Document

Pengantar Sistem Digital
RANGKAIAN LOGIKA KOMBINASI
BAGIAN 1 : RANGKAIAN GERBANG
DAN PERSAMAAN BOOLEAN
Odd semester
2012/2013
Outline
2

Bagian 1:
Logika Biner
 Gerbang Logika Dasar
 Aljabar Boolean, Manipulasi Aljabar


Bagian 2:
Penyederhanaan Fungsi
 Karnough Map


Bagian 3:
Gerbang NAND-NOR
 Gerbang X-OR
 Don’t Care Condition

3
Logika Biner
Logika Biner
4






Variabel Biner : salah satu dari 2 nilai diskrit
Operator Logika : Beroperasi pada nilai biner dan
variabel biner.
Dasar operator logika adalah merupakan fungsi logika
AND, OR and NOT.
Gerbang Logika mengimplementasikan fungsi logika
Aljabar Boolean : Suatu sistem matematika yang sangat
berguna untuk menspesifikasikan dan
mentransformasikan fungsi
Aljabar Boolean dipakai sebagai dasar untuk mendesain
dan menganalisa sistem digital.
Variabel Biner.
5

Dua nilai biner disebut dengan beberapa nama
berbeda:
 True/False
 On/Off
 Yes/No
 1/0

Digunakan 1 dan 0 untuk menyatakan 2 nilai.

ContohVariable identifier :
 A,
B, y, z, or X1
 RESET, START_IT, atau ADD1 (y.a.d)
Operasi Logikal
6

Tiga dasar operasi logikal adalah:
 AND
 OR
 NOT

AND dinyatakan dengan titik (·).

OR dinyatakan dengan tambah (+).

NOT dinyatakan dengan overbar ( ¯ ), single
quote mark (') sesudah, atau (~) sebelum
variabel.
Contoh:
7

Contoh:
 Y = A  B dibaca “Y adalah : A AND B.”
 z = x + y dibaca “z adalah : x OR y.”
 X = A dibaca “X adalah : NOT A.”
 Catatan: Pernyataan:
1 + 1 = 2 (dibaca “one plus one equals two”)
tidak sama dengan :
1 + 1 = 1 (dibaca “1 or 1 equals 1”).
Definisi Operator
8
 Operasi penerapan untuk nilai
"0" and "1" untuk masing2 operator :
AND
0·0=0
0·1=0
1·0=0
1·1=1
OR
NOT
0+0=0
0+1=1
1+0=1
1+1=1
0=1
1=0
Truth Tables/Tabel Kebenaran
9


Truth table - Suatu daftar tabular dari nilai
suatu fungsi untuk semua kemungkinan
kombinasi.
Contoh: Truth tables untuk operasi dasar :
NOT
OR
AND
X
X Y Z = X·Y X Y Z = X+Y
Z=X
0
1
0 0
0
0 0
0
1
0
0 1
0
0 1
1
1 0
0
1 0
1
1 1
1
1 1
1
Implementasi Fungsi Logika.
10

MenggunakanSwitch
 Untuk
Switches in parallel => OR
inputs:
 logic
1 is switch closed
 logic 0 is switch open
 Untuk
outputs:
 logic
1 is light on
 logic 0 is light off.
Switches in series => AND
 NOT
menggunakan switch
seperti:
Normally-closed switch => NOT
 logic
1 is switch open
 logic 0 is switch closed
C
Implementasi Fungsi Logika. (Continued)
11

Contoh: Logic Using Switches
B
C
A
D

Lampu nyala (L = 1) untuk:
L(A, B, C, D) =
Dan bila tidak, mati (L = 0).

