Siaga OSN Fisika, Mekanika

Analisis Dimensi
1
Oleh : Abdurrouf2
0.1
Tujuan
Setelah mempelajari topik ini, diharapkan peserta dapat memahami pengertian dimensi,
mengenal dimensi besaran pokok, dapat menurunkan dimensi besaran satuan, serta dapat
memanfaatkan analisis dimensi untuk menduga bentuk persamaan fisis tertentu.
0.2
Ringkasan
Besaran adalah representasi dari kuantitas fisis yang ada di alam, baik yang ada secara riil
maupun maupun yang muncul untuk penyederhanaan kerja matematis. Setiap besaran selalu
memiliki identitas berupa
• Satuan. Satuan ini diperlukan untuk memberi kepastian akan nilai kuantitatif suatu besaran. Hubungan antar satuan diatur dalam sistem satuan. Beberapa sistem satuan yang
dikenal antara lain adalah sistem internasional (SI), sistem British, sistem Gauss, dan
lain-lain. Hubungan antar sistem satuan diatur dalam sistem konversi.
Satuan yang diambil dari nama orang ditulis dengan huruf kecil jika ditulis lengkap tetapi ditulis dengan huruf besar jika disingkat. Contoh: satuan arus adalah ampere dan
disingkat A.
• Dimensi. Dimensi diperlukan untuk mengetahui kesetaraan dua besaran, mengecek kebenaran suatu persamaan, serta menduga bentuk suatu persamaan fisis.
– Dimensi untuk besaran pokok biasanya ditulis dengan huruf pertama dari nama besaran yang bersangkutan, dalam bahasa Inggris. Contoh: dimensi untuk panjang
(Inggris: length) adalah [L]. Dimensi dari besaran pokok ditunjukkan pada tabel. 1.
– Dimensi untuk besaran turunan merupakan kombinasi dari dimensi besaran pokok,
sesuai dengan cara besaran turunan tersebut diperoleh dari besaran pokok. Dimensi
dari beberapa besaran turunan dalam mekanika ditunjukkan pada tabel. 2. Terlihat
bahwa besaranmekanika merupakan gabungan dari tiga besaran pokok, yaitu massa,
panjang, dan waktu.
1
Disampaikan pada training of trainer (ToT) untuk guru-guru fisika SMA se-Jawa Timur, di Hotel Orchid,
Batu, Malang, pada tanggal 18 Agustus - 2 September 2010
2
Dr. rer. nat. Abdurrouf, S.Si., M.Si., adalah staf pengajar di Jurusan Fisika FMIPA UB. Saat ini juga tercatat
sebagai Pembina Olimpiade Bidang Studi Fisika Tingkat Propinsi Jawa Timur. Penulis juga aktif di kegiatan CIBI.
1
Tabel 1: Besaran pokok dalam sistem SI
Besaran
Satuan dalam SI
Dimensi (*)
Panjang (l)
meter (m)
[L]
Massa (m)
kilogram (kg)
[M ]
Waktu (t)
second (sec)
[T ]
Arus listrik (i)
ampere
[I]
Temperatur (t)
kelvin (K)
[θ]
Intensitas cahaya (I)
candela (Cd)
[J]
Jumlah zat (n)
mole (mol)
[N ]
Sudut bidang
radian (rad.)
tak berdimensi
Sudut ruang
steradian (strad.) tak berdimensi
(*) Seringkali dimensi ditulis tanpa tanda kurung tegak. Dalam kasus ini dimensi panjang
adalah L
Dimensi memegang peranan setral dalam analisis dimensi, dan dapat digunakan untuk
• Merunut bagaimana suatu besaran turunan dapat dibentuk dari suatu besaran pokok.
Contoh:
Besaran kecepatan v memiliki dimensi [L] [T ]−1 . Ini berarti bahwa untuk mengukur kecepatan v, orang harus mengukur panjang l dan waktu t.
• Mendefinisikan kesetaraan satuan turunan dengan satuan pokok.
Contoh:
Gaya F memiliki dimensi [M ] [L] [T ]−2 . Ini berarti satuan gaya (newton N ) juga dapat
dinyatakan sebagai kg m s−2 .
• Mengetahui kesetaraan dua besaran. Dua besaran dikatakan setara jika keduanya memiliki dimensi yang sama.
Contoh:
Usaha W dan energi E adalah setara, karena keduanya memiliki dimensi [M ] [L]2 [T ]−2 .
• Mengetahui kebenaran suatu persamaan. Suatu persamaan fisis dianggap benar jika kedua
suku memiliki dimensi yang sama.
