai berikut:
=
MZI (FIF Tel-U)
(p ^ (q ! r)) ! :s
: (p ^ (q ! r)) _ :s
: (p ^ (:q _ r)) _ :s
(:p _ : (:q _ r)) _ :s
ke DNF
(ekuivalensi implikasi)
(ekuivalensi implikasi)
(ekuivalensi implikasi)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
78 / 95
Misalkan kita memiliki formula := (p ^ (q ! r)) ! :s. Transformasi
dapat dilakukan sebagai berikut:
=
MZI (FIF Tel-U)
(p ^ (q ! r)) ! :s
: (p ^ (q ! r)) _ :s
: (p ^ (:q _ r)) _ :s
(:p _ : (:q _ r)) _ :s
(:p _ (::q ^ r)) _ :s
(:p _ (q ^ r)) _ :s
ke DNF
(ekuivalensi implikasi)
(ekuivalensi implikasi)
(ekuivalensi implikasi)
(De Morgan)
(negasi ganda)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
78 / 95
Misalkan kita memiliki formula := (p ^ (q ! r)) ! :s. Transformasi
dapat dilakukan sebagai berikut:
=
MZI (FIF Tel-U)
(p ^ (q ! r)) ! :s
: (p ^ (q ! r)) _ :s
: (p ^ (:q _ r)) _ :s
(:p _ : (:q _ r)) _ :s
(:p _ (::q ^ r)) _ :s
(:p _ (q ^ r)) _ :s
:p _ (q ^ r) _ :s
ke DNF
(ekuivalensi implikasi)
(ekuivalensi implikasi)
(ekuivalensi implikasi)
(De Morgan)
(negasi ganda)
(asosiatif)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
78 / 95
Latihan: Konversi ke CNF dan DNF
Latihan
Berikan formula yang ekuivalen dalam bentuk CNF dan DNF
1
2
3
4
5
p ! (q ^ r)
(p _ q) ! r
(p ! q) ! r
p ! (q ! r)
p$q
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
79 / 95
Konstruksi Formula Dalam CNF dari Tabel Kebenaran
Misalkan adalah sebuah proposisi yang memuat dua proposisi atom, yaitu p dan
q. Jika diketahui memiliki tabel kebenaran berikut:
p
T
T
F
F
maka kita dapat menentukan
MZI (FIF Tel-U)
q
T
F
T
F
F
F
F
T
dalam bentuk CNF dengan cara-cara berikut:
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
80 / 95
Konstruksi Formula Dalam CNF dari Tabel Kebenaran
Misalkan adalah sebuah proposisi yang memuat dua proposisi atom, yaitu p dan
q. Jika diketahui memiliki tabel kebenaran berikut:
p
T
T
F
F
q
T
F
T
F
F
F
F
T
maka kita dapat menentukan dalam bentuk CNF dengan cara-cara berikut:
1
Tandai baris pada tabel kebenaran yang memberikan entri F. Jika ada n baris
yang memberikan entri F, formula adalah = 1 ^ 2 ^
^ n . Perhatikan
bahwa I ( ) = F bila salah satu dari i untuk 1 i n memberikan
I ( i ) = F.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
80 / 95
Konstruksi Formula Dalam CNF dari Tabel Kebenaran
Misalkan adalah sebuah proposisi yang memuat dua proposisi atom, yaitu p dan
q. Jika diketahui memiliki tabel kebenaran berikut:
p
T
T
F
F
q
T
F
T
F
F
F
F
T
maka kita dapat menentukan dalam bentuk CNF dengan cara-cara berikut:
1
Tandai baris pada tabel kebenaran yang memberikan entri F. Jika ada n baris
yang memberikan entri F, formula adalah = 1 ^ 2 ^
^ n . Perhatikan
bahwa I ( ) = F bila salah satu dari i untuk 1 i n memberikan
I ( i ) = F.
2
Untuk setiap baris ke-i, formula i = i1 _ i2 _
_ im , dengan m adalah
banyaknya proposisi atom berbeda pada formula yang ditinjau. Jika
I ( i ) = F, maka I ( i ) = F untuk setiap 1 i m. Misalkan pi (untuk
suatu 1 i m) adalah proposisi atom yang terdapat pada formula , maka
pi , jika I (pi ) = F
kita memiliki im =
.