Model yang berguna untuk rangk relay dan
untuk rangk gerbang CMOS , merupakan dasar
dari teknologi logika digital saat ini.
12
Gerbang Logika (logic gates)
Gerbang Logika(Logic Gates)
13




Pada awal komputer, switches terbuka dan tertutup
menggunakan medan magnit yang dihasilkan oleh energi
dari koil pada relays. Switches secara bergantian
membuka dan menutup jalan arus.
Kemudian, vacuum tubes membuka dan menutup jalan
arus secara elektronik, menggantikan relays.
Saat ini, transistors dipakai sebagai electronic switches
yang membuka dan menutup jalannya arus.
Optional: Chapter 6 – Part 1: The Design Space
Simbol Gerbang Logika dan perilakunya.
14

Gerbang Logika mempunyai simbol khusus,
X
Z 5 X ·Y
Y
X
Z5 X1 Y
Y
OR gate
AND gate

X
(a) Graphic
symbols
And waveform behavior
in time
as follows:
X
0
0
1
1
Y
0
1
0
1
X ·Y
0
0
0
1
(OR)
X1 Y
0
1
1
1
(NOT)
X
1
1
0
0
(AND)
(b) Timing diagram
Z5 X
NOT gate or
inverter
Diagram Logika dan Ekspresi-nya.
15


Persamaan Boolean, tabel kebenaran dan Diagram Logika
mentayakan Fungsi yang sama!
Tabel Kebenaran adalah unik; ekspresi dan diagram
logika tidak. Ini memberikan fleksibilitas dalam
implementasi fungsi.
Persamaan:
Tabel Kebenaran
XYZ
000
001
010
011
100
101
110
111
F = X + Y Z
0
1
0
0
X
1
1
Y
1
Z
1
F = X +Y Z
Diagram Logika
F
16
Aljabar Boolean
Aljabar Boolean
17
 Struktur Aljabar didefinisikan pada satu set atau minimum 2
elemen, A, B, dengan tiga operator biner (denoted +, · and
yang dirumuskan secara mendasar sbb:
1.
3.
5.
7.
9.
X +0= X
X+1 =1
X+X =X
X+X = 1
X=X
10. X + Y = Y + X
12. (X + Y) + Z = X + (Y + Z)
14. X(Y + Z) = XY + XZ
16. X + Y = X . Y
2.
4.
6.
8.
X .1 =X
.
X 0 =0
X .X = X
)
1-4 :Existence of 0 and 1
5-6 :Idempotence
X . X = 0 7-8 :Existence of complement
9 :Involution
11. XY = YX
Commutative
Associative
13. (XY) Z = X(YZ)
15. X + YZ = (X + Y) (X + Z) Distributive
De Morgan’s
17. X . Y = X + Y
Beberapa properti dari identitas dan Aljabar.
18
 “Dual” dari ekspresi suatu ekspresi aljabar didapat
dengan menggantikan + and · dan menggantikan 0’s dan
1’s.
 Unless it happens to be self-dual, the dual of an
expression does not equal the expression itself.
 Example: F = (A + C) · B + 0
dual F = (A · C + B) · 1 = A · C + B
 Example: G = X · Y + (W + Z)
dual G =
 Example: H = A · B + A · C + B · C
dual H =
 Are any of these functions self-dual?
Beberapa properti dari identitas dan Aljabar.
(Continued)
19

Kemungkinan dapat lebih dari 2 elemen in
B, yaitu elemen selain1 and 0. Umumnya
disebut apa Aljabar Boolean dengan lebih
dari 2 elemen?
Algebra of Sets
Algebra of n-bit binary vectors

Bila B terdiri hanya 1 dan 0, maka B disebut
switching algebra yang merupakan aljabar
yang sering digunakan.
Operator Boolean
20
 Urutan Evaluasi pada Ekspresi Boolean
adalah :
1. Parentheses/kurung
2. NOT
3. AND
4. OR
 Akibatnya: Kurung muncul sekitar
ekspresi OR
 Contoh : F = A(B + C)(C + D)
Contoh 1: Pembuktian Aljabar Boolean
21

A + A·B = A (Absorption Theorem)
Proof Steps
Justification (identity or theorem)
A + A·B
= A·1+A·B
= A · ( 1 + B)
X=X·1
X · Y + X · Z = X ·(Y + Z)(Distributive Law)
= A·1
1+X=1
= A
X·1=X

