File

Concept Map
has
Quantity
consists of
Basic Quantity
vector Quantity
unit
Dimension
consists of
Derived Quantity
Scalar Quantity
SI unit
non – SI unit
2. Standard
Unit
Example 1.1
b) Density = mass
volume
=
=
mass
volume
M 
3
L 
= [M][L]-3
c) Acceleration
= velocity
time
=
velocity
time
1



L
T
=
T 
= L T 
2
Example 1.2
Is the formula for distance s = ½ at2,
with a is acceleration and t is time,
dimension correct ?
B. Measuring Instruments
1.
a.
Instrument for Measuring Length
Ruler and Vernier Caliper
4.
Scientific Notation
ax10
n
1a 10
n is integer
b. Micrometer
2. Instrument for Measuring Mass
3. Instrument for Measuring Time
ANGKA PENTING(significant figure)
• Adalah semua angka yang didapat
dari hasil mengukur
• Dalam angka penting terdapat 2
angka :
Angka taksiran adalah
didapat dari menaksir
terletak paling belakang).
angka
(angka
yang
yang
Angka pasti / eksak adalah semua angka
yang terdapat didepan angka taksiran .
1.
Aturan angka penting (Rules for Significant Figure):
1. Semua angka bukan nol adalah angka
penting.
misal : 845,7 kg memiliki 4 ap.
2. Angka nol yang terletak diantara dua angka
bukan nol adalah angka penting.
misal : 76,005 kg memiliki 5 ap
3. Angka nol pada deretan akhir sebuah
bilangan yang  10 termasuk angka penting,
kecuali jika angka sebelum nol diberi garis
bawah.
misal : 2500 memiliki 4 ap
2500 memiliki 3 ap
4.
5.
Untuk bilangan desimal yang lebih kecil dari
1, angka nol di kiri dan di kanan koma
desimal bukan angka penting.
misal : 0,0009 memiliki 1 ap
0,0800 memiliki 3 ap
Bilangan-bilangan puluhan, ratusan, ribuan,
dan seterusnya yang memiliki angka-angka
nol pada deretan akhir harus dituliskan
dalam notasi ilmiah.
misal : 20.000 di tulis 2 x 104 memiliki 1 ap.
34000 ditulis 3,4 x 104 memiliki 2 ap
Uji Kemampuan
 Tentukan jumlah angka penting
dari hasil pengukuran berikut ini
a. 32,45 kg
b. 8,0006 kg
c. 0,00076 kg
d. 0,000030 m
jawab
a. 32,45 memiliki 4 angka penting
b. 8,0006 memiliki 5 angka penting
c. 0,00076 memiliki 2 angka
penting
d. 0,000030 memiliki 2 angka
penting
2. Berhitung dengan Angka Penting
(Calculation Using Significant Figure)
a.
Penjumlahan atau Pengurangan (Addition and
Subtraction)
Hasil penjumlahan atau pengurangan
angka penting hanya boleh memiliki
satu angka yang ditaksir.
misal :
52700
7 diragukan
9540
0 diragukan
+
62240
62200 (3 ap)
638,4 cm
625 cm
13,4 cm
4 diragukan
5 diragukan
13 cm (2 ap)
Hitunglah penjumlahan atau pengurangan
bilangan-bilangan penting berikut.
1.
2.
3.
4.
24,686 m + 2,343 m + 3,21m
3,67 x 104 g + 2,54 x 103 g
297,15 m – 5665 m
0,012 kg + 30 g
b.
Perkalian atau Pembagian (Multiplication and Division)
Hasil perkalian atau pembagian,
hanya boleh memiliki banyak angka
penting sebanyak bilangan yang
jumlah angka pentingnya paling
sedikit.
misal : 0,5242 m
4 ap
4,1
m
2 ap
X
2,14022 m2
2,1 m2 (2 ap)
273600 kg
900 m3
6 ap
2 ap
:
304 kg/m3
300 kg.m-3(2 ap)
 Hasil perkalian atau pembagian antara
bilangan penting dan bilangan eksak
atau sebaliknya, memiliki angka
penting sebanyak bilangan pentingnya.
Misal :
8,75 cm
12
X
105,00 cm
3 ap
(eksak)
105 cm (3 ap)
c. Pemangkatan (Power)
Hasil memangkatkan suatu
bilangan penting hanya boleh
memiliki angka penting
sebanyak bilangan yang
dipangkatkan.
misal :
(1,5 m)3 = 3,373 m3
3,4 m3
d. Penarikan Akar (Root)
Hasil penarikan akar suatu
bilangan penting hanya boleh
memiliki angka penting
sebanyak bilangan penting yang
ditarik akarnya.
misal :
625m 2  25,0m3ap 
Uji Kemampuan
 Hitung operasi perkalian atau
pembagian bilangan-bilangan
berikut :
1. 2,5 m x 3,14 m
2. 2,5 m x 4,2 m x 0,3052 m
3. 323,75 N : 5,0 m2
4.
3cmx5,2cm
2,10cm
dimensi
Dimensi suatu besaran
menunjukkan cara besaran itu
tersusun dari besaran-besaran
pokok.
Cara menentukan dimensi
suatu besaran
Misal :
volume = panjang x lebar x tinggi
=
[L]
[L]
[L]
= [L]3
massa
massajenis 
volume