:pi , jika I (pi ) = T
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
80 / 95
Sebagai contoh bila tabel kebenaran untuk
p
T
T
F
F
maka
q
T
F
T
F
adalah
F
F
F
T
=
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
81 / 95
Sebagai contoh bila tabel kebenaran untuk
p
T
T
F
F
maka
1
=
1
^
2
^
3.
q
T
F
T
F
adalah
F
F
F
T
Kita memiliki
=
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
81 / 95
Sebagai contoh bila tabel kebenaran untuk
p
T
T
F
F
maka
1
2
=
=
=
11
_
1
^
12
2
^
3.
q
T
F
T
F
adalah
F
F
F
T
Kita memiliki
= :p _ :q
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
81 / 95
Sebagai contoh bila tabel kebenaran untuk
p
T
T
F
F
maka
1
2
3
=
=
=
=
11
21
_
_
1
^
12
22
2
^
3.
q
T
F
T
F
adalah
F
F
F
T
Kita memiliki
= :p _ :q
= :p _ q
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
81 / 95
Sebagai contoh bila tabel kebenaran untuk
p
T
T
F
F
maka
1
2
3
=
=
=
=
_
_
31 _
1
^
11
12
21
22
Akibatnya
32
2
^
3.
q
T
F
T
F
adalah
F
F
F
T
Kita memiliki
= :p _ :q
= :p _ q
= p _ :q
=
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
81 / 95
Sebagai contoh bila tabel kebenaran untuk
p
T
T
F
F
maka
1
2
3
=
=
=
=
_
_
31 _
1
^
11
12
21
22
Akibatnya
32
2
^
3.
q
T
F
T
F
adalah
F
F
F
T
Kita memiliki
= :p _ :q
= :p _ q
= p _ :q
= (:p _ :q) ^ (:p _ q) ^ (p _ :q).
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
81 / 95
Latihan (Mengkonstruksi Formula dari Tabel Kebenaran)
Misalakan adalah fomula logika proposisi yang hanya memuat proposisi atom p,
q, dan r saja. Bila diketahui tabel kebenaran untuk adalah
p
T
T
T
T
F
F
F
F
Tentukan formula
q
T
T
F
F
T
T
F
F
r
T
F
T
F
T
F
T
F
T
F
T
T
F
F
F
T
dalam CNF.
Solusi:
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
82 / 95
Latihan (Mengkonstruksi Formula dari Tabel Kebenaran)
Misalakan adalah fomula logika proposisi yang hanya memuat proposisi atom p,
q, dan r saja. Bila diketahui tabel kebenaran untuk adalah
p
T
T
T
T
F
F
F
F
Tentukan formula
q
T
T
F
F
T
T
F
F
r
T
F
T
F
T
F
T
F
T
F
T
T
F
F
F
T
dalam CNF.
Solusi: karena terdapat 4 baris sehingga I ( ) = F, maka
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
=
September 2015
82 / 95
Latihan (Mengkonstruksi Formula dari Tabel Kebenaran)
Misalakan adalah fomula logika proposisi yang hanya memuat proposisi atom p,
q, dan r saja. Bila diketahui tabel kebenaran untuk adalah
p
T
T
T
T
F
F
F
F
Tentukan formula
q
T
T
F
F
T
T
F
F
r
T
F
T
F
T
F
T
F
T
F
T
T
F
F
F
T
dalam CNF.
Solusi: karena terdapat 4 baris sehingga I ( ) = F, maka
Dari baris ke-2 kita memiliki 1 =
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
=
1
^
2
^
3
^
September 2015
4.
82 / 95
Latihan (Mengkonstruksi Formula dari Tabel Kebenaran)
Misalakan adalah fomula logika proposisi yang hanya memuat proposisi atom p,
q, dan r saja. Bila diketahui tabel kebenaran untuk adalah
p
T
T
T
T
F
F
F
F
Tentukan formula
q
T
T
F
F
T
T
F
F
r
T
F
T
F
T
F
T
F
T
F
T
T
F
F
F
T
dalam CNF.
Solusi: karena terdapat 4 baris sehingga I ( ) = F, maka = 1 ^ 2 ^ 3 ^
Dari baris ke-2 kita memiliki 1 = :p _ :q _ r, dari baris ke-5 kita memiliki
2 =
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
4.
82 / 95
Latihan (Mengkonstruksi Formula dari Tabel Kebenaran)
Misalakan adalah fomula logika proposisi yang hanya memuat proposisi atom p,
q, dan r saja. Bila diketahui tabel kebenaran untuk adalah
p
T
T
T
T
F
F
F
F
Tentukan formula
q
T
T
F
F
T
T
F
F
r
T
F
T
F
T
F
T
F
T
F
T
T
F
F
F
T
dalam CNF.
Solusi: karena terdapat 4 baris sehingga I ( ) = F, maka = 1 ^ 2 ^ 3 ^
Dari baris ke-2 kita memiliki 1 = :p _ :q _ r, dari baris ke-5 kita memiliki
2 = p _ :q _ :r, dari baris ke-6 kita memiliki 3 =
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
4.
82 / 95
Latihan (Mengkonstruksi Formula dari Tabel Kebenaran)
Misalakan adalah fomula logika proposisi yang hanya memuat proposisi atom p,
q, dan r saja. Bila diketahui tabel kebenaran untuk adalah
p
T
T
T
T
F
F
F
F
Tentukan formula
q
T
T
F
F
T
T
F
F
r
T
F
T
F
T
F
T
F
T
F
T
T
F
F
F
T
dalam CNF.
Solusi: karena terdapat 4 baris sehingga I ( ) = F, maka = 1 ^ 2 ^ 3 ^ 4 .