Alasan melakukan pembuktian untuk mempelajari:


Ber-hati2 dan secara efisien menggunakan rumus dan teorema
Aljabar Boolean.
Bagaimana memilih identitas dan teorema yang cocok untuk
diterapkan, untuk melanjutkan penyelesaian berikutnya.
Contoh 2: Pembuktian Aljabar Boolean
22

AB + AC + BC = AB + AC (Consensus Theorem)
Proof Steps
Justification (identity or theorem)
AB + AC + BC
= AB + AC + 1 · BC
?
= AB + AC + (A + A) · BC
?
= (lanjutkan!)
Contoh 3: Pembuktian Aljabar Boolean
23
( X + Y ) Z + X Y = Y( X + Z )
Proof Steps Justification (identity or theorem)
( X + Y )Z + X Y
= (lanjutkan!)
Teorema yang berguna
24
xy + xy = y
x + xy = x
(x + y )(x + y )= y
x  (x + y ) = x
x + x  y = x + y x  (x + y = ) x  y
xy + xz + yz = xy + xz
Minimization
Absorption
Simplification
(x + y ) (x + z ) (y + z ) = (x + y ) (x + z )
x + y = xy
xy = x + y
Consensus
DeMorgan' s Laws
Pembuktian dengan penyederhanaan
25
xy +xy = y
Buktikan!
(x + y )(x + y ) = y
Proof of DeMorgan’s Laws
26
x + y = xy
Buktikan x + y + x’. y’ = 1
Buktikan (x + y) . x’. y’ = 0
xy = x + y
Evaluasi Fungsi Boolean
27
F1 = xy z
F2 = x + yz
F3 = x y z + x y z + x y
F4 = x y + x z
x
0
0
0
0
1
1
1
1
y
0
0
1
1
0
0
1
1
z F1
0 0
1 0
0 0
1 0
0 0
1 0
0 1
1 0
F2
0
1
0
0
1
1
1
1
F3
F4
Penyederhanan Ekspresi
28


Suatu Penerapan Aljabar Boolean
Sederhanakan agar didapat jumlah literal terkecil.
(variabel complemen dan tidak complemen):
A B + ACD + A BD + AC D + A BCD
= AB + ABCD + A C D + A C D + A B D
= AB + AB(CD) + A C (D + D) + A B D
= AB (1+ CD) + AC (1) + ABD
= AB (1) + A C + A B D = B(A + AD) +AC
= B (A + D) + A C 5 literals
Fungsi Complemen
29

Gunakan Teorema DeMorgan's untuk
mengkomplemen-kan fungsi:
1.
2.

Saling ditukar operators AND dan OR
Komplemen-kan masing2 nilai konstan
dan literal.
Contoh:Komplemenkan F
= xy z + x y z
F = (x + y + z)(x + y + z)

Contoh:Komplemen-kan
G=
G = (a + bc)d + e
30
Tugas 2
Soal dikerjakan berkelompok (4 orang)
•
Diketik dan disimpan sebagai file .doc atau .pdf
•
Dikumpulkan melalui SCELE (upload)  link
ditutup ketika mulai kuliah pekan depan. Tidak
ada alasan masalah koneksi atau server down!
Don’t do last minute!
•
Upload di folder kelasnya masing-masing!!
•
Pengumpulan hardcopy (print) tidak akan
diterima
•
Soal dari Buku Edisi ke 4
31

2-2

2-3

2-4

2-6

2-7

2-8

2-9
SCELE: Cara login
32

Buka http://scele.ui.ac.id

Login dengan user dan password UI

Buka link Fakultas Teknik

Pilih Faculty Courses:
S1 Reguler >
Teknik Elektro >
Pengantar Sistem Dijital
Atau..
33


Search course: Pengantar Sistem Dijital
Link langsung setelah berhasil login:
http://scele.ui.ac.id/course/view.php?id=2211
Enrolment key (catat!)
34
dijital2012