Contoh:
Persamaan gerak jatuh bebas s = 21 gt2 adalah benar secara dimensi, karena kedua suku
memiliki dimensi panjang[L].
• Menduga bentuk eksplisit suatu persamaan fisis. Fungsi ke empat inilah yang kita bahas
dalam contoh berikut.
2
Tabel 2: Beberapa besaran turunan dalam mekanika, dalam sistem SI
Satuan
(dalam
Definisi
Besaran
Dimensi
satuan
pokok)
2
panjang kali panjang
m2
luas (A)
[L]
3
luas kali tinggi
m3
volume (V )
[L]
massa per satuan
kg m−3
massa jenis (ρ)
[M ] [L]−3
volume
perpindahan per satuan
ms−1
kecepatan (v)
[L] [T ]−1
waktu
kecepatan per satuan
ms−1
percepatan (a)
[L] [T ]−2
waktu
massa kali percepatan
kg m s−2
gaya (F )
[M ] [L] [T ]−2
gaya kali
kg m2 s−2
usaha (W )
[M ] [L]2 [T ]−2
perpindahannya
massa kali kuadrat
kg m2 s−2
energi (E)
[M ] [L]2 [T ]−2
percepatan
energi (atau usaha) per
kg m s−3
daya (P )
[M ] [L]2 [T ]−3
satuan waktu
energi per satuan waktu
kg s−2
intensitas (energi) (I)
[M ] [T ]−3
per satuan luas
massa kali pecepatan
kg m s−1
momentum (p)
[M ] [L] [T ]−1
Satuan SI
newton (N)
joule (J)
joule (J)
watt (W)
Wm−2
impuls (I)
gaya kali waktu
[M ] [L] [T ]−1
kg m s−1
tekanan / tegangan (p)
gaya per satuan luas
perubahan panjang per
panjang mula-mula
tegangan per regangan
regangan per gradien
kecepatan
[M ] [L]−1 [T ]−2
kg m−1 s−2
Newtonsecond
(Ns)
pascal (Pa)
-
-
-
[M ] [L]−1 [T ]−2
kg m−1 s−2
-
[M ] [L]−1 [T ]−1
kg m−1 s−1
-
regangan (ε)
modulus Young (Y )
viskositas (η)
momen gaya (τ )
momentum sudut (L)
Catatan:
2
−2
[M ] [L] [T ]
jarak kali gaya
jarak kali momentum
[M ] [L]2 [T ]−1
−2
kg s
kg m2 s−1
Newtonmeter
(Nm)
-
– Terdapat beberapa besaran yang memiliki dimensi yang sama atau setara, yaitu: usaha dan
energi, impuls dan momentum, serta tegangan dan modulus Young.
– Terdapat beberapa besaran yang dimensinya berbeda dengan faktor [T ]. Hal ini berarti
besaran dengan pangkat [T ] lebih rendah merupakan turunan waktu dari besaran dengan
[T ] lebih tinggi. Contoh pasangan tersebut adalah: perpindahan-kecepatan, kecepatanpercepatan, energi-daya, gaya-momentum, serta momen gaya - momentum sudut.
3
0.3
Contoh Soal dengan Penyelesaian
1. Soal OSK tahun 2007: Gaya angkat pesawat
Sebuah pesawat dengan massa M terbang pada ketinggian tertentu dengan laju v. Kerapatan udara di ketinggian itu adalah ρ. Diketahui bahwa gaya angkat udara pada pesawat
bergantung pada: kerapatan udara, laju pesawat, luas permukaan sayap pesawat A, dan
suatu konstanta tanpa dimensi yang bergantung geometri sayap. Pilot pesawat memutuskan untuk menaikkan ketinggian pesawat sedemikian sehingga rapat udara turun menjadi
0.5ρ. Tentukan berapa kecepatan yang dibutuhkan pesawat untuk menghasilkan gaya
angkat yang sama? (nyatakan dalam v).
Penyelesaian
Secara umum dapat dikatakan bahwa daya angkat pesawat F tergantung konstanta tak
berdimensi k, kerapatan udara ρ, laju pesawat v, serta luas permukaan sayap pesawat A.
Permaslahan ini dapat dipeahkan sebagai berikut:
• Langkah 1: menuliskan persamaan matematis.
Karena gaya F bergantung pada k, ρ, v, dan A, maka persamaan untuk F dapat
ditulis sebagai
F = kρα v β Aγ
di mana α, β, dan γ adalah konstanta yang akan dicari nilainya.
• Langkah 2: menuliskan persamaan dimensi.