Dari baris ke-2 kita memiliki 1 = :p _ :q _ r, dari baris ke-5 kita memiliki
2 = p _ :q _ :r, dari baris ke-6 kita memiliki 3 = p _ :q _ r, dan dari baris
ke-7 kita memiliki 4 =
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
82 / 95
Latihan (Mengkonstruksi Formula dari Tabel Kebenaran)
Misalakan adalah fomula logika proposisi yang hanya memuat proposisi atom p,
q, dan r saja. Bila diketahui tabel kebenaran untuk adalah
p
T
T
T
T
F
F
F
F
Tentukan formula
q
T
T
F
F
T
T
F
F
r
T
F
T
F
T
F
T
F
T
F
T
T
F
F
F
T
dalam CNF.
Solusi: karena terdapat 4 baris sehingga I ( ) = F, maka = 1 ^ 2 ^ 3 ^ 4 .
Dari baris ke-2 kita memiliki 1 = :p _ :q _ r, dari baris ke-5 kita memiliki
2 = p _ :q _ :r, dari baris ke-6 kita memiliki 3 = p _ :q _ r, dan dari baris
ke-7 kita memiliki 4 = p _ q _ :r. Akibatnya
=
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
82 / 95
Latihan (Mengkonstruksi Formula dari Tabel Kebenaran)
Misalakan adalah fomula logika proposisi yang hanya memuat proposisi atom p,
q, dan r saja. Bila diketahui tabel kebenaran untuk adalah
p
T
T
T
T
F
F
F
F
Tentukan formula
q
T
T
F
F
T
T
F
F
r
T
F
T
F
T
F
T
F
T
F
T
T
F
F
F
T
dalam CNF.
Solusi: karena terdapat 4 baris sehingga I ( ) = F, maka = 1 ^ 2 ^ 3 ^ 4 .
Dari baris ke-2 kita memiliki 1 = :p _ :q _ r, dari baris ke-5 kita memiliki
2 = p _ :q _ :r, dari baris ke-6 kita memiliki 3 = p _ :q _ r, dan dari baris
ke-7 kita memiliki 4 = p _ q _ :r. Akibatnya
= (:p _ :q _ r) ^ (p _ :q _ :r) ^ (p _ :q _ r) ^ (p _ q _ :r) .
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
82 / 95
Algoritma Konversi Ke CNF
Misalkan adalah formula logika proposisi yang hanya memuat operator :, ^, _,
dan ! saja, maka kita dapat mengkonversi ke dalam bentuk NNF dengan
memanfaatkan ekuivalensi berikut
::
:( ^ )
:( _ )
!
: _:
: ^:
: _
Untuk mempermudah, masukan (input) dari algoritma akan dikonversi terlebih
dulu sehingga hanya memakai operator :, ^, dan _ saja. Hal ini dapat dilakukan
dengan membuat fungsi IMPL FREE yang mentransformasi semua bentuk
formula dengan dengan operator :; ^, _, dan ! sehingga tidak memuat operator
!. Masukan dari fungsi IMPL FREE adalah formula dalam bentuk FPE yang
dapat memuat operator :, ^, _, dan !.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
83 / 95
Fungsi IMPL-FREE
Masukan: yang berada dalam bentuk FPE dan hanya memuat operator :, ^,
_, dan ! saja.
Keluaran: IMPL FREE ( ) yang berupa formula yang ekuivalen dengan dan
tidak memuat operator !.
function IMPL FREE ( )
1 begin function
2
case
3
is a literal : return
4
is : : return :IMPL FREE ( )
5
is 1 ^ 2 : return IMPL FREE ( 1 ) ^ IMPL FREE ( 2 )
6
is 1 _ 2 : return IMPL FREE ( 1 ) _ IMPL FREE ( 2 )
7
is 1 ! 2 : return :IMPL FREE ( 1 ) _ IMPL FREE ( 2 )
8
end case
9 end function
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
84 / 95
Berikut adalah fungsi CNF ( ) yang mentransformasikan formula logika proposisi
menjadi formula CNF ( ) yang ekuivalen dengan dan berada dalam CNF.
Masukan (input) algoritma adalah formula yang hanya memuat operator :, _,
atau ^ saja, serta berada dalam NNF. Ini berarti operator negasi pada hanya
boleh berada di depan proposisi atom saja.
Fungsi CNF
Masukan: yang berada dalam bentuk FPE, hanya memuat operator :, ^, dan
_ saja, serta berada dalam NNF.
Keluaran: CNF ( ) yang berupa formula yang ekuivalen dengan dan berada
dalam CNF.
function CNF ( )
1 begin function
2
case
3
is a literal : return
4
is 1 ^ 2 : return CNF ( ) ^ CNF ( 2 )
5
is 1 _ 2 : return DISTR (CNF ( 1 ) ; CNF ( 2 ))
6
end case
7 end function
Subrutin DISTR (CNF ( 1 ) ; CNF ( 2 )) berfungsi untuk mengkonversi bentuk
disjungsi CNF( 1 ) _ CNF ( 2 ) menjadi bentuk CNF.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
85 / 95
Formula yang berupa disjungsi dari bentuk-bentuk CNF dapat diubah menjadi
CNF dengan fungsi DISTR (CNF ( 1 ) ; CNF ( 2 )).