M
3
massajenis 
 M L 
3
L
perpindaha n L
1
kecepa tan 

 LT 
T 
waktu
kecepa tan LT 
percepa tan 

T 
waktu
1
 LT 
2
Usaha  Gayaxperpindahan
Usaha  massaxpercepa tan  perpindaha n
Usaha  M LT 
2
L  M L T 
2
2
Uji Kemampuan
 Tentukan dimensi dari besaranbesaran berikut:
1. Momentum = massa x kecepatan
2. Tekanan = gaya : luas
3. Berat = massa x percepatan
4. Berat jenis = berat : volume
Manfaat Analisis Dimensi
1. Membuktikan dua besaran
yang setara.
Misal :
Buktikan bahwa usaha dan
energi kinetik adalah dua
besaran yang setara
Bukti :
dimensi usaha = [M] [L]2[T]-2
dimensi energi kinetik
Ek = ½ mv2 = [M] {[L] [T]-1}2
= [M] [L]2 [T]-2
Karena usaha dan enrgi kinetik
mempunyai dimensi yang
sama, maka usaha dan energi
keniktik adalah besaran yang
setara.
Uji Kemampuan
 Momentum dan impuls
adalah besaran vektor,
dimana momentum adalah
hasil kali massa dengan
kecepatan dan impuls adalah
hasil kali gaya dengan waktu.
Buktikan bahwa momentum
dan impuls adalah dua
besaran vektor yang setara.
2. Menentukan persamaan pasti salah
atau mungkin benar.
misal :
 = v/T

ruki :
 = panjang gelombang termasuk
besaran panjang, maka dimensinya [L].

ruka :
v/T = kecepatan / periode
= [L] [T]-1/[T]1 = [L] [T]-2
Karena dimensi Ruki  Ruka, maka
persamaan  = v/T pasti salah.
3. Untuk menentukan dimensi
konstanta dan menurunkan
persamaan.
 Misal :
Gaya gesekan yang dialami oleh
sebuah bola dengan jari-jari r
yang bergerak dengan kelajuan v
di dalam sejenis zat cair kental
dirumuskan F = kvr, dengan k
adalah suatu konstanta. Tentukan
dimensi dan satuan k
Penyelesaian
F  kvr
F
k 
rv
2

M LT 
1
1
1 1





k

M
L
T
dgsatuanny
akgm
s
1
LLT 
Uji Kemampuan
1.
a.
b.
2.
Selidiki dengan analisis dimensi apakah
persamaan berikut pasti salah atau mungkin
benar ?
a = m/F
s = vt + ½ at2
Gaya tarik-menarik antara dua benda yang
massanya m1 dan m2, dan terpisah sejauh r
dapat dinyatakan dengan :
m1m2
F G 2
r
dengan G adalah suatu konstanta. Tentukan
dimensi dan satuan G.
Cek Kemampuan
1. Nyatakan sin ,
cos , dan tan 
dalam
perbandingan dua
sisi dari segitiga
ABC di samping.
C