Kaidah dimensi mengatakan bahwa dimensi suku kiri harus sama dengan dimensi
suku kanan, atau
[M ] [L] [T ]−2 = [M ] [L]−3
α [L] [T ]−1
β [L]2
γ
.
• Langkah 3: menyelesaikan sistem persamaan linier untuk mendapatkan nilai parameter α, β, dan γ yang tidak diketahui.
Persamaan di atas menghasilkan 3 persamaan, terkait dengan 3 dimensi yang ada,
yaitu persamaan untuk [M ], [L], dan [T ]. Kita mulai dengan persamaan untuk [M ]
(karena [M ] hanya muncul satu kali di suku kanan), sebagai berikut
1 = α atau α = 1.
Selanjutnya persmaan untuk [T ]
−2 = −β atau β = 2.
4
Terakhir adalah persamaan untuk[L], di mana
1 = −3α + β + 2γ atau γ = 1.
• Langkah 4: menuliskan persamaan akhir.
Dengan memanfaatkan nilai α, β, dan γ, didapatkan persamaan untuk F sbb
F = kρv 2 A.
• Langkah 5: mencari hubungan antar kuantitas, jika diperlukan.
Untuk kasus hanya v dan ρ yang berubah, persamaan di atas dapat ditulis sebagai
F ∝ v 2 ρ. Jika rapat udara ρ turun menjadi 0, 5ρ maka untuk mempertahankan gaya
√
F yang sama dibutuhkan kecepatan 2v = 1, 41v.
2. Soal OSK tahun 2009: Daya angkat pesawat
Sebuah helikopter memiliki daya angkat P yang hanya bergantung pada berat beban total
W (yaitu berat helikopter ditambah berat beban) yang diangkat, massa jenis udara ρ dan
panjang baling-baling helikopter l.
(a) Gunakan analisa dimensi untuk menentukan ketergantungan P pada W , ρ, dan l.
(b) Jika daya yang dibutuhkan untuk mengangkat beban total W adalah P0 , berapakah
daya yang dibutuhkan untuk mengangkat beban total 2W ?
Penyelesaian
(a) Dari informasi soal didapat
P = CW α ρβ lγ
Dengan mengingat bahwa C adalah sebuah konstanta tidak berdimensi, dimensi daya P adalah [M ][L]2 [T ]−3 , dimensi gaya W adalah [M ][L][T ]−2 , dimensi rapas jenis
udara ρ adalah [M ][L]−3 , sedang dimensi panjang l adalah [L]. Dengan demikian
dapat diperoleh persamaan dimensi sebagai berikut
[M ][L]2 [T ]−3 = [M ][L][T ]−2
α [M ][L]−3
Dengan mencocokan dimensi [T ], didapatkan
3
−3 = −2α atau α = .
2
5
β
([L])γ .
Selanjutnya, dengan mencocokkan dimensi [M ] didapatkan
1
1 = α + β atau β = − .
2
Terakhir, dengan mencocokkan dimensi [L] didapatkan
2 = α − 3β + γ atau γ = −1.
Dengan demikian didapatkan persamaan akhir
P = CW 3/2 ρ−1/2 l−1 .
(b) Terlihat bahwa P ∝ W 3/2 . Jika beban total W dinaikkan dua kali, maka daya baru
√
P menjadi 23/2 P0 = 2 2P0 .
3. Periode revolusi planet
Periode revolusi (T ) dari sebuah planet yang berputar mengelilingi matahari dalam orbit
lingkaran tergantung pada jari-jari orbit (r), massa matahari (M ), konstanta gravitasi (G),
serta konstanta tak berdimensi C. Dengan menggunakan analisis dimensi, carilah Hukum
ke-3 Keppler untuk gerakan planet.
Penyelesaian
Persamaan periode T dapat ditulis sebagai
T = Crα M β Gγ ,
yang dapat ditulis sebagai persamaan dimensi sebagai berikut
[T ] = [L]α [M ]β [M ]−1 [L]3 [T ]−2
γ
.
Persamaan di atas memberi kita 3 persamaan linier, yaitu
1 = −2γ
0 = α + 3γ
0 = β − γ,
sehingga didapatkan γ = −1/2, β = −1/2 dan α = 3/2. Dengan demikian persamaan
untuk periode adalah
T = Cr3/2 M −1/2 G−1/2 .
6
2
2 3
r
, yang menunjukkan bahwa Tr3 =
Persamaan di atas juga dapat ditulis sebagai T 2 = CM G
2
C
= konstan, yang tidak lain adalah Hukum ke-3 Keppler untuk pergerakan planet.
