bab ii vektor - Yusron Sugiarto

VEKTOR
YUSRON SUGIARTO
Jurusan Keteknikan Pertanian
FTP – UB 2013
2
3
BESARAN
Skalar
besaran yang hanya memiliki besar
(panjang/nilai)
Vektor
memiliki besar dan arah
SKALAR
VEKTOR
Massa
Waktu
Kecepatan
Percepatan
Luas
Volume
Gaya
4
JURUSAN KETEKNIKAN PERTANIAN
UNIVERSITAS BRAWIJAYA
BESARAN
Skalar
massa, waktu, suhu,
panjang, luas, volum
Vektor
kecepatan, percepatan,
gaya, momentum, medan
magnet, medan listrik
Vektor direpresentasikan dengan simbol anak panah
Arah
Besar
5
JURUSAN KETEKNIKAN PERTANIAN
UNIVERSITAS BRAWIJAYA
Notasi Vektor
Ruas garis berarah yg panjang dan arahnya tertentu.
Vektor dinyatakan dg huruf ū, u, u (bold), atau u (italic).
Jika u menyatakan ruas garis berarah dari A ke B, maka ditulis
dengan lambang u = AB
Notasi u dibaca “vektor u”
Penulisan vektor
F = |F| F̂
Vektor
atau F = F F̂
vektor satuan
besar vektor
JURUSAN KETEKNIKAN PERTANIAN
UNIVERSITAS BRAWIJAYA
a
b
Dua vektor sama,
a=b
a
b
Dua vektor arah
sama, besaran
beda
a
b
Dua Vektor
mempunyai besar
sama, arah
berbeda
a
b
Dua Vektor besar
dan arah berbeda
JURUSAN KETEKNIKAN PERTANIAN
7
UNIVERSITAS BRAWIJAYA
KOMPONEN SEBUAH VEKTOR
Vektor A dengan komponen 2 vektor
Ax dan Ay yang saling tegaklurus.
Komponen skalarnya:
Ax=A cos q
Ay=A sin q
Ada 2 cara menyatakan vektor A
1. A= Ax + Ay
2.
A
Ax2  Ay2
 Ay
  tan 
 Ax
1



JURUSAN KETEKNIKAN PERTANIAN
UNIVERSITAS BRAWIJAYA
Bila kita mempunyai vektor sembarang
 


P  Px i  Py j  Pz k

dimana P



Px i , Py j , Pz k
adalah komponen2

vektor P pada sumbu
x,y,z.
Catatan :


Px  P Cos θ x


Py  P Cos θ y


Pz  P Cos θ z
JURUSAN KETEKNIKAN PERTANIAN
UNIVERSITAS BRAWIJAYA
Vektor posisi adalah vektor yang dibentuk p dari O
sampai pada titik sembarang (x, y, z) dalam koordinat

x, y, z dinotasikan dengan r.

r 
2
2
x  y  z
2
y
r
zk
z
xi
y j
x
JURUSAN KETEKNIKAN PERTANIAN
UNIVERSITAS BRAWIJAYA
1 2.
Empat gaya bekerja pada titik A.
Tentukan resultan gaya-gaya yang bekerja pada
baut.
F2 = 80N
Y
F1 = 150N
20
30
15
X
F4 = 100N
F3 = 110N
JURUSAN KETEKNIKAN PERTANIAN
UNIVERSITAS BRAWIJAYA
14
Penjumlahan Vektor
s  a b
JURUSAN KETEKNIKAN PERTANIAN
UNIVERSITAS BRAWIJAYA
Penjumlahan Vektor
Mengikuti hukum :