Fungsi DISTR
Masukan: yang berada dalam bentuk FPE dan CNF.
Keluaran: DISTR (CNF ( 1 ) ; CNF ( 2 )) yang berupa formula yang ekuivalen
dengan CNF ( 1 ) _ CNF ( 2 ) dan berada dalam CNF.
function DISTR (CNF ( 1 ) ; CNF ( 2 ))
1 begin function
2
case
3
1 is 11 ^ 12 : return DISTR ( 11 ; 2 ) ^ DISTR ( 12 ; 2 )
4
2 is 21 ^ 22 : return DISTR ( 1 ; 21 ) ^ DISTR ( 1 ; 22 )
5
otherwise (i.e. no conjunction within disjunction): return 1 _
6
end case
7 end function
2
Sebagai contoh, kita memiliki
CNF (p _ (q ^ r))
MZI (FIF Tel-U)
=
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
86 / 95
Formula yang berupa disjungsi dari bentuk-bentuk CNF dapat diubah menjadi
CNF dengan fungsi DISTR (CNF ( 1 ) ; CNF ( 2 )).
Fungsi DISTR
Masukan: yang berada dalam bentuk FPE dan CNF.
Keluaran: DISTR (CNF ( 1 ) ; CNF ( 2 )) yang berupa formula yang ekuivalen
dengan CNF ( 1 ) _ CNF ( 2 ) dan berada dalam CNF.
function DISTR (CNF ( 1 ) ; CNF ( 2 ))
1 begin function
2
case
3
1 is 11 ^ 12 : return DISTR ( 11 ; 2 ) ^ DISTR ( 12 ; 2 )
4
2 is 21 ^ 22 : return DISTR ( 1 ; 21 ) ^ DISTR ( 1 ; 22 )
5
otherwise (i.e. no conjunction within disjunction): return 1 _
6
end case
7 end function
2
Sebagai contoh, kita memiliki
CNF (p _ (q ^ r))
MZI (FIF Tel-U)
= DISTR (p; q ^ r)
=
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
86 / 95
Formula yang berupa disjungsi dari bentuk-bentuk CNF dapat diubah menjadi
CNF dengan fungsi DISTR (CNF ( 1 ) ; CNF ( 2 )).
Fungsi DISTR
Masukan: yang berada dalam bentuk FPE dan CNF.
Keluaran: DISTR (CNF ( 1 ) ; CNF ( 2 )) yang berupa formula yang ekuivalen
dengan CNF ( 1 ) _ CNF ( 2 ) dan berada dalam CNF.
function DISTR (CNF ( 1 ) ; CNF ( 2 ))
1 begin function
2
case
3
1 is 11 ^ 12 : return DISTR ( 11 ; 2 ) ^ DISTR ( 12 ; 2 )
4
2 is 21 ^ 22 : return DISTR ( 1 ; 21 ) ^ DISTR ( 1 ; 22 )
5
otherwise (i.e. no conjunction within disjunction): return 1 _
6
end case
7 end function
2
Sebagai contoh, kita memiliki
CNF (p _ (q ^ r))
= DISTR (p; q ^ r)
= DISTR (p; q) ^ DISTR (p; r)
=
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
86 / 95
Formula yang berupa disjungsi dari bentuk-bentuk CNF dapat diubah menjadi
CNF dengan fungsi DISTR (CNF ( 1 ) ; CNF ( 2 )).
Fungsi DISTR
Masukan: yang berada dalam bentuk FPE dan CNF.
Keluaran: DISTR (CNF ( 1 ) ; CNF ( 2 )) yang berupa formula yang ekuivalen
dengan CNF ( 1 ) _ CNF ( 2 ) dan berada dalam CNF.
function DISTR (CNF ( 1 ) ; CNF ( 2 ))
1 begin function
2
case
3
1 is 11 ^ 12 : return DISTR ( 11 ; 2 ) ^ DISTR ( 12 ; 2 )
4
2 is 21 ^ 22 : return DISTR ( 1 ; 21 ) ^ DISTR ( 1 ; 22 )
5
otherwise (i.e. no conjunction within disjunction): return 1 _
6
end case
7 end function
2
Sebagai contoh, kita memiliki
CNF (p _ (q ^ r))
= DISTR (p; q ^ r)
= DISTR (p; q) ^ DISTR (p; r)
=
MZI (FIF Tel-U)
(p _ q) ^ (p _ r) :
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
86 / 95
Transformasi Formula Ke CNF
Diberikan suatu formula logika proposisi , kita dapat mentransformasikan
formula yang ekuivalen dan berada dalam CNF dengan langkah-langkah berikut:
1
Konversi
saja.
sehingga hanya boleh memuat operator logika :, ^, _, dan !
2
Konversi ke formula yang tidak memuat operator ! dengan fungsi
IMPL FREE ( ).