B
A
2. Untuk segitiga sikusiku di samping,
tentukan nilai sin ,
cos , dan tan 
C

13
B
5
A
Vektor
Berdasarkan nilai dan arahnya besaran
dibagi menjadi dua, yaitu :
 Besaran Skalar adalah besaran yang
hanya memiliki besar dan cukup
dinyatakan dengan angka dan satuan.
misal : massa, volume, suhu, dll
 Besaran vektor adalah besaran yang
selain memiliki besar juga memiliki arah.
misal : perpindahan, kecepatan, gaya, dll
Menggambar sebuah vektor
Suatu vektor gaya F berarah mendatar ke
kanan memiliki besar 20 newton, yang
dapat digambarkan dengan panjang 2 cm.
Berdasarkan keterangan ini, gambar
vektor-vektor berikut:
a. Gaye P yang besarnya 10 N dan
membentuk sudut 30o terhadap F.
b. Gaya Q yang besarnya 30 N dan
membentuk sudut 120o terhadap F.
•
Bagaimana Menyatakan suatu Vektor?
• Anak Panah menyatakan arah vektor.
• Panjang vektor menyatakan besar vektor
• Lambang vektor dicetak tebal (bold) A atau di atas
huruf diberi anak panah A
• Besar vektor ditulis dengan tanda harga mutlak A