MG
4. Bola yang bergerak dalam fluida
Stokes mengamati bahwa sebuah bola yang bergerak dalam fluida akan mengalami gaya
perlambatan F yang besarnya bergantung pada (i) koefisien viskositas µ (ii) kecepatan
gerak bola v, (iii) jari-jari bola r, serta (iv) konstanta tak berdimensi C. Dengan menggunakan analisis dimensi, carilah persamaan untuk gaya F sebagai fungsi ketiga parameter
tersebut.
Penyelesaian
Persamaan gaya F dapat ditulis sebagai
F = Cµα v β rγ ,
yang dapat ditulis sebagai persamaan dimensi sebagai berikut
[M ] [L] [T ]−2 = [M ] [L]−1 [T ]−1
α [L] [T ]−1
β
([L])γ .
Persamaan di atas memberi kita 3 persamaan linier, yaitu
1 = α
1 = −α + β + γ
−2 = −α − β,
yang memberi kita α = 1, β = 1, dan γ = 1. Dengan demikian persamaan untuk F dapat
ditulis sebagai
F = Cηvr,
yang dikenal sebagai hukum Stokes. Kelak diketahui bahwa C = 6π.
5. Energi ledakan bom
Ketika sebuah bom nuklir meledak, maka energi ledakannya akan menyebar ke seluruh arah membentuk permukaan bola dengan jari-jari R. Tentunya masuk akal jika kita
asumsikan bahwa nilai R dipengaruhi oleh energi ledakan E, massa jenis bahan ledak ρ,
selang waktu antara pengamatan dan ledakan t, serta konstanta tak berdimensi C. Dengan menggunakan analisis dimensi, carilah persamaan untuk getaran R sebagai fungsi
keempat parameter tersebut.
Penyelesaian
7
Secara umum persamaannya dapat ditulis sebagai berikut
R = CE α ρβ tγ ,
yang dapat ditulis sebagai persamaan dimensi sebagai berikut
[L] =
[M ] [L]2 [T ]−2
α [M ] [L]−3
β
[T ]γ
= [M ]α+β [L]2α−3β [T ]−2α+γ .
Persamaan terakhir menghasilkan tiga persamaan linier, yaitu
α+β = 0
2α − 3β = 1
−2α + γ = 0,
yang memberikan solusi α = 1/5, β = −1/5, dan γ = 2/5. Dengan demmikian,
persamaan yang benar adalah
R = CE 1/5 ρ−1/5 t2/5 .
0.4
Soal Latihan
1. Gerak jatuh bebas
Misalkan sebuah mengalami gerak jatuh bebas. Adalah masuk akal untuk membayangkan bahwa jarak yang ditempuh benda akan bergantung pada waktu jatuh t, percepatan
gravitasi g, serta massa benda m. Dengan menggunakan analisis dimensi, tunjukkan persamaan untuk s sebagai fungsi dari m, g, dan t. (Jawab: s ∝ gt2 )
2. Panjang gelombang
Panjang dari suatu gelombang (λ) dapat dihitung jika frekuensi (f ) dan kecepatan rambat
(v)-nya diketahui. Dengan menggunakan analisis dimensi, tunjukkan persamaan untuk λ
sebagai fungsi dari f dan v. (Jawab: λ = fv )
3. Tekanan fluida statis
Tekanan fluida pada kedalaman tertentu p dipengaruhi oleh rapat fluida ρ, percepatan
gravitasi g, serta kedalaman titik pengamatan h. Tunjukan bahwa persamaan yang benar
adalah p = ρgh.
4. Tekanan fluida dinamis
8
Tekanan yang diakibatkan oleh fluida yang mengalir p dapat dianggap dipengaruhi oleh
massa jenis fluida tersebut ρ, laju alir fluida v, dan konstanta tak berdimensi C. Dengan
menggunakan analisis dimensi, tunjukkan persamaan untuk tekanan adalah p = Cρv 2 (di
mana dari pengukuran diketahui bahwa C bernilai 12 ).
5. Bandul matematis
Frekuensi getaran ω pada bandul matematis sangat mungkin dipengaruhi oleh massa benda yang bergetar m, percepatan gravitasi g, serta panjang tali l. Dengan menggunakan
q
analisis dimensi, tunjukkan bahwa persamaan untuk getaran adalah ω = gl .