3
Konversi IMPL
4
Konversi NNF (IMPL FREE ( )) ke CNF dengan fungsi
CNF (NNF (IMPL FREE ( ))).
MZI (FIF Tel-U)
FREE ( ) ke NNF dengan fungsi NNF (IMPL
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
FREE ( )).
September 2015
87 / 95
Contoh
Misalkan kita akan menentukan CNF dari :p ^ q ! p ^ (r ! q). Pertama akan
ditentukan IMPL FREE ( ) terlebih dulu
=
=
IMPL
IMPL
FREE ( )
FREE (:p ^ q ! p ^ (r ! q))
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
88 / 95
Contoh
Misalkan kita akan menentukan CNF dari :p ^ q ! p ^ (r ! q). Pertama akan
ditentukan IMPL FREE ( ) terlebih dulu
=
=
IMPL
IMPL
:IMPL
FREE ( )
FREE (:p ^ q ! p ^ (r ! q))
FREE (:p ^ q) _ IMPL
FREE (p ^ (r ! q))
=
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
88 / 95
Contoh
Misalkan kita akan menentukan CNF dari :p ^ q ! p ^ (r ! q). Pertama akan
ditentukan IMPL FREE ( ) terlebih dulu
=
IMPL
IMPL
=
:IMPL
=
: (IMPL
FREE ( )
FREE (:p ^ q ! p ^ (r ! q))
FREE (:p ^ q) _ IMPL
FREE (:p) ^ IMPL
FREE (p ^ (r ! q))
IMPL FREE (p)
FREE (q)) _
^IMPL FREE (r ! q)
=
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
88 / 95
Contoh
Misalkan kita akan menentukan CNF dari :p ^ q ! p ^ (r ! q). Pertama akan
ditentukan IMPL FREE ( ) terlebih dulu
=
IMPL
IMPL
=
:IMPL
=
: (IMPL
=
:
=
FREE ( )
FREE (:p ^ q ! p ^ (r ! q))
FREE (:p ^ q) _ IMPL
FREE (:p) ^ IMPL
:IMPL
^IMPL
MZI (FIF Tel-U)
FREE (p)
FREE (q)
FREE (p ^ (r ! q))
IMPL FREE (p)
FREE (q)) _
^IMPL FREE (r ! q)
_ IMPL
FREE (p) ^
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
:IMPL
_IMPL
FREE (r)
FREE (q)
September 2015
88 / 95
Contoh
Misalkan kita akan menentukan CNF dari :p ^ q ! p ^ (r ! q). Pertama akan
ditentukan IMPL FREE ( ) terlebih dulu
=
IMPL
IMPL
FREE ( )
FREE (:p ^ q ! p ^ (r ! q))
=
:IMPL
=
: (IMPL
=
:
=
: (:p ^ q) _ (p ^ (:r _ q))
FREE (:p ^ q) _ IMPL
FREE (:p) ^ IMPL
:IMPL
^IMPL
MZI (FIF Tel-U)
FREE (p)
FREE (q)
FREE (p ^ (r ! q))
IMPL FREE (p)
FREE (q)) _
^IMPL FREE (r ! q)
_ IMPL
FREE (p) ^
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
:IMPL
_IMPL
FREE (r)
FREE (q)
September 2015
88 / 95
Selanjutnya dilakukan komputasi pencarian NNF (IMPL
NNF (IMPL
=
=
FREE ( ))
FREE ( ))
NNF (: (:p ^ q) _ (p ^ (:r _ q)))
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
89 / 95
Selanjutnya dilakukan komputasi pencarian NNF (IMPL
NNF (IMPL
=
=
=
FREE ( ))
FREE ( ))
NNF (: (:p ^ q) _ (p ^ (:r _ q)))
NNF (: (:p ^ q)) _ NNF (p ^ (:r _ q))
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
89 / 95
Selanjutnya dilakukan komputasi pencarian NNF (IMPL
NNF (IMPL
=
=
=
=
FREE ( ))
FREE ( ))
NNF (: (:p ^ q) _ (p ^ (:r _ q)))
NNF (: (:p ^ q)) _ NNF (p ^ (:r _ q))
(NNF (: (:p)) _ NNF (:q)) _ (NNF (p) ^ NNF (:r _ q))
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
89 / 95
Selanjutnya dilakukan komputasi pencarian NNF (IMPL
NNF (IMPL
=
=
=
=
=
FREE ( ))
FREE ( ))
NNF (: (:p ^ q) _ (p ^ (:r _ q)))
NNF (: (:p ^ q)) _ NNF (p ^ (:r _ q))
(NNF (: (:p)) _ NNF (:q)) _ (NNF (p) ^ NNF (:r _ q))
(NNF (::p) _ NNF (:q)) _ (NNF (p) ^ (NNF (:r) _ NNF (q)))
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