60 m
P
Q
A
Penyelesaian
a. Gaya P = 10 N = 1cm dan arah 30o
berlawanan arah jarum jam.
P
30o
F
b. Gaya Q = 30 N = 3 cm dan
arahnya 120o.
Q
120o
F
Uji Kemampuan
 Sebuah vektor perpindahan A yang besarnya
75 m dan berarah mendatar ke kiri (sumbu X
negatif) digambarkan dengan panjang 3 cm.
Gambarlah vektor-vektor perpindahan berikut:
a) Perpindahan B besarnya 50 m berarah 45o
terhadap A.
b) Perpindahan C besarnya 100 m berarah 100o
terhadap A.
c) Perpindahan D besarnya 125 m berarah -30o
terhadap A.
Perkalian antara Vektor dan Skalar
(Multiplication Between Vector and
Scalar)
• Dua vektor adalah sama jika kedua
vektor tersebut memiliki besar dan
arah yang sama walaupun pangkal
vektornya berbeda.
• Misal :
A
D
• Dua vektor yang berbeda adalah dua
vektor yang besarnya sama tetapi
arahnya berbeda.
• Misal :
A
C
• Dua vektor disebut berlawanan jika
besarnya sama tetapi arahnya
berlawanan.
• Misal :
A
-A
•
Bagaimana jika kita mengalikan bilangan biasa
(skalar) dengan sebuah vektor ?
• Misal :
• B = kA
dengan : k = bilangan biasa (skalar)
A = sebuah vektor
Maka hasilnya adalah :
B adalah vektor yang besarnya k kali vektor A,
dengan ketentuan :
• B searah dengan A jika k bernilai positif.
• B berlawanan dengan A jika k bernilai negatif.
Contoh :
• E = 1,5 A
A
2 cm
3 cm
E =1,5A
• F = -2A
A
2 cm
4 cm
F = -2A
Uji Kemampuan
•
•
a)
b)
c)
d)
Vektor A di
gambarkan seperti
gambar di
samping.
Gambarlah vektorvektor berikut:
B=A
C = -A
D = 1,7A
E = -0,5A
acuan
30o
A
Melukis Penjumlahan atau
Selisih Dua Vektor
• Metode segitiga
Penjumlahan (F1 + F2)
F1
F2
F1
F2
Pengurangan (A – B = C)
A
B
A
-B
Uji Pemahaman
 Diketahui vektorvektor A, B, dan C
seperti pada
gambar di samping.
Lukis vektor-vektor
berikut :
a. A + B
b. A + C
c. A – B
d. A - C
B
50o
A
-20o
C
Menemukan
 Tujuhan
menemukan sifat penjumlahan dan
selisih vektor.
 Alat dan Bahan
Kertas, pensil, dan mistar
 Langkah Kerja
1. Pada selembar kertas kosong,
salinlah gambar vektor A dan B
seperti gambar di bawah ini:
B
A
3 cm
2.
a.
b.
3.
Pada kertas tersebut :
Lukislah jumlah vektor P = A + B dengan metode
segitiga, tetapi vektor A dilukis lebih dahulu.
Lukislah jumlah vektor Q = B + A dengan metode
segitiga, tetapi vektor B dilukis lebih dahulu.
Siapkan kertas kosong lain, salin kembali gambar
vektor A dan B. Kemudian lukislah masing-masing
vektor selisih C = A – B dan D = B –A.
Pertanyaan dan Kesimpulan:
1. Bandingkan vektor P dan Q yang telah kamu lukis
pada langkah kerja 2. Apakah pada penjumlahan
vektor berlaku hukum komutatif ? Berikan komentar
kamu.
2. Bandingkan vektor selisih C dan D yang telah kamu
lukis pada langkah kerja 3. Apakah pada selisih
vektor berlaku hukum komutatif ? Berikan komentar
kamu.
Penyelesaian
 P=A+B
A
B
Q = B + A
B
A
•C=A–B
A
-B
C
B
•D=B-A
A
-A
D
B
Kesimpulan
1. Vektor P = vektor Q artinya pada
penjumlahan vektor berlaku
hukum komutatif.
2. Vektor C  vektor D artinya pada
pengurangan vektor tidak
berlaku hukum komutatif.
Metode Poligon (segi banyak)
A
B
C
B
B
C
A
A
C
Uji Pemahaman
•
Diketahui vektor-vektor A, B, dan C
seperti gambar di bawah ini.
Lukislah vektor P, Q dan R dengan
menggunakan metode poligon, jika :
B
a. P = A + B + C
50o
b. Q = A – B + C
A
4 cm
c. R = A – B - C
0
-20
C
Metode Jajarangenjang
misal :
F1
meja
F2
F2
F1
ada 3 vektor
B
C
A
B
C
A
Dua metode untuk menentukan
(besar dan arah) vektor resulthan
(vektor jumlah), yaitu:
1. Dengan metode grafik (dengan
cara mengukur)
2. Dengan metode analitis
Menentukan vektor resulthan
dengan metode grafis.
misal :
Tentukan besar dan arah vektor
resulthan dari perpindahan A
sepanjang 15 m dengan arah -20o
terhadap sumbu x positif dan
vektor perpindahan B sepanjang
20 m dengan arah 40o terhadap
sumbu x positif.
Penyelesaian
skala 5 m : 1 cm
A
B
40o
A
-20o
θ
x
R
40o
B
-20o
x
panjang R = 6,2cm
dan arah θ = 15o
maka besar vektor:
R = 6,2 x 5 = 31m
Uji Pemahaman
•
Vektor A memiliki besar A = 3 m dan
berarah 30o terhadap sumbu x positif.
Vektor B memiliki besar B = 2 m dan
berarah 45o terhadap sumbu x positif.
Tentukanlah besar dan arah dari :
a. A + B
b. A – B
dengan menggunakan metode grafik.
Menentukan Vektor resulthan
dengan metode Analitis (dengan
Rumus)
Ada 2 yaitu:
1. menggunakan rumus kosinus
2. menggunakan vektor komponen
 Tujuan
Meneliti apakah hukum berhitung berlaku pada
penjumlahan vektor
 Alat dan Bahan
Kertas grafik dan mistar
 Masalah
Seekor semut berjalan 400 m ke timur (vektor A)
kemudian ia berbelok ke utara dan berjalan sejauh 300
m (vektor B). Misal vektor perpindahannya adalah C
dimana C = A + B
 Langkah kerja
1. Tetapkan titik O sebagai titik
awal
berangkat. Lukislah vektor A dan B.
2. Lukislah vektor C = A + B dengan
Poligon.
3. Tentukan besar vektor resulthan C
dengan metode grafis dan tentukan
dengan berhitung secara aljabar
biasa.
 Pertanyaan dan Kesimpulan
Apakah penjumlahan vektor C = A + B
mematuhi hukum berhitung pada aljabar?
Nyatakan kesimpulan anda.
Menentukan Resulthan dua Vektor
dengan Rumus Kosinus
F2