6. Osilasi massa dan pegas
Misalkan sebuah massa m digantung pada pegas dengan konstanta kekakuan k, pada
suatu daerah yang percepatan gravitasinya g. Dengan menggunakan analisis dimensi,
tentukan ketergantungan T pada m, k, g, dan konstanta tak berdimensi C. (Jawab: T =
q
C m
)
k
7. Getaran bintang
Bintang di angkasa mengalami osilasi atau getaran dengan frekuensi sudut ω, yang nilainya tergantung pada kerapatan massa bintang ρ, jari-jari bintang R, konstanta gravitasi
universal G, dan konstanta tak berdimensi C. Dengan menggunakan analisis dimensi,
carilah persamaan untuk frekuensi sudut getaran ω sebagai fungsi keempat parameter
√
tersebut. (Jawab: ω = C Gρ)
8. Periode osilasi busa
Periode osilasi T dari gelembung gas akibat ledakan dalam air bergantung pada tekanan
statis air (p), rapat massa air ρ, energi total dari ledakan E, serta konstanta tak berdimensi
C. Dengan menggunakan analisis dimensi, carilah persamaan untuk periode getaran T
sebagai fungsi keempat parameter tersebut. (Jawab: T = Cp−5/6 ρ1/2 E 1/3 )
9. Frekuensi garpu tala
Frekuensi dari garpu tala (f ) bergantung pada panjang giginya (l), rapat massa (ρ), dan
modulus Young (Y ) dari material garpu tala, serta konstanta tak berdimensi C. Dengan
menggunakan analisis dimensi, carilah persamaan untuk
frekkuensi garpu tala f sebagai
q
C
Y
fungsi keempat parameter tersebut. (Jawab: f = l d )
10. Frekuensi gelombang gravitasi
Gelombang di permukaan zat cair (biasanya disebut sebagai gelombang gravitasi atau
gelombang kapiler), memiliki frekuensi ω yang bergantung pada bilangan gelombang k,
rapat massa cairan ρ, percepatan gravitasi g, dan konstanta tak berdimensi C. Dengan
9
menggunakan analisis dimensi, carilah persamaan untuk frekuensi anguler getaran ω se√
bagai fungsi keempat parameter tersebut. (Jawab: ω = gk)
11. Kecepatan jalar gelombang gravitasi (λ besar dan air cukup dalam)
Misalkan kita memiliki gelombang monokromatis yang merambat melalui sejumlah besar
air, seperti laut. gelombang memiliki λ cukup besar (20 cm atau lebih) tetapi cukup kecil
dibandingkan dengan kedalaman air. Secara intuitif, kecepatan jalar gelombang vg akan
bergantung pada panjang gelombang λ, percepatan gravitasi g, serta rapat massa air ρ.
Silahkan dicek, apakah vg merupakan fungsi dari rapat massa ρ atau tidak. (Jawab: tidak,
√
karena vg ∝ λg)
12. Kecepatan jalar gelombang kapiler (λ pendek dan air cukup dalam)
Misalkan kita memiliki gelombang monokromatis yang merambat melalui sejumlah besar
air, seperti laut. gelombang memiliki λ cukup kecil (2 mm atau kurang) dan cukup kecil
dibandingkan dengan kedalaman air. Dengan menggunakan analisis dimensi, carilah laju
rambat gelombang vg sebagai fungsi dari
panjang gelombang λ, rapat massa air ρ, serta
q
tegangan permukaan s. (Jawab: vg ∝ s/ (λρ))
13. Kecepatan jalar gelombang dengan λ panjang pada air dangkal
Misalkan kita memiliki gelombang monokromatis dengan panjang gelombang λ yang
merambat melalui air yang dangkal dengan kedalaman h, sehingga λ h. Dalam kasus
ini, tegangan permukaan air s dapat diabaikan, sehingga kecepatan gelombang hanya
bergantung pada percepatan gravitasi g dan kedalaman air h. Carilah ungkapan untuk
√
kecepatan jalarnya vg . (Jawab: vg ∝ gh)
14. Bilangan Reynold
Adalah diketahui bahwa bilangan Reynold Re tergantung pada kerapatan fluida ρ, panjang benda l, viskositas fluida η, serta kecepatan gerak benda v. Carilah bentuk eksplisit
ketergantungan Re terhadap ρ, l, η, dan v. (Jawab: Re = ρvl
)
η
15. Viskositas
Viskositas η suatu gas tergantung pada massa m, diameter efektif d dan kecepatan ratarata molekul v. Gunakan analisa dimensi untuk menentukan rumus η sebagai fungsi
)
variabel-variabel ini. (Jawab: η = C mv
d2
16. Kecepatan bunyi
Tentukan rumus kecepatan bunyi v jika kecepatannya tergantung pada tekanan p dan masq
sa jenis udara ρ. (Jawab: v = C Pρ )
10