89 / 95
Selanjutnya dilakukan komputasi pencarian NNF (IMPL
NNF (IMPL
=
=
=
=
=
FREE ( ))
FREE ( ))
NNF (: (:p ^ q) _ (p ^ (:r _ q)))
NNF (: (:p ^ q)) _ NNF (p ^ (:r _ q))
(NNF (: (:p)) _ NNF (:q)) _ (NNF (p) ^ NNF (:r _ q))
(NNF (::p) _ NNF (:q)) _ (NNF (p) ^ (NNF (:r) _ NNF (q)))
(p _ :q) _ (p ^ (:r _ q))
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
89 / 95
Komputasi transformasi CNF (NNF (IMPL
CNF (NNF (IMPL
FREE ( ))) dilakukan sebagai berikut
FREE ( )))
= CNF ((p _ :q) _ (p ^ (:r _ q)))
=
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
90 / 95
Komputasi transformasi CNF (NNF (IMPL
CNF (NNF (IMPL
FREE ( ))) dilakukan sebagai berikut
FREE ( )))
= CNF ((p _ :q) _ (p ^ (:r _ q)))
= DISTR (CNF (p _ :q) ; CNF (p ^ (:r _ q)))
=
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
90 / 95
Komputasi transformasi CNF (NNF (IMPL
CNF (NNF (IMPL
FREE ( ))) dilakukan sebagai berikut
FREE ( )))
= CNF ((p _ :q) _ (p ^ (:r _ q)))
= DISTR (CNF (p _ :q) ; CNF (p ^ (:r _ q)))
= DISTR (DISTR (CNF (p) ; CNF (:q)) ; CNF (p) ^ CNF (:r _ q))
=
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
90 / 95
Komputasi transformasi CNF (NNF (IMPL
CNF (NNF (IMPL
FREE ( ))) dilakukan sebagai berikut
FREE ( )))
= CNF ((p _ :q) _ (p ^ (:r _ q)))
= DISTR (CNF (p _ :q) ; CNF (p ^ (:r _ q)))
= DISTR (DISTR (CNF (p) ; CNF (:q)) ; CNF (p) ^ CNF (:r _ q))
= DISTR (DISTR (CNF (p) ; CNF (:q)) ; CNF (p) ^ DISTR (CNF (:r) ; CNF (q)))
=
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
90 / 95
Komputasi transformasi CNF (NNF (IMPL
CNF (NNF (IMPL
FREE ( ))) dilakukan sebagai berikut
FREE ( )))
= CNF ((p _ :q) _ (p ^ (:r _ q)))
= DISTR (CNF (p _ :q) ; CNF (p ^ (:r _ q)))
= DISTR (DISTR (CNF (p) ; CNF (:q)) ; CNF (p) ^ CNF (:r _ q))
= DISTR (DISTR (CNF (p) ; CNF (:q)) ; CNF (p) ^ DISTR (CNF (:r) ; CNF (q)))
= DISTR (p _ :q; p ^ (:r _ q))
=
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
90 / 95
Komputasi transformasi CNF (NNF (IMPL
CNF (NNF (IMPL
FREE ( ))) dilakukan sebagai berikut
FREE ( )))
= CNF ((p _ :q) _ (p ^ (:r _ q)))
= DISTR (CNF (p _ :q) ; CNF (p ^ (:r _ q)))
= DISTR (DISTR (CNF (p) ; CNF (:q)) ; CNF (p) ^ CNF (:r _ q))
= DISTR (DISTR (CNF (p) ; CNF (:q)) ; CNF (p) ^ DISTR (CNF (:r) ; CNF (q)))
= DISTR (p _ :q; p ^ (:r _ q))
=
=
DISTR (p _ :q; p) ^ DISTR (p _ :q; (:r _ q))
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
90 / 95
Komputasi transformasi CNF (NNF (IMPL
CNF (NNF (IMPL
FREE ( ))) dilakukan sebagai berikut
FREE ( )))
= CNF ((p _ :q) _ (p ^ (:r _ q)))
= DISTR (CNF (p _ :q) ; CNF (p ^ (:r _ q)))
= DISTR (DISTR (CNF (p) ; CNF (:q)) ; CNF (p) ^ CNF (:r _ q))
= DISTR (DISTR (CNF (p) ; CNF (:q)) ; CNF (p) ^ DISTR (CNF (:r) ; CNF (q)))
= DISTR (p _ :q; p ^ (:r _ q))
=
=
=
DISTR (p _ :q; p) ^ DISTR (p _ :q; (:r _ q))
((p _ :q) _ p) ^ ((p _ :q) _ (:r _ q))
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
90 / 95
Komputasi transformasi CNF (NNF (IMPL
CNF (NNF (IMPL
FREE ( ))) dilakukan sebagai berikut
FREE ( )))
= CNF ((p _ :q) _ (p ^ (:r _ q)))
= DISTR (CNF (p _ :q) ; CNF (p ^ (:r _ q)))