O
C
B

F1

A
Dari gambar di
samping :
OC2 = OA2 + AC22OA.AC COS OAC
= OA2 + AC2 – 2OA.AC
COS (1800-)
= OA2 + AC2 – 2OA.AC
(-COS )
OC2 = OA2 + AC2 +
2OA.AC COS 
• Karena OC = R, OC= F1 dan AC= F2
maka :
R  F  F  2 F1 F2 cos 
2
R
2
1
2
2
F  F  2 F1 F2 cos 
2
1
2
2
• Arah vektor resulthan
F2
R

sin OAC
sin 
F2
R

0
sin 
sin 180  
F2
R

sin 
sin 
F2
sin  
sin 
R


Contoh
Dua vektor F1 dan F2 memiliki pangkal
berimpit, dan masing-masing besarnya
3 N dan 4 N. Jika sudut apit antara
kedua vektor 60o, tentukan :
a. vektor resulthan R = F1 + F2
b. vektor selisih S = F1 – F2
Penyelesaian
a. Vektor resulthan
R = F 1 + F2
R  F12  F22  2 F1 F2 cos 
R  3 2  4 2  2.3.4. cos 60 o
R  9  16  24 12 
F2
R  25  12
R  37 N
60o
F1
b. Vektor selisih
S = F1 – F 2
F2
•  = 180o- 60o
= 120o
Maka:
S  F12   F22  2 F1  F2 cos 

-F2
S
F1
S  3   4  2.3  4 cos 120 o
2
2
S  9  16  24 12 
S  13 N
Menemukan

Tujuhan
Menemukan nilai minimum dan maksimum dari vektor
resulthan

Masalah
Diberikan dua buah vektor F1 dan F2 yang membentuk
sudut 

Langkah kerja
Dengan menggunakan rumus kosinus, tentukan nilai
R = F1 + F2 jika:
a.  = 0o
b.  = 90o
c.  = 180o