Komutatif
:
a b  b a
JURUSAN KETEKNIKAN PERTANIAN
UNIVERSITAS BRAWIJAYA
Penjumlahan Vektor
Assosiatif :
(a  b )  c  a  (b  c )
JURUSAN KETEKNIKAN PERTANIAN
UNIVERSITAS BRAWIJAYA
18
PENGURANGAN VEKTOR
1. Sebuah vektor jika dikalikan -1, besarnya tetap tetapi arahnya
berbalik 180 derajat.
2. Pengurangan vektor berdasarkan operasi penjumlahan vektor.
JURUSAN KETEKNIKAN PERTANIAN
UNIVERSITAS BRAWIJAYA
PENGURANGAN VEKTOR
A – B = A + (B)
B
A
-
-B
B
=
A
+
-B
-B
A- B
A
JURUSAN KETEKNIKAN PERTANIAN
UNIVERSITAS BRAWIJAYA
21
Perkalian Vektor I: Perkalian Dot
Hasil perkalian dot dua vektor adalah skalar
JURUSAN KETEKNIKAN PERTANIAN
UNIVERSITAS BRAWIJAYA
JURUSAN KETEKNIKAN PERTANIAN
UNIVERSITAS BRAWIJAYA
Perkalian Vektor II: Perkalian Cross
Hasil dari perkalian cross dua vektor adalah
vektor baru
JURUSAN KETEKNIKAN PERTANIAN
UNIVERSITAS BRAWIJAYA
Jika P = Px i + Py j + Pz k dan Q = Qx i + Qy j + Qz k
Maka P x Q = (Py Qz – Pz Qy) i + (Pz Qx – Px Qz) j + (Px Qy – PyQx) k
JURUSAN KETEKNIKAN PERTANIAN
UNIVERSITAS BRAWIJAYA
JURUSAN KETEKNIKAN PERTANIAN
UNIVERSITAS BRAWIJAYA
JURUSAN KETEKNIKAN PERTANIAN
UNIVERSITAS BRAWIJAYA
2
Hitunglah
perkalian dot ( . ) dan cross ( x ) dari matriks berikut



a. A  2 i - 3 j  4 k N
a. A  2 i - 3 j  4 k N



dan B  7 i -3 j  2 k N
dan B  7 i - 3 j  2 k N
AA
. B. B AAx BBx  AA y BB y  A ABz B z
x
x
y
y
z
z
 2
15 Nm
2..77  --33..33  4.4.
- 2-215 Nm





 
 
3.11i i 21.1
21.1 jj 7.37
i  3.10
j  2.12
N
b.b.C C 3.11
7.37k kN N dan
danD D17.3
 17.3
i  3.10
j k2.12
k
z
C .CD. D CCxx DDxx  CCyy DDy y  C zCD
z Dz


 3.11 . 17.3  21.1 . 3.1 
3.11
. 17.3  21.1 . 3.1




7.37

. 2.12  134.837 Nm
7.37
. 2.12  134.8
JURUSAN KETEKNIKAN PERTANIAN
UNIVERSITAS BRAWIJAYA

Besarnya Vektor P sepanjang garis L dapat ditulis P. el, dimana
el vektor satuan pada garis L

P
B
A
L
el
D
C
CD adalah vektor komponen

P pada garis L
JURUSAN KETEKNIKAN PERTANIAN
29
UNIVERSITAS BRAWIJAYA
3
Tentukan vektor satuan el pada garis L yang berasal
dari koordinat (4,2,1) dan melalui koordinat (3,0,-2).
Kemudian tentukan juga besarnya proyeksi dari
vektor P = 3i + 5j – 2k sepanjang garis L

P
B
A
L
el
D
C
JURUSAN KETEKNIKAN PERTANIAN
30
UNIVERSITAS BRAWIJAYA
TUGAS 2
1.
Dua buah gaya P dan Q beraksi pada suatu paku A.
Tentukan resultannya!
Q = 60 N
25
P = 40 N
20
JURUSAN KETEKNIKAN PERTANIAN
UNIVERSITAS BRAWIJAYA
TUGAS 3
Seseorang mengendarai mobil menuju sebuah
kota A yang berjarak 160 km dengan arah 30 0
timur laut. Nyatakan vektor perpindahan r
dalam notasi vektor satuan dengan
menggunakan sistem koordinat x ke timur, dan y
ke utara.
JURUSAN KETEKNIKAN PERTANIAN
UNIVERSITAS BRAWIJAYA
Terima Kasih
JURUSAN KETEKNIKAN PERTANIAN
36
UNIVERSITAS BRAWIJAYA