= DISTR (DISTR (CNF (p) ; CNF (:q)) ; CNF (p) ^ CNF (:r _ q))
= DISTR (DISTR (CNF (p) ; CNF (:q)) ; CNF (p) ^ DISTR (CNF (:r) ; CNF (q)))
= DISTR (p _ :q; p ^ (:r _ q))
=
=
=
DISTR (p _ :q; p) ^ DISTR (p _ :q; (:r _ q))
((p _ :q) _ p) ^ ((p _ :q) _ (:r _ q))
(p _ :q _ p) ^ (p _ :q _ :r _ q)
Formula terakhir juga ekuivalen (sama secara semantik) dengan
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
90 / 95
Komputasi transformasi CNF (NNF (IMPL
CNF (NNF (IMPL
FREE ( ))) dilakukan sebagai berikut
FREE ( )))
= CNF ((p _ :q) _ (p ^ (:r _ q)))
= DISTR (CNF (p _ :q) ; CNF (p ^ (:r _ q)))
= DISTR (DISTR (CNF (p) ; CNF (:q)) ; CNF (p) ^ CNF (:r _ q))
= DISTR (DISTR (CNF (p) ; CNF (:q)) ; CNF (p) ^ DISTR (CNF (:r) ; CNF (q)))
= DISTR (p _ :q; p ^ (:r _ q))
=
=
=
DISTR (p _ :q; p) ^ DISTR (p _ :q; (:r _ q))
((p _ :q) _ p) ^ ((p _ :q) _ (:r _ q))
(p _ :q _ p) ^ (p _ :q _ :r _ q)
Formula terakhir juga ekuivalen (sama secara semantik) dengan
(p _ :q) ^ (p _ :r)
yang lebih sederhana dan tetap berada di dalam CNF.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
90 / 95
Latihan
Diberikan formula logika proposisi := r ! (s ! (t ^ s ! r)). Gunakan
fungsi-fungsi IMPL FREE, NNF, dan CNF untuk memperoleh bentuk CNF dari .
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
91 / 95
Exponential Explosion
Kita telah melihat algoritma konversi ke CNF untuk sembarang formula logika
proposisi . Sayangnya tidak semua CNF dari formula memiliki bentuk yang
sederhana.
Permasalahan
Bagaimana CNF dari formula
MZI (FIF Tel-U)
:= (p1 ^ q1 ) _ (p2 ^ q2 ) _ (p3 ^ q3 )?
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
92 / 95
Formula berada dalam DNF dan belum berbentuk FPE. Untuk mempermudah
dalam mencari CNF dari , maka pertama akan ditulis
:= ((p1 ^ q1 ) _ (p2 ^ q2 )) _ (p3 ^ q3 ). Perhatikan bahwa
((p1 ^ q1 ) _ (p2 ^ q2 )) _ (p3 ^ q3 )
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
93 / 95
Formula berada dalam DNF dan belum berbentuk FPE. Untuk mempermudah
dalam mencari CNF dari , maka pertama akan ditulis
:= ((p1 ^ q1 ) _ (p2 ^ q2 )) _ (p3 ^ q3 ). Perhatikan bahwa
((p1 ^ q1 ) _ (p2 ^ q2 )) _ (p3 ^ q3 )
(((p1 ^ q1 ) _ p2 ) ^ ((p1 ^ q1 ) _ q2 )) _ (p3 ^ q3 )
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
93 / 95
Formula berada dalam DNF dan belum berbentuk FPE. Untuk mempermudah
dalam mencari CNF dari , maka pertama akan ditulis
:= ((p1 ^ q1 ) _ (p2 ^ q2 )) _ (p3 ^ q3 ). Perhatikan bahwa
((p1 ^ q1 ) _ (p2 ^ q2 )) _ (p3 ^ q3 )
(((p1 ^ q1 ) _ p2 ) ^ ((p1 ^ q1 ) _ q2 )) _ (p3 ^ q3 )
((p1 _ p2 ) ^ (q1 _ p2 ) ^ (p1 _ q2 ) ^ (q1 _ q2 )) _ (p3 ^ q3 )
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
93 / 95
Formula berada dalam DNF dan belum berbentuk FPE. Untuk mempermudah
dalam mencari CNF dari , maka pertama akan ditulis
:= ((p1 ^ q1 ) _ (p2 ^ q2 )) _ (p3 ^ q3 ). Perhatikan bahwa
((p1 ^ q1 ) _ (p2 ^ q2 )) _ (p3 ^ q3 )
(((p1 ^ q1 ) _ p2 ) ^ ((p1 ^ q1 ) _ q2 )) _ (p3 ^ q3 )
((p1 _ p2 ) ^ (q1 _ p2 ) ^ (p1 _ q2 ) ^ (q1 _ q2 )) _ (p3 ^ q3 )
((p1 _ p2 ) _ (p3 ^ q3 )) ^ ((q1 _ p2 ) _ (p3 ^ q3 ))