Kesimpulan
a. Nilai R dengan  =0o
R  F  F  2 F1 F2 cos 0
2
1
2
2
R  F  F  2 F1 F2
2
1
R
2
2
F1  F2 
R  F1  F2
2
o
b. Nilai R dengan  = 90o
R  F  F  2 F1 F2 cos 90
2
1
2
2
R  F  F  2 F1 F2 0
2
1
2
2
R F F
2
1
2
2
o
c. Nilai R dengan  = 180o
R  F  F  2 F1 F2 cos 180
2
1
2
2
R  F  F  2 F1 F2  1
2
1
2
2
R  F  F  2 F1 F2
2
1
R
2
2
F1  F2 
R  F1  F2
2
o
Kesimpulan
1. Nilai Rmin adalah:
Rmin = F1 – F2 pada saat  = 180o
2. Nilai Rmax adalah :
Rmax =F1 + F2 pada saat  = 0o
Jadi batas vektor resulthan adalah:
Rmin R  Rmax
Contoh
 Dapatkah kumpulan dari gaya-gaya
berikut membentuk keseimbangan?
a. 4 N, 5 N, dan 9 N
b. 4 N, 5 N, dan 5 N
c. 4 N, 5 N, dan 10 N
Jawab
a.
Gaya terbesar = 9 N
Jumlah kedua gaya lainnya:
4N+5N=9N
karena gaya terbesar = jumlah kedua gaya lainnya maka
ketiga gaya masih mungkin membentuk keseimbngan.
b.
Gaya terbesar = 5 N
Jumlah kedua gaya lainnya:
4N+5N=9N
karena gaya terbesar  jumlah kedua gaya lainnya maka
ketiga gaya masih mungkin membentuk keseimbangan
c.
Gaya terbesar = 10 N
Jumlah kedua gaya lainnya:
4N+5N=9N
karena gaya terbesar  jumlah kedua gaya lainnya maka
ketiga gaya tidak mungkin membentuk keseimbangan.
Uji kemampuan
• Dapatkah kumpulan dari perpindahan
–perpindahan berikut memungkinkan
suatu mobil kembali ke titik awal
berangkatnya?
a. 2 m, 10 m, 8 m
b. 5 m, 20 m, 14 m
c. 10 m, 10 m, 10 m
d. 150 m, 250 m, 450 m
Menentukan Resulthan dengan
Cara Vektor Komponen
• Dari perbandingan sinus
dan kosinus pada
segitiga OAB diperoleh:
Y
FY
O
B
Fx
cos  
F
Fx  F cos 
F
θ
FX
A
X
sin  
Fy
Fy
F
 F sin 
Uji Kemampuan
Tentukan komponen-komponen dari vektor
perpindahan 8 m yang membentuk sudut 143o
terhadap arah mendatar (sin 37o = 0,6)
Besar dan arah vektor resulthan
Arah vektor resulthan:
Besar resulthan
Dirumuskan:
F  F F
2
x
2
y
tan  
Fy
Fx
Uji Kemampuan
 Tentukan besar dan arah vektor-vektor
yang komponen-komponennya diberikan
sebagai berikut:
a. Ax = 3 cm dan Ay = 1 cm
b. Fx = -403 N dan Fy = -40 N
c. Bx = 12 m dan By = -13 N
d. Px = -20 N dan Py = 20 N
Vektor satuan
• Adalah suatu vektor yang besarnya 1
satuan.
vektor-vektor satuan pada sumbu x, y, z
i=j=k=1
y
j
z
k
i
x
Menyatakan sebuah vektor dengan
vektor satuan
Misal:
Dari gambar diperoleh:
V = Vxi + Vyj + Vzk
y
Vy
j
Vz
z
k i
V
Besar vektor V dirumuskan:
Vx
x
V  V V V
2
x
2
y
2
z
Perkalian Vektor
 Perkalian titik vektor (perkalian skalar)
adalah perkalian antara dua vektor yang
menghasilkan besaran skalar.
misal: usaha (W = F.s = Fs cos θ)
dirumuskan:
A . B = AB cos θ
untuk vektor satuan:
i.i = j.j = k.k = 1
i.j= i.k = j.k = 0
Jika :
A = Ax i+ Ay j+ Azk
B = Bx i+ By j+ Bzk
Maka besarnya A.B dirumuskan:
A.B = AxBx + AyBy+AzBz
Contoh
• Diket: vektor A = (4i + 6j – 3k) satuan dan
vektor B = (2i – 2j – 8k) satuan. Tentukan hasil
perkalian kedua vektor dengan cara perkalian
skalar!
• Diket:
A = (4i + 6j – 3k)
B = (2i – 2j – 8k)
Ditanya: A.B
Penyelesaian
• Jawab:
A.B = (4i + 6j – 3k) (2i – 2j – 8k)
= 4i.2i + 6j.(-2J) + (-3k)(-8k)
= 8 - 12 + 24
= 20 satuan
Perkalian silang vektor (perkalian vektor)
adalah perkalian antara dua buah vektor yang
menghasilkan besaran vektor.
dirumuskan:
AxB  AB sin 
AxB
θ
• Hasil perkalian silang
vektor satuan:
i x i= j x j = k x k = 0
k
B
A
BxA
+
i
-
j
• Misal:
A x B = (Axi + Ayj + Azk) x (Bxi + Byj + Bzk)
A x B = (AyBz – AzBy)i – (AzBx – AxBz)j –
(AxBy – AyBx)k
cara Sarrus:
i j k
A x B = Ax A y A z
Bx
By
Bz