^ ((p1 _ q2 ) _ (p3 ^ q3 ) ^ (q1 _ q2 ) _ (p3 ^ q3 ))
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
93 / 95
Formula berada dalam DNF dan belum berbentuk FPE. Untuk mempermudah
dalam mencari CNF dari , maka pertama akan ditulis
:= ((p1 ^ q1 ) _ (p2 ^ q2 )) _ (p3 ^ q3 ). Perhatikan bahwa
((p1 ^ q1 ) _ (p2 ^ q2 )) _ (p3 ^ q3 )
(((p1 ^ q1 ) _ p2 ) ^ ((p1 ^ q1 ) _ q2 )) _ (p3 ^ q3 )
((p1 _ p2 ) ^ (q1 _ p2 ) ^ (p1 _ q2 ) ^ (q1 _ q2 )) _ (p3 ^ q3 )
((p1 _ p2 ) _ (p3 ^ q3 )) ^ ((q1 _ p2 ) _ (p3 ^ q3 ))
^ ((p1 _ q2 ) _ (p3 ^ q3 ) ^ (q1 _ q2 ) _ (p3 ^ q3 ))
(p1 _ p2 _ p3 ) ^ (p1 _ p2 _ q3 ) ^ (q1 _ p2 _ p3 ) ^ (q1 _ p2 _ q3 )
^ (p1 _ q2 _ p3 ) ^ (p1 _ q2 _ q3 ) ^ (q1 _ q2 _ p3 ) ^ (q1 _ q2 _ q3 )
(p1 _ p2 _ p3 ) ^ (p1 _ p2 _ q3 ) ^ (p1 _ q2 _ p3 ) ^ (q1 _ p2 _ p3 )
^ (p1 _ q2 _ q3 ) ^ (q1 _ p2 _ q3 ) ^ (q1 _ q2 _ p3 ) ^ (q1 _ q2 _ q3 )
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
93 / 95
Teorema
Misalkan adalah formula (p1 ^ q1 ) _ (p2 ^ q2 ) _
maka CNF yang ekuivalen dengan adalah
(p1 _ p2 _
^ (q1 _ q2 _
_ pn ) ^ (q1 _ p2 _
_ pn ) ^
_ (pn ^ qn ) =
_ pn ) ^ (p1 _ q2 _
^ (q1 ^ q2 ^
^ qn ) .
Wn
i=1
(pi ^ qi ),
_ pn )
Jika CNF ( ) adalah formula yang ekuivalen dengan dan berada dalam CNF,
maka CNF ( ) memuat 2n klausa, untuk setiap 1 i n, masing-masing klausa
memuat salah satu dari pi atau qi tetapi tidak keduanya.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
94 / 95
Hal serupa juga terjadi pada formula dalam DNF. Misalkan adalah formula
(p1 _ q1 ) ^ (p2 _ q2 ) ^ (p3 _ q3 ). Jelas bahwa berada dalam CNF. Dengan
memakai sifat distributif, formula yang ekuivalen dengan dan berada dalam
DNF adalah
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
95 / 95
Hal serupa juga terjadi pada formula dalam DNF. Misalkan adalah formula
(p1 _ q1 ) ^ (p2 _ q2 ) ^ (p3 _ q3 ). Jelas bahwa berada dalam CNF. Dengan
memakai sifat distributif, formula yang ekuivalen dengan dan berada dalam
DNF adalah
(p1 ^ p2 ^ p3 ) _ (p1 ^ p2 _ q3 ) _ (p1 _ q2 _ p3 ) _ (q1 _ p2 _ p3 )
_ (p1 ^ q2 ^ q3 ) _ (q1 ^ p2 ^ p3 ) _ (q1 ^ q2 ^ p3 ) _ (q1 ^ q2 ^ q3 ) :
Teorema
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
95 / 95
Hal serupa juga terjadi pada formula dalam DNF. Misalkan adalah formula
(p1 _ q1 ) ^ (p2 _ q2 ) ^ (p3 _ q3 ). Jelas bahwa berada dalam CNF. Dengan
memakai sifat distributif, formula yang ekuivalen dengan dan berada dalam
DNF adalah
(p1 ^ p2 ^ p3 ) _ (p1 ^ p2 _ q3 ) _ (p1 _ q2 _ p3 ) _ (q1 _ p2 _ p3 )
_ (p1 ^ q2 ^ q3 ) _ (q1 ^ p2 ^ p3 ) _ (q1 ^ q2 ^ p3 ) _ (q1 ^ q2 ^ q3 ) :
Teorema
Misalkan adalah formula (p1 _ q1 ) ^ (p2 _ q2 ) ^
maka DNF yang ekuivalen dengan adalah
(p1 ^ p2 ^
_ (q1 ^ q2 ^
^ pn ) _ (q1 ^ p2 ^
^ pn ) _
^ (pn _ qn ) =
^ pn ) _ (p1 ^ q2 ^
_ (q1 ^ q2 ^
^ qn ) .
Vn
i=1
(pi _ qi ),
^ pn )
Jika DNF ( ) adalah formula yang ekuivalen dengan dan berada dalam DNF,
maka DNF ( ) memuat 2n term, untuk setiap 1 i n, masing-masing term
memuat salah satu dari pi atau qi tetapi tidak keduanya.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Proposisi (Kalkulus Proposisi)
September 2015
95 / 95